特殊平行四边形拔高题含答案资料

特殊平行四边形专题一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面积．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝______；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝_______；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．特殊平行四边形专题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．解：∵四边形形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，又∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS）．∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，∵F是BD的中点，∴BF＝DF，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（AAS）；（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，∴BE＝DG，∵BE∥DG，∴四边形DEBG是平行四边形，∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝BE，∴四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，同理可得△BFC≌△DFC，可得BF＝DF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．解：（1）证明：∵正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形不能是平行四边形．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO 的面积．（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，AD＝4，∴BD＝5，∵S△ABD＝AB•AD＝BD•AE，∴3×4＝5AE，∴AE＝，∵AC＝BD＝5，∴AO＝AC＝，∵AE⊥BD，∴OE＝＝＝，∴△AEO的面积＝＝．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝1，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝1，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，∵BC＝BE，∴CE＝BC，∵AB＝BC，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CD＝DF，∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，∴BE＝DF＝CF＝BC，∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，在△DFG和△EBF中，∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，∴DG＝2．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝5；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝＝＝5；故答案为：5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+＝，综上，DE的长是或．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝CD，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，∴AE＝4，∴BD＝AE＝4．在Rt△BAD中，O为BD中点，∴AO＝BD＝2．∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠EAO＝∠OAD+∠DAE＝45°+45°＝90°，∴OE＝2．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝3；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AD＝6，F为AB边中点，∴EF＝AB＝AD＝3．故答案为：3；（2）延长EF交DA于G，∵AD∥BC，∴∠G＝∠FEB，∠GAB＝∠B，∵AF＝BF，∴△AGF≌△BEF（AAS），∴GF＝EF，∵DF⊥EF，∴DG＝DE，∴∠ADF＝∠EDF；（3）设BE＝x，则AG＝x，则DE＝DG＝6+x，∵AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2，AE2＝DE2﹣AD2＝（x+6）2﹣62，∴62﹣x2＝（x+6）2﹣62，解得x＝﹣3±3，∴BE＝﹣3+3，∴DE═﹣3+3+6═3+3．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E、点F分别是OB、OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝OB＝OE，∴AC＝EF，∴四边形AECF为矩形；（2）解：由（1）得：OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°，∴△OAE是等边三角形，∠OF A＝∠OAF＝30°＝∠ABO，∴AE＝OA，AF＝AB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴AE＝OA＝AB＝，∴矩形AECF的面积＝AF×AE＝3．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵BF＝CF，∴DF＝EF＝BC．（2）解：∵FE＝FB＝FC＝FD，∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BFE+∠DFC＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝120°，∴∠EFD＝60°，∵EF＝DF，∴△EFD是等边三角形，∵EF＝BC＝3，∴△DEF使得周长为9．（3）∵EC＝BF，BF＝CF，∴EC＝BC，∴cos∠BCE＝，∴∠ECB＝45°，∵BC＝6，∴EB＝EC＝3，∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴AE＝×3＝，∴AB＝BE+AE＝3+，在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝，∴S四边形EFDA＝S△EDF+S△ADE＝×32+×××＝3+．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10B．12C．15D．20【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【解析】设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2．4.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．20【答案】B【解析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．5.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．6.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．7.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．∠AFB+∠BEC="90°" D．AG⊥BE【答案】C【解析】∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC．∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE（第一个正确）．∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）．∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）．∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°．∴∠CBE+∠AFB=90°．∴AG⊥BE（第四个正确）．所以不正确的是C，故选C．9.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形【答案】C【解析】A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．10.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．11.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_______度．【答案】65【解析】因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．13.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．14.如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_______．【答案】【解析】后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形ABCn On的面积为．15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）【答案】AC=BC【解析】由已知可得四边形的四个角都为直角，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知添加条件为AC=BC时，能说明CE=CF，即此四边形是正方形．17.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．计算：∠PBA=∠PCQ=30°．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形．∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形．∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．【解析】因为矩形的内角是直角，等边三角形的内角是60∘，所以根据这两个特殊角可以计算角的度数．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．【答案】解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB="AD" ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．【解析】(1)利用已知条件和公共边，证得△ABC≌△ADC，即可证明∠BAC=∠DAC；再证明△ABF≌△ADF，得到∠AFB=∠AFD，再利用对顶角相等，易知结论；(2)有平行线的性质和(1)中结论，易知∠DAC=∠ACD，所以AD=CD，进而证得AB=CB=CD=AD，即可证明结论；(3)当BE⊥CD时，有(2)可知BC="CD" ，∠BCF=∠DCF，利用△BCF≌△DCF证得∠CBF=∠CDF，再利用等角的余角相等即可证明结论∠EFD =∠BCD．20.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。

18.1.1平行四边形的性质1.如图，在□ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF.2.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.3.如图，已知在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：OA=OC、OB= OD.AB C DO4.如图，已知四边形ABCD、ADEF、ABGF都是平行四边形，且周长分别为22，26，16，求图中所有线段的长.5.如,E是▱ABCD的CD边的中点,AE,BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,求▱ABCD的周长.6.公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．7.如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，AE＝CF．求证：BF∥DE．8.在□ABCD中，AD＝12．（1）若BD＝10，AC＝26，求S▱ABCD；（2）若∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，求▱ABCD的周长．9.如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．10.如图，在□ABCD中，直线EF∥BD，并且与CD、CB的延长线分别交于E、F，交AD于H，交AB于G．求证：EG＝FH．11.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥BC，如果△AED的周长为28cm，EB＝9cm，求梯形ABCD的周长．12.如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC,DF⊥AC,E、F分别为垂足，试说明四边形BEDF是平行四边形.13.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若DO=1.5,AB=5,BC=4,求▱ABCD 的面积.14.如图，在□ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，且AE⊥AD.（1）若BG=2，BC= √29，求EF的长度；（2）求证：CE+ √2 BE=AB.15.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF//CE，且交BC于点F．(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)如图，若∠1=65°，求∠B的大小．16.已知：如图, 平行四边形ABCD, 对角线AC与BD相交于点E, 点G为AD的中点, 连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F, 连接FD.(1) 求证: AB=AF；(2) 若AG=AB，∠BCD=120∘，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论 .17.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．18.如图，已知两个全等的等腰三角形如图所示放置，其中顶角顶点（点A）重合在一起，连接BD和CE，交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）当四边形ABFE是平行四边形时，且AB＝2，∠BAC＝30°，求CF的长．19.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．20.如图（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD 上，DE⊥CF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就会由判定得出≌.（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图，且DE⊥CF于点P，她发现DECF =ADCD，请你替她完成证明.（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，使得DECF =ADCD成立？并证明你的结论.。

平行四边形的判定和性质拔高训练题
1. 平行四边形的判定
问题描述
给定四边形ABCD，判断它是否为平行四边形。

解决方法
判断四边形ABCD是否为平行四边形的方法有多种，其中一种常用的方法是通过计算四边形的边长和角度来进行判定。

方法一：边长判定
若四边形ABCD的对边AB和CD的长度相等，以及对边AD 和BC的长度相等，则可判定四边形ABCD为平行四边形。

方法二：角度判定
若四边形ABCD的对角A和C的度数相等，以及对角B和D 的度数相等，则可判定四边形ABCD为平行四边形。

2. 平行四边形的性质
问题描述
已知四边形ABCD是平行四边形，求证以下性质：
1. 对边平行性质：对边AB和CD是平行的。

2. 内角和性质：对角A和C的度数之和为180度，对角B和
D的度数之和为180度。

解决方法
已知四边形ABCD是平行四边形，可以通过平行四边形的性质来证明上述性质。

证明方法一：对边平行性质
根据平行四边形的定义，对边AB和CD平行。

证明方法二：内角和性质
根据平行线的性质，对角A和C所对应的直角相等，对角B
和D所对应的直角相等。

对于四边形的内角和为360度的性质，可
得对角A和C度数之和为180度，对角B和D度数之和为180度。

以上是平行四边形的判定和性质拔高训练题文档的内容，希望能够帮助到您。

初中八年级平行四边形拔高题综合题压轴题(含答案)题目一已知平行四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，过点B作平行于AD的直线与AC交于点E，连接DE交BC的延长线于点F。

