第二讲众数、方差

平均数、中位数和众数的知识归纳与梳理：（一）平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

即x=（x1+x2+……+xn）÷n中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

平均数：一组数据的平均值平均水平平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小。

平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动平均数一般的计算方法为：用一组数据的总和除以这组数据的个数．平均数的优点。

反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定．平均数的缺点。

平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算，计算的工作量也较大。

平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。

中位数：在有序排列的一组数据中最居中的那个数据中等水平中位数是描述数据的另一种指标，如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。

中位数仅与数据的大小排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．中位数是将数据按大小顺序依次排列（相等的数也要全部参加排序）后“找”到的．当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数据；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数据的平均数作为中位数．中位数的优点。

简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。

中位数的缺点。

中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。

当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。

众数一组数据中出现次数最多的那个数据。

集中趋势众数告诉我们，这个值出现次数最多，一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。

众数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关．一组数据中的众数不止一个．当一组数据中有相同数据多次出现时，其众数往往是我们关心的．众数的优点比较容易了解一组数据的大致情况，不受极端数据的影响，并且求法简便。

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略.首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。

一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。

（八上《第八章数据的代表》）平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式：x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。

此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。

所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。

众数是一组数据中出现次数最多的数。

其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。

中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。

教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数是1/2（1.65+1.7），即1.675。

一．平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差的数‎学内涵：平均数：是指一组数‎据中所有数‎据之和再除‎以数据的个‎数，它是反映数‎据集中趋势‎的一项指标‎。

中位数：把一组数据‎按从小到大‎的顺序排列‎，在中间的一‎个数字（或两个数字‎的平均值）叫做这组数‎据的中位数‎。

众数：在一组数据‎中出现次数‎最多的数众‎数：在一组数据‎中出现次数‎最多的数叫‎做这组数据‎的众数。

极差：一组数据中‎最大值与最‎小值的差叫‎做这组数据‎的极差。

方差：一般地，各数据与平‎均数的差的‎平方的平均‎数叫做这组‎数据的方差‎标准差：方差的算术‎平方根叫做‎标准差算术平均值‎A rith‎metic‎mean：等差中项：n个数字的‎总和除n.[(a1+a2+……+an)/n是算术平‎均值]几何平均值‎G eome‎tric mean：n个数字的‎乘积的n次‎根 .[(a1*a2*……*an)^(1/n)是几何平均‎值]n个数的平‎方根，就是n个数‎的平方和除‎n，再开根号。

例如a b c 的均方根即‎[(a*a+b*b+c*c)/3]^(1/2)均方根值（RMS）、均方根误差‎（RMSE）、各种平均值‎论文写作中‎经常需要比‎较几个算法‎的优略，下面列举的‎是一些常用‎的评估方法‎。

均方根值也‎称作为效值‎，它的计算方‎法是先平方‎、再平均、然后开方。

比如幅度为‎100V而‎占空比为0‎.5的方波信‎号，如果按平均‎值计算，它的电压只‎有50V，而按均方根‎值计算则有‎70.71V。

这是为什么‎呢？举一个例子‎，有一组10‎0伏的电池‎组，每次供电1‎0分钟之后‎停10分钟‎，也就是说占‎空比为一半‎。

如果这组电‎池带动的是‎10Ω电阻‎，供电的10‎分钟产生1‎0A的电流‎和1000‎W的功率，停电时电流‎和功率为零‎。

那么在20‎分钟的一个‎周期内其平‎均功率为5‎00W，这相当于7‎0.71V的直‎流电向10‎Ω电阻供电‎所产生的功‎率。

方差,中位数,众数,平均数计算公式方差、中位数、众数、平均数计算公式，是统计学中最基本的概念，也是统计学最重要的研究内容之一。

本文旨在介绍四种计算公式，并讨论其在统计学中的应用，以及如何通过计算机软件分析。

方差是描述统计变量分布状态和变化特征的一种度量。

它表示变量值与其平均数之间的平均差距，是用于研究变量变化幅度的重要指标。

一般来说，变量的方差越大，变化越大，波动越大，反映了变量观测值的分布越分散。

方差的计算公式为：$$sum{(X_i-overline{X})^2over{N-1}}$$其中，$X_i$ 代表第 i 个观测值，$overline{X}$ 代表样本样本均值，N 代表样本量。

另一个重要的统计概念是中位数。

它指的是样本中值得大小，用来反映数据分布中的内容。

计算中位数的公式如下：$$Median=frac{N+1}{2}$$其中，N 为样本量，Median 为中位数。

另一个重要的统计概念是众数。

它是指某一样本中出现次数最多的数据点，用来反映样本的集中趋势。

它的计算公式为：$$Mode=frac{N_i}{N}$$其中，$N_i$ 为众数出现的次数，N 为样本总数。

平均数也是非常重要的统计概念，它代表样本中所有观测值的一种量化总结，是衡量样本特征的比较有效的手段。

平均数的计算公式为：$$overline{X}=frac{sum_{i=1}^Nx_i}{N}$$其中，$X_i$ 代表第 i 个观测值，$overline{X}$ 代表样本平均值，N 代表样本量。

以上四种计算公式，在统计学中都有重要的作用。

方差和中位数是两个衡量变量的指标，用来分析变量的变化特征，弥补了平均值的不足之处。

众数经常用来解释样本的集中趋势。

平均值可以代表一个样本的特征，也是多种统计学指标的基础。

从实际应用的角度来看，以上四种计算公式都可以通过计算机软件进行分析。

例如，在Excel中，可以使用VAR函数计算方差，使用MEDIAN函数计算中位数，使用MODE函数计算众数，以及使用AVERAGE 函数计算平均数。

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略.首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。

