2010年北京宣武区高三年级二模数学试题文理宣武区理

北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高 三 数 学（文科） 2010.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂中的元素个数为（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个2. “2=a ”是“直线03:21=+-y x a l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的 （ ）3. 在区间[1,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为（ ）A ．94 B ．31 C ．21 D ．83 4. 若函数()y f x =是函数xy 2=的反函数，则)]2([f f 的值为 （ ）A ． 16B ． 0C ． 1D ．25. 下列结论正确的是( )6. 设m 为直线，γβα,,为三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） ① 若,,//β⊥ααm 则β⊥m ②若,,β⊥αα⊥m 则β//m ③若,//,βαα⊂m 则β//m ④若,,γ⊥αβ⊥α则γβ//7. 设斜率为k 的直线l 过抛物线x y 82=的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则实数k 的值为 ( ).A ． 2±B ．4±C ．2D ． 4A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．,R x ∈∃ 使0122<+-x x 成立B ．0>∀x ，都有2lg 1lg ≥+xx 成立 C ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=2sin x y 是偶函数D ． 02x <≤时，函数xy 1-=无最大值8. 设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是 （ ）A ． []63， B ．[]343+，C ．[]634，- D ． []3434+-，第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。

北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第二次质量检测理科综合能力试题2010. 5考生注意：本试卷分第1卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共 300分。

考试时间150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量： H 1 C 12 N 14 0 16 Na 23 S32 Cu 64第I 卷（选择题共120 分）本卷共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1•支原体是目前发现的最小、最简单的细胞生物。

支原体细胞由下列哪些结构（或物质）构成 （ ）② DNA 或RNA ④核糖体⑥以纤维素为主要成分的细胞壁C .③④⑤⑦2•下图为基因组成为 Aa 的动物在形成精子过程中某一时期示 意图。

下列相关叙述中，正确的是 （A . 2号染色单体上与 A 相同位置的基因最可能是 aB •若姐妹染色单体没有分离，则可能出现性染色体组成为XXY 的后代C . 1个该细胞经过两次连续分裂，最终可以形成 4种类型的精细胞同源染色体的非姐妹染色单体交叉互换将导致染色体结构变异3•控制Xg 血型抗原的基因位于 x 染色体上，Xg 抗原阳性对Xg 抗原阴性为显性。

下列有关Xg 血型遗传的叙述中，错误的是（）A .在人群中，Xg 血型阳性率女性高于男性B .若父亲为Xg 抗原阳性，母亲为 Xg 抗原阴性，则女儿全部为 Xg 抗原阳性C .若父亲为Xg 抗原阴性，母亲为 Xg 抗原阳性，则儿子为 Xg 抗原阳性的概率为 75%D •一位Turner 综合征患者（性染色体组成为XO ）的血型为Xg 抗原阳性，其父为 Xg 抗原阳性，母亲为Xg 抗原阴性，可知其疾病的发生是由于母亲的卵细胞缺少 X 染色体所致4. 下图为人体内肾上腺素合成的简化过程。

对肾上腺素的合成和分泌的下列叙述中，正确的是（）OH①蛋白质外壳③DNA 和RNA ⑤线粒体⑦具有选择透性的细胞膜 A .①②B .③④⑦D .③④⑥⑦A •与肾上腺素的合成和分泌有关的细胞器有核糖体、内质网、高尔基体、线粒体B •外界环境温度下降会降低催化肾上腺素合成的酶的活性，使肾上腺素合成和分泌减 少C •垂体可分泌促肾上腺皮质激素释放激素，调节肾上腺素的合成和分泌D •寒冷和低血糖刺激可以增加肾上腺素的分泌 5.科学家测定了某地区近几十年来大气中 C02含量的变化，结果如下图所示。

北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高三数学（文科）2010.1本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共 考试时间为120分钟.第I 卷（选择题共40 分）个是符合题目要求的）①若m 〃 , ,则m②若m , ,则 m //③若m , // ,则 m 〃④若，,则〃7.设斜率为k 的直线l 过抛物线 y 2 8x 的焦点F ，且和y 轴交于点 A ，若△ OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则实数 k 的值为().A .2 B .4 C . 2D .4、选择题（本大题共有8个小题，每小题 5分, 共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有1.设集合 A 1,2,3,4 ,B 3,4,5，全集 U A B ，则集合C U A B 中的元素个数为（2.“ a 2 ”是“直线11:a 2xy 30与直线 12 : y 4x 1互相垂直”的A .充分不必要条件B •必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3. 在区间［1,9］上随机取一实数, 则该实数在区间［4,7］上的概率为（）4. 若函数y f （x ）是函数x2的反函数，则f[ f(2)]的值为5. 16F 列结论正确的是2A . x R,使 2x1 0成立0，都有lgx 1 lg x2成立6. C .函数y sin x是偶函数2x 2时，函数y-无最大值x设m 为直线,,,为三个不同的平面，下列命题正确的是8.设函数f x3 sin 3x3COS 2x24x 1，其中0,—，则导数f 1的取值范围是6B. 3,4 、3C. 4 , 3,6()D. 4 .3,4 ；第H卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。

