概率论与数理统计(第3章)

一、第三章习题详解：

3.1设二维随机向量(,)XY

的分布函数为:1222,0,0,

(,)

0,xyxy

xy

Fxy









其他

求

12,35PXY

.

解：因为 257

(2,5)1222F



，651

2221)5,1(

F

532

2221)3,2(

F

，431

2221)3,1(

F

所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(FFFFYXP

7654

733

2222

2128



3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数,

用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.

解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)

且 0)1,2(YXP

，6.0

53

)2,2(

4

52

22

3



CCC

YXP

4.0

52

)1,3(

4

51

23

3



CCC

YXP

，0)2,3(YXP

故(X,Y)的概率分布为

X\Y12

200.6

30.40

3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出

现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.

解：因为|32||)3(|XXXY

，又X的可能取值为0,1,2,3

所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)

且

81

)

21

()3,0(3

YXP

，

83

)

21

()21()1,1(211

3CYXP

83

)

21

()

21

()1,2(122

3CYXP

，

81

)

21

()3,3(3

YXP故(X,Y)的概率分布为

X\Y13

001/8

13/80

23/80

301/8

3.4设二维随机向量(,)XY

的概率密度函数为:

(6),01,02,

(,)

0,axyxy

fxy







其他

(1) 确定常数a

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

0 1 2 3

1 0 131113C2228 23111C3/8222 0

3 18 0 0 11112228

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

0 1 2 3

0 0 0 223247CC3C35 313247CC2C35

1 0 11232247CCC6C35 21132247CCC12C35 313247CC2C35

2 P(0黑,2红,2白)=

2242271CC/C35 12132247CCC6C35 223247CC3C35 0

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

F（x，y）=.,020,20,sinsin其他ππyxyx

求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40πππyx内的概率.

【解】如图πππ{0,}(3.2)463PXY公式

ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636FFFF

X

Y

X

Y 2 ππππππsinsinsinsinsin0sinsin0sin4346362(31).4

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe

求：（1）

常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；

（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1） 由-(34)00(,)ddedd112xyAfxyxyAxy

1 习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

0 1 2 3

1 0 131113C2228 23111C3/8222 0

3 18 0 0 11112228

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

0 1 2 3

0 0 0 223247CC3C35 313247CC2C35

1 0 11232247CCC6C35 21132247CCC12C35 313247CC2C35

2 P(0黑,2红,2白)=

2242271CC/C35 12132247CCC6C35 223247CC3C35 0

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

F（x，y）=.,020,20,sinsin其他ππyxyx

求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40πππyx内的概率.

【解】如图πππ{0,}(3.2)463PXY公式

ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636FFFF

X

Y

X

Y

2 ππππππsinsinsinsinsin0sinsin0sin4346362(31).4

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；

（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1） 由-(34)00(,)ddedd112xyAfxyxyAxy

1 概率论与数理统计习题

第三章 多维随机变量及其分布

习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律.

解：

X

Y 0 1 2 3

0 0 0 353 352

1 0 356 3512 352

2 351 356 353 0

（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=351472222CCC P {X=1, Y=1 }=35647221213CCCC

P {X=1, Y=2 }=35647122213CCCC P {X=2, Y=0 }=353472223CCC

P {X=2, Y=1 }=351247121223CCCC P {X=2, Y=2 }=353472223CCC

P {X=3, Y=0 }=352471233CCC P {X=3, Y=1 }=352471233CCC

P {X=3, Y=2 }=0

习题3-2 设随机变量),(YX的概率密度为

其它,0,42,20),6(),(yxyxkyxf

（1） 确定常数k；

（2） 求3,1YXP

（3） 求5.1XP；

（4） 求4YXP.

分析：利用P {(X, Y)∈G}=oDGGdydxyxfdydxyxf),(),(再化为累次积分，其中 2 42,20),(yxyxDo

解：（1）∵2012)6(),(1dydxyxkdydxyxf，∴81k

（2）83)6(81)3,1(3210dyyxdxYXP