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《双曲线的几何性质》学案共三课时

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§2.2.2双曲线的简单几何性质 鹤壁高中 蔡凤敏 2011.10.20一、复习回顾----椭圆的几何性质二、探究互动-------双曲线的简单几何性质 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得： ．这说明双曲线在不等式 所表示的区域； ②对称性：双曲线是以 轴和 轴为对称轴， 为称中心；2．顶点：双曲线有 个顶点,是特殊点：实轴：21A A 长为 , a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为 ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有 个顶点，这是两者的又一差异3.渐近线：直线 叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）． 4.等轴双曲线：1）定义： 。

定义式：a b =2）等轴双曲线的性质：①渐近线方程为： ；②渐近线互相 ；两条渐近线的夹角是 ③e=3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。

5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是： 或写成6．双曲线的草图具体做法是：7．离心率双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率范围：双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越 ，即渐近线的斜率的绝对值就 ，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；8．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1※ 典型例题题型一 由方程研究双曲线的几何性质例1．求双曲线191622=-y x 与221916y x -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.求已知双曲线的渐近线方程的方法小结：题型二 用双曲线的性质求双曲线方程：例2．求与双曲线2244x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程.说明：（1）与双曲线221x y m n-=（0mn >）有共同渐近线的所有双曲线方程为22x y m nλ-=（0λ≠） （2）0-0x y x ym n m n+==以直线或为渐近线的双曲线标准方程【练习】与双曲线22143y x -=有共同的渐近线且经过点(3,2)M -的双曲线方程是例3．求中心在原点，一条渐近线方程为230x y -=，且一焦点为(4,0)-的双曲线标准方程。

例4．已知双曲线的渐近线方程为23y x =±，实轴长为12，求它的标准方程。

例5选择题1.双曲线与椭圆164y 16x 22=+有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x ，则双曲线方程为（ ）（A ）96y x 22=- （B ）160x y 22=-（C ）80y x 22=- （D ）24x y 22=-2.双曲线的渐近线为x 43y ±=，则双曲线的离心率是（ ）（A ）54 （B ）2 （C ）54或35 （D ）25或3153.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线的方程为（ ）（A ）112y -4x 22=（B ）14y -12x 22=（C ）16y -10x 22=（D ）110y -6x 22= 4.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（ ）（A ）14y -4x 22=（B ）14x -4y 22=（C ）18x -4y 22=（D ）14y -8x 22=5.焦点为（0，6）且与双曲线1y -2x 22=有相同的渐近线的双曲线方程为（ ）（A ）124y -12x 22=（B ）124x -12y 22=（C ）112x -24y 22=（D ）112y -24x 22= 6.若双曲线1m y -4x 22=的渐近线方程为x 23y ±=，则双曲线的焦点是 7.已知双曲线13x -ay 222=的离心率为2，求双曲线的渐近线方程。

8.已知双曲线1by -a x 2222=（a>0,b>0）的离心率e=332，过A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23，求此曲线的方程。

9. 已知双曲线1by -a x 2222=（b>a>0）的半焦距为c ，直线L 过点（0，b ）和（a ，0）已知原点到直线L 的距离为3c ，求此曲线的离心率。

第2课题：双曲线的几何性质（2）1.．双曲线的第二定义：平面上到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．例1．点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离与到c a x l 2:=的距离之比为常数)0(>>a c ac ，求M 的轨迹方程。

2.．准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c a y l 22:=位置关系：2>>≥ca a x 焦点到准线的距离p= （也叫焦参数）3.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1MF = ;2MF = 焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1MF = ;2MF = 焦半径公式的推导：4．焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点),(),(2211y x B y x A当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： AB过右焦点与右支交于两点时：AB当双曲线焦点在y 轴上时，过上焦点与上支交于两点时： AB过下焦点与下支交于两点时：AB5．通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到 d=练习：1．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于( ) （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1652．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（ ）（A ）10 （B （C ）27 （D ）3253．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（ ） （A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=84．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 .⊗【例1】1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是( )（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y =1 （D ）23x ―y 2=1与22139y x -=2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有( )（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为( ) （A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 4．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（ ）（A ）32 （B ）―32（C ）1 （D ）―15．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 . 6．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .7．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3,y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .【例2】 根据下列条件求双曲线的标准方程. (1)两准线间的距离是2，焦距为6；(2)与椭圆x 2+2y 2=2共准线，且离心率为2；(3)已知P 点在以坐标轴为对称轴的双曲线上，点P 到两焦点的距离分别为4和2，过P 作实轴的垂线恰好过双曲线的一个焦点.(4)双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过A ；(5)双曲线的一条渐近线经过点(1,2)P【例3】．已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线左支上有一点P ，设P 到左准线的距离为d ，且12,||,||d PF PF 恰成等比数列，试求P 点的坐标。

