五年级奥数追及问题(肖翠君)

5 你追我赶——追及问题1.下学了,马路边,小奥正在追朋朋2.环形跑道上,程程正在追优优3.一只山君正在追一只兔4.一头猎豹正在追一只羚羊同窗们,请你描写一下上图中的内容,从中你能联想到什么数学问题呢？例1：一头狮子正在追赶一只羊,羊在狮子前方10米.狮子每秒跑10米,羊每秒跑8米,那么狮子能追上羊吗？假如能,若干秒后追上？1.一只猫发明在它前方16米远的地方有一只老鼠,猫立时以每秒10米的速度扑了曩昔,老鼠则以每秒6米的速度逃命,那么经由多长时光猫能追上老鼠？2．甲.乙两车从A地开往B地运货,甲车先行动身20分钟.已知甲车行驶速度为60千米/时,乙车行驶速度为75千米/时.当乙车追上甲车时,乙车行驶了若干千米？例2：两辆汽车从公司动身去飞机场.第一辆车以每小时30千米的速度由公司开往飞机场,30分钟后,第二辆车以每小时45千米的速度由公司开往飞机场,成果两车同时到达,那么公司距飞机场有多远？一辆快车和一辆慢车同时从甲地开往乙地.快车每小时行108千米,慢车每小时行72千米,慢车比快车迟1小时到达乙地,求甲.乙两地之间的距离.例3：弟弟和哥哥去公园,弟弟每分钟走50米,弟弟动身一段时光后,哥哥以每分钟70米的速度去追赶弟弟,哥哥动身25分钟后追上弟弟.问弟弟比哥哥早动身若干分钟？两辆汽车都从武汉动身到某地,货车每小时行60千米,15小时可以到达,客车每小时行50千米,假如客车想与货车同时到达某地,它要比货车提前开出几小时？例4：甲.乙两车同时.同地动身去统一目标地,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,途中甲车泊车3小时,成果甲车比乙车迟到1小时到达目标地.问两地相距若干千米？甲.乙二人同时从A地动身去B地.甲骑自行车每小时行10千米,乙步行每小时行5千米.甲在途中修车逗留2.5小时.乙到达B 地后,甲再骑车2千米才到达B地.求A.B两地相距若干千米？例5：优优和小奥绕环形操场跑步,已知环形跑道一圈长400米,优优的速度为4米/秒,小奥的速度为6米/秒,他们从统一点地同时同向而跑.起跑后多长时光小奥比优优多跑一圈？优优和小奥绕环形操场跑步,已知环形跑道一圈长400米,优优的速度为4米/秒,小奥的速度为6米/秒.两人站在统一路跑线上同向而跑,优优先跑了10秒.小奥第二次追上优优经由了多长时光？关于耐力动物的追及往往不克不及只斟酌它们的最快速度,还要斟酌一个主要的身分——耐力,也就是它们保持最大速度的时光.方才介绍了猎豹是陆地上短跑最快的动物,时速可高达130千米.但它这一速度往往只能保持20秒阁下,在超速追击之后,它就会呼吸急促,精疲力竭,而它的长距离奔驰时速仅为60千米阁下,所以假如1分钟内,猎豹没有抓住它的猎物,它很可能就废弃了.叉角羚是奔驰速度仅次于猎豹的动物（耐力远强于猎豹）,出生4天的羊羔就能比人跑得快.叉角羚的最高速度可达每小时95千米,它还有着惊人的耐力,能以72千米的时速保持奔驰达11千米之久,远远超消失存任何北美食肉动物的奔驰速度.北极熊的体形呈流线型,善泅水,熊掌广大如同双浆,是以在北冰洋那冰冷的海水里,它可以用两条前腿奋力前划,后腿并在一路,控制着进步的偏向,起着舵的感化,一口吻可以畅游四五十千米,也算得上泅水健将了.它奔驰起来,风驰电掣,时速可达60千米,但其实不克不及中断太久,只进行短距离冲刺,所以在宽敞的陆地上,假若人和熊进行长跑比赛的话,北极熊必败无疑.。

第十二讲追及问题会求解知识提纲：追及问题是指两个物体在直线上或封闭道路上同向运动，由于各自行驶或运行的速度不同，后者追上前者的问题，本讲我们来学习这方面的知识。

解答追及问题的关键是抓住“追及路程”和“速度差”，并结合物体的运动地点，运动方向来具体分析求解，必要时可画线段图来帮助分析题意。

名师点拨追及问题的基本数量关系式速度差×追及时间=追及路程追及路程÷追及时间=速度差追及路程÷速度差=追及时间【典型例题1】甲、乙两人分别从西村和东村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行五千米。