29.若双曲线x2上1的离心率为n，则n :设i为虚数单位，复数 1 i n的运算结果15为______ . ____10.已知非零向量a,b满足：|a 2b，且b a b，则向量a与向量b的夹角= .11.长方体ABCD A1B1C1 D1满足：AB2 BC2 CC121,则其外接球的表面积为12.如果点P在不等式组2x y 2 0x y 2 0所确定的平面区域内，0为坐标原点，那么|PO的最小值为x 2y 2 013.执行如图程序框图，若输出的y值为3,则输入的x值的集合是.14.如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n n 1, n N个点,每个图形总的点数记为a n，贝y a6= __________a2a3 a3a4 a4a59a2009a201011=2n=4三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题共13分）已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, A是锐角，且3b 2a si nB.（I）求A的度数；（n）若a 7 , ABC的面积为10.一3，求b2 c2的值.16.（本小题共13分）如图是正三棱柱ABC A B1C1, AA 3 , AB 2,若N为棱AB中点.(I)求证：AC i〃平面CNB i ;(n)求四棱锥C1 ANB1A1的体积.17.(本小题共13分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组13,14，第二组14,15……第五组17,18如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图•(I)若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数。

北京市宣武区2009~2010学年度第二学期第一次质量检测高三数学（理）参考答案及评分标准2010.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()x f 221cos 22sin cos 22x x x x =++- ……………………1分1cos 22cos 222x x x =+- ……………………2分 sin(2)6x π=- ……………………4分2T 2ππ∴==周期， ……………………5分由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 （没有“Z k ∈”扣1分） ∴函数图象的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. ………………………7分（Ⅱ）()x g ()[]()x f x f +=2⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=62sin 62sin 2x x 412162sin 2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x .（配方或用对称轴均可，换元需强调范围）…………………8分当2162sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-x 时，()x g 取得最小值41-，（只有最值，没有是否取到的说明，各扣1分） 当162sin =⎪⎭⎫⎝⎛π-x 时，()x g 取得最大值2， ……………………12分所以()x g 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,41. ……………………13分 16. （本题满分13分）解（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，ABCD 平面⊂BC ∴BC PA ⊥ ………………………1分∵o90=∠ABC , ∴⊥BC AB ， ………………………2分∵A AB PA =⋂ (没有扣1分)∴PAB BC 平面⊥ ………………………3分 ∵E 为AB 中点,∴PAB 平面⊂PE . ………………………4分 ∴PE BC ⊥. ………………………5分 （Ⅱ）建立直角坐标系xyz A -，设1=AB ，则()0,0,1B ,()0,1,1C ,()1,0,0P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,21E()0,1,0=BC ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,21EP ,⎪⎭⎫⎝⎛=0,1,21EC 由（I ）知，PAE BC 平面⊥，∴是平面PAE 的法向量． ………………………6分设平面PEC 的法向量为=n ()z y x ,,，则n 0=⋅且n 0=⋅ ∴x z x y 21,21=-= ，=n ()1,1,2- ………………………7分 ∴cos 66==θ, （可以不用绝对值） ………………………9分 二面角A PE C --的余弦值为66-. ………………………10分 (Ⅲ)连结BC ，设a AB = （如果用（Ⅱ）所设棱长为2，并没有求棱长，本小问不得分）∵4222313==⨯⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-a a a a a V ABCDP ∴2=a ………………………12分 ∵是直角三角形PAC ∆∴321==PC AF . ………………………13分 17. （本题满分13分）解：(1)汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润ξ＝30－1.6＝28.4万元 ………………1分 堵车时蔬菜基地获得的毛利润ξ＝30－1.6－1＝27.4万元 ………………………2分 ∴汽车走公路1是获得的毛利润ξ的分布列为 ………………………3分………………………5分 ∴E ξ＝28.4×910＋27.4×110＝28.3万元. ………………………6分(2)设汽车走公路2时获得的毛利润为η不堵车时获得的毛利润η＝30－0.8＋1＝30.2万元， ………………………7分 堵车时获得的毛利润η＝30－0.8－2＝27.2万元， ………………………8分 ∴汽车走公路2时获得的毛利润ξ的分布列为………………………10分 ∴E η＝20.2×12＋17.2×12＝28.7万元 ………………………11分∵E ξ＜E η. （是判定的依据，没有扣1分） ………………………12分∴选择公路2可能获利更多 ………………………13分18.（本题满分13分）解：（Ⅰ）∵)1(2)(22'-+-=a ax x x f ………………………1分∵ x=1为)(x f 的极值点，∴0)1('=f ，即022=-a a ，∴ 20或=a . ………………………3分 （Ⅱ）∵（)1(,1f ）是切点，∴03)1(1=-+f ∴2)1(=f ………………………4分 即0382=-+-b a a ∵切线方程03=-+y x 的斜率为 -1， ∴1)1('-=f ，即0122=+-a a ， ∴a=1，b=38（对一个得1分） ………………………6分 ∴3831)(23+-=x x x f ∴x x x f 2)('2-=， （i ）由0)('=x f ∴x=0和x=2是)(x f y =的两个极值点.求极值 34)2(,38)0(==f f ……7分 ∵8)4(,4)2(=-=-f f∴)(x f y =在区间]4,2[-上的最大值为8． ………………………8分 （ii ）∵函数xem x m x f x G -+++=])2()('[)(x e x m x x G --+-=])2([)('2 （求导不对就无需再往下看） ………………………9分令0)('=x G ，得m x x -==2.0当2=m 时，0)('≤x G 此时)(x G 在),(+∞-∞单调递减. ………………………10分当2>m 时：（开口向下）此时)(x G 在)2,(m --∞，),0(+∞单调递减，在)0,2(m -单调递增. ………………………11分 当2<m 时：此时)(x G 在)0,(-∞，),2(+∞-m 单调递减，在)2,0(m -单调递增； ………………………12分 综上所述：当2=m 时：)(x G 在),(+∞-∞单调递减；当2>m 时：)(x G 在)2,(m --∞，),0(+∞单调递减，在)0,2(m -单调递增；当2<m 时：)(x G 在)0,(-∞，),2(+∞-m 单调递减，在)2,0(m -单调递增. ………………13分19.（本题满分1４分） 解：（Ⅰ）∵22==b d ∴2=b ………………………1分∵36=a c ∴32222=-ab a ， ∴122=a ………………………2分 ∴椭圆的标准方程为141222=+y x . ………………………4分 （Ⅱ）（i ）∵36=a c ，∴223b a =. 椭圆的方程可化为：22233b y x =+ ① ……………5分 易知右焦点F 的坐标为（0,2b ），据题意有AB 所在的直线方程为：b x y 2-= ② 由①，②有：0326422=+-b bx x ③ ………………………6分设),(),,(2211y x B y x A ，由③有：43,22322121b x x b x x =⋅=+ ∵()b b b y y x x AB 316487211)()(22212212=-+=-+-= ……………………7分∴1=b ………………………8分（Ⅱ）（ii ）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数μλ,，使得等式μλ+=成立。