第3课题：双曲线的几何性质（3）1. 直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l ：y =kx +m (m ≠0), 双曲线12222=-by a x ,联立、化简得：222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=（1）当2220b a k -=即k= 时，直线l 与双曲线的渐近线 ，直线l 与双曲线 （2）当2220b a k -≠即k ≠ 时，∆=若∆>0⇒l 与c 若∆=0⇒l 与c 若∆<0⇒l 与c2. 弦长计算计算双曲线被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，从而|P 1P 2|= = 题型一 由位置关系求参数的值例1. 已知直线y =k （x ―1），双曲线x 2―y 2=4，试讨论实数k 的取值范围. （1）直线与双曲线有两个公共点； （2）直线与双曲线有且只有一个公共点； （3）直线与双曲线没有公共点；练习：1．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）不充分不必要条件2.直线y =kx +2与双曲线x 2―y 2=6的右支交于两个不同的点，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）(―3, 3) （B ）(0, 3) （C ）(―3, 0) （D ）(―, ―1) 题型二 确定直线条数例2．直线l 过点(1, 1)，与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则满足条件的l 有（ ）（A ）1条（B ）2条 （C ）4条（D ）无数条 题型三 点差法求直线方程例3．过点A (8, 1)且被A 点平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是例4．已知双曲线的方程2212y x -=，试问是否存在被点(1, 1)所平分的弦？如果存在，求出所在直线；如果不存在，说明理由。

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双曲线的几何性质导学案

双曲线的几何性质导学案

双曲线的几何性质（一）导学案学习目标：1、用类比的方法分析双曲线的范围，对称性，顶点等几何性质。

2、明确标准方程中a,b,c 的几何意义。

学习过程：复习巩固：1、已知a=3,b=4焦点在x 轴上，双曲线的标准方程为2、已知a=3,b=4焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为3、a=25，经过点A （2,5），焦点在Y 轴上，双曲线的标准方程为一、定向自学： 阅读教材P 49---P 51页内容（独学） 1 、双曲线 的几何性质（1）、范围 方程中的x 的范围是 y 的范围是 （2）、对称性 双曲线的图象关于 成轴对称图形，关于 成中心对称图形。

（3）、顶点：作出图形，然后指出顶点坐标，实轴是 长度是 实半轴长是虚轴 长度是 虚半轴长是（4）、渐近线：（作图指出渐近线） 双曲线 的渐近线方程是 双曲线 的渐近线方程是问题：什么是等轴双曲线？它的方程是什么？（5）、离心率e= 其范围是例1、（1）求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）求双曲线9y2－16x2=－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；)0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b y a x ),b (a b x a y 00 1 >>=-2222二、 小组讨论（对学、群学）对独学的中存在的问题进行讨论三、 全班交流（展示，提出疑问或质疑）展示组在黑板上展示内容，其他组认真倾听并提出疑问或质疑四、 归纳小结这节课我们学到了什么知识?五、 巩固提升1、 求下列双曲线的实轴，虚轴的长顶点的、焦点的坐标和离心率：（1）X 2-8y 2=32 (2)9 X 2- y 2=81(3) X 2- y 2=-4 (4) 492x -252y =-12.方程 表示双曲线时，则m 的取值范围是_________________.3求以椭圆492x +252y =1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。

双曲线的几何性质教案

双曲线的几何性质教案

双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。

二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。

三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。

双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。

双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。

两条分支无限延伸，且永不相交。

2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。

其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。

3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。

四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。

2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。

3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。

4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。

双曲线的几何性质学案

双曲线的几何性质学案

双曲线的几何性质学案
知识目标：
一、双曲线性质的理解：
1、 填写下表：
3、由性质总结出由曲线的方程判断曲线是否关于x,y 轴及原点对称的方法：
4. 如何由离心率刻画双曲线的开口程度：
5、你是如何理解渐近线概念的，能否用一句话概括：
为什么在学椭圆时没提及渐近线，通过对比椭圆与双曲线，你认为什么样的曲线才有可能存在渐近线：
6、把双曲线的渐近线方程化为一般式，再与双曲线的标准方程对比，你能否得出一种由双曲线标准方程直接得到渐近线方程的方法：
根据上面的方法，逆向思考，可否得出一种已知渐近线方程设双曲线标准方程的方法： 7、等轴双曲线定义：
注意等轴双曲线标准方程 与圆心在原点的圆方程 的联系与区别：
二、例题的理解：
8、（1）求曲线方程有直接法，待定系数法，相关点法，参数法，例5使用了什么方法？
（2）例5与P47例6相比较可以得到结论：
9、例6解答中应用到了两点间距离公式（A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)）AB= 用两点间距离公式可以求出P60例6思考中的三角形周长为 ， 联系椭圆性质学案“练习与巩固”4，如何用弦长公式求出弦长AB ：
练习与巩固：
1、 求下列曲线坐标中x,y 的范围：
2、已知双曲线渐近线为
y =±23x ，且经过点A （4，3），求双曲线的标准方程。

3、（2）x 2-2x -3y 2
=0(1)(x -1)225-(y +2)29=1。

高中数学 第八章 双曲线的几何性质教学案 苏教版 学案

高中数学 第八章 双曲线的几何性质教学案 苏教版 学案

双曲线的几何性质一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．)2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．)3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解．)三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：X围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质4)在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．作业答案：距离为7 六、板书设计。