两小时后，甲追上乙。

求东、西两村的距离。

【分析】此题属于追及问题中已知追及时间和速度差来求追及路程的基础题。

由题意可知两车的速度差是：14-5=9（千米/时），显然甲比乙多走的路程就是东、西两村的距离。

解答：【随堂练习1】兄弟两人都从家骑自行车去海边看风景，弟弟每小时行20千米，一小时后，哥哥骑自行车出发，每小时行20千米，结果两人同一时间到达同一海滩，问从他们家到海滩有多少千米的路程？【典型例题2】甲车以每小时50千米的速度从A地驶往B地，出发一小时后，乙车以每小时60千米的速度也从A地驶往B地，结果比甲车早2小时到达B地。

求A、B两地间的路程。

【分析】这类题需要我们挖掘题目中的条件，并将其转化为基本的追及问题来解。

出发1小时后，乙车追上甲车并比甲车早2小时到，可知追及路程为50×(2+1)=150(千米），两车速度差为：60-50=10（千米/时），求出追及时间后便可求出A、B间的路程。

解答：【随堂练习2】小红和小梅两人由学校到市图书城看书，小红每分钟行50米，小梅每分钟行45米，小梅比小红早出发4分钟，结果小红比小梅早4分钟到达图书城。

求学校到图书城的距离。

【典型例题3】小淘气步行上学，每分钟行60米，小淘气离家10分钟后，妈妈发现小淘气的文具盒忘在家中，妈妈带上文具盒，立即骑自行车以每分钟210米的速度去追小淘气。

知识框架长方体与正方体表面积一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间；=⨯=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲【例 1】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。