求EF的长度。

答案一连接DE并延长交BC于点G，根据平行四边形的性质，我们知道AG || DE。

所以AG || BF。

由此可得∆BFG与∆BCD为三角形对应边平行，则根据平行线截断比定理可知：$\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$又已知$BE = BC + CE$，$CE = BD$，$BC = 8$，代入得：$\frac{{8+BD}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$整理可得：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$ 由于$FG = GD$，所以：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{BD}}{{GD}} = 1$ 代入可得：$\frac{{1}}{{1}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$整理得：$BD = GC - 8$题目中已知BC=8，所以GC=16。

代入可得：$BD = 16 - 8 = 8$所以EF的长度等于BD，即EF=8cm。

题目二平行四边形PQRS中，已知PR = 5cm，PQ = 6cm，PS = 7cm。

点A在PS上，且PA的长度是PS的一半。

连接AQ并延长交QR 的延长线于点B，连接RP交QA的延长线于点C。

求BC的长度。

答案二设PS的长度为2x，则PA = x。

由平行四边形的性质可知AQ || RB，所以根据平行线截断比定理：$\frac{{RP}}{{PC}} = \frac{{AQ}}{{CQ}}$代入已知条件，得：$\frac{{2x + 6}}{{PC}} = \frac{{4}}{{2x - 6}}$ 整理可得：$(2x + 6)(2x - 6) = 4PC$解方程得：$x = 3$所以PA = 3cm。