北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测高三数学（理）参考答案及评分标准2010.1一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上.三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵B a b sin 323⋅=，∴由正弦定理知：B A B sin sin 32sin 3⋅=, ∵B 是三角形内角， ∴0sin >B ,从而有23sin =A ， ∵0>⋅，∴A ∠= o60.……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）将()B A C π=-+代入()23cos cos =+-B C A 得： ()()23cos cos =+--C A C A , 利用两角和与差的余弦公式展开得：43sin sin =C A ；21sin =C ．相应的有：C ∠= o30,∴ABC ∆的面积为36.………………………………………………………………13分证明：（Ⅰ）连结1BC 和1CB 交于O 点，连ON ．∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴O 为1BC 的中点.又N 为棱AB 中点,∴在1ABC ∆中,1//AC NO ,又C NB 1平面⊂NO ,1AC ⊄平面C NB 1,∴1AC ∥平面C NB 1；…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系， ∵()0,0,0N ，()0,2,11B ，()3,0,0C ，()0,2,11-A ，)3,2,0(1C ，∴()3,0,0=， ()0,2,11=NB 设平面C NB 1的法向量为n ),,(z y x =，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01n NB n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=0203y x z ，令2-=y ，得n )0,2,2(-=，∵),3,0,1(11=C A∴66262=⋅==， ∴11C A 与平面C NB 1所成的角正弦值为66.………………………………………13分 17. （本题满分13分）解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，由185292=C C n ，得5=n ，故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为612924=C C ；…………………………………6分（Ⅱ）ξ～)1,4(B 的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P kkkξ；∴364=⨯=ξE ，9)61(64=-⨯⨯=ξD ．…………………………………………13分解：（Ⅰ）设c bx ax x g ++=2)(，)(x g 的图象经过坐标原点，所以c=0.∵12)()1(++=+x x g x g ∴12)1()1(22+++=+++x bx ax x b x a即：1)2()2(22+++=++++x b ax b a x b a ax∴a=1,b=0, 2)(x x g =；…………………………………………………………………４分（Ⅱ）函数)1ln()(2+-=x mx x f 的定义域为()1,-+∞．1122112)(2'+-+=+-=x mx mx x mx x f ， 令122)(2-+=mx mx x k ，12)21(2)(2--+=m x m x k ，12)21()(max --=-=mk x k ， ∵02<<-m ，∴012)(max <--=mx k ，0122)(2<-+=mx mx x k 在()1,-+∞上恒成立， 即0)('<x f ，当02<<-m 时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递减．………………９分 （III ）当1=m 时，2()ln(1).f x x x =-+，令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32'3(1)()1x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，∴)(x h 在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.， 即当()0,x ∈+∞时，有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-， 对任意正整数n ，取1x n =得23111ln(1)n n n+>-．…………………………………………１３分 19.（本题满分1４分）解：（Ⅰ）直线l 与y 轴的交点为N （0，1），圆心C （2，3），设M （x ，y ）， ∵MN 与MC 所在直线垂直，∴1231-=--⋅-x y x y ，（)20≠≠x x 且， 当0=x 时不符合题意，当2=x 时，3=y 符合题意，∴AB 中点的轨迹方程为：034222=+--+y x y x ，477477+<<-x .……………6分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，∵O NA O NB O AB S S S ∆∆∆-=，且1=ON ，∴1221x x ON S OAB -⋅⋅=∆ 将1+=kx y 代入方程1)3()2(22=-+-y x 得07)1(4)1(22=++-+x k x k ,∵2211)1(4k k x x ++=+，22117k x x +=⋅∴42122121224)(x x x x x x S OAB ⋅-+=-=∆=222)1(121232k k k +--，∴13)()(22++=k k S k f =22)1(8+k k ，……………………………………………………………１0分 ∵由0)1()33)(33(24)('32=+-+-=k k k k f ，∴33±=k ，∵0>∆得374374+<<-k ,∴33=k 时，)(k f 的最大值为233.………………………………………………………………１4分 20. （本题满分1４分） 解：（Ⅰ）515555)0()1(+++=+f f =1；)1()(x f x f -+=5555551+++-xx=xx x55555555⋅+⋅++=1；………………………………４分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 )11( 1)1()(-≤≤=-+m k m k f m k f ,即,1 1)()(=+∴=-+-k m k a a , mkm f m k f 由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- …………② 由①＋②, 得,21)1(2m m a m S +⨯-=∴45521)1()1(21)1(-+⨯-=+⨯-=m f m S m ，…10分 （Ⅲ） ∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+,∴对任意的0 *,>∈n b N n . ∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+. ∴111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T . ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当3≥n , 且+∈N n 时, 3T T n ≥. ∵256777)11621(1621,1621)143(43 ,43)121(21,214321=+==+==+==b b b b ∴.77725621243-=-=≥b T T n ∴,577743+<T S m ∴5.650<m .而m 为正整数， ∴m 的最大值为650. …………………………………………………………………………………1４分。

