2013年北京市朝阳区中考一模数学试题及答案完整版

2013北京中考数学试题答案一、选择题（共32分，每题4分）1-8 BDCCBABA二、填空题（共16分，每题4分）9.()22a b - 10.答案不唯一 ()210,1x a c +>= 11.20 12.31,,0123---和三、解答题（共30分，每题5分）13.证：因为ADE △≌BAC △()ASA ，所以BC AE =（全等三角形对应边相等）14.解：原式2122452=+-⨯+=15.解：不等式组的解集为115x -<<16.解：原式23129x x =-+，当241x x -=时，原式12=17.解：设每人每小时的绿化面积为x 平方米 依题有180180368x x =+ 解得52x = 经检验52x =是原方程的解 答：每人每小时的绿化面积为52平方米18.解：（1）0∆>，52k < （2）2k =四、解答题（共20分，每题5分）19.证:（1）利用CE FD ∥，CE FD =得出四边形CEDF 是平行四边形 解：（2）13DE =20. 证：（1）因为EDO APO =∠∠,APO CPO =∠∠所以EPD EDO =∠∠ 解：（2）5OE =21. 解：（1）00.3（2）第九届陆地面积3.6平方千米，水面面积1.5平方千米（3）33.710⨯22. 解：（1）a ；（2）2 ；23五、解答题（共22分，23题7分，24题7分，28题8分）23．解：（1）易得()0,2A -、()1,0B ；（2）设直线l 解析式为y kx b =+，根据对称，易得直线l 与直线AB 关于x 轴对称，∴直线l 过()0,2， 又∵()1,0B ，∴20b k b =⎧⎨+=⎩，得22k b =-⎧⎨=⎩，∴直线l 解析式为22y x =-+； （3）根据对称，抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，相当于抛物线在34x <<这一段位于直线AB 的上方，又∵在23x <<这一段位于直线AB 的下方，∴抛物线过点()3,4，∴抛物线解析式为2242y x x =--．24．（1）302ABD α∠=︒-；（2）等边三角形；连接AD 、CD ，可得△BCD 为等边三角形，在△ABD 和△ACD 中，∵AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴150ADB ∠=︒，在△ABD 和△EBC 中，∵ABD EBC BD BC BDA BCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△EBC （ASA ）∴BA BE =，又∵60ABE ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形．（3）由（2）得，90DCE ∠=︒，又∵45DEC ∠=︒，∴△DCE 为等腰直角三角形， ∴CD CE CB ==，∴DA DB =，∴15DAB ∠=︒，∴30α=︒．25、解：（1）①D 、E ②03m ≤≤，直线与圆相离，直线外的点如果作圆的切线，此时切点与点P 以及圆心组成的角<30︒，就不可能是关联点，相切如果正好是30︒，则意味着点到圆心的距离等于2，223243m m ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭，03m =或，点到圆心的距离小于2的均可以是关联点 （2）1r ≥，线段的中点在圆心，此时圆的最小半径为1。

北京市朝阳区2013年初中毕业考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1. -7 的相反数是A ． 7B ．－7C ．71 D ．71-2.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨。

将数67500用科学记数法表示为A ．0.675×105B ． 6. 75×104C ． 67.5×103D ． 675×1023.把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为奇数的概率是A ．41 B ．31 C ．21 D ． 14.北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7， 13，15，16，15，17，19，则在这一周中，最高气温的众数和中位数分别是A ．15和15B ．15和16C ． 16和15D ．19和16 5. 如图，已知直线l 1//l 2，∠1=40°，则∠2的度数为A ．30°B ． 40°C ． 50°D ． 60° 6．如图，⊙O 的半径为5，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，若OC=3，则AB 的长为A ． 3B ． 4C ． 6D ．87．二次函数21(1)32y x =-+的顶点在A．第一象限． B ．第二象限．C ．第象限D ．第象限．8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，AB=3，一动点P以1cm/s的速度延折线OB—BA运动，那么点P的运动时间x（s）与点C、O、P围成的三角形的面积y之间的函数图象为A B C D第Ⅱ卷（共68分）二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9. 若-2是方程062=+-mxx的一个根，则m= .10. 分解因式：2218m-=．11．侧面展开图是扇形的几何体是 .12．如图，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O，到菱形一边AB的距离为2，那么点O到另外一边BC的距离为_________.13．若关于x的一元二次方程kx2-2x+1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是.三．解答题（共9道小题，14题—20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48 分）14．（本小题5分）计算：()1-)32(-45in2-82-1︒+s．解：15．（本小题5分）求不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+>-12131325xxx的整数解.解：6如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，且BF=AC. 求证：DF=DC. 证明：17．列方程或方程组解应用题（本小题5分）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元. 某日动物园售出门票700张，共得29000元. 请问当日儿童票售出多少张？解：18．（本小题5分）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm ，测量时精确到1cm ）：（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围; ;（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm 及160cm 以上的学生共有 人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155 cm ，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解./cm165~170cm已知：一次函数2+=x y 与反比例函数xk y =相交于A 、B 两点且A 点的纵坐标为4.（1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 解：20．（本小题5分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 是弦，OE ⊥BC ，垂足为F ，且与⊙O 相交于点E ，连接CE 、AE ，延长OE 到点D ，使∠ODB=∠AEC. (1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)若cosD=54，BC=8,求AB 的长.(1)证明：(2)解：如图，抛物线c xy +-=243与x 轴分别交于点A 、B ，直线2343+-=x y 过点B ，与y 轴交于点E ，并与抛物线c x y +-=243相交于点C ．（1）求抛物线c xy +-=243的解析式；（2）直接写出点C 的坐标；（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 运动（不与点A 、B 重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从点B 向点C 运动．设点M 的运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？解：在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，求AB 的长.北京市朝阳区2013年初中毕业考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9. －5 10. ）（3)3(2-+a a 11. 圆锥 12. 2 13. k ≤1且k ≠0三、解答题（共9道小题，14题—20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48 分） 14．解：原式23222221-⨯-+=.…………………………………………………………………4分.212-=………………………………………………………………………………5分15．解： 523(1)132x x x ->+⎧⎪⎨-≥⎪⎩　①1 ②解① 得 x ＞25. …………………………………………………………………………2分解② 得 x ≤4. ……………………………………………………………………………4分 原不等式组的整数解为3和4. ……………………………………………………………5分16. 证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝90°. ……………………………………………………………………1分 ∴∠A ＋∠C ＝90°.又∵BE ⊥AC ， ∴∠B ＋∠C ＝90°.∴∠B =∠A . …………………………………………………………………………………2分 又∵BF=AC ，…………………………………………………………………………………3分∴△BDF ≌△ADC . …………………………………………………………………………4分 ∴DF =DC . …………………………………………………………………………………5分17．解：设当日儿童票售出x 张，成人票售出y 张. ………………………………………………1分根据题意，得⎨⎧=+=+.290005030,700y x y x ……………………………………………………………………3分 解得⎩⎨⎧==.400,300y x …………………………………………………………………………………4分答：当日儿童票售出300张，成人票售出400张. ……………………………………………5分18. 