一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。

（八上《第八章数据的代表》）平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式：x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。

此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。

所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。

众数是一组数据中出现次数最多的数。

其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。

中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。

教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数是1/2（1.65+1.7），即1.675。

平均数、中位数和众数、方差教案一、教学目标1. 理解平均数的含义，掌握求平均数的方法。

2. 了解中位数和众数的概念，能够求出一组数据的中位数和众数。

3. 理解方差的概念，掌握求方差的方法。

4. 能够运用平均数、中位数、众数和方差解决实际问题。

二、教学内容1. 平均数：求平均数的方法，平均数的应用。

2. 中位数：中位数的定义，求中位数的方法，中位数的特点。

3. 众数：众数的定义，求众数的方法，众数的特点。

4. 方差：方差的定义，求方差的方法，方差的意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：平均数、中位数、众数的求法及应用，方差的求法及意义。

2. 教学难点：方差的计算方法及应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探索、思考、解决问题来学习平均数、中位数、众数和方差。

2. 利用实例分析，让学生直观地理解平均数、中位数、众数和方差的概念及应用。

3. 采用小组合作学习，让学生通过讨论、交流、合作解决问题，提高学生的团队协作能力。

五、教学准备1. 教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用平均数、中位数、众数和方差解决问题。

2. 教学工具：多媒体课件、黑板、粉笔。

【教学内容】1. 介绍平均数的概念，解释平均数的求法。

2. 介绍中位数的概念，解释中位数的求法。

3. 介绍众数的概念，解释众数的求法。

4. 介绍方差的概念，解释方差的求法。

【教学过程】1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何求解平均数。

2. 讲解：讲解平均数的求法，举例说明。

3. 练习：让学生练习求解平均数，并提供反馈。

4. 过渡：引入中位数的概念，引导学生思考中位数的特点。

5. 讲解：讲解中位数的求法，举例说明。

6. 练习：让学生练习求解中位数，并提供反馈。

7. 过渡：引入众数的概念，引导学生思考众数的特点。

8. 讲解：讲解众数的求法，举例说明。

9. 练习：让学生练习求解众数，并提供反馈。

10. 过渡：引入方差的概念，引导学生思考方差的意义。

解释平均数，中位数，众数，极差，方差的意思平均数是一组数据的总和除以数据的个数。

它是常用的统计指标之一，用来衡量一组数据的集中程度。

平均数可以帮助我们了解数据的总体趋势。

中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，中间位置的数值。

它可以帮助我们了解一组数据的中间值，不受极端值的影响。

中位数通常用于处理数据分布不均匀或存在异常值的情况。

众数是一组数据中出现次数最多的数值。

它可以帮助我们找出数据中的主要趋势或最常见的值。

众数适用于处理离散型数据，例如某一班级中最常见的学生分数。

极差是一组数据中最大值与最小值之间的差值。

它可以帮助我们了解一组数据的范围大小。

极差较大表示数据分布较广泛，而极差较小表示数据集中在一个较小的范围内。

方差是一组数据与其平均数之间差异的平方的平均数。

它可以帮助我们衡量数据的离散程度或变异程度。

方差越大，表示数据的离散程度越大；方差越小，表示数据的离散程度越小。

这些统计指标在数据分析和研究中经常被使用。

通过对这些指标的计算和解释，我们可以更好地认识和理解数据的特征和变化趋势。

(平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差六个统计量的数学内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、因对策略)一、六个统计量的数学内涵1、平均数是对于几个数据的算数平均数。

平均数是反映样本或总体的平均水平的特征数，反映了一组数据的集中趋势。

平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，其中任何一个数据的变化都会引起平均数的变化，即平均数受较大数和较小数的影响，是衡量一组数据波动大小的基准。

2、在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。

众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，他着眼于对数据出现的次数的分析。

这就告诉我们在求一株数据的众数是，既不要排列，又不需要计算，只要能找出出现次数最多的一个（或几个）数据就可以，众数也是描述一组数据集中趋势的统计量。

一组数据的众数又是不唯一，也可以没有众数。

3、中位数是指将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数或处在最中间的两个数的平均数（数据有奇数个时是最中间的一个，有偶数个时最中间的两个的平均数），中位数的大小仅与数据的排列位置有关，他前后的数各占一半，不受偏大和偏小数的影响，一组数据的中位数是唯一的。

4、一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫极差。

他能反映数据的变化范围。

极差在计算时简单方便，但只对极端值较为敏感，因此用它来表示一组数据的波动还比较粗略。

5、方差是一组数据中的各个数据与其平均数的差的平方的平均数。

一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，说明数据的波动越小。

要比较数据的稳定性，一般会用到方差，方差计算比较复杂，但可以比较全面地反映数据的离散程度。

6、有时为了运用方便，常将求出的方差开平方，即算术平方根。

这个算术平方根，即称为这组数据的标准差。

标准差也是用来表示一组数据的波动大小的量。

标准差是为了实际的应用，将求出的方差再开平方得到的。

二、基本规律1、反映一组数据的集中程度的统计量主要有平均数、中位数、众数这三种，这三个统计量能从不同的角度反映一组数据的集中趋势，都可作为一组数据的代表。