2019-2020年高三第四次模拟考试数学含答案
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0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5
视力 0.25 0.50 0.75 1.00 1.75
（第4题）
S←9
i←1
While S≥0
S←Si
i←i1 End While
Print i
（第6题） 2019-2020年高三第四次模拟考试数学含答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但
与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．
【答案】
2． 设全集，集合．若，则集合 ▲ ．
【答案】
3． 已知复数（为虚数单位，），若是纯虚数，则的值为 ▲ ．
【答案】3
4． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为
▲ ．
【答案】18
5． 将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数
的图象，则的值为 ▲ ．
【答案】4
6． 右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为 ▲ ．
【答案】5
7． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量(1，0)，(2，1)．若向量与
共线，则实数的值为 ▲ ．
【答案】
8． 有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9．现从中任取3条，恰能构成三角形的概率
为 ▲ ． A P
D
B C
O M（第15题） 【答案】
9． 设数列{lnan}是公差为1的等差数列，其前n项和为Sn，且S1155，则a2的值为 ▲ ．
【答案】e
10．在△ABC中，已知，，，则边的长为 ▲ ．
【答案】
11．设一次函数为函数的导数．若存在实数(1，2)，使得，
则不等式F(2x1)< F(x)的解集为 ▲ ．
【答案】
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆：上存在一点到直
线：的距离等于，则实数的值为 ▲ ．
【答案】1
13．设正实数，满足，则实数的最小值为 ▲ ．
【答案】
14．在等腰三角形ABC中，已知ACBC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，
且ADDBEF1．若，则的取值范围是 ▲ ．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答. 解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
如图，四棱锥PABCD中，为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MAMC．
（1）求证：PB平面AMC；
（2）求证：平面PBD平面AMC．
证明：（1）连结，
因为为菱形ABCD对角线的交点，
所以为BD的中点，
又M为棱PD的中点，
所以， …… 2分
又平面AMC，平面AMC，
所以PB平面AMC； …… 6分 （2）在菱形ABCD中，ACBD，且为AC的中点，
又MAMC，故A， …… 8分
而OMBD，OM，BD平面PBD，
所以AC平面PBD， …… 11分
又AC平面AMC，
所以平面PBD平面AMC． …… 14分
16．(本小题满分14分)
已知函数ππ()2sinsin63fxxx，．
（1）求函数的值域；
（2）若，求的值．
解：（1）依题意，33112sincossincos2222xxxx
223sincoscossin2xxxx …… 3分
， …… 5分
因为，所以，从而，
所以函数的值域为； …… 7分
（2）依题意，，，
令，则，
从而，且， …… 9分
所以，
又22cos12sin2cos122，，
故，， …… 11分
从而3πππ1sinsinsincos246232222xfx．
…… 14分
17．(本小题满分14分)
某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务 部门交税a元(常数a，且2≤a≤5)．设每升产品的售价为x元 (35≤x≤41)，根
据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例．已知当每升产品的售价为
40元时，日销售量为10升．
（1）求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式；
（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y最大？并求出最大值(参考数
据：取55，148)．
解：（1）设日销售量(k为比例系数)，
因为当x40时，p10，所以k， …… 2分
从而，x； …… 6分
（2）设，，
则401010e(30)10e()=eextxatay，
由，得ta1， …… 9分
因为5≤t≤11，2≤a≤5，，所以a+13，4，5，6，
若a+13，4，5，则，函数在[5，11]上单调递减，
所以当t5即x35时，5max10(5)e1480(5)yaa； …… 11分
若a+16，列表：
所以当t6即x36时，，
答：若a2，3，4，则当每升售价为35元时，日利润最大为元；
若a5，则当每升售价为36元时，日利润最大为550元．
…… 14分
18．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，设A(-1，0)，B(1，0), C(m，n)，且△ABC的周长为．
（1）求证：点C在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；
（2）设直线l：．
①判断直线l与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由； (5，6) 6 ( 6，11)
0
↗ 极大值 ↘ ②过点A作直线l的垂线，垂足为H．证明：点H在定圆上，并求出定圆的方程．
（1）证明：依题意，CACBAB，
根据椭圆的定义知，点C的轨迹是以A(-1，0)，B(1，0)为焦点，为
长轴的椭圆(不含长轴的两个端点)，即证， …… 2分
不妨设该椭圆的方程为，
依题意知，，，从而，
故该椭圆的标准方程为； …… 4分
（2）① 解：直线l与（1）中的椭圆相切，下证之：
因为C(m，n)在椭圆上，所以，
由得，222224410mnxmxn， …… 6分
判别式2222161621mmnn
2222161622mmmm
，
所以直线l与（1）中的椭圆相切； …… 8分
② 猜想：若点H在定圆P上，
故圆心P必在x轴上；
当点C时，H(0，)；当点C时，H(0，)；
故圆心P必在y轴上，
综上，圆心P必为坐标原点O，且半径为，
从而定圆P的方程为：， …… 10分
证明：过A(-1，0) 与直线l：的垂直的直线方程为：
，
联立直线l与直线的方程解得，222222(2)42(2) 4HHmnxmnmnymn，， …… 12分
从而OH22222222222(2)44mnmnmnmn+，其中，
222222242424mnmnmn 22222224222(2)42mmmmmm
2222224(1)(2)22(2)22mmmmmm
，
所以点H在定圆上． …… 16分