解：（1）补图（图略）； …………………………………………………………………………2分（2）155—160；…………………………………………………………………………………3分 （3）160 ；………………………………………………………………………………………4分 （4）如：该校七年级多数学生的身高达到或者超过区平均身高. ………………………5分（说明：其他合理解答均可）19．（1）根据题意，得4= x+2，解得x =2.∴A （2，4）. 把A （2，4）代入xk y =，解得8=k . ∴xy 8=. …………………………………………2分（2）当0=y 时，02=+x ，2-=x .∴B （－2，0）. ………………………………………3分 ∴OB ＝2.如图，作AC ⊥x 轴于点C ，∵A （2，4），∴AC ＝4. ∴S △AOB ＝.421=⋅⋅AC OB …………………………5分20．（1）证明：∵∠D ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，∴∠D ＝∠ABC . ………………………………………………………………………1分 ∵OF ⊥BC ， ∴∠D +∠DBC ＝90°. ∴∠ ABC +∠DBC ＝90°.∴BD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………………2分（2）解：如图，连接AC .∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．………………………………………3分 ∵∠ABC =∠D ． ∴cos ∠ABC= cos D =54．即B C A B=54，……………………………………………4分∵BC ＝8，∴AB =10． …………………………………………5分21．解：（1）由2343+-=x y ，当0=y 时，解得2=x . ∴B （2，0）.∵抛物线c x y +-=243经过点B （2，0），∴3=c .∴此抛物线的解析式为3432+-=x y .………………………………………………2分（2）C （1-，49）. ………………………………………………………………………3分（3） 如图，作ND ⊥x 轴于点D ，由2343+-=x y 得E （0，23）. ∴BE=25.由3432+-=x y 得A （－2，0）. ∴AB=4.由题意，得AM =t ，BM =4－t ，BN =2t . 由△BND ∽△BEO ，得BE BN OEDN =.∴56t DN =. ………………………………………4分∴△MNB 的面积S 56)4(2121t t ND BM ⋅-⋅=⋅⋅=.∴t t S 512532+-=.…………………………………5分 即512)2(532+--=t S ，自变量t 的取值范围是0＜t ＜4. t= 2时，512=最大S .…………………………………6分22. （1）证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠FDM ＝90°.又∵AM ＝DM ，∠AME ＝∠DMF ， ∴△AME ≌△DMF .∴ME =MF . ………………………………………2分 （2）解：如图，过点G 作GH ⊥AD 于点H .∴四边形ABGH 是矩形.∵△EGF 是等腰直角三角形， 由（1）得，ME =MF ， ∴ME =MG ， ∠EMG ＝90°.∴∠AME +∠DMG ＝∠HGM +∠DMG= 90°. ∴∠AME ＝∠HGM . 又∵∠A ＝∠MHG ，∴△AME ≌△HGM . ……………………………3分 ∴AM=HG . ∴AB=HG=AM=21AD=2. ………………………4分（3）解：如图，过点G 作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H .∴四边形ABGH 是矩形.∵△EGF 是等边三角形，∠MEG ＝60°， 由（1）得，ME =MF ， ∴∠EMG ＝90°.∴∠AME +∠HMG ＝∠AME +∠AEM = 90°. ∴∠AEM ＝∠HMG . 又∵∠A ＝∠AHG ，∴△AEM ∽△HGM . ……………………………5分 ∴EMMG AMGH =.∴tan ∠MEG=EMMG AMGH == tan 60°=3.又∵AM=21AD=2，∴AB=GH=23.…………………………………7分。

新世纪教育网精选资料 版权全部 @新世纪教育网九年级综合水平质量调研数学试卷2013.3学校 ___________________ 班级 _______________姓名 ________________ 学号 _____________考1． 本试卷共 8 页，共五道大题， 25 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟 .生 2． 在试卷和答题卡上正确填写学校．班级．姓名．学号.须3． 试题答案一律填涂或书写在 答题卡 上，在试卷上作答无效 .知4． 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.注 意 1 ． 考生要按规定的要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范.事项 2 ． 考试结束后，试卷和机读答题卡由监考人一并回收.第一卷（机读卷 32 分）一 1.4 的算术平方根是选 A ． 2B ．± 2C ． 16D ．± 16择2. 如图，已知 △ ABC 为直角三角形， ∠ C=90°，若 C题 沿图中虚线剪去∠ C ， 则∠ 1+∠ 2 等于D本 A.90°B. 135 °E12题C. 150 °D. 270 °BA32第 2分题图，3.布袋中装有 1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，它们除颜色外完好同样，从袋中任每 小 意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是题 A ．1B ．1C ． 1D ．543626分4.某班的 9 名同学的体重分别是（单位：千克）： 61，59， 70，59， 65，67，59，63，57，这组数据的众数和中位数分别是A ． 59，61B ．59，63C ． 59， 65D ． 57，61 5.全世界可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的 0.00003 ，所以珍惜水、保护 水，是我们每一位公民当仁不让的责任．此中数字 0.00003 用科学记数法表示为A ．3 10 4B ．3 10 5C ．0.310 4D ．0.3 10 56.如图，模块①－⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1的小正方体构成 .现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体 . 则以下选择方案中，能够达成任务的为新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网一选择题本题32分，每小题4分A．模块②，④，⑤B．模块①，③，⑤C．模块①，②，⑤D．模块③，④，⑤7.如图，两个齐心圆，大圆的弦 AB与小圆相切于点 P，大圆的弦CD经过点 P，且 CD=13， PC=4，则两圆构成的圆环的面积是A．16πB．36πC．52πD．81π第 7题图8. 矩形 ABCD 中，AD8cm， AB 6cm ．动点E从点C开始沿边 CB 向点B以 2cm/s 的速度运动至点 B 停止，动点 F从点 C 同时出发沿边CD 向点 D 以 1cm/s 的速度运动至点D停止．如图可获得矩形CFHE ，设运动时间为 x（单位： s），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后节余部分的面积为y(单位： cm2) ，则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大概是以下图第 8题图中的注 1．第Ⅱ卷包含 4 道填空和 13 道解答，共 8 . 答前要真，看清目意要求，按要求真作答.事2．答笔迹要工整，画要清楚，卷面要整.3．考生除画能够用笔外，答必用色或黑色笔、珠笔.二填空本共16分，每小4分三解答本第二卷（非机读卷88 分）9.若分式 x 24的 0， x 的．x210.如，点 A、 B 、C是半径6的⊙O上的点，BB 30,AC 的_____________.AOC第 10如，在△ ABC 中， D、 E 分 AB、 AC 上的点， DE∥A 11.BC．若 AD ＝3， DB＝ 5，DE ＝ 1.2， BC＝．D EB C第 1112. 如，在ABC 中，A，ABC 的平分与ACD 的均分交于点A，得 A，11A1=． A1 BC 的均分与A1CD 的均分交于点A2，得A2，⋯⋯，A2009 BC 的均分与A2009CD的均分第 12交于点 A2010，得 A2010，A2010=．13.（本小 5 分）( 3 1)04sin6027题14. （本小题 5 分）共3x1430解不等式组x，并把它的解集表示在数轴上．2x2分，每小题5分15. （本小题 5 分）A D如图， E、F 是平行四边形ABCD 对角线 AC E上两点， BE ∥ DF ，求证：AF CE 。

北京市朝阳区2013年中考数学一模试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．2．（4分）（2013•朝阳区一模）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数675003．（4分）（2013•朝阳区一模）把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为B∴抽取的卡片上的数字为奇数的概率是=4．（4分）（2013•朝阳区一模）北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7，13，15，5．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，直线l1∥l2，∠1=40°，则∠2为（）6．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）==47．（4分）（2013•朝阳区一模）二次函数y=（x ﹣1）2+3的顶点在（ ）y=8．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠BOC=120°，AB=3，一动点P 以1cm/s 的速度延折线OB ﹣BA 运动，那么点P 的运动时间x （s ）与点C 、O 、P 围成的三角形的面积y 之间的函数图象为（ ）BAB=•=•二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9．（4分）（2013•朝阳区一模）如果2是方程x2﹣mx+6=0的一个根，那么m=5．10．（4分）（2013•朝阳区一模）因式分解：2x2﹣18=2（x+3）（x﹣3）．11．（4分）（2013•朝阳区一模）侧面展开图是矩形的简单几何体是圆柱，棱柱．12．