如果甲、乙从A，丙从B地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。

十六追及问题（A）年级班姓名得分一、填空题1．当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先20米，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先米.2.一只兔子奔跑时,每一步都跑0.5米；一只狗奔跑时,每一步都跑1.5米.狗跑一步时,兔子能跑三步.如果让狗和兔子在100米跑道上赛跑,那么获胜的一定是 .3.骑车人以每分钟300米的速度,从102路电车始发站出发,沿102路电车线前进,骑车人离开出发地2100米时,一辆102路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行500米,行5分钟到达一站并停车1分钟.那么需要分钟,电车追上骑车人.4.亮亮从家步行去学校,每小时走5千米.回家时,骑自行车,每小时走13千米.骑自行车比步行的时间少4小时,亮亮家到学校的距离是 .5.从时针指向4点开始,再经过分钟,时钟与分针第一次重合.6.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑出1分钟时,乙从起点同向跑出,从这时起甲用5分钟赶上乙.乙每分钟跑米.7.一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上爬行的速度分别为每分50厘米、每分20厘米、每分30厘米(如右图).它爬行一周的平均速度是 .308.甲、乙两人同时从A点背向出发沿400米环行跑道行走,甲每分钟走80米,乙每分钟走50米,这二人最少用分钟再在A点相遇.9.在400米环形跑道上,A、B两点相距100米(如图).甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟.那么,甲追上乙需要的时间是秒.•10.甲、乙两人以匀速绕圆形跑道按相反方向跑步,出发点在直径的两个端点.如果他们同时出发,并在乙跑完100米时第一次相遇,甲跑一圈还差60米时第二次相遇,那么跑道的长是 米.二、解答题11．在周长为200米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙二人骑自行车分别以6米/秒和5米/秒的速度同时、相向出发(即一个顺时针一个逆时针),沿跑道行驶.问:16分钟内,甲乙相遇多少次?12.如右上图,A ,B ,C 三个原料加工厂分别停着甲、乙、丙三辆汽车，各车速度依次是60，48，36千米/时，各厂间的距离如图所示(单位:千米),如果甲、丙车按箭头方向行驶，乙车反向行驶，每到一厂甲车停2分，乙车停3分，丙车停5分.那么,三车同时开动后何时何处首次同时相遇.13.一座下底面是边长为10米的正方形石台,它的一个顶点A 处有一个虫子巢穴,虫甲每分钟爬6厘米,虫乙每分钟爬10厘米,甲沿正方形的边由A B CD A不停的爬行,甲先爬2厘米后,乙沿甲爬行过的路线追赶甲,当乙遇到甲后,乙就立即沿原路返回巢穴,然后乙再沿甲爬行过的路线追赶甲,…….在甲爬行的一圈内,乙最后一次追上甲时,乙爬行了多长时间?14.甲、乙二人在400米圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒8米,乙的速度为每秒6米.当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加0.5米,直到终点.那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米?———————————————答 案——————————————————————1． 12解法一 依题意,画出线段图如下:在同样时间内,甲跑60米,乙跑50米,丙跑40米,也就是在相同单位时间内甲跑6米,乙跑5米,丙跑4米.所以,由上图看出,当乙跑10米到达终点时,丙又跑了8米,此时丙距终点60-40-8=12(米)8 · · · · · 丙 乙 甲 起点 10 20 30 40 50 60解法二 相同时间内,乙跑50米,丙跑40米,所以丙速是乙速的54.因此当乙到达终点时,丙的行程为60⨯54=48(米) 此时丙距终点60-48=12(米)解法三 由于乙、丙两人速度不变,又丙与乙在第一段时间内的路程差(50-40)=10米是乙的路程的10÷50=51,所以当乙跑完后10米时,丙在第二段时间与乙的路程差为10⨯51=2(米) 两次路程差和10+2=12(米),就是乙比丙领先的路程.2. 兔子.从题面上看,狗和兔子的速度是一样的,但因为当狗跑了66步后,狗共跑了99米,剩下1米,这时它也得再花一步的时间,这相当于狗要往反100.5米,而当狗跑了66步后,兔子跑了(3⨯66)=198步,再花2步的时间,即到达终点.所以狗较慢.兔子一定获胜.3. 15.5电车追及距离为2100米.电车每分钟行500米,骑车人每分钟行300米,1分钟追上(500-300)=200米,追上2100米要用(2100÷200)=10.5(分钟).但电车行10.5分钟要停两站,共花(1⨯2)=2分钟,电车停2分钟,骑车人又要前行(300⨯2)=600米,电车追上这600米,又要多用(600÷200)=3分钟.所以,电车追上骑车人共要用10.5+2+3=15.5(分钟)4. 32.5此题可看成同向而行问题:有两人从亮亮家出发去学校.一人步行,每小时走5千米；一人骑自行车,每小时行13千米.那么,当骑自行车的人到学校时,步行的人离学校还有(骑车人比步行人早到4小时):5⨯4=20(千米)又骑车比步行每小时快13-5=8(千米)所以,亮亮家到学校的距离是(20÷8)⨯13=32.5(千米) 5. 21119. 设钟面一周的长度为1,则在4点时,分针落后于时针是钟面周长的124=31；同时分钟和时针的速度之差为钟面周长的720117201601=- 由追及问题的基本关系知,两针第一次重合需要11921720160131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷(分钟) 6. 280甲以每分钟300米的速度从起点跑出1分钟,这时甲离乙400-300⨯1=100(米)甲用5分钟比乙多跑100米,则甲每分钟比乙多跑100÷5=20(米)所以,乙每分钟跑300-20=280(米)7. 每分钟31129厘米. 设边长为300厘米,则爬行一周需31303002030050300=++(分钟), 平均速度为(300⨯3)÷31=31129(厘米/分). 8. 40甲第一次回到A 点要用400÷80=5分钟,以后每隔5分钟回到A 点一次；乙第一次回到A 点要用400÷50=8分钟,以后每隔8分钟回到A 点一次.而5与8的最小公倍数是40.所以,甲、乙两人再在A 点相遇最少要用40分钟.9. 140假设甲乙都不停地跑,那么甲追上乙的时间是100÷(5-4)=100(秒),甲、乙每跑100米停10秒,等于甲跑100÷5=20(秒)休息10秒,乙跑100÷4=25(秒)休息10秒.跑100秒甲要停100÷20-1=4(次)共用100+10⨯4=140(秒),此时甲已跑的路程为500米；在第130秒时乙已跑路程为400米(他此时已休息3次,花30秒),并在该处休息到第140秒,甲刚好在乙准备动身时赶到,他们确实碰到一块了.所以甲追上乙需要的时间是140秒.10. 480依题意作出示意图(如下图),从出发到第一次相遇甲乙两人共跑了半圈,其中乙跑了100米.从出发到第二次相遇甲乙两人共跑了三个半圈,其中甲跑的路程比一圈少60米,乙跑的路程比半圈多60米.因为他们以匀速跑步,所以乙总共跑了三个100米,3⨯100-60=240(米)所以,跑道的长是2⨯240=480(米)11. 甲、乙二人第一次相遇时,一共走过的路程是2200=100米,所 以需要的时间是1110065100=+秒.以后,两人每隔1120065200=+秒相遇一次. 所以,16分钟内二人相遇的次数是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⨯11200111001660+1=121526412120011960+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10520+1[]13.52+=52+1=53(次)这里的中括号[ ]不是普通的括号,[x ]表示x 的整数部分,如[]25.225==⎥⎦⎤⎢⎣⎡,[]33=,[]06.0=. 12. 甲车绕一圈后再到B 厂,共用60⨯[(6+8+10+6)÷60]+2⨯3=36 (分)； 乙车绕一圈后再到B 厂,共用60⨯[(8+10+6)÷48]+3⨯2=36(分)；丙车从C 厂到B 厂，共用60⨯[(10+6)÷36]+5=3231(分). 因为丙车到B 厂要停5分,所以三车同时开出后36分在B 厂同时相遇.13. 见下表,其中5次追上,此时,乙共爬行0.5+2.5+10+40+160=213(分)14. 甲追乙1圈时,甲跑了8⨯[400÷(8-6)]=1600(米),此时甲、乙的速度分别变为6米/秒和5.5米/秒.甲追上乙2圈时,甲跑了1600+6⨯[400÷(6-5.5)]=6400(米),此时甲、乙的速度分别变为4米/秒和5米/秒.乙第一次追上甲时,甲跑了6400+4⨯[400÷(5-4)]=8000(米),乙跑了 8000-400=7600(米).此时,甲、乙的速度分别变为4.5米/秒和5.5米/秒.乙跑到终点还需(10000-7600)÷5.5=114800(秒), 乙到达终点时,甲距终点(10000-8000)-4.5⨯114800=XXXX-114361171963=(米).。