北京市宣武区高三第二学期第二次质量检测数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的。

1．已知αα2cos ,32sin 则=的值是 （ ）A ．1352- B ．91 C ．95 D ．351-2．直线013=+-y x 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．π65C ．π32 D ．3π 3．“y x lg lg >”是“y x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知两个正数a 、b 的等差中项是5，则2a 、2b 的等比中项的最大值为 （ ）A ．10B ．25C ．50D ．1005．已知γβα,,,,为直线b a 为平面， ①b a b a //,,则αα⊥⊥； ②βαβα//,//,,则b a b a ⊥⊥；③βαβγαγ//,,则⊥⊥；④ββαα//,,a a 则⊥⊥。

以上结论正确的是 （ ） A ．①② B ．①④ C ．③④ D ．②③6．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是 （ ）A ．25410C CB ．25310C CC ．25310A AD ．2536C C7．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AA 1=2，则A 、C 两点间的球面距离是（ ）A ．4πB ．2π C ．π42 D ．π228．设)(x f 是一个三次函数，)(x f '为其导函数，如图所示的是)(x f x y '⋅=的图象的一部分，则)(x f 的极大值与极 小值分别是 （ ） A ．)1()1(-f f 与 B ．)1()1(f f 与- C ．)2()2(f f 与-D ．)2()2(-f f 与第Ⅱ卷（选择题，共40分）二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上。