八年级下平行四边形拔高训练(含答案)初中数学组卷（平行四边形）一．选择题（共12小题）1．（2015•温州模拟）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9 2．（2015•闸北区二模）一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．（2014•枣庄）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．1C．D．7 4．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC 的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④5．（2013•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5C．4.5 D．4 6．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4 7．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4D．8 8．（2013•湘西州）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：59．（2013•无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为▱ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（）A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9 10．（2013•达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2B．3C．4D．5 11．（2010•泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）A．140°B．130°C．110°D．70°12．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④二．填空题（共10小题）13．（2014•安徽）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S △BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．14．（2014•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC．若AB=10，则EF的长是．15．（2014•江汉区二模）如图，在四边形ABCD 中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=．16．（2013•滨州）在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=．17．（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．18．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为．19．（2013•荆州）如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是．20．（2013•宁波自主招生）如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，则阴影部分的面积为．21．（2013•南岗区校级一模）如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD=，OE=，则AB=．22．（2013•灌云县模拟）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF=．三．解答题（共8小题）23．（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．24．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．求证：OE=OF．25．（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC 的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．26．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：∠CEG=∠AGE．27．（2013•郴州）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF 是平行四边形．28．（2013•沙坪坝区模拟）如图，▱ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于点E．（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度数；（2）求证：AB=2OE．29．（2013•江北区校级模拟）如图，已知▱ABCD 中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM．30．（2013•重庆模拟）如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．初中数学组卷（平行四边形）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015•温州模拟）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9考点： 多边形内角与外角． 专题： 应用题；压轴题． 分析： 先根据多边形的内角和公式（n ﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．解答： 解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O ，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选B ．点评： 本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．2．（2015•闸北区二模）一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）A ． 是轴对称图形，但不是中心对称图形B ． 是中心对称图形，但不是轴对称图形C ． 既是轴对称图形，又是中心对称图形D ． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形考点： 中心对称图形；轴对称图形． 专题： 几何图形问题；综合题；压轴题． 分析： 先根据旋转对称图形的定义得出这个正多边形是正八边形、再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．解答： 解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，360°÷45°=8，∴这个正多边形是正八边形．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选C ．点评：本题综合考查了旋转对称图形的概念，中心对称图形和轴对称图形的定义．根据定义，得一个正n 边形只要旋转 的倍数角即可．奇数边的正多边形只是轴对称图形，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．3．（2014•枣庄）如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 7考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质． 专题： 几何图形问题；压轴题． 分析： 由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形，所以F 为GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF 的长．解答： 解：∵AD 是其角平分线，CG ⊥AD 于F ，∴△AGC 是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF ，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE 是中线，∴BE=CE ，∴EF 为△CBG 的中位线，∴EF=BG=，故选：A ．点评： 本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论，①EF ⊥BD ，②EF=BD ，③∠ADC=∠BEF+∠BFE ，④AD=DC ，其中正确的是（ ）A ． ①②③④B ． ①②③C ． ①②④D ． ②③④考点： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．解答： 解：如下图所示：连接AC ，延长BD 交AC于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．∵∠ABC=∠C=45°∴CP ⊥AB∵∠ABC=∠A=45°∴AQ ⊥BC点D 为两条高的交点，所以BM 为AC 边上的高，即：BM ⊥AC ．由中位线定理可得EF ∥AC ，EF=AC ∴BD ⊥EF ，故①正确．∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ ，∵∠A=∠ABC ，∴AQ=BQ ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根据以上条件得△AQC ≌△BQD ，∴BD=AC ∴EF=AC ，故②正确．∵∠A=∠ABC=∠C=45°∴∠DAC+∠DCA=180°﹣（∠A+∠ABC+∠C ）=45°∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠DCA ）=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC故③∠ADC=∠BEF+∠BFE 成立；无法证明AD=CD ，故④错误．故选B ．点评： 本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．5．（2013•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x 2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A ． 5.5B ． 5C ． 4.5D ． 4考点： 三角形中位线定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． 专题： 压轴题． 分析： 首先解方程求得三角形的两边长，则第三边的范围可以求得，进而得到三角形的周长l 的范围，而连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长一定是l 的一半，从而求得中点三角形的周长的范围，从而确定．解答： 解：解方程x 2﹣8x+15=0得：x 1=3，x 2=5，则第三边c 的范围是：2＜c ＜8． 则三角形的周长l 的范围是：10＜l ＜16，∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m 的范围是：5＜m ＜8．故满足条件的只有A ．故选A ．点本题考查了三角形的三边关系以及三角形评： 的中位线的性质，理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系式关键．6．（2013•淄博）如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）A ．B ．C ． 3D ． 4考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质． 专题： 几何图形问题；压轴题． 分析： 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA=BE ，CA=CD ，由△ABC 的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ ．解答： 解：∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD ﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选：C ．点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．7．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，则AE 的边长为（ ）A ． 2B ． 4C ． 4D ． 8考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由AE 为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD 为平行四边形，得到AD 与BE 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF ，由F 为DC 中点，AB=CD ，求出AD 与DF 的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到G 为AF 中点，在直角三角形ADG 中，由AD 与DG 的长，利用勾股定理求出AG 的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF 与三角形ECF 全等，得出AF=EF ，即可求出AE 的长．解答： 解：∵AE 为∠DAB 的平分线，∴∠DAE=∠BAE ，∵DC ∥AB ，∴∠BAE=∠DFA ，∴∠DAE=∠DFA ，∴AD=FD ，又F 为DC 的中点，∴DF=CF ，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：AG=， 则AF=2AG=2，∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAF=∠E ，∠ADF=∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，，∴△ADF ≌△ECF （AAS ），∴AF=EF ，则AE=2AF=4．故选：B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．8．（2013•湘西州）如图，在▱ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长之比是（ ）A ． 1：2B ． 1：3C ． 1：4D ． 1：5考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：压轴题． 分析： 根据平行四边形性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，推出△EDF ∽△BCF ，得出△EDF 与△BCF 的周长之比为，根据BC=AD=2DE 代入求出即可．解答： 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△EDF ∽△BCF ，∴△EDF 与△BCF 的周长之比为，∵E 是AD 边上的中点，∴AD=2DE ，∵AD=BC ，∴BC=2DE ，∴△EDF 与△BCF 的周长之比1：2，故选A ．点评： 本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，相似三角形的周长之比等于相似比．9．（2013•无锡）已知点A （0，0），B （0，4），C （3，t+4），D （3，t ）．记N （t ）为▱ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N （t ）所有可能的值为（ ）A ． 6、7B ． 7、8C ． 6、7、8D ． 6、8、9考点： 平行四边形的性质；坐标与图形性质． 专题：压轴题． 分分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，析： 根据答案即可求出答案．解答： 解：当t=0时，A （0，0），B （0，4），C （3，4），D （3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；当t=1时，A （0，0），B （0，4），C （3，5），D （3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；当t=1.5时，A （0，0），B （0，4），C （3，5.5），D （3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；当t=2时，A （0，0），B （0，4），C （3，6），D （3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；故选项A 错误，选项B 错误；选项D 错误，选项C 正确；故选：C ．点评： 本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．10．（2013•达州）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5考点： 平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离． 专题： 压轴题． 分析： 由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD ⊥BC 时，DE 线段取最小值． 解答： 解：∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，∴BC ⊥AB ． ∵四边形ADCE 是平行四边形，∴OD=OE ，OA=OC ．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短，此时OD ⊥BC ．∴OD ∥AB ．又点O 是AC 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD=AB=1.5，∴ED=2OD=3．故选B ．点评：本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．11．（2010•泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D ，E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 重叠压平，A与A ′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）A ． 140°B ． 130°C ． 110°D ． 70°考点：多边形内角与外角．专题：压轴题．分析： 首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA ′E 的内角和，由折叠可知∠AED=∠A ′ED ，∠ADE=∠A ′DE ，∠A=∠A ′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A ′ED+∠ADE+∠A ′DE ，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2．解答： 解：∵四边形ADA ′E 的内角和为（4﹣2）•180°=360°，而由折叠可知∠AED=∠A ′ED ，∠ADE=∠A ′DE ，∠A=∠A ′，∴∠AED+∠A ′ED+∠ADE+∠A ′DE=360°﹣∠A ﹣∠A ′=360°﹣2×70°=220°，∴∠1+∠2=180°×2﹣（∠AED+∠A ′ED+∠ADE+∠A ′DE ）=140°．故选：A ．点评：本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．12．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ；②∠CDF=∠EAF ；③△ECF 是等边三角形；④CG ⊥AE ．A ． 只有①②B ． 只有①②③C ． 只有③④D ． ①②③④考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．专题：压轴题．分析： 根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．解答： 解：∵△ABE 、△ADF 是等边三角形∴FD=AD ，BE=AB ∵AD=BC ，AB=DC∴FD=BC ，BE=DC∵∠B=∠D ，∠FDA=∠ABE∴∠CDF=∠EBC∴△CDF ≌△EBC ，故①正确；∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°﹣∠CDA ）=300°﹣∠CDA ，∠FDC=360°﹣∠FDA ﹣∠ADC=300°﹣∠CDA ，∴∠CDF=∠EAF ，故②正确；同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF ，∵BC=AD=AF ，BE=AE ，∴△EAF ≌△EBC ，∴∠AEF=∠BEC ，∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，∴∠FEC=60°，∵CF=CE ，∴△ECF 是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE 中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG ⊥AE ，则G 是AE 的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG ⊥AE 不能求证，故④错误．故选B ．点评： 本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．二．填空题（共10小题）13．（2014•安徽）如图，在▱ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD ；②EF=CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE=3∠AEF ．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 专题： 几何图形问题；压轴题． 分析： 分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），得出对应线段之间关系进而得出答案．解答： 解：①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC =S △CFM ， ∵MC ＞BE ， ∴S△BEC ＜2S △EFC 故S △BEC =2S △CEF 错误；④设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x ，∴∠EFC=180°﹣2x ，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x ， ∵∠AEF=90°﹣x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．故答案为：①②④．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF 是解题关键．14．（2014•福州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 到点F ，使CF=BC ．若AB=10，则EF的长是 5 ．考点： 平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理． 专题： 压轴题． 分析：根据三角形中位线的性质，可得DE 与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得DC 与EF 的关系，根据直角三角形的性质，可得DC 与AB 的关系，可得答案．解答： 解：如图，连接DC ．DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE=，∵CF=BC ，∴DE ∥CF ，DE=CF ，∴CDEF 是平行四边形，∴EF=DC ．∵DC 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴DC==5，∴EF=DC=5，故答案为：5．点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15．（2014•江汉区二模）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=．考点： 三角形中位线定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义． 专压轴题．题：分析： 根据中位线的性质得出EF ∥BD ，且等于BD ，进而得出△BDC 是直角三角形，求出即可．解答： 解：连接BD ，∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，且等于BD ，∴BD=4，∵BD=4，BC=5，CD=3，∴△BDC 是直角三角形，∴tan C==， 故答案为：点评： 此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC 是直角三角形是解题关键．16．（2013•滨州）在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，且AB=6，BC=10，则OE= 5 ．考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 先画出图形，根据平行线的性质，结合点E是边CD 的中点，可判断OE 是△DBC 的中位线，继而可得出OE 的长度．解答： 解： ∵四边形ABCD 是平行四变形，∴点O 是BD 中点，∵点E 是边CD 的中点，∴OE 是△DBC 的中位线，∴OE=BC=5．故答案为：5．点评： 本题考查了平行四边形的性质及中位线定理的知识，解答本题的关键是根据平行四边形的性质判断出点O 是BD 中点，得出OE是△DBC 的中位线．17．（2013•鞍山）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH的周长是 11 ．考点： 三角形中位线定理；勾股定理． 专题： 压轴题． 分析：利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD ，EF=GH=BC ，然后代入数据进行计算即可得解．解答： 解：∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD的中点，∴EH=FG=AD ，EF=GH=BC ，∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ，又∵AD=6，∴四边形EFGH 的周长=6+5=11．故答案为：11．点评： 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．18．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为．考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： 延长CF 交AB 于点G ，证明△AFG ≌△AFC ，从而可得△ACG 是等腰三角形，GF=FC ，点F 是CG 中点，判断出DF 是△CBG 的中位线，继而可得出答案．解答： 解：延长CF 交AB 于点G ，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAF=∠CAF ，∵AF 垂直CG ，∴∠AFG=∠AFC ，在△AFG 和△AFC 中， ∵， ∴△AFG ≌△AFC （ASA ），∴AC=AG ，GF=CF ，又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线，∴DF=BG=（AB ﹣AG ）=（AB ﹣AC ）=． 故答案为：．点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．19．（2013•荆州）如图，△ACE 是以▱ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称．若E 点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是 （5，0） ．考平行四边形的性质；坐标与图形性质；等边点： 三角形的性质．专题： 压轴题． 分析： 设CE 和x 轴交于H ，由对称性可知CE=6，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=6，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO 和DH 的长，所以OD可求，又因为D 在x 轴上，纵坐标为0，问题得解． 解答： 解：∵点C 与点E 关于x 轴对称，E 点的坐标是（7，﹣3），∴C 的坐标为（7，3），∴CH=3，CE=6，∵△ACE 是以▱ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，∴AC=6，∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D 点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．点评： 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用．20．（2013•宁波自主招生）如图，E 、F 分别是▱ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S△APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2，则阴影部分的面积为30cm 2 ．考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： 连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC =S △BCQ ，S △EFD =S △ADF ，所以S△EFG =S △BCQ ，S △EFP =S △ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S △APD +S △BQC ．解答： 解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等，∴S△EFC =S △BCF ， ∴S△EFQ =S △BCQ ， 同理：S △EFD =S △ADF ， ∴S△EFP =S △ADP ， ∵S△APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2，∴S 四边形EPFQ =30cm 2，故阴影部分的面积为30cm 2．点评： 本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．21．（2013•南岗区校级一模）如图，AD 、BE 为△ABC 的中线交于点O ，∠AOE=60°，OD=，OE=，则AB= 7 ．考点： 三角形中位线定理；含30度角的直角三角形；勾股定理． 专题： 压轴题． 分析： 过点E 作EF ⊥AD 于F ，连接DE ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OF ，再利用勾股定理列式求出EF ，然后求出DF ，再利用勾股定理列式求出DE ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．解答： 解：如图，过点E 作EF ⊥AD 于F ，连接DE ， ∵∠AOE=60°，∴∠OEF=90°﹣60°=30°，∵OE=，。

