高中数学总结归纳 等差数列通项、求和公式的几个变式及其应用
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等差数列通项、求和公式的几个变式及其应用
我们知道,首项然而元素是等差数列的两个基本及公差,1d a 在实际问题中未必给出d a 或1,有时也根本不需要考虑d a 或1.此时,若还是从最原始的公式出发,就有可能遇到许多麻烦,做些无用功,甚至劳而无获;相反,若能灵活运用公式的变式,问题便可迎刃而解.因此,在熟练掌握原公式的基础上,引导学生研讨公式的各种变形,不仅有利于加深对公式的理解,而且有利于培养学生的应变能力和思维的灵活性.下面给出等差数列通项公式及求和公式的几个变式及其应用.
1、 变式一:n
m n S m S d n m a a d n m n m --=--=2或. Θ:证明等差数列通项公式和前n 项和公式可分别写成)(1d a nd a n -+=和)2
(21d a nd n S n -+=. )2
(2)(),(),(11d a dx y d a dx y n S n a n n n -+=-+=∴和分别在直线和点. ∴ 由直线的斜率公式可得: n
m n S m S d n m a a d n m n m --=--=2或. 例1一个等差数列的第3项是9,第9项是3,求它的第12项.
解:根据变式一,有3
123931239--=--a a a a 把0,3,91293===a a a 即得代入.
类似地,可以证明本题的推广:{}
0,,===+q p q p n a p a q a a 则的设等差数列. 例2{}n a 等差数列的前项和为则它的前项和为前项和为m m m 3,1002,30( ).
130)(A 170)(B 210)(C 260)(D 解: 根据变式一,有
m
m m S m S m m m S m S m m m m --=--222323223 把210:120,3032===m m m S S S 代入可得,故选(C).
2、 变式二:1
212-=-n S a n n . 证明:由)12()12(2
12112-=-+=--n a n a a S n n n ,即得结论. 例3{}n a 等差数列、{}n b 的前132,+=n n T S T S n n n n n 若
和项和分别为,则n n n b a ∞→lim =( ). (A)1 (B)
36 (C)32 (D)9
4 解: 根据变式二,有 26241)12(3)12(21
21212121
212--=+--==--=----n n n n T S n T n S b a n n n n n n 32lim =∴∞→n
n n b a ,故选(C). 3、 变式三:n
m S S n m S n m n m --+=+)(. 证明:)(1n m m m n m a a S S ++++++=Λ=)()(1md a md a S n m +++++Λ =mnd S S n m ++ 把n
m n S m
S d n m --=2(变式一)代入并经整理即得变式三. 例4已知一个等差数列的前.),(,,q p q P n S q p p S q S S n +≠==求项和为 解: 根据变式三,有
q p S S q p S q
p q p --+=+)(q
p p q q p --+=)(=)(q p +-. 由以上可以看出,应用上述变式解决某些等差数列问题,不仅形之有效,而且
简捷易行,充分显示了上述变式的独特功效.这对加深公式的理解,促进知识的融会贯通,激发学习兴趣,培养思维的灵活性和独创性不无裨益.。