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为3，那么O点到另外一边BC的距离为3．13．（4分）（2013•朝阳区一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．三．解答题（共9道小题，14题-20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48分）14．（5分）（2013•朝阳区一模）计算：（1﹣）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．﹣×﹣=﹣15．（5分）（2013•朝阳区一模）求不等式组的整数解．则不等式组16．（5分）（2013•朝阳区一模）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，且BF=AC．求证：DF=DC．17．（5分）（2013•朝阳区一模）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．求成人票和儿童票各售出多少张．，解得18．（5分）（2013•朝阳区一模）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围；155～160cm；（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm及160cm以上的学生共有160人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155cm，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解．19．（5分）（2013•朝阳区一模）已知：一次函数y=x+2与反比例函数y=相交于A、B两点且A点的纵坐标为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．y=得，y=组成方程组得，，，×4+20．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若cosD=，BC=8，求AB的长．都对BF=CF=ABC=，=521．（6分）（2013•朝阳区一模）如图，抛物线y=﹣x2+c与x轴分别交于点A、B，直线y=﹣x+过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=﹣x2+c相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+c的解析式；（2）直接写出点C的坐标；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B 重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M 的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？=x+过点﹣）联立抛物线及直线解析式可得：或，，）BE==EBO=，EBO==（×t=t t=（（．﹣t最大面积是22．（7分）（2013•朝阳区一模）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB=2．=cot60，== HG=AM=2=cot60===AM=2 AB=HG=2．。

2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•朝阳区一模）i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：复数==的虚部是．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数是解题的关键．2．（5分）（2013•朝阳区一模）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|lg（x+2）≥0}，则M∩N=（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣1]D．[﹣1，3）考点：交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解对数不等式可以求出集合N，进而根据集合交集及其运算，求出M∩N．解答：解：∵N={x|lg（x+2）≥0}=[﹣1，+∞），集合M={x|﹣2＜x＜3}，则M∩N=[﹣1，3）故选D．点评：本题考查的知识点是对数不等式的解法，集合的交集及其运算，其中解不等式求出集合N是解答本题的关键．3．（5分）（2013•朝阳区一模）已知向量，．若，则实数m的值为（）A．﹣3 B．C．D．考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：先求得得==（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值．解答：解：由题意可得==（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=﹣3，故选A．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．4．（5分）（2013•朝阳区一模）在极坐标系中，直线与曲线ρ=2cosθ相交于A，B两点，O为极点，则∠AOB的大小为（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出AC，DC的值，可得∠AOC的值，从而得到∠AOB=2∠AOC 的值．解答：解：直线ρcosθ=即x=，曲线ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．如图．Rt△ADC中，∵cos∠ACO==，∴∠ACO=，在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=，∴∠AOB=2∠AOC=，故选C．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出∠ACO是解题的关键．5．（5分）（2013•朝阳区一模）在下列命题中，①“”是“sinα=1”的充要条件；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则．其中所有正确命题的序号是（）A．②B．③C．②③D．①③考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：①利用特殊值α=，判断出为假命题．②利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．③根据随机变量ξ～N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于﹣1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，得到结果．解答：解：①是假命题．α=，是能推得sinα=1，反之，sinα=1，α可以为或其他数值．②：的通项为T r+1=C（）r=2r﹣4C4r x12﹣4r令12﹣4r=0得r=3∴展开式的常数项为T4=C43=2；正确；③：∵随机变量ξ～N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ≥1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，正确．故选C．点评：本题考查命题真假的判断，考查了充要条件、二项式定理、正态分布等知识．6．（5分）（2013•朝阳区一模）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．C．D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体的体积为12×=8．故选D．点评：此题考查了由三视图判断几何体，考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力，本题是基础题，常考题型．7．（5分）（2013•朝阳区一模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．8．（5分）（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*．若，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．函数f（x）的“生成点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数的值；数列的求和．专题：压轴题；新定义．分析：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解出即可．解答：解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故选B．点评：本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）（2013•朝阳区一模）在等比数列{a n}中，2a3﹣a2a4=0，则a3=2，{b n}为等差数列，且b3=a3，则数列{b n}的前5项和等于10．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a2a4=，代入已知可解得a3=2，进而可得b3=a3=2，代入等差数列的求和公式可得S5==，计算即可．解答：解：由等比数列的性质可得a2a4=，代入可得2a3﹣=0，解得a3=2，或a3=0（舍去）；故b3=a3=2，由等差数列的求和公式和性质可得：数列{b n}的前5项和S5===5×2=10故答案为：2；10点评：本题考查等比数列和等差数列的性质和求和公式，属基础题．10．（5分）（2013•朝阳区一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．已知角A为锐角，且b=3asinB，则tanA=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件，利用正弦定理可得sinB=3sinAsinB，求得sinA的值，再由同角三角函数的基本关系求得tanA的值．解答：解：在△ABC中，角A为锐角，且b=3asinB，由正弦定理可得sinB=3sinAsinB，∵sinA≠0，故sinA=，∴cosA==tanA==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，属于中档题．11．（5分）（2013•朝阳区一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果S=20．考点：程序框图．分析：题目首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0．先执行一次运算S=S+2i﹣1，然后判断i≥6是否成立，不成立继续执行i=i+2，S=S+2i﹣1，成立时结束循环，输出S．