北京市宣武区2009—2010学年度第二学期第二次质量检测与!.木试卷共6页.共八迢大匕25个小魅.满分120分.号试时何120分神; 牛 7.任试卷和苔题纸的密封线内认直填写学皎名称.Qt名和那考还号；须；工试趣捽耒・•律书写仕答越纸上.住试卷上作答兀效：知 4.考试紀,4：.诫舟试卷和答起纸…并交冋.第I巻（选择题共32分）一■选择题（本題共荷8个小題•毎小题U分■共32分）在下列各題的四个备选答案中，只有一个是正确的.I. -7的倒数足九年级数学2010.6B.772近似数（）・0302的冇效数字个数为A.2个8 3个 C.4个3.卜列圏案中是轴对称图形但不足中心林称图形的足I). -7"•5个B.'的第集金数轴卜&示走谕的是B.5.如图」B ROO的肯能•弦CD L AR「•点 E. L CDB = 30\ 如JR0O 的半补为乐•那么號CD的长为A. 3cmC. 3j2cmB. 2v3nnI). 9mi九年级数学（共6 Al）第1虫（第5题;（第12題〉九年级故学（共6页）第2贞6•将F -2otzv :分解因式■结果的是 A. x(x + » )(.r - >) IL t( .r* -2xv + y 2) L- r(x +))"[). x( A - v)27•如图1足西边形纸片AM ：i ） •氏屮Lfi = I2O\ 乙〃二5（r.如果将范右F 角向内折岀如图2 所示.恰使CMAH.KC“g那么L<：的度数为A. 105°B. KM ）*1（第7嗨）H.金平面衣用蚩抓系中•设点P 到原点O 的趾离为。

M2 轴E 方向的夹角为«<0°<a<90°） •用;>•£丧示点尸的极燮杯• 9撚.点P 的极峑标,・j 它的口和坐标之间存在*种对应关系.例如？点P 的白倫坐标为（丨・门时.它的极坐标为［盪・45。

