华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 增长率问题》公开课教案_2

1 一元二次方程

课题名称 一元二次方程

三维目标 1.知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02cbxax（a≠0）

2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识

3.会用试验的方法估计一元二次方程的解

重点目标 一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数” 难点目标 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性

导入示标 1.知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02cbxax（a≠0）

2.会用试验的方法估计一元二次方程的解

目标三导 学做思一：

问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

思考、讨论：这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

学做思二：

例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）3523xx（2）42x（3）2112xxx（4）22)2(4xx

例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 2

（1）yy26 （2）（x-2）(x+3)=8 （3）2)2()43)(3(xxx

学做思三：

例3 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

1 实践与探索

课题名称 实践与探索（一）

三维目标 1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。

3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

重点目标 利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题 难点目标 学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案

导入示标 能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题

目标三导

学做思一：

小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？

（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

2

1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？

（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）

2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？

（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）

3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm）

5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

第二课时：§22.2.1一元二次方程的解法

— —直接开平方法、因式分解法

班级___________ 姓名__________________ 号数__________

一、复习引入

1．平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.

2．36的平方根是_______； 49的平方根是_______； 3的平方根是_______； 0的平方根是_______；

3．一元二次方程x2 = 4的解是 _______.（注：根据平方根的概念可知，x是4的平方根）

4．一元二次方程x2 = 5的解是 _______.（注：根据平方根的概念可知，x是5的平方根）

注：这种由平方根概念直接看出一元二次方程解的方法，叫做直接开平方法.

二、思考引申

一元二次方程x2 -1 = 0有几种不同的解法？请分别表达出来.

方法1：（提示：先移项） 方法2：（提示：运用平方差公式）

注：方法2利用因式分解中的平方差公式进行解方程的方法，叫做因式分解法.

小结：1．直接开平方法是解形如x2 = p结构的一元二次方程；而因式分解法（运用平方差公式．．．．．）是解形如x2 – p = 0的一元二次方程.

2．只含有两项．．．．．——二次项与常数项的一元二次方程才可以用直接开平方法、因式分解法（平方差．．．公式．．）.

3．若一元二次方程的两解是相反数时，可用xa的形式表示；也可用1x、2x表示两个根.

三、例题

解下列方程：

（1）25x （2）24250t （3）2320x （4）225120y

小结：只含有．．．二次项与常数项的一元二次方程均可转化．．．为最简的结构：x2 = p或x2 – p = 0，再求解.

★ 课后作业

1．方程23x的根是（ ）.

晨鸟教育

Earlybird 第22章 一元二次方程

1. 一元二次方程：

1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．

2) 一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax．

它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零．

2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．

2. 一元二次方程的解法：

1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．

直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，ax是b的平方根，当0b时，bax，bax，当b<0时，方程没有实数根．

2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx．

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．

3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．

一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：)04(2422acbaacbbx

4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．

3. 一元二次方程根的判别式：

一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42．

1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

2) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

3) 当△<0时，一元二次方程没有实数根．