第6讲追及问题2知识装备我们在四年级已经学习了追及问题的基本类型，初步掌握了追及问题的基本数量关系及一般的解决问题的思路。

下面我们再把追及问题的基本数量关系整理出来，并进一步研究稍复杂的追及问题。

1、追及问题的基本数量关系：（1）速度差×追及时间＝追及路程（路程差）（2）追及路程÷速度差＝追及时间（3）追及路程÷追及时间＝速度差（根据其中一个速度可以求另一个速度）2、解决稍复杂的追及问题时，一定要弄清下面关系：（1）追及路程、追及时间与速度差是否一一对应。

（2）运动的模式如何？是同时同一方向运动，而出发地点不同；是同一地点不同时间向同一方向运动；是直线运动追及还是环形运动追及；运动速度有没有变化等。

（3）可借助线段图把题目中的已知条件具体化、形象化，便于弄清数量间的对应关系。

（4）借助追及问题的解题思路解决日常生活中的一些其它问题。

初级挑战1大客车每小时行60千米，小轿车每小时行85千米。

两车同时分别从相距250千米的两地同向开出，且大客车在前。

求几小时后小轿车追上大客车？思路引领：根据题意可知这是一道基础追及问题，题目已知了两车的速度差是（），追及路程是（）千米，即可求出追及时间。

答案：250÷（85－60）＝10（小时）能力探索1甲、乙两车同时分别从A、B两地出发，同向而行，已知甲车在前，乙车在后，甲车的速度是50千米/时，乙车速度是80千米/时，3小时后乙车追上甲车，求A、B两地的距离。

答案：（80－50）×3＝90（千米）初级挑战2甲车每小时行驶80千米，走3小时后，乙车出发去追甲车，乙车速度为每小时120千米，多少小时后乙车可追上甲车？思路引领：甲车走3小时走了（）千米，当乙车去追甲车时，追及的路程是（）千米。

答案：速度差：120－80＝40（千米/时）追及路程：80×3＝240（千米）追及时间：80×3÷（120－80）＝6（小时）能力探索2老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车的速度是15千米/小时，老王骑车的速度是25千米/时，老张先出发2小时后，老王才出发，几小时后老王可以追上老张？答案：15×2÷（25－15）＝3（小时）中级挑战1A、B两辆货车同时从甲城出发，沿同一条公路送货到乙城。

教师寄语：人生一经典当,将永不相赎行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。

行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。

每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程：路程= 速度×时间2. 相遇问题：路程和= 速度和×时间3. 追击问题：路程差= 速度差×时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