北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测数 学 试 题（理）2010．4本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．（宣武·理·题1）设集合20.3{|0},2P x x m =-=≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m P ⊂ B ．m P ∉C ．{}m P ∈D ．{}m P Þ【解析】 D ；{|0P x x =≤≤，0.3022m <=<<m P ∈，因此{}m P Þ2．（宣武·理·题2）设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于（ ）A B C D 【解析】 A ；a b ∥，则2(2)104y y ⨯--⋅=⇒=-，从而3(1,2)+=a b3．（宣武·理·题3）若复数z 满足2i 1iz=+，则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 B ；2i(1i)22i z =+=-+．4．（宣武·理·题4） 设函数231()2x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【解析】 B ；()f x 在R 上单调增，(1)10f =-<，(2)70f =>，故零点所在区间(1,2)．5．（宣武·理·题5）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π3S =，则6tan a 的值为（ ） AB．C．D． 【解析】 B ；由1112105762a a a a a a a +=+==+=，可得11611S a =，∴62π3a =． 6．（宣武·理·题6）若椭圆221x y m n+=与双曲线221(,,,x y m n p q p q -=均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于（ ） A ．22p m - B ．p m -C ．m p -D ．22m p -【解析】 C ；由题设可知m n >，再由椭圆和双曲线的定义有12||||PF PF +=及12||||PF PF -=±12||||PF PF m p =-．7．（宣武·理·题7）某单位员工按年龄分为,,A B C 三级，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为 （ ） A ．110 B ．100C ．90D ．80【解析】 B ；设员工总数为n ，则C 组人数为154110nn ⨯=++，由分层抽样知C 组中抽取的人数为120210⨯=，于是甲乙二人均被抽到的概率为2101C 45n =，解得100n =． 8．（宣武·理·题8）设函数()y f x =的定义域为+R ，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()K K f x Kf x f x f x K ⎧=⎨>⎩≤， 则当函数1(),1f x K x ==时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ）A ．2ln22+B ．2ln21-C ．2ln2D ．2ln21+【解析】 D ；由题设111,1()11,1xf x x x⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤，于是定积分212121*********()1ln 2ln 21f x dx dx dx x x x =+=+=+⎰⎰⎰．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．（宣武·理·题9）把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是．【解析】0.12；1517111310.320.12100100100100-----=．10．（宣武·理·题10）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm．10题图俯视图左视图正视图【解析】6；几何体如图所示，正面为22⨯的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为1和2，因此不难算出体积为3122262+⨯⨯=cm．11．（宣武·理·题11）若,,A B C是O⊙上三点，PC切O⊙于点C，110,40ABC BCP∠=︒∠=︒，则A O B∠的大小为．60︒解析：如图，弦切角40PCB CAB∠=∠=︒，于是18030ACB CAB ABC∠=︒-∠-∠=︒，从而260AOB ACB ∠=∠=︒．POCBA12．（宣武·理·题12）若直线:0l x =与曲线:x a C y φφ⎧=⎪⎨⎪⎩（φ为参数，0a >）有两个公共点,A B ，且||2AB =，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 【解析】 22,4cos 20ρρθ-+=；曲线C ：22()2x a y -+=，点C 到l 的距离为2a=，因此||22AB a ==⇒=；222(2cos )(2sin )ρθθ-+=，即24cos 20ρρθ-+=．13．（宣武·理·题13）若,,A B C 为ABC △的三个内角，则41A B C++的最小值为 ． 【解析】 9π；πA B C ++=，且41()5459B C A A B C A B C A B C +⎛⎫+++=+⋅++= ⎪++⎝⎭≥， 因此419πA B C ++≥，当且仅当4B C A A B C+⋅=+，即2()A B C =+时等号成立． 14．（宣武·理·题14） 有下列命题：①若()f x 存在导函数，则(2)[(2)]f x f x ''=； ②若函数44()cos sin h x x x =-，则π112h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭；③若函数()(1)(2)(2009)(2010)g x x x x x =----，则(2010)2009!g '=；④若三次函数32()f x ax bx cx d =+++，则“0a b c ++=”是“()f x 有极值点”的充要条件． 其中真命题的序号是 ．【解析】 ③；[](2)(2)(2)2(2)f x f x x f x ''''==，①错误；33()4cos (sin )4sin cos 4sin cos 2sin 2h x x x x x x x x '=--=-=-，则π112h ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，②错；[][]()(1)(2)(2009)(2010)(1)(2)(2009)g x x x x x x x x ''=----+---，③正确；2()32f x ax bx c '=++，224124(3)b ac b ac ∆=-=-，只需230b ac ->即可，0a b c ++=是230b ac ->的充分不必要条件．三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（宣武·理·题15） 已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑵设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．【解析】 ⑴221()cos 22sin cos 2f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴最小正周期2ππ2T ==．由ππ2π()62x k k -=+∈Z ，得ππ()23k x k =+∈Z函数图象的对称轴方程为ππ()23k x k =+∈Z⑵222πππ11()[()]()sin 2sin 2sin 266624g x f x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦当π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()g x 取得最小值14-；当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值2，所以()g x 的值域为,241⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．16．（宣武·理·题16）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，12PA AB BC AD ===．E 为AB 中点，F 为PC 中点．⑴求证：PE BC ⊥；⑵求二面角C PE A --的余弦值；⑶若四棱锥P ABCD -的体积为4，求AF 的长．