专题04 特殊的平行四边形压轴题型汇总一、单选题1．（2021·临沂第九中学）如图，在□ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．【详解】解：∵O为BD的中点，∵OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∵DC//AB，∵∵CDO＝∵EBO，∵DFO＝∵OEB，∵∵FDO∵∵EBO（AAS），∵OE＝OF，∵四边形DEBF为平行四边形，故A选项不符合题意，若AE＝3.6，AD＝6，∵3.6365AEAD==，又∵63105ADAB==，∵AE ADAD AB=，∵∵DAE＝∵BAD，∵∵DAE∵∵BAD，压轴题型汇总1∵∵AED＝∵ADB＝90°．∵四边形DEBF为矩形．故B选项不符合题意，∵AB＝10，AE＝5，∵BE＝5，又∵∵ADB＝90°，AB＝5，∵DE＝12∵DE＝BE，∵四边形DEBF为菱形．故C选项不符合题意，∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，∵AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．2．（2021·河南八年级期末）如图，菱形ABCD的边长是8，对角线交于点O，⊥ABC=120°，若点E是AB的中点，点M是线段AC上的一个动点，则BM+EM的最小值为（）A．4B．C．8D．16【答案】B【分析】连接DE交AC于M，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B和D关于AC对称，则MD = MB，ME十MB=ME+MD≥DE，即DE就是ME十M B的最小值．【详解】解：连接DE交AC于M，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则MD = MB，ME 十MB =ME +MD ≥DE ，即DE 就是ME 十MB 的最小值，∵∵ABC =120°，∵BAD = 60°，AD ＝ AB ＝8，∵ABD 是等边三角形，∵点E 是AB 的中点，∵AE = BE ＝4，DE ∵AB (等腰三角形三线合一的性质)，在Rt ∵ADE 中，由勾股定理可得： DE =，故选：B ．【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用，解题的关键确定M 的位置． 3．（2021·连云港市新海实验中学）如图，在Rt ABC 中，⊥ACB =90°，BC =2，⊥BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到⊥A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点， 连接PM ，则线段PM 的最大值是（ ）A ．4B ．2C ．3D ．【答案】C【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接PC ，∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==，∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==， ∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线，故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．（2021·山东济宁学院附属中学九年级）如图，矩形纸片ABCD ，6cm AB =，8cm BC =，E 为边D 上一点，将BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM BE ⊥，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN =（ ）cm ．A ．5B ．6C ．245D ．【答案】A【分析】 连接AC ，MC ，可求得M 为CF 的中点，根据中位线的性质可得12MN AC =，勾股定理求得AC 即可．【详解】解：连接AC ，MC由折叠的性质可得CF EB ⊥，CE EF =又∵FM BE ⊥∵点M 在线段FC 上，90EMF EMC ∠=∠=︒又∵ME ME =∵()EMF EMC HL △≌△∵FM MC =又∵AF 的中点N∵MN 为ACF 的中位线 ∵12MN AC =在Rt ACB 中，10cm AC =∵5cm MN =故选A【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角形中位线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．5．（2021·珠海市九洲中学）如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ∠=︒，则下面的结论：①ODC △是等边三角形；②2BC AB =；③AOB BOC S S =△△；④AOE COE S S =，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【分析】 由矩形的性质得OA ＝OD ＝OC ＝OB ，再证∵ACD ＝60°，得∵ODC 是等边三角形，故①正确；然后由含30°角的直角三角形的性质得AC ＝2AB ，则2AB ＞BC ，故②错误；然后由OA ＝OC得AOB BOC S S =△△，AOE COE SS =，故③④正确．【详解】 解：∵四边形ABCD 是矩形，∵AD //BC ，∵BAD ＝∵ABC ＝∵ADC ＝90°，OA ＝OC ，OD ＝OB ，AC ＝BD ，∵OA ＝OD ＝OC ＝OB ，∵AE 平分∵BAD ，∵∵DAE ＝45°，∵∵CAE ＝15°，∵∵DAC ＝45°−15°＝30°，∵∵ACD ＝90°−∵DAC ＝90°−30°＝60°，∵OD ＝OC ，∵∵ODC 是等边三角形，故①正确；∵AD //BC ，∵∵ACB ＝∵DAC ＝30°，∵∵ABC ＝90°，∵AC ＝2AB ，∵2AB ＞BC ，故②错误；∵OA ＝OC ，∵AOB BOC S S =△△，AOE COE SS =，故③④正确；故答案为：C.【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA ＝OD ＝OC 是解题的关键．6．（2021·西安市铁一中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系xoy 中，()4,4P ，A 、B 分别是x 轴正半轴、y 轴正半轴上的动点，且ABO 的周长是8，则P 到直线AB 的距离是（ ）A ．4B ．3C ．2.5D ．2【答案】A【分析】 构造正方形DPCO ，将∵PA 'C 沿PA'折叠得到∵PA 'E ，再证明∵PB 'D ∵∵PB 'E ，得到''A B O 的周长等于8，于是∵A 'B'O 即∵ABO ，故可得到P 到直线AB 的距离为PE =4，即可求解．【详解】如图，∵()4,4P∵构造正方形DPCO ，边长等于4，故PD =PC =4将∵PA 'C 沿PA'折叠得到∵PA 'E ，延长A'E 交y 轴于点B'，∵PC =PE ，A 'C =A 'E ，∵PCA'=∵PEA'=90°，∵PD =PE又∵PDB'=∵PEB'=90°，PB'=PB'∵∵PB 'D ∵∵PB'E （HL ）∵B 'D =B'E∵''A B O 的周长等于A 'O +OB'+A 'B'=A'O +B'O +B'E +A'E = A 'O +B'O +B'D +A 'C =OC +DO =8故∵A 'B 'O 符合题意中的∵ABO ，∵P 到直线AB 的距离为PE =4故选A ．【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造正方形，利用全等三角形的性质求解．7．（2021·浦江县教育研究和教师培训中心）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE BF ⊥，交点为G ，CH BF ⊥，交BF 于点H ．若CH HG =，1CFH S =△，那么正方形的面积为（ ）A ．15B ．20C ．22D ．24【答案】B【分析】 根据AE BF ⊥，利用同角的余角相等得出EAB FBC ∠=∠，再根据AAS 即可证出ABG BCH ≌△△，得BG CH =，设CH x =，算出BC ，设FH 为y ，分别在CFH △和CFB 中使用勾股定理得12y x =，再由1CFH S =△得2x =，即可求出正方形的面积．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠=∠=︒， AE BF ⊥，90ABC ∠=︒，90BAE GBA ∴∠+∠=︒，90FBC GBA ∠+∠=︒，BAE CBF ∴∠=∠，CH BF ⊥，90BHC AGB ∴∠=︒=∠，在ABG 与BCH 中，BGA BHC BAE CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABG BCH AAS ∴△≌△，BG CH ∴=，设CH x =，则HG BG x ==，2BH x ∴=，BC ∴，设FH 为y ，CH BF ⊥，在CFH △中，22222CF FH CH x y =+=+，在CFB 中，22222(2)5CF BF BC x y x =-=+-，2222(2)5x y x y x ∴+=+-， 解得：12y x =， ∴211124CFH S FH CH x =⋅==△，2x ∴=（舍负），∴正方形的面积为2220BC ==．故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，分别在CFH △和CFB 中使用勾股定理是本题的关键．8．（2021·四川绵阳市·中考真题）如图，在等腰直角ABC 中，90C ∠=︒，M 、N 分别为BC 、AC 上的点，50CNM ∠=︒，P 为MN 上的点，且12PC MN =，117BPC ∠=︒，则ABP ∠=（ ）A ．22︒B ．23︒C ．25︒D ．27︒【答案】A【分析】作辅助线，构建矩形，得P 是MN 的中点，则MP ＝NP ＝CP ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可解答．【详解】解：如图，过点M 作MG ∵BC 于M ，过点N 作NG ∵AC 于N ，连接CG 交MN 于H ，∵∵GMC＝∵ACB＝∵CNG＝90°，∵四边形CMGN是矩形，∵CH＝12CG＝12MN，∵PC＝12MN，存在两种情况：如图，CP＝CP1＝12MN，①P是MN中点时，∵MP＝NP＝CP，∵∵CNM＝∵PCN＝50°，∵PMN＝∵PCM＝90°−50°＝40°，∵∵CPM＝180°−40°−40°＝100°，∵∵ABC是等腰直角三角形，∵∵ABC＝45°，∵∵CPB＝117°，∵∵BPM＝117°−100°＝17°，∵∵PMC＝∵PBM＋∵BPM，∵∵PBM＝40°−17°＝23°，∵∵ABP ＝45°−23°＝22°．②CP 1＝12MN ，∵CP ＝CP 1，∵∵CPP 1＝∵CP 1P ＝80°，∵∵BP 1C ＝117°，∵∵BP 1M ＝117°−80°＝37°，∵∵MBP 1＝40°−37°＝3°，而图中∵MBP 1＞∵MBP ，所以此种情况不符合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，作出辅助线构建矩形CNGM 证明P 是MN 的中点是解本题的关键．9．（2021·四川绵阳市·中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（ ）A ．1B C D ．2【答案】C【分析】 由正方形的性质得出DC CB =，90DCE CBF ∠=∠=︒，由ASA 证得DCE CBF △≌△，即可得出答案．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，90FBC DCE ∴∠=∠=︒，3CD BC ==，∵在Rt DCE 中，30∠=︒CDE ，12CE DE ∴=， 设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得：222DC CE DE +=，即2223(2)x x +=，解得：x =， 3CE ，DE CF ⊥，90DOC ∴∠=︒，60DCO ∴∠=︒，906030BCF CDE ∴∠=︒-︒=︒=∠，DCE CBF ∠=∠，CD BC =，()DCE CBF ASA ∴△≌△，BF CE ∴=故选：C ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30角的直角三角形的性质等知识，证明DCE CBF △≌△是解题的关键．10．（2021·河南濮阳县·八年级期中）如图，AD 是ABC 的中线，过点A 作//AM BC ，在AM 上截取AE DC =，连接CE ，则下列命题中，假命题是（ ）A ．若AB AC =，则四边形ADCE 是矩形B ．若AD 平分BAC ∠，则四边形ADCE 是矩形C ．若ABC ∠与ACB ∠互余，则四边形ADCE 是菱形D ．若222AB BC AC +=，则四边形ADCE 是菱形【答案】D【分析】先推出四边形ADCE 是平行四边形，结合等腰三角形的性质，可得AD ∵BC ，进而即可判断A ；过点D 作DG ∵AB ，DH ∵AC ，推出ABC 是等腰三角形，进而可判断B ，根据直角三角形的性质，可判断C ；先推出ABC 是直角三角形且∵B =90°，进而判断D ．