①追击及相遇问题典型例题：例1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。

甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。

在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。

问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

例2. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。

乙车每小时行多少千米？思路导航：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。

教师寄语：人生一经典当,将永不相赎行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。

行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。

每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程：路程= 速度×时间2. 相遇问题：路程和= 速度和×时间3. 追击问题：路程差= 速度差×时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

①追击及相遇问题典型例题：例1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。

甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。

在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。

问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

例2. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。

乙车每小时行多少千米？思路导航：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。

学科培优数学“相遇与追及问题初步”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在今天这节课中,我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解,使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题,其中最常见的是相遇问题和追及问题.知识梳理一、相遇甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程,如果两人同时出发,那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间.一般地,相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和,即二、追及有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间.一般地,追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间,即【重点难点解析】1．直线上的相遇与追及2．环线上的相遇与追及tv S差差【竞赛考点挖掘】1. 多人多次相遇与追及例题精讲【试题来源】【题目】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米。

3.5小时两车相遇。

甲、乙两个城市的路程是多少千米？【试题来源】【题目】两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米。

甲、乙两车相遇时,各行了多少千米？【试题来源】【题目】两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟两人可以相遇？【试题来源】【题目】甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶10千米后乙才开始出发,甲每小时行驶15千米,乙每小时行驶10千米,问：乙经过多长时间能追上甲？【试题来源】【题目】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词,于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去,二人的速度分别为50千米/时,60千米/时,那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?．【试题来源】【题目】军事演习中,“我”海军英雄舰追击“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟行驶1000米,“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离“敌”舰600米处可开炮射击,问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?【试题来源】【题目】小红和小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？【试题来源】【题目】小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发现小明的文具盒忘在家中,爸爸带着文具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？【试题来源】【题目】上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分？【试题来源】【题目】甲车每小时行40千米,乙车每小时行60千米。