FE DBA P【解析】 ⑴∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD∴PA BC ⊥ ∵90ABC ∠=︒ ∴BC AB ⊥ ∴BC ⊥平面PAB 又E 是AB 中点， ∴PE ⊂平面PAB ∴BC PE ⊥．⑵建立直角坐标系A xyz -，设1AB = 则1(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),,0,02B C P E ⎛⎫⎪⎝⎭∴11(0,1,0),,0,1,,1,022BC EP EC ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由⑴知，BC ⊥平面PAE ， ∴BC 是平面PAE 的法向量． 设平面PEC 的法向量为(,,)n x y z =， 则0n EC ⋅=且0n EP ⋅=，∴11,,(2,1,1)22y x z x n =-==-．∴6cos ||||n BC n BC θ⋅==⋅， 二面角C PE A --的余弦值为．⑶连结AC ，设AB a =，3124322P ABCD a a a V a a -+=⨯⨯⨯==，∴2a =．∵PAC △是直角三角形，∴12AF PC =17．（宣武·理·题17）某公司要将一批海鲜用汽车运往A 城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ（万元），求ξ的分布列和数学期望E ξ； ⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ （注：毛利润=销售收入-运费）【解析】 ⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润30 1.628.4ξ=-=万元堵车时公司获得的毛利润30 1.6127.4ξ=--=万元 ∴汽车走公路1时获得的毛利润ξ的分布列为∴9128.427.428.31010E ξ=⨯+⨯=万元⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为η万元 不堵车时获得的毛利润300.8130.2η=-+=万元 堵车时的毛利润300.8227.2η=--=万元 ∴汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为∴1130.227.228.722E η=⨯+⨯=万元∴E E ξη<∴选择公路2可能获利更多．18．（宣武·理·题18）已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间． 【解析】 ⑴22()21f x x ax a '=-+-．∵1x =是极值点，∴(1)0f '=，即220a a -=． ∴0a =或2．⑵∵(1,(1))f 在30x y +-=上．∴(1)2f =∵(1,2)在()y f x =上，∴21213a ab =-+-+又(1)1f '=-，∴21211a a -+-=-∴2210a a -+=，解得81,3a b ==∴22218(),()233f x x x f x x x '=-+=-①由()0f x '=可知0x =和2x =是()f x 的极值点．∵84(0),(2),(2)4,(4)833f f f f ==-=-=∴()f x 在区间[2,4]-上的最大值为8． ②2()()x G x x mx m e -=++22()(2)()[(2)]x x x G x x m e e x mx m e x m x ---'=+-++=-+-令()0G x '=，得0,2x x m ==-当2m =时，()0G x '≤，此时()G x 在(,)-∞+∞单调递减 当2m >时：此时()G x 在(,2)(0,)m -∞-+∞上单调递减，在(2,0)m -上单调递增．当2m <时：此时()G x 在(,0)(2,)m -∞-+∞上单调递减，在(0,2)m -上单调递增，综上所述：当2m =时，()G x 在(,)-∞+∞单调递减； 2m >时，()G x 在(,2)(0,)m -∞-+∞单调递减，在(2,0)m -单调递增；2m <时，()G x 在(,0)(2,)m -∞-+∞单调递减，在(0,2)m -单调递增．19．（宣武·理·题19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>⑴若原点到直线0x y b +-= ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点．i)当||AB =b 的值；ii)对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+，求实数,λμ满足的关系式．【解析】 ⑴∵d 2b =．∵c e a ==2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y+=．⑵i)∵c a =2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为 22233x y b += …………①易知右焦点,0)F ，据题意有AB ：y x = ………②由①，②有：22430x b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，||AB ===∴1b =ii)显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+成立． 设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：2121234b x x x x +==则222212121212121233()()4()63960x x y y x x x x x x x x b b b b +=+=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥ 将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．20．（宣武·理·题20）已知数列{}n a 满足11a =，点1(,)n n a a +在直线21y x =+上． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若数列{}n b 满足*11121111,(2,)n n n b b a n n a a a a -==+++∈N ≥，求11(1)n n n n b a b a ++-+的值； ⑶对于⑵中的数列{}n b ，求证：121210(1)(1)(1)3n n b b b b b b +++<*()n ∈N ．【解析】 ⑴∵点1(,)n n a a +在直线21y x =+上，∴121n n a a +=+∴112(1)n n a a ++=+，{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴21()n n a n *=-∈N⑵∵121111(2n n n b n a a a a -=+++≥且)n *∈N ， ∴111211111n n n n b a a a a a ++-=++++，111n n n n nb b a a a ++=+ ∴11(1)0(2n n n n b a b a n ++-+=≥且)n *∈N ； 当1n =时，2112(1)3b a b a -+=-．⑶由⑵知22111(2),nnn n b a n b a b a +++==≥ ∴12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11212112123111111111n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b -+++++++++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 311121123411121111122()n n n n n n n na a ab b a b b b a a a a a a a a -+++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=+++ ∵2k ≥时，111111212112()21(21)(21)(21)(21)2121k k kk k k k k k +++++-=<=-------- ∴12111111321n n a a a +++=+++- 231111111151212212121213213n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴12111101113nb b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即121210(1)(1)(1)3n n b b b b b b +++<．。

