当前位置：文档之家 › 动态规划例子

动态规划例子

  • 格式：doc
  • 大小：110.00 KB
  • 文档页数：8

1 [例2] 生产计划问题

工厂生产某种产品，每单位(千件)的成本为1(千元)，每次开工的固定成本为3(千元)，工厂每季度的最大生产能力为6(千件)。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为 2，3，2，4(千件)。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本(少付固定成本费)，但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5(千元)。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制订一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用(生产成本和存储费)最少。

[例9] 街道问题

在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。

这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。通常，书上的解答是这样的：

按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量xk表示当前处于这一阶段上的哪一点。这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：

(这里的row是地图竖直方向的行数）

我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法： 2

（这里Distance表示相邻两点间的边长）

这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的"状态转移"就不全是在两个阶段之间进行的了。

也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。但是，如果我们把题目扩展一下：在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。这时，再用这种"简单"的方法就不太好办了。

如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径"不能重叠"的问题。

而我们回到原先"标准"的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。即用xk=(ak,bk)分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=(xk,yk)分别表示两条路径的行走方向。状态转移时将两条路径分别考虑

在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：

从这个例子可以看出，合理地划分阶段和选择状态可以给解题带来方便。

[例10] LITTLE SHOP OF FLOWERS （IOI’99）

PROBLEM 3 You want to arrange the window of your flower shop in a most pleasant way. You have

F bunches of flowers, each being of a different kind, and at least as many vases

ordered in a row. The vases are glued onto the shelf and are numbered consecutively

1 through V, where V is the number of vases, from left to right so that the vase

1 is the leftmost, and the vase V is the rightmost vase. The bunches are moveable

and are uniquely identified by integers between 1 and F. These id-numbers have a

significance: They determine the required order of appearance of the flower bunches

in the row of vases so that the bunch i must be in a vase to the left of the vase

containing bunch j whenever i < j. Suppose, for example, you have a bunch of azaleas

(id-number=1), a bunch of begonias (id-number=2) and a bunch of carnations

(id-number=3). Now, all the bunches must be put into the vases keeping their

id-numbers in order. The bunch of azaleas must be in a vase to the left of begonias,

and the bunch of begonias must be in a vase to the left of carnations. If there are

more vases than bunches of flowers then the excess will be left empty. A vase can

hold only one bunch of flowers.

Each vase has a distinct characteristic (just like flowers do). Hence, putting a

bunch of flowers in a vase results in a certain aesthetic value, expressed by an

integer. The aesthetic values are presented in a table as shown below. Leaving a

vase empty has an aesthetic value of 0.

V A S E S

1 2 3 4 5

Bunches 1 (azaleas) 7 23 -5 -24 16

2 (begonias) 5 21 -4 10 23

3 (carnations) -21 5 -4 -20 20

According to the table, azaleas, for example, would look great in vase 2, but they

would look awful in vase 4.

To achieve the most pleasant effect you have to maximize the sum of aesthetic values

for the arrangement while keeping the required ordering of the flowers. If more than

one arrangement has the maximal sum value, any one of them will be acceptable. You

have to produce exactly one arrangement.

ASSUMPTIONS

 1 <= F <= 100 where F is the number of the bunches of flowers. The bunches

are numbered 1 through F.

 F <= V <= 100 where V is the number of vases. 4  -50 <= Aij <= 50 where Aij is the aesthetic value obtained by putting the flower

bunch i into the vase j.

INPUT

The input is a text file named flower.inp.

 The first line contains two numbers: F, V.

 The following F lines: Each of these lines contains V integers, so that Aij

is given as the jth number on the (i+1)st line of the input file.

OUTPUT

The output must be a text file named flower.out consisting of two lines:

 The first line will contain the sum of aesthetic values for your arrangement.

 The second line must present the arrangement as a list of F numbers, so that

the k’th number on this line identifies the vase in which the bunch k is

put.