五年级奥数题：追及问题（A）.doc⼗六追及问题（A）年级班姓名得分⼀、填空题1．当甲在60⽶赛跑中冲过终点线时，⽐⼄领先10⽶、⽐丙领先20⽶，如果⼄和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当⼄到达终点时将⽐丙领先⽶.2.⼀只兔⼦奔跑时,每⼀步都跑0.5⽶；⼀只狗奔跑时,每⼀步都跑1.5⽶.狗跑⼀步时,兔⼦能跑三步.如果让狗和兔⼦在100⽶跑道上赛跑,那么获胜的⼀定是 .3.骑车⼈以每分钟300⽶的速度,从102路电车始发站出发,沿102路电车线前进,骑车⼈离开出发地2100⽶时,⼀辆102路电车开出了始发站,这辆电车每分钟⾏500⽶,⾏5分钟到达⼀站并停车1分钟.那么需要分钟,电车追上骑车⼈.4.亮亮从家步⾏去学校,每⼩时⾛5千⽶.回家时,骑⾃⾏车,每⼩时⾛13千⽶.骑⾃⾏车⽐步⾏的时间少4⼩时,亮亮家到学校的距离是 .5.从时针指向4点开始,再经过分钟,时钟与分针第⼀次重合.6.甲、⼄两⼈在400⽶长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300⽶的速度从起点跑出1分钟时,⼄从起点同向跑出,从这时起甲⽤5分钟赶上⼄.⼄每分钟跑⽶.7.⼀只蚂蚁沿等边三⾓形的三条边由A点开始爬⾏⼀周.在三条边上爬⾏的速度分别为每分50厘⽶、每分20厘⽶、每分30厘⽶(如右图).它爬⾏⼀周的平均速度是 .308.甲、⼄两⼈同时从A点背向出发沿400⽶环⾏跑道⾏⾛,甲每分钟⾛80⽶,⼄每分钟⾛50⽶,这⼆⼈最少⽤分钟再在A点相遇.9.在400⽶环形跑道上,A、B两点相距100⽶(如图).甲、⼄两⼈分别从A、B两点同时出发,按逆时针⽅向跑步.甲每秒跑5⽶,⼄每秒跑4⽶,每⼈每跑100⽶,都要停10秒钟.那么,甲追上⼄需要的时间是秒.10.甲、⼄两⼈以匀速绕圆形跑道按相反⽅向跑步,出发点在直径的两个端点.如果他们同时出发,并在⼄跑完100⽶时第⼀次相遇,甲跑⼀圈还差60⽶时第⼆次相遇,那么跑道的长是⽶.⼆、解答题11．在周长为200⽶的圆形跑道的⼀条直径的两端，甲、⼄⼆⼈骑⾃⾏车分别以6⽶/秒和5⽶/秒的速度同时、相向出发(即⼀个顺时针⼀个逆时针),沿跑道⾏驶.问:16分钟内,甲⼄相遇多少次?12.如右上图,A ,B ,C 三个原料加⼯⼚分别停着甲、⼄、丙三辆汽车，各车速度依次是60，48，36千⽶/时，各⼚间的距离如图所⽰(单位:千⽶),如果甲、丙车按箭头⽅向⾏驶，⼄车反向⾏驶，每到⼀⼚甲车停2分，⼄车停3分，丙车停5分.那么,三车同时开动后何时何处⾸次同时相遇.13.⼀座下底⾯是边长为10⽶的正⽅形⽯台,它的⼀个顶点A 处有⼀个⾍⼦巢⽳,⾍甲每分钟爬6厘⽶,⾍⼄每分钟爬10厘⽶,甲沿正⽅形的边由A B CD A不停的爬⾏,甲先爬2厘⽶后,⼄沿甲爬⾏过的路线追赶甲,当⼄遇到甲后,⼄就⽴即沿原路返回巢⽳,然后⼄再沿甲爬⾏过的路线追赶甲,…….在甲爬⾏的⼀圈内,⼄最后⼀次追上甲时,⼄爬⾏了多长时间?14.甲、⼄⼆⼈在400⽶圆形跑道上进⾏10000⽶⽐赛.两⼈从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒8⽶,⼄的速度为每秒6⽶.当甲每次追上⼄以后,甲的速度每秒减少2⽶,⼄的速度每秒减少0.5⽶.这样下去,直到甲发现⼄第⼀次从后⾯追上⾃⼰开始,两⼈都把⾃⼰的速度每秒增加0.5⽶,直到终点.那么领先者到达终点时,另⼀⼈距终点多少⽶?———————————————答案——————————————————————1． 12解法⼀依题意,画出线段图如下:在同样时间内,甲跑60⽶,⼄跑50⽶,丙跑40⽶,也就是在相同单位时间内甲跑6⽶,⼄跑5⽶,丙跑4⽶.所以,由上图看出,当⼄跑10⽶到达终点时,丙⼜跑了8⽶,此时丙距终点60-40-8=12(⽶)8 · · · · · 丙⼄甲起点 10 20 30 40 50 60解法⼆相同时间内,⼄跑50⽶,丙跑40⽶,所以丙速是⼄速的54.因此当⼄到达终点时,丙的⾏程为60?54=48(⽶) 此时丙距终点60-48=12(⽶)解法三由于⼄、丙两⼈速度不变,⼜丙与⼄在第⼀段时间内的路程差(50-40)=10⽶是⼄的路程的10÷50=51,所以当⼄跑完后10⽶时,丙在第⼆段时间与⼄的路程差为10?51=2(⽶) 两次路程差和10+2=12(⽶),就是⼄⽐丙领先的路程.2. 兔⼦.从题⾯上看,狗和兔⼦的速度是⼀样的,但因为当狗跑了66步后,狗共跑了99⽶,剩下1⽶,这时它也得再花⼀步的时间,这相当于狗要往反100.5⽶,⽽当狗跑了66步后,兔⼦跑了(3?66)=198步,再花2步的时间,即到达终点.