【详解】解：∵//AM CD ，AE DC =，∵四边形ADCE 是平行四边形，∵当AB AC =时，AD 是ABC 的中线，∵AD ∵BC ，即∵ADC =90°，∵四边形ADCE 是矩形，故A 是真命题；∵当AD 平分BAC ∠，过点D 作DG ∵AB ，DH ∵AC ，∵DG =DH ，∵AD 是ABC 的中线，∵BD =CD ，∵BDG CDH ≌（HL ），∵∵ABC =∵ACB ，∵ABC 是等腰三角形，∵AD ∵BC ，即：∵ADC =90°，∵平行四边形ADCE 是矩形，故B 是真命题；∵ABC ∠与ACB ∠互余，即ABC ∠+ACB ∠=90°，∵ABC 是直角三角形，∵AD 是ABC 的中线，∵AD =12BC =DC ，∵平行四边形ABCD 是菱形，故C 是真命题；∵当222AB BC AC +=时，∵ABC 是直角三角形且∵B =90°，∵AD 是ABC 的中线，∵AD ≠12BC =DC ，∵四边形ABCD 不是菱形，故D 是假命题【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形，菱形的判定定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形，菱形的判定定理是解题的关键．11．（2021·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，正方形ABCD的面积为s，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C D．s【答案】A【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边∵ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为s，可求出AB的长，从而得出结果．【详解】解：连接BD，设BE与AC交于点F，连接PD∵点B与D关于AC对称，∵PD=PB，∵PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为s，∵AB又∵∵ABE是等边三角形，∵BE=AB∵故选：A．此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P 的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P 的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题12．（2021·哈尔滨市第四十七中学八年级月考）ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，若5AB =，8AC =，6BD =，则DCO 的周长为________．【答案】12【分析】首先由勾股定理的逆定理证明∵AOB 为直角三角形，从而得到AC ∵BD ，然后根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形判定进而解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC ＝8，BD ＝6，∵AO ＝4，BO ＝3，∵AB ＝5，∵AB 2＝AO 2＋BO 2．∵∵OAB 是直角三角形．∵AC ∵BD ．又∵四边形ABCD 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形．∵∵DCO 的周长＝CD ＋OC ＋OD ＝5＋4＋3＝12，故答案为：12【点睛】 本题主要考查的是菱形的判定、平行四边形的性质等知识，掌握勾股定理的逆定理的应用、菱形的判定是解题的关键．13．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）在矩形ABCD 中，12AB =，7BC =，点E 在CD 边上，点F 在AB 边上，连接EF 、DF ，若3CE DE =，EF =DF 的长为_______．【分析】根据矩形的性质及勾股定理的应用对该问题进行分类讨论，分点E 在点G 的左边和点E 在点G 的右边讨论．【详解】解：如图所示，作FG DC ⊥于点G ，则90FGC ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，12,90DC AB B C ∴==∠=∠=︒，∴四边形FGCB 为矩形，7FG BC ∴==， 5EF =1EG ∴==， 3CE DE =，1112344DE DC ∴==⨯=， 314DG DE EG ∴=+=+=，DF ∴==如图，作FG DC ⊥于点G ，则90FGC ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，12,90DC AB B C ∴==∠=∠=︒，∴四边形FGCB 为矩形，7FG BC ∴==， 5EF =1EG ∴==， 3CE DE =，1112344DE DC ∴==⨯=， 312DG DE EG ∴=-=-=，DF ∴【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关的性质定理，利用分类讨论的思想进行求解．14．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边向外作等边CDE △，BE 与AC 相交于点M ，则AMB ∠的度数是________°．【答案】60【分析】易得ABM ∆与ADM ∆全等，AMD AMB ∠=∠，因此只要求出15CBE ∠=︒的度数即可．【详解】解：连接DM ，四边形ABCD 是正方形．AB AD ∴=，BAM DAM ∠=∠．又AM=AMABM ∴∆与ADM ∆全等．AMD AMB ∴∠=∠．CB CE =，CBE CEB ∴∠=∠．9060150BCE BCD DCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，15CBE ∴∠=︒．45ACB =︒∠，60AMB ACB CBE ∴∠=∠+∠=︒．故答案为：60．【点睛】此题考查正方形的性质，三角形的外角的性质、三角形全等，解题的关键是熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化．15．（2021·江苏姑苏区·苏州市振华中学校）如图，矩形ABCD 中，2AC AB =，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形AB C D '''，使点B 的对应点B '落在AC 上，在'B C '上取点F ，使'B F AB =．则'FBB ∠的度数为_________°．【答案】15【分析】连接BB '，根据矩形的性质及旋转的性质得到90ABC AB C ''∠=∠=︒，AB AB '=，由已知条件及直角三角形的性质得到BB AB B C AB '''===，可证ABB '是等边三角形，再由已知证明B F BB ''=，最后由等腰三角形的性质求解即可．【详解】如图，连接BB '，∵四边形ABCD 是矩形，∵∵ABC =90°，由旋转的性质可知：90ABC AB C ''∠=∠=︒，AB AB '=，∵AC =2AB ，∵2AC AB AB B C '''==+，∵AB B C ''=，∵∵ABC =90°，∵BB AB B C AB '''===，∵ABB '是等边三角形，∵60AB B '∠=︒，∵150BB F '∠=︒，∵B F AB '=，∵B F BB ''=，∵15B BF B FB ''∠=∠=︒．故答案为：15．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，熟练运用各性质及判定定理进行推理是解题的关键．16．（2021·重庆实验外国语学校）如图，在矩形ABCD 中，点E 是线段AB 上的一点，AE AB <，DE CE ⊥，将BCE 沿CE 翻折，得到FCE △，连接DF ，若3AD =，10AB =，则线段DF 的长度为______．【分析】过点F 作FH CD ⊥，根据矩形和折叠的性质得到FEC BEC GCE ∠=∠=∠，从而得到G 为CD 的中点，求得EG 、FG 的长度，勾股定理求得GC ，等面积法求得FH ，勾股定理即可求得DF ．【详解】解：过点F 作FH CD ⊥，如下图：在矩形ABCD 中，10CD AB ==，3AD BC ==，//CD AB ，90B ∠=︒ ∵BEC GCE ∠=∠由折叠的性质可得：3CF BC ==，FEC BEC ∠=∠，90GFC B ∠=∠=︒ ∵FEC BEC GCE ∠=∠=∠∵=EG CG又∵DE CE ⊥∵90DEC ∠=︒∵90,90GEC DEG GDE DCE ∠+∠=︒∠+∠=︒∵GDE DEG ∠=∠ ∵152DG GE GC CD ====，即G 为CD 的中点在Rt GFC 中，由勾股定理得4FG = 1122GFC S FC FG GC FH =⨯=⨯△得125FC FG FH GC ⨯==由勾股定理得165GH =415DH DG GH =+=由勾股定理得DF【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．17．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校八年级期中）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，AF AE ⊥交CD 延长线于点F ，2BE =，EFD BAE ∠=∠，则BG =_________．【答案】2+【分析】先证明∵EAF 是等腰直角三角形，过点E 作EH ∵BC 于点E ，交BD 于点H ，证明∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°，得到EG =HG =BE =2，即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 中，AF ∵AE ，∵∵BAD =∵EAF =90°，AB =AD ，∵∵BAE+∵EAD =∵DAF+∵EAD =90°，∵∵BAE =∵DAF ，又∵∵ABE =∵ADF =90°，∵∵BAE ∵∵DAF (ASA )，∵AE =AF ，∵∵EAF 是等腰直角三角形，∵∵AEF =∵AFE =45°，过点E 作EH ∵BC 于点E ，交BD 于点H ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∵∵HBE =45°，∵∵HBE 是等腰直角三角形，且BE =EG =2，∵HB BE∵EH ∵BC ，∵EFD =∵BAE ，∵∵FEC =∵AEB ，∵∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°，∵∵BHE =∵HEG +∵HGE =45°，∵∵HEG =∵HGE =22.5°，∵HG =HE =BE =2，∵BG故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°．18．（2021·苏州高新区实验初级中学八年级月考）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5AB =，12AC =，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是______．【答案】30613AM < 【分析】首先连接AP ，由在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，可证得四边形AEPF 是矩形，即可得AP EF =，即2=AP AM ，然后由当⊥AP BC 时，AP 最小，可求得AM 的最小值，又由AP AC <，即可求得AM 的取值范围．【详解】解：连接AP ，PE AB ⊥，PF AC ⊥，90AEP AFP ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，∴四边形AEPF 是矩形，AP EF ∴=，90BAC ∠=︒，M 为EF 中点，1122AM EF AP ∴==， 在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，5AB =，12AC =，13BC ∴=，当⊥AP BC 时，AP 值最小， 此时115121322BAC S AP ∆=⨯⨯=⨯⨯，6013AP ∴=， 即AP 的范围是6013AP， 60213AM ∴， AM ∴的范围是3013AM ，AP AC <，即12AP <，6AM ∴<， ∴30613AM <． 故答案为：30613AM <． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意当⊥AP BC 时，AP 最小，且AP AC <．三、解答题19．（2021·吉林德惠市·七年级期末）如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，4AB =， 1.5AE =，DAE △逆时针旋转后能够与DCF 重合．（1）旋转中心是哪一点，旋转角为多少度？（2）请你判断DFE △的形状，并说明理由；（3）求四边形ABFD 的面积．