EXAMPLE

flower.inp:

3 5

7 23 -5 -24 16

5 21 -4 10 23

-21 5 -4 -20 20

flower.out:

53

2 4 5

EVALUATION

 Your program will be allowed to run 2 seconds.

 No partial credit can be obtained for a test case.

本题虽然是IOI’99中较为简单的一题，但其中大有文章可作。说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。但是，如何动态规划呢？如何划分阶段，又如何选择状态呢？

合集下载

规划咨询协议书例子

规划咨询协议书例子

第 1 页 共 9 页

管理咨询项目服务

合同书

项目名称：

合同单位：

甲方：

乙方：

签订时间： 年 月 日

签订地点： 第 2 页 共 9 页

甲方同意由乙方为其提供发展战略咨询服务，双方经友好协商后订立本合同。

第一条 乙方应完成咨询服务的具体工作内容参见附件《某某企业发展战略项目建议书》

第二条 乙方为甲方提供10个工作周的管理咨询服务。

第三条 咨询费用总额为人民币***万元。

第四条 付款方式：甲方分四次按以下方式向乙方支付

1、 本合同签订后三个工作日内，甲方向乙方支付咨询费用的30%；

2、 项目中期汇报结束后的三个工作日内，甲方向乙方支付咨询费用的20%；

3、 项目最终汇报结束后的三个工作日内，甲方向乙方支付咨询费用的40%；

4、 项目结束后乙方提交的咨询报告经甲方领导层认可后，甲方向乙方支付咨询费用的10%；

如甲方在上述规定的付费截止日期的五个工作日内,

仍未向乙方付款，乙方将保留权利对甲方每月追加1.5%的未付款项（每年18%），作为附加服务费。

甲方将通过电汇方式将款项按时汇入乙方如下银行帐号：

（略）

第五条 运作计划及咨询顾问安排 第 3 页 共 9 页

1、 运作计划见附件《**项目建议书》。

2、 咨询人员安排：项目董事一名、项目总监二人、项目经理一人、项目顾问四人。

3、 根据项目需要，乙方有权力增加咨询顾问人员，以保证项目如期高质量完成。咨询顾问增加将不影响咨询费用。

第六条 甲方权利

1、 甲方有权要求乙方按合同规定提供管理咨询服务。

2、 乙方违反合同任何条款，甲方有权提前二星期以书面形式通知乙方终止本合同。

3、 非经甲方书面同意，乙方不得向任何第三方透露咨询项目的任何内容。

4、 乙方不得向任何第三方透露在甲方公司（包括其分支机构、控股公司和合资公司）看到、听到的商业秘密，包括技术秘密、市场秘密、财务秘密、管理秘密及其它方面的秘密信息。

文化是动态的例子

文化是动态的例子

文化是动态的例子

世界充满了流动。自然界中的江河在流动，以它不竭的能源、伟大的动力起于高山之巅，冲击原野，最后进入大海。而大海也不平静，它时而激起滔天巨浪，时而形成摧毁一切的巨风。人类社会也是这样，物的流动、人的流动和媒体的辐射等，使我们每天都处在变化之中。在今天，这种流动的步伐明显加快。但是，在这些流动之中，我们往往忽略了文化的流动。我们经常听到这样一些观点：某地有着悠久的历史和深厚的文化，曾经是文化的中心，因此这个地方和这个地方的人就是有文化的。反之，某地就是没有文化的，因为那里没有文化的积淀。这种观点把价值的指针停留于过去，否定了文化自身的创造性和更新性。

在笔者看来，文化并不是一成不变的，就像我们脚下的土地，随着时代的变化和人类的发展，它孕育的东西数目繁多而又千姿百态。辽阔的北美大陆17世纪初叶只有几处零散的居民点和稀疏的人口。但开拓新大陆的生活现实逐步把三大人种的居民联系起来，并使他们的文化发生接触、冲突乃至融合。久而久之，融合出独具特色的美国民族文化。这是美国文化给我们的启示，也是文化需保持流动性的证据。