所以狗较慢.兔⼦⼀定获胜.3. 15.5电车追及距离为2100⽶.电车每分钟⾏500⽶,骑车⼈每分钟⾏300⽶,1分钟追上(500-300)=200⽶,追上2100⽶要⽤(2100÷200)=10.5(分钟).但电车⾏10.5分钟要停两站,共花(1?2)=2分钟,电车停2分钟,骑车⼈⼜要前⾏(300?2)=600⽶,电车追上这600⽶,⼜要多⽤(600÷200)=3分钟.所以,电车追上骑车⼈共要⽤10.5+2+3=15.5(分钟)4. 32.5此题可看成同向⽽⾏问题:有两⼈从亮亮家出发去学校.⼀⼈步⾏,每⼩时⾛5千⽶；⼀⼈骑⾃⾏车,每⼩时⾏13千⽶.那么,当骑⾃⾏车的⼈到学校时,步⾏的⼈离学校还有(骑车⼈⽐步⾏⼈早到4⼩时):5?4=20(千⽶)⼜骑车⽐步⾏每⼩时快13-5=8(千⽶)所以,亮亮家到学校的距离是(20÷8)?13=32.5(千⽶) 5. 21119. 设钟⾯⼀周的长度为1,则在4点时,分针落后于时针是钟⾯周长的124=3 1；同时分钟和时针的速度之差为钟⾯周长的720117201601=- 由追及问题的基本关系知,两针第⼀次重合需要11921720160131=??? ??-÷(分钟) 6. 280甲以每分钟300⽶的速度从起点跑出1分钟,这时甲离⼄400-300?1=100(⽶)甲⽤5分钟⽐⼄多跑100⽶,则甲每分钟⽐⼄多跑100÷5=20(⽶)所以,⼄每分钟跑300-20=280(⽶)7. 每分钟31129厘⽶. 设边长为300厘⽶,则爬⾏⼀周需31303002030050300=++(分钟), 平均速度为(300?3)÷31=31129(厘⽶/分). 8. 40甲第⼀次回到A 点要⽤400÷80=5分钟,以后每隔5分钟回到A 点⼀次；⼄第⼀次回到A 点要⽤400÷50=8分钟,以后每隔8分钟回到A 点⼀次.⽽5与8的最⼩公倍数是40.所以,甲、⼄两⼈再在A 点相遇最少要⽤40分钟.9. 140假设甲⼄都不停地跑,那么甲追上⼄的时间是100÷(5-4)=100(秒),甲、⼄每跑100⽶停10秒,等于甲跑100÷5=20(秒)休息10秒,⼄跑100÷4=25(秒)休息10秒.跑100秒甲要停100÷20-1=4(次)共⽤100+10?4=140(秒),此时甲已跑的路程为500⽶；在第130秒时⼄已跑路程为400⽶(他此时已休息3次,花30秒),并在该处休息到第140秒,甲刚好在⼄准备动⾝时赶到,他们确实碰到⼀块了.所以甲追上⼄需要的时间是140秒.10. 480依题意作出⽰意图(如下图),从出发到第⼀次相遇甲⼄两⼈共跑了半圈,其中⼄跑了100⽶.从出发到第⼆次相遇甲⼄两⼈共跑了三个半圈,其中甲跑的路程⽐⼀圈少60⽶,⼄跑的路程⽐半圈多60⽶.因为他们以匀速跑步,所以⼄总共跑了三个100⽶,3?100-60=240(⽶)所以,跑道的长是2?240=480(⽶)11. 甲、⼄⼆⼈第⼀次相遇时,⼀共⾛过的路程是2200=100⽶,所以需要的时间是1110065100=+秒.以后,两⼈每隔1120065200=+秒相遇⼀次. 所以,16分钟内⼆⼈相遇的次数是-?11200111001660+1=121526412120011960+??????-=+??????-?=??????10520+1[]13.52+=52+1=53(次)这⾥的中括号[ ]不是普通的括号,[x ]表⽰x 的整数部分,如[]25.225==??,[]33=,[]06.0=. 12. 甲车绕⼀圈后再到B ⼚,共⽤60?[(6+8+10+6)÷60]+2?3=36 (分)；⼄车绕⼀圈后再到B ⼚,共⽤60? [(8+10+6)÷48]+3?2=36(分)；丙车从C ⼚到B ⼚，共⽤60?[(10+6)÷36]+5=3231(分). 因为丙车到B ⼚要停5分,所以三车同时开出后36分在B ⼚同时相遇.13. 见下表,其中5次追上,此时,⼄共爬⾏0.5+2.5+10+40+160=213(分)14. 甲追⼄1圈时,甲跑了8?[400÷(8-6)]=1600(⽶),此时甲、⼄的速度分别变为6⽶/秒和5.5⽶/秒.甲追上⼄2圈时,甲跑了1600+6?[400÷(6-5.5)]=6400(⽶),此时甲、⼄的速度分别变为4⽶/秒和5⽶/秒.⼄第⼀次追上甲时,甲跑了6400+4?[400÷(5-4)]=8000(⽶),⼄跑了 8000-400=7600(⽶).此时,甲、⼄的速度分别变为4.5⽶/秒和5.5⽶/秒.⼄跑到终点还需(10000-7600)÷5.5=114800(秒), ⼄到达终点时,甲距终点(10000-8000)-4.5?114800=XXXX-114361171963=(⽶).。