解答：解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0．执行S=0+2×0﹣1=﹣1；判断0≥6不成立，执行i=0+2=2，S=﹣1+2×2﹣1=2；判断2≥6不成立，执行i=2+2=4，S=2+2×4﹣1=9；判断4≥6不成立，执行i=4+2=6，S=9+2×6﹣1=20；判断6≥6成立，跳出循环，输出S的值为20．故答案为20．点评：本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型结构是先执行后判断，不满足条件执行循环，满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．12．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D．若，AB=AC=2，则线段AD的长是1；圆O的半径是2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：①由切割线定理得CD2=DA•DB，即可得出DA；②由余弦定理可得∠DCA，利用弦切角定理可得∠ABC=∠DCA，再利用正弦定理得即可．解答：解：①∵CD是⊙O的切线，由切割线定理得CD2=DA•DB，CD=，DB=DA+AB=DA+2，∴，又DA＞0，解得DA=1．②在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ACD===，∵0＜∠ACD＜π，∴．根据弦切角定理可得∠ABC=∠DCA=．由正弦定理可得==4，∴R=2．故答案分别为1，2．点评：熟练掌握切割线定理、弦切角定理、正弦定理、余弦定理是解题的关键．13．（5分）（2013•朝阳区一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：问题等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．解答：解：在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a（x+2）的图象为过定点（﹣2，0）且斜率为a的直线，作出它们的图象可得：由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，而由斜率公式可得k CB==，k CA==，故实数a的取值范围是：，故答案为：点评：不本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．14．（5分）（2013•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是[﹣5，5]．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：设点C（a，b），由题意可得=λ，且λ＞0，当点A在点M（2，2）时，由=20，且a=b，解得b的值．当点A在点N（2，﹣2）时，由=20，且a=﹣b，解得b的值，从而求得C的纵坐标的取值范围．解答：解：半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）即（x﹣2）2+y2=4 （2≤x≤4），设点C（a，b），由于与的方向相同，故=λ，且λ＞0，当点A在点M（2，2）时，=2a+2b=20，且a=b，解得b=5．当点A在点N（2，﹣2）时，=2a+（﹣2b）=20，且a=﹣b，解得b=﹣5．综上可得，则点C的纵坐标的取值范围是[﹣5，5]，故答案为[﹣5，5]．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•朝阳区一模）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．解答：解：（Ⅰ）==．…（4分）因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…（6分）所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（8分）（Ⅱ）因为，所以，…（10分）所以．…（12分）所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…（13分）点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（13分）（2013•朝阳区一模）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣1，0，1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X=ξ•η的分布列与数学期望EX．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式求解：P（A）=；（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数，则P（B）=1﹣P（），根据独立重复试验中某事件发生k次的概率计算公式即可求得；（Ⅲ）由题意可知ξ，η的可能取值为﹣1，0，1，2，从而随机变量X的可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，4．根据古典概型该类计算公式求得X取各值时的概率即可写出分布列，利用期望公式即可求得期望值；解答：解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则．答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．所以．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．（Ⅲ）由题意可知，ξ，η的可能取值为﹣1，0，1，2，所以随机变量X的可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，4．；；；；；．所以随机变量X的分布列为X ﹣2 ﹣1 0 1 2 4P所以．点评：本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查古典概型概率计算公式，考查学生对问题的阅读理解能力．17．（14分）（2013•朝阳区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）当时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由==λ可知，EF∥BC，依题意，可求得EF∥AD，再利用线面平行的判断定理即可证得结论；（Ⅱ）可证得PA，AB，AD两两垂直，以之为轴建立空间直角坐标系，可求得与的坐标，利用向量的数量积即可求得异面直线BF与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）设F（x0，y0，z0），则=（x0，y0，z0﹣2），=（1，1，﹣2），由=λ，可求得F（λ，λ，2﹣2λ），再设出平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），可求得这两个法向量的坐标，利用n1•n2=0，即可求得λ的值．解答：证明：（Ⅰ）由已知，==λ，所以EF∥BC．因为BC∥AD，所以EF∥AD．而EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，所以PA⊥平面ABCD．所以PA⊥AB，PA⊥AD．又因为AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直．…（5分）如图所示，建立空间直角坐标系，因为AB=BC=1，PA=AD=2，所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．当λ=时，F为PC中点，所以F（，，1），所以=（﹣，，1），=（﹣1，1，0）．设异面直线BF与CD所成的角为θ，所以cosθ=|cos＜，＞|==，所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）设F（x0，y0，z0），则=（x0，y0，z0﹣2），=（1，1，﹣2）．由已知=λ，所以（x0，y0，z0﹣2）=λ（1，1，﹣2），所以，∴=（λ，λ，2﹣2λ）．设平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），因为=（0，2，0），所以即，令z1=λ，得n1=（2λ﹣2，0，λ）．设平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），因为=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，0），所以即令x2=1，则n2=（1，1，1）．若平面AFD⊥平面PCD，则n1•n2=0，所以（2λ﹣2）+λ=0，解得．所以当λ=时，平面AFD⊥平面PCD．…（14分）点评：本题考查直线与平面的平行，考查异面直线所成的角，考查面面垂直，突出考查空间直角坐标系在证明与计算中的应用．属于中档题．18．（13分）（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（I）先求函数的定义域再求函数的导数，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时单调递减．（II）此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）在区间（0，2]内有且只有一个零点的条件，结合（I）中确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值，再转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．解答：解：（I）函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x﹣（a+2）+=…（2分）①当a≤0，即时，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），令f'（x）＞0，得x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．②当，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得或x＞1，函数f（x）的单调递增区间为，（1，+∞）．令f'（x）＜0，得，函数f（x）的单调递减区间为．③当，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（7分）（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可知，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），f（x）在（1，2]单调递增．所以f（x）在（0，2]上的最小值为f（1）=a+1，由于，要使f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，需满足f（1）=0或解得a=﹣1或a＜﹣．