高考福建理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工农医类(福建卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足zi＝1－i，则z等于()

A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i

A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i

2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()

A．1 B．2 C．3 D．4

3．下列命题中，真命题是()

A．x0∈R，0e0x

B．x∈R，2x＞x2

C．a＋b＝0的充要条件是1ab

D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

5．下列不等式一定成立的是()

A．lg(x2＋14)＞lgx(x＞0)

B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D．2111x(x∈R)

6．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()

A．14 B．15C．16 D．17

7．设函数1,()0,xDxx为有理数，为无理数，则下列结论错误的是()

A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数

C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数 8．已知双曲线22214xyb的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()

A．5 B．42C．3 D．5

9．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件30,230,,xyxyxm则实数m的最大值为()

A．12 B．1 C．32 D．2

10．函数f(x)在［a，b］上有定义，若对任意x1，x2∈［a，b］，有12121()22xxffxfx［＋］，则称f(x)在［a，b］上具有性质P．设f(x)在［1,3］上具有性质P，现给出如下命题：

①f(x)在［1,3］上的图象是连续不断的；

②f(x2)在［1，3］上具有性质P；

③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈［1,3］；

④对任意x1，x2，x3，x4∈［1,3］，有12341()44xxxxf［f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)］．

其中真命题的序号是()

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

第Ⅱ卷

二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．

12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．

13．已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

14．数列{an}的通项公式πcos12nnan，前n项和为Sn，则S2012＝________．

15．对于实数a和b，定义运算“*”：22*.aabababbabab，，，

设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是__________． 三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：

品牌 甲 乙

首次出现故障

时间x(年) 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2

轿车数量(辆) 2 3 45 5 45

每辆利润

(万元) 1 2 3 1.8

2.9

将频率视为概率，解答下列问题：

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；

(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；

(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．

17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

18．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．

(1)求证：B1E⊥AD1．

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．

19．如图，椭圆E：22221xyab(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率12e．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

20．已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；

(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

21．(1)选修4－2：矩阵与变换

设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵 0 1abA(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．

①求实数a，b的值；

②求A2的逆矩阵．

(2)选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，23π,32，圆C的参数方程为22cos,32sinxy(θ为参数)．

①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

②判断直线l与圆C的位置关系．

(3)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．

①求m的值；

②若a，b，c∈R＋，且11123mabc，求证：a＋2b＋3c≥9．

22．(文)已知函数f(x)＝axsinx－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32．

(1)求函数f(x)的解读式；

(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．

1．A由zi＝1－i，得221i(1i)iiii+11iii11z．

2．B∵a1＋a5＝10＝2a3，

∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．

3．D∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，

即a＞1，b＞1⇒ab＞1．

4．D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，

∴这个几何体不可以是圆柱．

5．C∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，

∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；

当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．

故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立． 6．C∵由图象知阴影部分的面积是31220121211()d()032326xxxxx，∴所求概率为11616．

7．C∵D(x)是最小正周期不确定的周期函数，

∴D(x)不是周期函数是错误的．

8．A由双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，知32pc，c2＝9＝4＋b2，于是b2＝5，5b．因此该双曲线的渐近线的方程为52yx，即520xy．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为|35|554d．

9．B由约束条件作出其可行域如图所示：

由图可知当直线x＝m经过函数y＝2x的图象与直线x＋y－3＝0的交点P时取得最大值，即得2x＝3－x，即x＝1＝m．

10．D①如图1，

图1

在区间［1,3］上f(x)具有性质P，但是是间断的，故①错．

②可设f(x)＝|x－2|(如图2)，当x∈［1,3］时易知其具有性质P，但是f(x2)＝|x2－2|＝222,12,2,23xxxx不具有性质P(如图3)．

故②错．

图2 6 / 13

图3

③任取x0∈［1,3］，则4－x0∈［1,3］，

1＝f(2)＝004()2xxf≤12［f(x0)＋f(4－x0)］．

又∵f(x0)＝1，f(4－x0)≤1，

∴12［f(x0)＋f(4－x0)］≤1．

∴f(x0)＝f(4－x0)＝1．故③正确．

④3412123422()()42xxxxxxxxff

≤34121()+()222xxxxff≤14［f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)］，故④正确．

11．答案：2

解读：∵Tr＋1＝4Crarx4－r，∴当4－r＝3，即r＝1时，T2＝14C·a·x3＝4ax3＝8x3．故a＝2．

12．答案：－3

解读：(1)k＝1,1＜4，s＝2×1－1＝1；

(2)k＝2,2＜4，s＝2×1－2＝0；

(3)k＝3,3＜4，s＝2×0－3＝－3；

(4)k＝4，直接输出s＝－3．

13．答案：24

解读：设△ABC的最小边长为a(m＞0)，则其余两边长为2a，2a，故最大角的余弦值是22222(2)(2)2cos42222aaaaaaa．

14．答案：3018

解读：∵函数πcos2ny的周期2π4π2T，