【答案】（1）点D ，90°；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）19【分析】（1）依据DAE △逆时针旋转后能够与DCF 重合，即可得到旋转中心以及旋转角的度数；（2）根据旋转可得DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，即可得到DFE △是等腰直角三角形； （3）根据旋转的性质可得ADE CDF ≌，再由CDF ABCD ABFD S S S =+△正方形四边形即可得到答案．【详解】解：（1）DAE △旋转后能与DCF 重合，∴旋转中心是点D ，四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，∴旋转角为90︒；（2）DFE △是等腰直角三角形．理由如下：根据旋转可得DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，所以DFE △是等腰直角三角形．（3）四边形ABCD 是正方形，90A BCD ∴∠=∠=︒，4AD AB ==，4416ABCD S =⨯=正方形，根据旋转可得：ADE CDF ≌，90DCF DAE ∴∠=∠=︒，180DCF BCD ∴∠+∠=︒，114 1.5322CDF ADE S S AD AE ∴==⋅=⨯⨯=△△， 16319CDF ABCD ABFD S S S ∴=+=+=△正方形四边形．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，掌握“旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等”是解题的关键．20．（2021·海南海口市·）如图1，在正方形ABCD 中，点P 是线段BC 上一个动点（与点B 、C 不重合），将线段AP 绕着点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连接DE ，过点D 作//DF EP ，交AB 于点F ，交AP 于点G ，连接FP ．（1）求证：①ABP DAF ≅△△；②四边形PEDF 是平行四边形；（2）如图2，点M 是BC 延长线上一点，当点P 在线段BC 上运动时，求证：点E 始终在DCM ∠的角平分线上．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）点E 始终在DCM ∠的角平分线上，见解析．【分析】（1）由正方形的性质得出AB DA =，90B DAF ∠=∠=︒，推出//DF EP ，证得BAP ADF ∠=∠，根据ASA 即可证得答案；（2）由全等三角形的性质可得AP DF =，等量代换可得DF PE =，再根据平行四边形的判定定理即可证得答案；（3）过点E 作EH DC ⊥于点H ，EI BM ⊥于点I ，先证明四边形CIEH 是矩形，根据AAS 证ABP PIE ≅，得到AB PI =，BP IE =，再通过证四边形CIEH 是正方形．即可证得答案．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∵AB DA =，90B DAF ∠=∠=︒．∵90APE ∠=︒，//DF EP ，∵90AGD ∠=︒，∵ADF DAP BAP DAP ∠+∠=∠+∠，∵BAP ADF ∠=∠，∵()ASA ABP DAF ≅．②由ABP DAF ≅△△，可知AP DF =．∵AP PE =，∵DF PE =．∵//DF EP ，∵四边形PEDF 是平行四边形．（2）如图，过点E 作EH DC ⊥于点H ，EI BM ⊥于点I ，则90EHC CIE ∠=∠=︒，∵90HCI ∠=︒，∵四边形CIEH 是矩形．∵90APE ∠=︒，∵90APB EPI ∠+∠=︒，∵90PEI EPI ∠+∠=︒，∵APB PEI ∠=∠．∵90B PIE ∠=∠=︒，AP PE =，∵()AAS ABP PIE ≅．∵AB PI =，BP IE =．∵AB BC =，∵BC PI =，即BP PC CI PC +=+，∵BP CI =，∵IE CI =，∵四边形CIEH 是正方形．∵点E 始终在DCM ∠的角平分线上．【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握三角形全等的判定和性质，正方形的判定与性质以及平行四边形、矩形的判定是解题的关键．21．（2021·新余市第一中学九年级）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，且BE CF =，连接AE 、BF ，其相交于点G ，将BCF △沿BF 翻折得到BC F '△，延长FC '交BA 延长线于点H ．（1）求证：AE BF =；（2）若3AB =，2EC BE =，求BH 的长．【答案】（1）见解析；（2）5．【分析】（1）根据正方形的性质得到BA BC =，90ABC BCD ∠=∠=︒，利用SAS 定理证明ABE BCF △△≌，根据全等三角形的性质证明结论；（2）根据折叠的性质得到C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，证明HB HF =，根据勾股定理列式计算即可．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，BA BC ∴=，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴△≌△，AE BF ∴=；（2）解：3BC AB ==，2EC BE =，2EC ∴=，1BE =，1C F CF ∴'==，由折叠的性质可知，C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，90C FB C BF ∠'+∠'=︒，90HBF FBC ∠+∠=︒，C FB HBF ∴∠'=∠，HB HF ∴=，312HC HF C F HB C F AH AH ∴'=-'=-'=+-=+，在Rt HBC '△中，222HB C B C H ='+'，即222(3)3(2)AH AH +=++，解得：2AH =，5BH AH AB ∴=+=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．22．（湖北省黄冈市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，中点四边形EFGH 是 ．（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，⊥APB ＝⊥CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使⊥APB ＝⊥CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状（不必证明）．【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形【分析】（1）连接BD ，根据三角形中位线定理证明EH ∵FG ，EH =FG ，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）证明∵APC∵∵BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；（3）证明∵EHG=90°，利用∵APC∵∵BPD，得到∵ACP=∵BDP，即可证明∵COD=∵CPD=90°，再根据平行线的性质证明∵EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．【详解】解：（1）如图1，连接BD，∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∵EH∵BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∵FG∵BD，FG=12 BD，∵EH∵FG，EH=GF，∵中点四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）结论：四边形EFGH是菱形，理由：如图2，连接AC，BD．∵∵APB=∵CPD，∵∵APB+∵APD=∵CPD+∵APD，即∵APC=∵BPD，在∵APC和∵BPD中，AP BP APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵APC ∵∵BPD （SAS ），∵AC =BD ，∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∵EF =12AC ，FG =12BD ， ∵EF =FG ，由（1）知中点四边形EFGH 是平行四边形，∵平行四边形EFGH 是菱形；（3）结论：四边形EFGH 是正方形，理由：如图2，设AC 与BD 交于点O ．AC 与PD 交于点M ，∵∵APC ∵∵BPD ，∵∵ACP =∵BDP ，∵∵DMO =∵CMP ，∵∵COD =∵CPD =90°，∵EH ∵BD ，AC ∵HG ，∵∵EHG =∵DOC =90°，由（2）知中点四边形EFGH 是菱形，∵菱形EFGH 是正方形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线． 23．（2021·吉林梅河口市·八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的点，ABE △沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．（1）如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是_______；（2）如图2，当E是AD的中点，G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F．①求证：BF AB DF=+；②若AD=，试探索线段DF与FC的数量关系．【答案】（1）正方形；（2）①见解析；②CF=DF，理由见解析【分析】（1）先根据有三个角是直角得四边形ABGE是矩形，根据折叠的性质和矩形的性质可以得到AE=BG=AB，从而得四边形ABGE是正方形；（2）①连接EF，在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∵A＝∵C＝∵D＝90°，由∵ABE沿BE折叠得到∵GBE，可得BG＝AB，EG＝AE＝ED，∵A＝∵BGE＝90°，进而可证∵EGF∵∵EDF，由此求解即可；②设AB＝DC＝a，则DF＝b，在Rt∵BCF中，由勾股定理可得4ab＝2a²，进而可得2=，CD DF =．则DF FC【详解】解：（1）正方形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∵∵A＝∵ABC＝90°，由折叠得：∵BGE＝∵A＝90°，∵ABE＝∵EBG＝45°，AB=BG∵四边形ABGE是矩形，∵AE=BG=AB，∵矩形ABGE是正方形；故答案为：正方形；（2）①证明：如图，连接EF，在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∵A ＝∵C ＝∵D ＝90°，∵E 是AD 的中点，∵ AE ＝ DE ，∵∵ABE 沿BE 折叠得到∵GBE ，∵BG ＝ AB ， EG ＝ AE ＝ ED ，∵A ＝∵BGE ＝90°，∵∵EGF ＝∵D ＝90°，在Rt ∵EGF 和Rt ∵EDF 中，∵EG ＝ED ，EF ＝EF ，∵∵EGF ∵∵EDF （HL ）∵GF =DF ，∵BF =BG +GF =AB +DF ；②DF FC =，理由如下设AB ＝DC ＝a ，DF ＝b ，∵AD ＝BC ，由①得：BF ＝AB ＋DF ，∵BF ＝a ＋b ，CF ＝a -b ，在Rt ∵BCF 中，由勾股定理得：222BC B F F C =+，∵())()222a b a b +=+-，∵4ab ＝2a ²，∵a ≠0，∵2b ＝a ，∵2DF=CD ，∵CF CD DF DF =-=．【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质与判定，折叠的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．1．如图，正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 中点，两个动点M 和N 分别在边CD 和AD 上运动，且1MN =，若ABE △与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似，则DM =（ ）A ．13BC ．13或23D 【答案】D【分析】根据条件求出AE ，再根据相似三角形的性质求解即可；【详解】∵E 为BC 中点，∵1BE =．由勾股定理得，AE =当ABE MDN ∽时，AB AE DM MN =，即21DM =，解得5DM =；∽时，DM=同理，当ABE NDM∵DM．故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，准确计算是解题的关键．2．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则+的最小值为（）AP PEA B．C．D．【答案】B【分析】连接EC，PC，由AP＋PE＝PC＋PE≥EC得EC就是AP＋PE的最小值，求出EC即可．