文化的蓬勃生命力来源于流动

流动性的文化有着自身的定律，它体现在纵的流动与横的流动两个方面。在人类文明史当中，我们能发现许多既未流动也未继续发展，而是在出生之后便停滞不前的例子。斯巴达为了对付人口压力，在对希腊世界的征服中，消耗了他们的创造能力。爱斯基摩人尽管发展出一种极具特色和高度适应性的北极文化，但这也使他们成了艰苦环境的囚徒，因为生存的首要任务耗尽了他们全部的精力。回到文化是河流的譬喻中，除了一些因不流动而干涸外，当然也有一些最终形成了强大的水系，冲击出广阔的平原，最后汇流成永不回头的江河注入大海。

文化就像自然界，其蓬勃的生命力来源于流动。越是健全发达的人类、越是高尚的文明，受到文化洗礼和浸润就越加重要，这种浸润、洗礼应该来自于流动的文化而不是僵死的文化。我们不可能沉浸在一种固化的文化围城而希望自身得到发展。从城市的发展历程来看，多少城市曾经辉煌一时，成为一种文明的中心和一种文化的代表，但大部分都逃脱不了覆亡的命运。原因很复杂，如战争夷平了建筑，灾害造成大面积的人口减少，经济像腐朽的梁柱一样轰然倒塌，都可能造成一座城市的最终衰败。实际上，在这些具体的事实背后，我们会发现一个更为根本的原因，那就是文化的停滞和没落。与此相反，那些曾经是文明边缘的地方，因了流动文化的浸润慢慢地活跃起来，从蛮荒之地渐渐地演变成为绿洲，甚至成为新兴的文化中心。

动态规划算法的常见实例

动态规划算法的常见实例

动态规划算法的常见实例

动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。

一、最长公共子序列问题

最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。

使用动态规划方法来解决LCS问题。首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。然后，使用以下递推关系：

1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。

2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。

3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。

最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。

二、背包问题

背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。

具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。

一种解决方案是使用动态规划方法。定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。然后，使用以下递推关系：

1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。

2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。

最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。

三、矩阵链乘法

矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。

对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。然后，使用以下递推关系：

维特比算法例题

维特比算法例题

维特比算法例题

维特比（Viterbi）算法是一种动态规划算法，常用于隐马尔可夫模型（HMM）中的路径搜索问题。以下是一个简单的维特比算法的例子：

假设有一个简单的HMM，包含两个状态（状态1和状态2），以及两个观测序列（观测1和观测2）。状态转移概率如下：

P(状态1→状态1) = 0.7

P(状态1→状态2) = 0.3

P(状态2→状态1) = 0.4

P(状态2→状态2) = 0.6

观测概率如下：

P(观测1|状态1) = 0.5

P(观测1|状态2) = 0.5

P(观测2|状态1) = 0.4

P(观测2|状态2) = 0.6

现在我们要找出最有可能的状态序列，使得观测序列的概率最大。 首先，我们需要计算每个状态在每个时刻的概率。这可以通过以下公式计算：

P(状态i, t) = P(观测t|状态i) * P(状态i, t-1)

其中，P(观测t|状态i)是观测概率，P(状态i, t-1)是上一个时刻的状态概率。

然后，我们需要找出最有可能的状态序列。这可以通过以下公式计算：

P(最优, t) = max P(状态i, t) * P(状态i→状态j)

其中，P(最优, t)是在时刻t的最有可能的状态概率，P(状态i,

t)是在时刻t的状态i的概率，P(状态i→状态j)是从状态i转移到状态j的概率。

最后，我们可以通过回溯算法找出最有可能的状态序列。回溯算法是一种通过逐步回溯搜索树来找出最有可能的解的算法。具体来说，我们从最后一个时刻开始向前回溯，找出最有可能的状态，然后继续向前回溯，直到找到最有可能的初始状态。

以上是一个简单的维特比算法的例子，希望能帮助您理解该算法的基本原理和应用。