第二节随机事件及其运算
一、随机试验与事件
人们在生产实践和科学实验中，发现对自
然界和社会上所观察到的现象大体分为两类：一类是事前可以预料的，即在一定条件下
必然发生或必然不发生的现象，称之为必然
现象或决定性的现象；另一类是事前不可预料的，
即在相同条件下重复进行观察或试
验时，有时出现有时不出现的现象，称之为
偶然现象或随机现象。随机现象有其偶然性的一面，也有其必然
性的一面，这种必然性表现在大量重复试验
或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现
象的统计规律性。
概率论正是研究随机现象统计规律性的
一门学科。现在，就让我们一起，步入这充
满随机性的世界，开始探索和研究。对自然现象的观察或进行一次试验，统称
为一个试验。用大写英文字母E表示。例如：
H例如, 掷硬币试验
掷一枚硬币，观察出正还是
反.T掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数寿命试验测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命。
上面这些例子，尽管内容各异，但它们有
着共同的特点。我们有以下的定义。随机试验：如果试验可以在相同条件下重复进行；试验
所有发生的结果是不止一个且是已知的；但每
次试验的结果事前是不能确定的，这样的试验
称为随机试验。
在随机试验中，我们往往会关心某个或某
些结果是否会出现。这就是随机事件。
在一次试验中可能发生也可能不发生的事
件称为随机事件，简称事件。
一般用字母A，B，C等表示。
事件分为基本事件和复合事件。
例如，在掷骰子试验中，观察掷出的点
数。Ai={掷出i点} i=1,2,3,4,5,6，它们都
是基本事件。基本事件：相对于观察目的不可再分解的
事件。
复合事件：两个或一些基本事件并在一起，
就构成一个复合事件。例如，B={掷出奇数点}就是复合事件。
两个特殊的事件：必然事件就是在试验中必定发生的事件，
常用S或Ω表示;
例如，“掷出点数小于7”是必然事件;
而“掷出点数8”则是不可能事件。不可能事件就是在一次试验中不可能发生
的事件，常用φ表示。
现在，让我们再看一个从死亡线上生还
概率论与数理统计课件_第⼀章
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满⾜：S中样本点有限(有限性)
出现每⼀样本点的概率相等(等可能性)
排列与组合加法原理：⼀件事分为m个⽅式，第i种办法有种⽅式，则完成该事件的⽅法总数为
乘法原理：⼀件事分为m个步骤，第i种办法有种步骤，则完成该事件的⽅法总数为
排列公式：
全排列：组合公式：
例1：⼀袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每⼀球的可能性相等，从袋中不放回摸两球，记A={恰是⼀红⼀黄}，求P(A)．
解：
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．
解：
例3：将n个不同的球，投⼊N个不同的盒中(n≤N)，设每⼀球落⼊各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A＝{ 恰有n个盒⼦各有⼀球 }，求P(A)．
解：例4: (抽签问题)⼀袋中有a个红球，b个⽩球，记a＋b＝n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸⼀球，不放回地摸n次。
设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,?-,n．求
解1：
解2：
解3：
将第k次摸到的球号作为⼀样本点：
解4：§5 条件概率
例：有⼀批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品，从中任取⼀件，?记A={取到⼀件合格品}， B={取到⼀件优质品}。
则 P(A)=90% ⽽P(B)=85.5%
记：P(B|A)=95%P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度
P(B|A)=0.95 是将合格品记作1时B的测度
由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，⽽这⾥的S常常省略⽽已，P(A)也可视为条件概率分析：
⼀、条件概率
定义：
由上⾯讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。
例如：例：某⼚⽣产的产品能直接出⼚的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出⼚，20%的产品要报废。求该⼚产品的报废率。
解：例：某⾏业进⾏专业劳动技能考核，⼀个⽉安排⼀次，每⼈最多参加3次；某⼈第⼀次参加能通过的概率为60%；如果第⼀次未通过就去参加第⼆次，这时能通过的概率为80%；如果第⼆次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这⼈能通过考核的概率。例：从52张牌中任取2张，采⽤(1)放回抽样，（2）不放回抽样，求恰是“⼀红⼀⿊”的概率。解：
《概率论与数理统计》课程教案
第一章 随机事件及其概率
一．本章的教学目标及基本要求
(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念;
(2)掌握随机事件之间的关系与运算,；
(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算；
(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概
率的公理化定义。(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配
第一节 随机事件及事件之间的关系
第二节 频率与概率 2学时
第三节 等可能概型（古典概型） 2 学时
第四节 条件概率
第五节 事件的独立性 2 学时
三．本章教学内容的重点和难点
1）随机事件及随机事件之间的关系；
2）古典概型及概率计算；
3）概率的性质；
4）条件概率，全概率公式和Bayes公式
5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理
四．教学过程中应注意的问题
1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；
2）注意让学生理解事件,,,,,ABABABABABA…的具体含义，理解
事件的互斥关系；3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；
4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组
合，复习排列、组合原理；5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；
五．思考题和习题
思考题：1. 集合的并运算和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？
3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？
习题：
第二章 随机变量及其分布
一．本章的教学目标及基本要求
(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续
型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律
或密度函数及性质；
二．本章的教学内容及学时分配
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参考教材 概率论与数理统计 第四版
（浙江大学主编）
重要定理、性质、公式、结论
经典例题、重要例题及不需要做的题目
第一章 概率论的基本概念（考小题） 第一节 随机试验（了解） 第二节 样本空间，随机事件（了解）
第三节 频率与概率（频率可以不用看，了解） 第四节 等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）
第五节 条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到） 第六节 独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到）
第二章 随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到） 第一节 随机变量（了解） 第二节 离散型随机变量及其分布律（重要，经常考） 第三节 随机变量的分布函数（重要，每年必考） 第四节 连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考） 第五节 随机变量的函数分布（重要，大题的命题点）
第三章 多维随机变量及其分布（考大题可能性极大） 第一节 二维随机变量（了解） 第二节 边缘分布（理解） 第三节 条件分布（理解） 第四节 概率独立的随机变量（重要，基本每年必考） 第五节 两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点）
第四章 随机变量的数字特征（重要） 第一节 数学期望（重要，每年必考） 第二节 方差（重要，每年必考） 第三节 协方差与相关系数（重要，经常考） 第四节 矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）.
第五章 大数定律及中心极限定理(了解) 第一节 大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论) 第二节 中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）
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