【详解】解：如图，连接EC，PC，∵AP＋PE＝PC＋PE≥EC，∵EC就是AP＋PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，∵CD＝4cm，ED＝2cm，∵CE＝2225+=，ED CD cm∵AP＋PE的最小值是25cm．故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质、最短路径问题，解决此题的关键是将AP＋PE转化为PC＋PE．3．如图是将正方形ABCD 和正方形CEFG 拼在一起的图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结BD ，BF ．若阴影部分BDF ∆的面积为8，则正方形ABCD 的边长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】 连接CF ，根据题意可得DB //CF ，再利用平行线之间的距离都相等可得：S ∵BDF =S ∵BDC =8，进而可得出边长．【详解】如图，连接CF ，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 都是正方形，∵∵BDC =45°，∵GCF =45°，∵∵BDC =∵GCF ，∵BD ∵CF ，∵S ∵BDF =S ∵BCD =8，∵S ∵BDF =BC ×BC ÷2=8．∵BC =4，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线、等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能根据平行线之间的距离相等进而得出三角形面积相等是解题的关键．4．如图，在矩形AOBC 中，()()4,0,0,2A B -，若正比例函数y kx =的图象经过点C ，则k 的值为（ ）A．2-B．12-C．52D．5【答案】B【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再将点C坐标代入解析式求解可得．【详解】解：∵A（−4，0），B（0，2）．∵OA＝4、OB＝2，∵四边形AOBC是矩形，∵AC＝OB＝2、BC＝OA＝4，则点C的坐标为（−4，2），将点C（−4，2）代入y＝kx，得：2＝−4k，解得：k＝12 -，故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握矩形的性质和待定系数法求函数解析式．5．在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，⊥ADM沿直线AM翻折后点D 落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（）A．B．C．9﹣D．6﹣【答案】C【分析】过点N 作NH ∵AD 于H ，先证明四边形NEDH 为矩形，得到HD =NE ，NH =DE ，根据ED =2EC ，ED +EC =CD =6，可以得到ED =HN =4，再利用勾股定理求出AH ，即可得到NE 的值，最后再直角三角形MNE 中用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，过点N 作NH ∵AD 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，AD =6∵AD =CD =6，∵D =90°，∵NE ∵CD ，NH ∵AD ，∵∵NED =∵NHD =∵NHA =90°，∵四边形NEDH 为矩形，∵HD =NE ，NH =DE ，∵ED =2EC ，ED +EC =CD =6，∵ED =HN =4，由翻折的性质可得AD =AN =6，DM =MN∵AH ==∵6NE DH ==-设DM =MN =x ，则ME =4-x ,则222MN NE ME =+,∵(()22264x x =-+-， 解得9x =-∵9DM =-故选C.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.6．在正方形ABCD 中，90AEB CFD ∠=∠=︒，3AE CF ==，8BE DF ==，则点E 、F 之间的距离是（ ）A．B．C ．5 D ．6【答案】A【分析】 由正方形的性质得出90BAD ABC BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，由SSS 证明ABE CDF ∆≅∆，得出ABE CDF ∠=∠，证出ABE DAG CDF BCH ∠=∠=∠=∠，由AAS 证明ABE ADG ∆≅∆，得出AE DG =，BE AG =，同理：3AE DG CF BH ====，8BE AG DF CH ====，得出EG GF FH EF ===，证出四边形EGFH 是正方形，即可得出结果．【详解】解：如图所示：四边形ABCD 是正方形，90BAD ABC BCD ADC ∴∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，90BAE DAG ∴∠+∠=︒，在ABE ∆和CDF ∆中，AB CD AE CF BE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE CDF SSS ∴∆≅∆，ABE CDF ∴∠=∠，90AEB CFD ∠=∠=︒，90ABE BAE ∴∠+∠=︒，ABE DAG CDF ∴∠=∠=∠，同理：ABE DAG CDF BCH ∠=∠=∠=∠，90DAG ADG CDF ADG ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90DGA ∠=︒，同理：90CHB ∠=︒，在ABE ∆和ADG ∆中，90ABE DAG AEB DGA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE ADG AAS ∴∆≅∆，AE DG ∴=，BE AG =，同理：3AE DG CF BH ====，8BE AG DF CH ====，835EG GF FH EF ∴====-=，1809090GEH ∠=︒-︒=︒，∴四边形EGFH 是正方形，EF ∴=故选：A ．【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等．7．如图，矩形ABCD 中，AE BD ⊥垂足为E ，若4DAE BAE ∠=∠，则EAC ∠的度数为（ ）A ．54°B ．45°C ．36°D ．18°【答案】A【分析】 由矩形的性质和已知条件得出OA =OB ，∵OAB =∵OBA ，∵BAE =15∵BAD =18°，再求出∵OAB ，即可得出∵EAC 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵∵BAD =90°，OA =12AC ，OB =12BD ，AC =BD ，。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1. (2011福建莆田)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．(1)求证：DB＝CF；(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．2.矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为()A．1cmB．2cmC．cmD．cm【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC．又∵O是BC的中点，∴BO＝CO，∴△ABO≌△DCO，∴AO＝DO．∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠BAO＝∠AOB＝45°，∴AB＝OB．设AB＝xcm，则BC＝2xcm，∴2(x＋2x)＝20，解得，故选D．3. (2014重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝60°．4.(2014四川巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF．(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)．证明：如图，∵BE∥CF，∴∠1＝∠2．∵点H是边BC的中点，∴BH＝CH．又∵∠3＝∠4，∴△BEH≌△CFH．(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下：连接BF，CE．∵△BEH≌△CFH．∴EH＝FH，又BH＝CH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．5.已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可)【答案】∠A＝90°(答案不唯一)【解析】由可知，该四边形是平行四边形，根据矩形的定义，只要加上条件“一个角是直角”即可，故填∠A＝90°，或∠B＝90°，或∠C＝90°，或∠D＝90°．6.如图所示，在□ABCD中，点E，F分别为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE求证：□ABCD是矩形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．∵BE＝CF，∴BF＝CE．又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DCE．∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°．∴□ABCD是矩形．【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，欲证它是矩形，只需证一角是直角即可，由题意易知△ABF≌△DCE，而∠B＋∠C＝180°，因此有∠B＝∠C＝90°，问题迎刃而解．7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若，AD＝3，则△DEF的周长为________．【答案】6【解析】∵沿EF折叠后，点B与点D重合，点A在点A′的位置，∴A′E＝AE，，BF＝DF．∵四边形ABCD为矩形，∴，BC＝AD＝3，∠C＝∠A＝90°．在Rt△DCF中，设CF＝x，则DF＝BF＝3－x，由勾股定理得，解得x＝1，∴DF＝3－x＝3－1＝2．同理，DE＝2．连接BD，交EF于点O，则点B与点D关于EF称，∴，BD⊥EF．在Rt△EDO中，，由DE＝DF，BD⊥EF，得EO＝OF＝1，∴EF＝2，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝2＋2＋2＝6．8.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F，AB＝2，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2×4＝8，图中阴影部分面积的和等于矩形面积的一半，故选C．9.如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，求∠DOC与∠COF的度数．【答案】75°【解析】解：∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝45°．又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝45°＋15°＝60°．又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD，∴△DOC是等边三角形．∴∠DOC＝60°．在Rt△DCF中，∠FDC＝45°，∴CF＝CD＝OC，∴∠COF＝∠CFO．又∵∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°，∴∠COF＝75°．10.（2013湖南邵阳）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件________，使四边形ABCD为矩形．【答案】∠B＝90°（答案不唯一）【解析】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．当∠B＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B＝90°．11.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．∠AOB＝45°D．∠ABC＝90°【答案】D【解析】因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形具有的性质，C选项添加后也不是矩形，根据矩形的定义知D正确．故选D．12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组对边相等D．