三角函数的恒等变换与化简

三角函数的恒等变换与化简

三角函数在数学中扮演着重要的角色，其中包括一系列的恒等变换和化简公式。这些变换与化简公式不仅在解决三角函数问题时起着重要的作用，而且在数学推导和证明中也发挥着重要的作用。本文将介绍一些常见的三角函数恒等变换和化简公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1. 三角恒等变换

（1）余弦定理

在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC。这个定理在解决三角形问题中经常使用。

（2）正弦定理

在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C为所对应的角。

（3）倍角公式

正弦函数的倍角公式可以表示为：sin2θ = 2sinθcosθ，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos2θ = cos²θ - sin²θ。这些公式在求解具有倍角的三角函数问题时非常有用。

2. 三角函数化简公式 （1）和差化积

两角和公式可以表示为：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ，cos(α + β)

= cosαcosβ - sinαsinβ。这个公式可以将两个角的三角函数和转化为单个角的三角函数和。类似地，两角差公式可以表示为：sin(α - β) =

sinαcosβ - cosαsinβ，cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。

（2）平方公式

正弦函数的平方公式可以表示为：sin²θ = (1 - cos2θ)/2，余弦函数的平方公式可以表示为：cos²θ = (1 + cos2θ)/2。这些公式在化简复杂的三角函数表达式时非常有用。

（3）倒数公式

正切函数的倒数公式可以表示为：cotθ = 1/tanθ，割函数的倒数公式可以表示为：secθ = 1/cosθ，余割函数的倒数公式可以表示为：cscθ =

1

简单的三角恒等变换专题

一、选择题

1．已知sinα＝23，则cos(π－2α)＝( )

A．－53 B．－19 C.19 D.53

2．2cos10°－sin20°sin70°的值是( )

A.12 B.32 C.3 D.2

3．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为( )

A.1＋m2 B.1－m2 C．±1＋m2 D.1＋m2

4．若cos2αsinα＋7π4＝－22，则sinα＋cosα的值为( )

A．－22 B．－12 C.12 D.72

5．已知f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为(

)

A．43 B.833 C．4 D．8

6．已知cosπ6－α＋sinα＝45，则cosα＋2π3的值是(

)

A．－25 B.25 C.4315 D．－4315

2

7．已知α，β∈0，π2，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是( )

A.14 B.34 C.342 D.32

8．已知tanα＝4，则1＋cos2α＋8sin2αsin2α的值为(

)

A．43 B.654 C．4 D.233

一、三角函数式化简原则

(1)一看"角".这是最重要的一点,通过角之间的关系,把角进行合理拆分与拼凑,从而正确使用公式.

(2)二看"函数名称".看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.

(3)三看"结构特征".分析结构特征,可以帮助我们找到变形得方向,常见的有"遇到分式要通分"等.

二、三角函数化简方法提炼:

(1)解决给值求值问题的一般思路:

①先化简需求值得式子;②观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③将已知条件代入所求式子,化简求值.

(2)解决给值求角问题的一般步骤:

①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定所求的角.

三、三角函数化简常用公式

半角公式

sin(A/2)=±√((1cosA)/2)

cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=±√((1cosA)/((1+cosA))

三角函数和差化积公式

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(AB)/2]

sinAsinB=2cos[(A+B)/2]sin[(AB)/2]

cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(AB)/2] cosAcosB=2sin[(A+B)/2]sin[(AB)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1tanAtanB)

tanAtanB=sin(AB)/cosAcosB=tan(AB)(1+tanAtanB)

三角函数积化和差公式

sinAsinB=[cos(A+B)cos(AB)]/2

cosAcosB=[cos(A+B)+cos(AB)]/2

sinAcosB=[sin(A+B)+sin(AB)]/2

cosAsinB=[sin(A+B)sin(AB)]/2

三角函数降幂公式

sin^2(α)=(1cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

1 三角恒等变换专题复习（一）

2012-8-7

一、基本内容串讲

1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：

sin()sincoscossin; cos()coscossinsin;

tantantan()1tantan

对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：

sin2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin.

22tantan21tan.

要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos1sin,22cos1cos22 这两个形式常用。

3.辅助角公式：

4.简单的三角恒等变换

（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。

5.常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结）

二、考点阐述

考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

1、sin20cos40cos20sin40的值等于（ ）

2、若tan3，4tan3，则tan()等于（ ）

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

3、cos5cos52的值等于（ ）

4、 已知02A，且3cos5A，那么sin2A等于（ ）

2

考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换

5、已知,41)4tan(,52)tan(则)4tan(的值等于（ 223 ）