五年级备课教员：第六讲追及问题一、教学目标： 1.能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系解应用题。

2.借助公式“追及路程=追及时间×速度差”来解决问题。

3.培养分析问题、解决问题的能力，提高应用数学的意识。

4.体验生活中数学的应用与价值，感受数学来源于生活，感受数学与人类生活的密切联系，激发学数学、用数学的兴趣。

二、教学重点： 1.利用速度、路程、时间之间的关系解应用题。

2.通过对具体问题情境的分析，列出算式，解决问题。

三、教学难点： 1.借助公式“追及路程=追及时间×速度差”解决问题。

2.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，解决问题。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们，大家应该都有听过龟兔赛跑的故事吧？生：听过。

师：最后是不是因为兔子睡觉偷懒，被乌龟赶上赢得了比赛呀？生：是的......师：那如果兔子没有偷懒，你们觉得兔子和乌龟谁会赢呢？生：兔子，因为兔子比乌龟跑得快。

师：没错，那老师为了比赛公平，让乌龟先跑出一段距离，再让兔子出发，你们认为现在谁会赢呢？生：不能确定。

师：怎么才能确定乌龟和兔子谁赢呢？我们今天就来研究这一类型的数学问题，好吗？生：好的！【板书课题：追及问题】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）一名警察以每分钟400米的速度向一名小偷追去，小偷的速度是每分钟350米，现在警察和小偷的距离是500米，那么警察最快要几分钟能追上小偷？（PPT出示）师：同学们，看完题目，警察和小偷现在是相距多少米？生: 500米。

师：你们知道这个500米是什么吗？生：警察要追小偷的距离。

师：没错，那么这个500米就是追及路程。

生：是的，我明白了。

师：警察的速度是每分钟400米，小偷的速度是每分钟350米，所以我们可以发现警察速度比小偷速度快多少？生：每分钟50米。

师：是的。

追及路程是500米，速度差是每分钟50米。

思维探索一头狮子正在追赶一只羊，狮子每秒钟跑10米，羊每秒跑8米，5秒钟后，狮子抓到了羊，问，原来羊在狮子前方多少米？练习：1、一只猫发现在它前方16米远的地方有一只老鼠，猫马上以每秒10米的速度扑了过去，老鼠则以每秒6米的速度逃命，那么经过多久时间猫能追上老鼠？2、甲乙两车从A地开往B地运货，甲车先行出发20分钟。

已知甲车行驶速度为60千米/时，乙车行驶速度为80千米/时。

当乙车追上甲车时，乙车行驶了多少千米？例题1---3及练习详见课本例4、两辆汽车从公司出发去飞机场，第一辆车以每小时30千米的速度由公司开往飞机场，30分钟后，第二辆车以每小时45千米的速度由公司开往飞机场，结果两车同时到达，那么公司距飞机场有多远？练习：一辆快车和一辆慢车同时从甲地开往乙地。

快车每小时行108千米，慢车每小时行72千米，慢车比快车迟1小时达到乙地，求甲乙两地之间的距离。

例5、哥哥和弟弟去公园，弟弟每分钟走50米，弟弟出发一段时间后，哥哥以每分钟70米的速度去追赶弟弟，哥哥出发25分钟后，追上弟弟。

问弟弟比哥哥早出发多少分钟？练习：两辆汽车都从武汉出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可以到达，客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？例6、甲乙两地从A地出发去B地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，甲比乙晚出发3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达目的地。

问两地相距多少千米？练习：甲乙二人同时从A地出发去B地。

甲骑自行车每小时行10千米，乙步行每达B地。

求AB两地相距多少千米？例7、优优和小奥绕环形操场跑步，已知环形跑道一圈长400米，优优的速度为4米/秒，小奥的速度为6米/秒，他们从同一地点同时同向而跑。

起跑后多长时间小奥比优优多跑一圈？练习：优优和小奥绕环形操场跑步，已知环形跑道一圈长400米，优优的速度为4米/秒，小奥的速度为6米/秒。

两人站在同一起跑线上同向而跑，优优先跑10秒。

追及问题的解题策略
刘焕君
【期刊名称】《中学生数理化（高一版）》
【年(卷),期】2014(000)009
【摘要】追及问题是直线运动中常见的题型之一,变化灵活、错综复杂、容易出错,通过对这类问题的训练,能够锻炼同学们的审题能力、灵活应用知识的能力和比较总结能力。

下面笔者通过一道题总结和归纳追及问题的解题策略,以供大家参考。

【总页数】1页(P24)
【作者】刘焕君
【作者单位】
【正文语种】中文
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——以"将军饮马"问题模型的解题策略为例
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一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： =⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键知识框架多人多次相遇和追及问题多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲【例 1】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。

如果甲、乙从A，丙从B地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。