对角线相等【答案】D【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由：(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(提示：旋转前后，图形中对应的角和对应的边分别相等)【答案】见解析【解析】(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠BDE＋∠BED＝90°．∴∠GFE＋∠BED＝90°．∴∠FHE＝90°．∴DE⊥FG．(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE，∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°．∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE．∴四边形CBEG是正方形．14.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，所以等腰三角形有△ABC，△ADC，△ABD，△CBD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．15.下列命题错误的是( )A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】A【解析】由定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，A 不正确，故选A ．16. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，两个正方形的边长都等于1，当正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动时，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？并说明理由．【答案】两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°． ∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF ＝90°，∴∠BOC ＝∠EOF ． ∴∠BOC －∠BOF ＝∠EOF －∠BOF ，即∠COF ＝∠BOE ．∴△BOE ≌△COF(ASA)，∴S △BOE ＝S △COF ．∴重叠部分面积等于S △BOC ．∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴，即两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．【解析】正方形的两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形．通过证△BOE ≌△COF ，得．17. 如图，将矩形ABCD 中的△AOB 沿着BC 的方向平移线段AD 长的距离．（1）画出△AOB 平移后的图形．（2）设（1）中O 点平移后的对应点为E ，试判断四边形CODE 的形状，并说明理由．（3）当四边形ABCD 是什么四边形时，（2）中的四边形CODE 是正方形？并说明你的理由．【答案】（1）平移后的图形如图．（2）四边形CODE 是菱形．理由如下：∵△AOB 平移后得到△DEC ， ∴DE ∥AC ，CE ∥BD ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴，，且AC＝BD，∵OC＝OD，∴四边形CODE是菱形．（3）当四边形ABCD是正方形时，（2）中的四边形CODE是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∴菱形CODE是正方形．【解析】在图形移动过程中，图形的大小、形状不变，可得四边形CODE是菱形．当AC⊥BD 时，四边形CODE是正方形，此时四边形ABCD是正方形．18.（2013江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°．又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．∴四边形MPND是正方形．19.（2013济宁）如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF＝BE．（2）如图中图（2），在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【答案】（1）证明：如图（1），在正方形ABCD中，AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴BE＝AF．（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图（2），过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则BE＝NQ，AF＝MP．只需证BE＝AF即可．与（1）的情况完全相同．【解析】（1）根据正方形的性质可得AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，再根据同角的余角相等求∠ABE＝∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的性质证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后解法与（1）相同．20.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下面能判断这个四边形是正方形的是（）A．AD⊥CD，AC＝BDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形．21.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________．【答案】【解析】由题意，知△BFC≌△AEB，∴CF＝BE，∴．22. 已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BCD ．BC ＝CD【答案】D【解析】由∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D ．23. (2014福建福州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】由已知得AB ＝AE ，∠BAE ＝150°，∴∠ABF ＝15°，∴∠BFC ＝∠ABF ＋∠BAF ＝15°＋45°＝60°．24. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是________．【答案】1【解析】由题意可知△DEO ≌△BFO ，∴S △DEO ＝S △BFO ，∴．25. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是________．【答案】cm2；cm【解析】在菱形ABCD中，由AE垂直平分BC可知△ABC是正三角形，故BC＝AC＝4cm，由勾股定理可知cm，∴菱形ABCD的面积是(cm2)，同时菱形的面积还等于两条对角线乘积的一半，∴对角线BD的长为(cm)．26.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝4，AC＝6，．(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】见解析【解析】(1)AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，．在△OBC中，OC2＋OB2＝9＋4＝13＝BC2，∴△OBC为直角三角形，即OC⊥OB，∴AC⊥BD．(2)四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．27.(2012山西)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】D【解析】由菱形的性质知菱形边长为(cm)，所以，得cm，故选D．28. (2013山东潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】本题答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等【解析】根据对角线互相垂直平分可添加OA＝OC；或添加AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或AD＝DC，由三角形全等得到AO＝CO，再由对角线互相垂直平分得到四边形ABCD是菱形．29.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠CAE＝∠ACF又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC．∴四边形AFCE是菱形．【解析】要证四边形AFCE是菱形，首先要证四边形AFCE是平行四边形．30.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝10．(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长度；(3)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)连接BD，交AC于点O，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD＝60°．∴∠ABC＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∴．∴在Rt△AOB中，，∴．(3)．【解析】(1)连接BD，与AC相交于点O，可证△ABD是等边三角形，所以∠ABD＝60°，可得∠ABC的度数；(2)在Rt△OAB中，由勾股定理可求出OA的长，则AC＝2OA；(3)根据菱形的面积公式可求其面积．。

平行四边形综合训练拔高题一．选择题（共15小题）1．如图，▱ABCD中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．12 D．242．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确3．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④4．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP 的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关6．如图，DE是△ABC的中位线，且△ADE的周长为20，则△ABC的周长为（）A．30 B．40 C．50 D．无法计算7．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S38．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．4810．如图所示，▱ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD于F，CE ⊥BD于E，则图中全等三角形的对数共有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对11．若▱ABCD的对称中心在坐标原点，AD∥x轴，若A的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（1，﹣3）D．（2，﹣3）12．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114° D．124°13．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．614．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+15．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26二．解答题（共6小题）16．如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．17．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）18．在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．若平行四边形ABCD的面积为，求AG的长．19．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM．20．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．21．已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．平行四边形综合训练拔高题参考答案一．选择题（共15小题）1．A；2．B；3．B；4．B；5．C；6．B；7．A；8．C；9．D；10．C；11．A；12．C；13．C；14．D；15．B；二．解答题（共6小题）16．；17．；18．；19．；20．；21．；。