②当0＜a≤2时，由（Ⅰ）可知，（ⅰ）当a=2时，函数f（x）在（0，2]上单调递增；且，所以f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．（ⅱ）当0＜a＜2时，函数f（x）在上单调递减，在（1，2]上单调递增；又因为f（1）=a+1＞0，所以当时，总有f（x）＞0．因为e＜1＜a+2，所以f（e）=e[e﹣（a+2）]+（alne+2a+2）＜0．所以在区间（0，）内必有零点．又因为f（x）在（0，）内单调递增，从而当0＜a≤2时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．综上所述，0＜a≤2或a＜﹣或a=﹣1时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．…（13分）点评：此题考查的是利用导数研究函数的单调性，函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了等价转化的思想，以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．19．（14分）（2013•朝阳区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率为，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．考平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意可得a、b、c的方程组，解之可得方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，可得；（2）当直线l的斜率存在时，写直线的方程，联立方程组，消y并整理得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为，由k 的范围可得其范围，综合可得．解答：解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为，依题意得解之可得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得，，所以．…（6分）（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣1），显然k=0时，不符合题意．由消y并整理得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则．直线AE，AF的方程分别为：，令x=3，则．所以，．…（10分） 所以======．…（12分）因为k 2＞0，所以16k 2+4＞4，所以，即．综上所述，的取值范围是．…（14分）点评： 本题考查平面向量数量积的运算，涉及椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题．20．（13分）（2013•朝阳区一模）设τ=（x 1，x 2，…，x 10）是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义，其中x 11=x 1．（Ⅰ）若τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S （τ）的值；（Ⅱ）求S （τ）的最大值；（Ⅲ）求使S （τ）达到最大值的所有排列τ的个数．考点： 排列及排列数公式；数列的求和．专题： 等差数列与等比数列；概率与统计．分析：（Ⅰ）依题意，τ=（x 1，x 2，…，x 10）=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），代入S （τ）=|2x k﹣3x k+1|计算即可求得S（τ）的值；（Ⅱ）可求得数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍，从而可求得其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差，从而可得S（τ）的最大值；（Ⅲ）利用数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，从而使S（τ）取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面，利用排列组合知识即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），x11=x1，依题意，S（τ）=|2x k﹣3x k+1|，∴S（T）=|2x k﹣3x k+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57，．…（3分）（Ⅱ）数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍分别如下：20，18，16，14，12，10，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203﹣72=131，所以S（τ）≤131．对于排列τ0=（1，5，6，7，2，8，3，9，4，10），此时S（τ0）=131，所以S（τ）的最大值为131．…（8分）（Ⅲ）由于数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，所以使S（τ）取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面．设x1=1，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2，3，4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7，8，9，10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当x1=1时，使S （τ）达到最大值的所有排列τ的个数为6×24×4×5=2880，由轮换性知，使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数为28800．…（13分）点评：本题考查排列及排列数公式，考查抽象思维与综合分析能力，考查运算能力，属于难题．。

2013北京市朝阳区初三（一模）数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）﹣3的倒数是（）A．3 B．C．﹣D．﹣32．（4分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行．最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是200000000人一年的口粮．将200000000用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．0.2×109D．20×1073．（4分）若一个正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．54．（4分）如图，AB∥CD，E是AB上一点，EF平分∠BEC交CD于点F，若∠BEF=70°，则∠C的度数是（）A．70°B．55°C．45°D．40°5．（4分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（）A．B．C．D．6．（4分）把方程x2+6x+3=0化成（x+n）2=m的形式，正确的结果为（）A．（x+3）2=6 B．（x﹣3）2=6 C．（x+3）2=12 D．（x+6）2=337．（4分）某校春季运动会上，小刚和其他16名同学参加了百米预赛，成绩各不相同，小刚已经知道了自己的成绩，如果只取前8名参加决赛，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道所有参加预赛同学成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差8．（4分）如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在BC边上，折痕EF∥BC，得到△EFG；再继续将纸片沿△BEG的对称轴EM折叠，依照上述做法，再将△CFG折叠，最终得到矩形EMNF，折叠后的△EMG和△FNG的面积分别为1和2，则△ABC的面积为（）二、填空题（本题共16分，每小题4分）新课9．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是．10．（4分）分解因式：m3﹣m=．11．（4分）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB=，∠B=30°，则△AOC的周长为．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，动点P从原点O出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推…．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1，l1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2，l2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3，l3=18；按照这样的规律，l4=；l n=（用含n的式子表示，n是正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：．14．（5分）求不等式x+1＞3（x﹣1）的非负整数解．15．（5分）已知x2﹣2x﹣7=0，求（x﹣2）2+（x+3）（x﹣3）的值．16．（5分）已知：如图，OP平分∠MON，点A、B分别在OP、ON上，且OA=OB，点C、D分别在OM、OP上，且∠CAP=∠DBN．求证：AC=BD．17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．18．（5分）北京地铁6号线正式运营后，家住地铁6号线附近的小李将上班方式由自驾车改为了乘坐地铁，这样他从家到达上班地点的时间缩短了0.3小时．已知他从家到达上班地点，自驾车时要走的路程为17.5千米，而改乘地铁后只需走15千米，并且他自驾车平均每小时走的路程是乘坐地铁平均每小时所走路程的．小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是多少小时？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠B=60°，AD=6，AB=，AB⊥AC，在CD上选取一点E，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D落在AC上的点F处．求：（1）CD的长；（2）DE的长．20．（5分）如图，⊙O是△ABC是的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若sin∠CAD=，⊙O的直径为8，求CD长．