北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高 三 数 学（文科） 2010.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂中的元素个数为（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个2. “2=a ”是“直线03:21=+-y x a l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的 （ ）3. 在区间[1,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为（ ）A ．94B ．31 C ．21 D ．83 4. 若函数()y f x =是函数xy 2=的反函数，则)]2([f f 的值为 （ ）A ． 16B ． 0C ． 1D ．25. 下列结论正确的是( )6. 设m 为直线，γβα,,为三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） ① 若,,//β⊥ααm 则β⊥m ②若,,β⊥αα⊥m 则β//m ③若,//,βαα⊂m 则β//m ④若,,γ⊥αβ⊥α则γβ//7. 设斜率为k 的直线l 过抛物线x y 82=的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则实数k 的值为 ( ).A ． 2±B ．4±C ．2D ． 4A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．,R x ∈∃ 使0122<+-x x 成立B ．0>∀x ，都有2lg 1lg ≥+xx 成立 C ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=2sin x y 是偶函数D ． 02x <≤时，函数xy 1-=无最大值8. 设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值 范围是 （ ）A ． []63，B ．[]343+，C ．[]634，-D ． []3434+-，第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。

北京市宣武区2009-2010学年度第二学期第二次质量检测理工类C一、选择题（共7小题；共35分）1. 若3x+15=a5x5+a4x4+⋅⋅⋅+a1x+a0，则a2的值为______A. 270B. 270x2C. 90D. 90x22. 若a,4,3a为等差数列的连续三项，则a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9的值为______A. 1023B. 1025C. 1062D. 20473. 已知直线m，n与平面α，β，下列命题正确的是______A. m∥α,n∥β且α∥β，则m∥nB. m⊥α,n∥β且α⊥β，则m⊥nC. α∩β=m,n⊥m且α⊥β，则n⊥αD. m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥n4. 已知命题：①∃α∈R，使sinαcosα=1成立；②∃α∈R，使tanα+β=tanα+tanβ成立；③∀α,β∈R，有tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ成立；④若A，B是△ABC的内角，则" A>B " 的充要条件是" sin A>sin B "．其中正确命题的个数是______A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数的图象如下图所示，则其函数解析式可能是______A. f x=x2+ln xB. f x=x2−ln xC. f x=x+ln xD. f x=x−ln x6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S=1,2,3,4,5,6．令事件A=2,3,5，事件B=1,2,4,5,6，则P A B的值为______A. 35B. 12C. 25D. 157. 如图抛物线C1:y2=2px和圆C2: x−p22+y2=p24，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则AB⋅CD的值为______A. p24B. p23C. p22D. p2二、填空题（共3小题；共15分）8. 函数y=sin x cos x+π4+cos x sin x+π4的值域是______．9. 若i是虚数单位，则i+2i2+3i3+⋯+8i8= ______．10. 在数列a1，a2，⋯，a7中，恰好有5个a，2个b a≠b，则不相同的数列共有______ 个．三、解答题（共3小题；共39分）11. 在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．（1）求该考生8道题全答对的概率；（2）若评分标准规定："每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分"，求该考生所得分数的分布列．12. 设a n是正数组成的数列，其前n项和为S n，且对于所有的正整数n，有2S n=a n+1．（1）求a1,a2的值；（2）求数列a n的通项公式；（3）令b1=1,b2k=a2k−1+−1k,b2k+1=a2k+3k k=1,2,3,⋅⋅⋅，求数列b n的前2n+1项和T2n+1．13. 已知p>0，动点M到定点F p2,0的距离比M到定直线l:x=−p的距离小p2．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，OA⋅OB=0，求△AOB面积的最小值；（3）在轨迹C上是否存在两点P，Q关于直线m:y=k x−p2k≠0对称?若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．四、选择题（共1小题；共5分）14. 集合A= x12<2x+1<4,x∈Z的元素个数有______A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个答案第一部分1. C2. A3. D4. B5. B6. C7. A第二部分8. −1,19. 4−4i10. 21第三部分11. （1）根据题意，该考生另四道题也全答对，即相互独立事件同时发生，故其概率为12×12×14×14=164．（2）答对题的个数ξ的取值为4，5，6，7，8，其概率分别为：Pξ=4=12×12×34×34=964，Pξ=5=12×12×34×34×2+12×12×14×34×2=2464，Pξ=6=2264，Pξ=7=864，Pξ=8=12×12×14×14=164．设该考生的得分为随机变量η，则η=5ξ，故所得分数的分布列为：η2025303540P9642464226486416412. （1）当n=1时，2a1=a1+1，所以a1−12=0,a1=1．当n=2时，21+a2=a2+1，所以a2+1=2,a2=3．（2）因为2S n=a n+1，所以4S n=a n+12,4S n−1=a n−1+12,相减得：a n+a n−1a n−a n−1−2=0．因为a n是正数组成的数列，所以a n−a n−1=2，所以a n是以2为公差的等差数列，所以a n=2n−1．（3）T2n+1=b1+a1+−11+a2+31+a3+−12+a4+32+⋅⋅⋅+a2n+3n =1+S2n+3+32+⋅⋅⋅+3n+−11+−12+⋅⋅⋅+−1n=1+2n2+31−3n1−3+−1⋅1−−1n1−−1=3n+1−2+8n2+−1n2.13. （1）由题意知，动点M到定点F与到定直线x=−p2的距离相等，故点M的轨迹为抛物线，轨迹C的方程为y2=2px．（2）设A x1, y1，B x2,y2．∵OA⋅OB=0，∴x1x2+y1y2=0．∵y12=2px1，y22=2px2，∴x1x2=4p2．所以S △AOB2=14 OA 2 OB 2=14 x 12+y 12 x 22+y 22 =14 x 12+2px 1 x 22+2px 2 =14 x 1x 2 2+2px 1x 2 x 1+x 2 +4p 2x 1x 2 ≥14x 1x 2 2+2px 1x 2⋅2 x 1x 2+4p 2x 1x 2 =16p 4.当且仅当 x 1=x 2=2p 时取等号，所以 △AOB 面积最小值为 4p 2．（3） 设 P x 3,y 3 ，Q x 4,y 4 关于直线 m 对称，且 PQ 中点为 D x 0,y 0 ．∵ P x 3,y 3 ，Q x 4,y 4 在轨迹 C 上，∴ y 32=2px 3，y 42=2px 4．两式相减得： y 3−y 4 y 3+y 4 =2p x 3−x 4 .∴ y 3+y 4=2p ⋅x 3−x 4y 3−y 4=−2pk ．∴ y 0=−pk ．∵ D x 0,y 0 在 m :y =k x −p2 k ≠0 上，∴ x 0=−p2<0，点 D x 0,y 0 在抛物线外． ∴在轨迹 C 上不存在两点 P ，Q 关于直线 m 对称． 第四部分 14. B。