21．（5分）“2012年度中国十大科普事件”今年4月份揭晓，“PM2.5被写入‘国标’，大气环境质量广受瞩目”名列榜首．由此可见，公众对于大气环境质量越来越关注，某市对该市市民进行一项调查，以了解PM2.5浓度升高时对人们户外活动是否有影响，并制作了统计图表的一部分如下：对于户外活动公众的态度百分比A．没有影响2%B．影响不大，还可以进行户外活动pC．有影响，减少户外活动42%D．影响很大，尽可能不去户外活动mE．不关心这个问题6%（1）结合上述统计图表可得：p=，m=；（2）根据以上信息，请直接补全条形统计图；（3）若该市约400万人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有多少万人．（说明：“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）22．（5分）阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A，作AD⊥l2于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交l3于点B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线l2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）二次函数的图象与x轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与x轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m是小于5的整数．求：（1）n的值；（2）二次函数的图象与x轴交点的坐标．24．（7分）在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值；（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，，求k的值．25．（8分）如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．（1）求此二次函数的解析式．（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．①直接写出点P所经过的路线长．②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．数学试题答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】∵﹣3×（﹣）=1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：C．2．【解答】200 000 000=2×108，故选A．3．【解答】这个正多边形的边数：360°÷72°=5．故选：D．4．【解答】∵EF平分∠BEC交CD于点F，∠BEF=70°，∴∠BEC=2∠BEF=2×70°=140°，∵AB∥CD，∴∠C=180°﹣∠BEC=180°﹣40°=40°．故选D．5．【解答】正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，奇数为1，3，5，故点数为奇数的概率为=．故选：A6．【解答】∵x2+6x=﹣3，∴x2+6x+9=﹣3+9，∴（x+3）2=6．故选A．7．【解答】共有16名学生参加预赛，取前8名，所以小刚需要知道自己的成绩是否进入前8．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第8名与第9名的平均成绩是这组数据的中位数，所以小刚知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选：C．8．【解答】根据翻折不变性，可得△EBM≌△EGM，△FCN≌△FGN，△AEF≌△GEF，易得S△EMG+S△FNG=S△EFG，则S△ABC=4S△EGF=4×（1+2）=12．9．【解答】根据题意得：x+2≠0，解可得：x≠﹣2．10．【解答】m3﹣m，=m（m2﹣1），=m（m+1）（m﹣1）．11．【解答】∵∠B=30°，∴∠AOC=60°，又∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∵半径OC⊥AB于点D，AB=，∴AD=BD=，∴sin60°=，解得：AO=2，∴△AOC的周长为：2+2+2=6．故答案为：6．12．【解答】由题意可得第四次平移后可能的点的坐标为：（0，4）、（2，3）、（4，2）、（6，1），（2，3）、（4，2）、（6，1）、（8，0），故可得l4=30．由题意得，l1=3，l2=9，l3=18，l4=30，则可推出l n=．故答案为：30、．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】原式=﹣3+3﹣1=﹣．14．【解答】x+1＞3x﹣3，移项、合并得：﹣2x＞﹣4，解得：x＜2．故原不等式的非负整数解为1，0．15．【解答】原式=x2﹣4x+4+x2﹣9=2x2﹣4x﹣5，∴x2﹣2x=7．∴原式=2（x2﹣2x）﹣5=9．16．【解答】证明：∵OP平分∠MON，∴∠COA=∠DOB，∵∠CAP=∠DBN，∴∠CAO=∠DBO，在△COA和△DOB中，，∴△COA≌△DOB（ASA），∴AC=BD．17．【解答】（1）把A（﹣1，n）代入y=﹣2x得n=﹣2×（﹣1）=2，∴A点坐标为（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y=得k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2）过A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，如图，∵点A的坐标为（﹣1，2），∴B点坐标为（﹣1，0），C点坐标为（0，2）∴当P在x轴上，其坐标为（﹣2，0）；当P点在y轴上，其坐标为（0，4）；∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）．18．【解答】设小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是x小时，由题意，得：=×，解方程，得x=0.7，经检验，x=0.7是原方程的解；答：小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是0.7小时．四、解答题（本题共20分，每小题5分）∴AC=AB•tan60°=×=10，∵∠D=90°，∴在Rt△ADC中，AD=6，∴CD===8，（2）设ED=x，则EF=x，在Rt△CFE中，CF2+FE2=CE2，故42+x2=（8﹣x）2，解得x=3．故DE=3．20．【解答】（1）证明：连结OA，如图，∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°，即∠BAO+∠CAO=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠BAO，而∠CAD=∠B，∴∠BAO=∠CAD，∴∠CAD+∠CAO=90°，即∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∴直线AD是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，sinB=sin∠CAD=，而sinB=，BC=8，∴AC=2，∴AB==2，∵∠CAD=∠B，∴△DAC∽△DBA，∴===，即AD=CD，在Rt△OAD中，OA=OC=4，∵OA2+AD2=OD2，∴42+（CD）2=（4+CD）2，∴CD=．21．【解答】（1）根据扇形统计图得：B占30%，即p=30%；由1﹣（2%+6%+30%+42%）=20%，即m=20%．（2）根据题意得：调查的人数为40÷2%=2000（人），则B的人数为2000×30%=600（人），D的人数为2000×20%=400（人），补全统计图，如图所示：（3）根据题意得：“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有400×20%=80（万人）．故答案为：30%；20%．22．【解答】解：如图2，过点A作AD⊥l2于D，过点B作BE⊥l1于E，则∠EAB+∠ABE=90°，∵AC⊥BA，∴∠1+∠EAB=90°，∵I1∥I2，∴∠1=∠ACD，∴∠ABE=∠ACD，∵在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（AAS），∴AB=AC，∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，∴AE=1，BE=2+1=3，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=12+32=10，∵AC⊥BA，AC=BA，∴△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC=AB×AC=AB2=×10=5．等边三角形ABC的面积S=．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．【解答】（1）∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴b2﹣4ac=1﹣4（n﹣）=0，解得：n=1；（2）将n=1代入二次函数解析式得：y2=x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣4m+6，∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣4m+6）＞0，解得：m＞，∵m是小于5的整数，∴＜m＜5，∴m=3或4，∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标都是整数，∴当m=3时，y2=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），与x轴交点坐标为；（1，0），（3，0），当m=4时，y2=x2﹣6x+6=（x﹣3）2﹣3，与x轴交点坐标为；（3+，0），（3﹣，0）不合题意舍去，故二次函数的图象与x轴交点的坐标为：（1，0），（3，0）．24．【解答】（1）∵CF∥EB，且CF=EB，∴四边形BFCE是平行四边形，∴BF∥CE，BF=CE，∴∠DBF=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°，∵∠A=90°，∴∠A=∠DBF，∵CE=AB，∴AB=BF，在△ABE和△BFD中，，∴△ABE≌△BFD（SAS），∴DF=BE，∠ABE=∠BFD，∵CF∥BE，∴∠EBF+∠BFC=180°，∴∠CFD=180°﹣∠BFD﹣∠EBF=180°﹣∠ABE﹣∠EBF=180°﹣∠ABF=180°﹣90°=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DC=CF，∵CF=EB，∴=；（2）如图，过点C作CF∥BE且是CF=BE，则四边形BFCE是平行四边形，∴BF∥CE，BF=CE，∴∠DBF=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°，∵∠A=90°，∴∠A=∠DBF，∵CE=kAB，BD=kAE，∴==k，∴△ABE∽△BFD，∴==k，∠ABE=∠BFD，∵CF=BE，∴==k，∴DF=kCF，∵CF∥BE，∴∠EBF+∠BFC=180°，∴∠CFD=180°﹣∠BFD﹣∠EBF=180°﹣∠ABE﹣∠EBF=180°﹣∠ABF=180°﹣90°=90°，由勾股定理得，DC===CF，∴=，∵=，EB=CF，∴=，两边平方并整理得，k2=3，解得k=，k=﹣（舍去）．25．【解答】（1）令x=0，则y=4，∴OC=4，∵∠CBO的正切值是2，∴==2，解得OB=2，∴点B的坐标为（2，0），代入二次函数y=ax2+2ax+4得，4a+2a•2+4=0，解得a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣x2﹣x+4；（2）①在Rt△OBC中，BC===2，∵P是线段AD的中点，∴点P经过的路线为△ABC的中位线，长度为：BC=×2=；②∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，∴EP=AP=AD，FP=AP=AD，∴∠CAD=∠AEP，∠BAD=∠AFP，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=∠CAD+∠AEP+∠BAD+∠AFP=2∠CAD+2∠BAD=2∠BAC，令y=0，则﹣x2﹣x+4=0，整理得，x2+2x﹣8=0，解得x1=2，x2=﹣4，∴点A坐标为（﹣4，0），∴OA=OC=4，∴∠BAC=45°，∴∠EPF=2×45°=90°；③∵EP=AP=AD，FP=AP=AD，∴EP=FP，∵∠EPF=90°，∴△EFP是等腰直角三角形，∴AD⊥BC时，EF最短，此时，S△ABC=AB•OC=BC•AD，即×|﹣4﹣2|×4=×2AD，解得AD=，∴EP=AD=，∴EF最小=EP=×=．。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2013.5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．x ≠-2 10.(1)(1)m m m +- 11.612.30；()312n n +（说明：结果正确，不化简整理不扣分）.（每空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解：原式1333314=-+- ……………………………………………………4分 34=-.…………………………………………………………………………5分 14.解：133x x +>- ……………………………………………… ………………………1分 24x ->-2x <.… …………………………………………………………………………3分 ∴原等式的非负整数解为1，0. ……………………………………………………5分 15. 解：原式22449x x x =-++- ………………………………………………………2分2245x x =--.…………………………………………………………………3分∵2270x x --=，∴227x x -=.……………………………………………………………………………4分 ∴原式22(2)5x x =--9=.………………………………………………………………………………5分16.证明：∵OP 平分∠MON ，∴∠COA =∠DOB .…………………………………………………………………1分 ∵∠CAP =∠DBN ，∴CAO DBO ∠=∠.………………………………………………………………2分 ∵OA =OB ，…………………………………………………………………………3分 ∴COA ∆≌DOB ∆. ………………………………………………………………4分 ∴AC =BD . …………………………………………………………………………5分17.（1）解:把()4A m -，代入y = -x ，得m =4.……………………………………………1分 ∴()44A -，. ………………………………………………………………………………2分 把()44A -，代入ky x=，得k = -16.∴反比例函数解析式为16y x=-. ………………………………………………………3分 （2）（-7，0）或（-1，0）.………………………………………………………………5分18. 解：设小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是x 小时. …………………………1分由题意，得17.51520.33x x =⨯-. ……………………………………………………2分 解方程，得 x =0.7. ………………………………………………………………………3分经检验，x =0.7是原方程的解，且符合题意.……………………………………………4分 答：小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是0.7小时. ……………………………5分 四、解答题（本题共20分，题每小题5分） 19．解：（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC =90°.∵∠B =60°，AB =1033， ∴AC =10. ………………………………………………………………………1分 ∵∠D =90°,AD =6，∴CD =8. ………………………………………………………………………2分 （2）由题意，得∠AFE =∠D=90°，AF=AD =6， EF=DE .∴∠EFC =90°,∴FC =4. … ……………………………………………………………………3分 设DE =x ,则EF=x ,CE=8-x .在Rt △EFC 中，由勾股定理,得 2224(8)x x +=-.………………………4分解得x =3.所以DE =3. ……………………………………………………………………5分20.（1）证明：连接OA .∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC =90°. ……………………………………………………………………………1分 ∴∠B +∠ACB =90°.∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA .∵∠CAD =∠B ， ∴∠CAD +∠OAC =90°. 即∠OAD =90°. ∴OA ⊥AD .∴AD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………………………2分 (2) 解：过点C 作CE ⊥AD 于点E . ∵∠CAD =∠B ,∴sinB =sin ∠CAD =24.………………………………………………………………3分 ∵⊙O 的半径为8， ∴BC=16.D AB C O∴AC =sin BC B ⋅= 42.∴在Rt △ACE 中，CE=sin AC CAD ⋅∠=2.…………………………………………4分 ∵CE ⊥AD ,∴∠CED =∠OAD =90°.∴CE ∥OA .∴△CED ∽△OAD .∴CD CEOD OA=. 设CD =x ，则OD =x +8. 即288x x =+. 解得x =83.所以CD =83.………………………………………………………………………………5分21.解：（1）30%，20%； ………………………2分（2）如图；………………………………4分（3）400×20%=80（万人）. …………5分22. 解： 5；……………………………………………2分 如图； ………………………………………3分 733. ………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：(1)∵2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点， ∴令10y =，即2304x x n ++-=.……………………………………………1分∴131404n ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭. 解得n =1. ………………………………………………………………………2分l 1CBED l 2l 3AH400600801602403204004805606407208008800ABCDE公众的态度人数40840120EDA BC O(2)由(1)知，()2222146y x m x m m =--+-+.∵()2222146y x m x m m =--+-+的图象与x 轴有两个交点，∴[]2222(1)4(46)m m m ∆=----+820m =-.∵20∆>，∴52m >.……………………………………………………………………………3分 又∵5m <且m 是整数，∴m =4或3. …………………………………………………………………………5分 当m =4时，2266y x x =-+的图象与x 轴的交点的横坐标不是整数；当m =3时，2243y x x =-+，令20y =，即2430x x -+=，解得11x =，23x =.综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）. ………………………………………7分24. 解：(1)22EB DC =. ………………………………………………………………………2分 (2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF .∴四边形EBFC 是平行四边形. …………………………………………………3分 ∴CE ∥BF 且CE =BF . ∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=. ∵BD =kAE ，∴BDk AE=.… ……………………………………………………………………4分 ∴BF BDAB AE=. ∴DBF ∆∽EAB ∆. ……………………………………………………………5分 ∴DF k BE=,∠GDB=∠AEB . ∴∠DGB =∠A =90°. ∴∠GFC =∠BGF =90°. ∵12CF EB DC DC ==. ∴3DF DF EB CF==. ∴k =3.…………………………………………………………………………7分25. 解：(1)根据题意，C (0，4)．∴OC =4．GFD E CBA∵tan ∠CBO =2，∴OB =2．∴B (2，0)．………………………………………………………………………1分∴ 0444a a =++．∴12a =-． ∴二次函数的解析式为2142y x x =--+．……………………………………2分(2) ①点P 所经过的路线长是5．…… ……………………………………………3分 ②∠EPF 的大小不发生改变．………………………………………………………4分 由2142y x x =--+可得，A (-4，0)． ∴OA = OC ．∴△AOC 是等腰直角三角形． ∴∠CAO =45°．∵DE ⊥AC ， DF ⊥AB ， ∴∠AED = ∠AFD =90°． ∵点P 是线段AD 的中点， ∴PE = PF =12AD = AP ． ∴∠EPD =2∠EAD ，∠FPD =2∠F AD ．∴∠EPF =∠EPD +∠FPD =2∠EAD +2∠F AD = 2∠CAO =90°．…………………5分 ③由②知，△EPF 是等腰直角三角形． ∴EF =2PE =22AD ．……………………………………………………………6分 ∴当AD ⊥BC 时，AD 最小，此时EF 最小．……………………………………7分 在Rt △ABD 中，∵tan ∠CBO =2，AB =6， ∴AD =1255． ∴EF =6105． 即此时EF 的最小值为6105．……………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分．y xP E F BACO D。

12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点12311,,,,A A A A .从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k +1阶正十一角星”，其中18k ≤≤（k 为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么1211A A A ∠+∠++∠=°；当1211A A A ∠+∠++∠=900°时，k = .图1 图2（2013年北京市东城区一模数学12题）12. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如右图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于 点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为 ．12．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；……依此规律进行，点A6的坐标为；若点A n的坐标为（2013，2012），则n= ．（ 2013年北京市朝阳区一模数学12题）12. 在平面直角坐标系xOy中，动点P从原点O出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1，l1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2，l2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3，l3=18；按照这样的规律，l4= ；l n= (用含n的式子表示，n是正整数)．12．我们把函数图象与x 轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数12+=x y 的图象与x 轴交点的坐标为（21-，0），所以该函数的零点是-（1）函数542-+=x x y 的零点是 ； （2）如图，将边长为1的正方形ABCD 放置在平面直角坐标系xOy 中，且顶点A 在x 轴上.若正方形ABCD 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续.顶点D 的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 .（ 2013年北京市石景山区一模数学12题）12．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_______；第n 行（n ≥3）从左到右的第3个数为 ．（用含n 的代数式表示）12．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，点P 在BC 上．若点P 为BC 的中点，则2m AP BP PC =+⋅的值为 ；若BC 边上有100个不同的点P 1，P 2，…，P 100，且m i =AP i 2+BP i ⋅P i C （i =1,2，…，100），则m =m 1+m 2+…+m 100 的值为 ．（ 2013年北京市顺义区一模数学12题）12．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，则菱形ABCD 的面积是 ，连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°；……，按此规律所作的第n 个菱形的面积为___________．PCB AC 1D 1D 2C 2DA B图BA第12题图D 15D 2 D 3 D 4D 0C12．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使得k n2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是 ；若13n =，则第2013次“F 运算”的结果是 .（ 2013年北京市大兴区一模数学12题）12．如图，正方形ABCD 边长为2cm ，动点P 从A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2013cm 时，线段PA 的长为______cm ；当点P 第n 次（n 为正整数）到达点D 时，点P 的运动路程为______cm(用含n 的代数式表示)．（ 2013年北京市怀柔区一模数学12题）12. 如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC，垂足为点D 0．过点D 0作D 0D 1⊥AB，垂足为点D 1；再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为点D 2；又过点D 2作D 2D 3⊥AB，垂足为点D 3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，……，则线段D 1D 2的长为 ，线段D n-1D n 的长为 （n 为正整数）．12．观察下列等式：第1个等式：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯=311213111a ； 第2个等式：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯=5131215312a ； 第3个等式：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯=7151217513a ； 第4个等式：⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯=9171219714a ； ………………………………请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a 5 = = ； （2）求a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a 100的值为（ 2013年北京市平谷区一模数学12题）12．如图1、图2、图3，在ABC △中，分别以AB AC 、为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD 、相交于点O ．如图4，AB AD 、是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE 、是以AC 为边向ABC △外所作正n (n 为正整数)边形的一组邻边．BE CD 、的延长相交于点O ．图1中BOC ∠= ；图4中BOC ∠= （用含n 的式子表示）．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点0M 的坐标为(1,0)，将线段0OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45︒，再将其延 长到1M ，使得001OM M M ⊥，得到线段1OM ；又将线段 1OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45︒，再将其延长到2M ，使得112OM M M ⊥，得到线段2OM ，如此下去，得到线 段3OM ，4OM ,，则点1M 的坐标是 ，点M 5的坐标是 ；若把点)(n n n y x M ，（n 是自然数）的横坐标n x ，纵坐 标n y 都取绝对值后得到的新坐标(),n n x y 称之为点n M 的绝对坐标， 则点83n M +的绝对坐标是 （用含n 的代数式表示）．（ 2013年北京市房山区一模数学12题）12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O4，…，同心圆与直线y x =和y x =-分别交于1A ，2A ，3A ，4A ，…，则点31A 的坐标是 ．12．观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，…，则它的第2013个数是 .第n个数是_________ ．。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类） 2013.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2【答案】A111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是12，选A. （2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则M N =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 【答案】C{}121{10}{1}x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，所以{13}M N x x =-≤< ，选C.（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=- ，()2,1OC m m =+ .若//AB OC，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- 【答案】B(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选B.（4）已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos x x +=则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 【答案】D因为22131()24x x x +-=+-，所以p 为假命题。

sin cos )4x x x π+=+，所以q 为真命题，所以()p q ⌝∧是真命题，选D.（5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．(22+ B ．()4,0-C．(22--+ D . ()0,4【答案】D圆的标准方程为22(2)2x y ++=，所以圆心为(2,0)-，。