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泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间.定理：M 是赋范线性空间()||||,⋅X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈∃>∀y X y ε使得： M x x y ∈∀->-,1||||ε定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则1.*X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=⇔ 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ⇔定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ⇔≠θ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间，可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10，不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若：(1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈∀+≤+(2)()()()为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈∀≥∀=,0,ααα (3) ()()()为对称泛函，则称p X x x p x p ∈∀∈∀=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足：1．()()()X x x p x f ∈∀≤02. ()()()00X x x f x f ∈∀=复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是复线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加对称泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的线性泛函且满足()()()00||X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ，且满足：1．()()()X x x p x f ∈∀≤||02. ()()()00X x x f x f ∈∀=定理: 设X 是线性空间， 若}{θ≠X ， 则在X 上必存在非零线性泛函。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
浅析泛函分析的基本概念泛函分析是现代数学中的一个重要分支, 它研究的是无限维空间上的函数集合, 以及函数与函数之间的关系, 使我们能够描述、研究和解决很多实际问题. 泛函分析独有的优点在于它能够描述和处理各种各样的无限维问题, 能够更加完美地对函数序列或函数空间上的各类性质进行分析, 而且很多经典数学中不能解决的问题, 泛函分析却能够给出解决的方案.泛函分析的基本概念主要包括:向量空间、集合、范数、内积、正交、测度、函数空间等等.以下是这些概念的具体阐述： 1. 向量空间向量空间是指一个满足一定公理的集合，其中这些公理一般包括向量运算的封闭性、加法结合律和交换律、零向量的存在、负向量的存在等等. 这些公理使得向量空间在进行加法和数乘运算时能够满足特定的条件.2. 范数范数是将向量空间中的向量映射到实数集合上的函数, 它通常定义为一个函数||·|| : V → R ,使得对于向量空间V中的任意两个向量，它们的范数都会有一定的关系，这关系通常包括非负性、齐次性和三角不等式等三个条件. 知道向量的范数, 可以想象向量在向量空间中的长度.3. 内积内积是向量空间中的两个向量进行一种数乘运算得到的数. 通常表示为(x, y) .内积可以描述两个向量在几何意义上是夹角余弦值. 从而可以定义正交和两个向量之间的距离.4. 正交在向量空间中, 如果两个向量的内积为0, 则这两个向量互相称之为正交向量. 在物理、机械等领域, 这个概念是经常用到的, 比如向量空间中的两个力相对偏轴正交等等，都是通过正交概念来进行描述的.5. 测度测度是将集合映射为其在一定空间上的数字性质.测度通常用于描述空间上的某些性质，如长度、面积、体积等，它们都是通过某种测度来进行度量的.这个概念经常用于描述概率论、拓扑学、微积分等领域中的问题.6. 函数空间函数空间是指一类函数的集合,函数空间中的元素是函数. 这些函数在某些特定的条件下,可以构成一个向量空间.通过对函数空间的研究, 可以得到很多关于函数性质的结论.总之,泛函分析中涉及的基本概念非常多，范围也很广.我们无法在短时间内全部理解, 因此需要不断地进行学习、思考、理解与探索, 才能真正掌握这门学科.。
数学无穷维空间中的泛函分析数学无穷维空间中的泛函分析是研究无穷维空间上的线性泛函及其性质的一个分支领域。
在数学的发展过程中，泛函分析发展得相当完整，并且在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将介绍泛函分析的基本概念和主要理论。
一、泛函分析的基本概念1.1 线性空间泛函分析的研究对象是线性空间，即一组满足线性运算规则的元素的集合。
线性空间中的元素可以是实数或复数，具有加法和乘法运算。
1.2 范数和完备性在泛函分析中，我们关注的是向量的长度和距离的概念。
范数是定义在线性空间上的函数，满足非负性、齐次性和三角不等式。
完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于该空间中的一个点。
在泛函分析中，完备性通常与范数空间中的闭性等价。
1.3 泛函和泛函的连续性泛函是定义在线性空间上的映射，将每个向量映射到一个标量。
泛函的连续性是指在向量变化很小时，映射的结果也有小的变化。
二、泛函分析的主要理论2.1 勒贝格空间勒贝格空间是指具有完备而有界的范数的空间。
在泛函分析中，勒贝格空间是常用的研究对象，它的完备性和范数的性质使其成为研究分析问题的基础。
2.2 算子理论算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
在泛函分析中，算子理论研究了算子的范数、连续性、对偶性等性质。
特别地，Banach空间和Hilbert空间中的算子理论是泛函分析的重要组成部分。
2.3 凸分析凸分析是研究凸集和凸函数的性质的分析学分支。
在泛函分析中，凸分析是一种重要的工具，用于研究凸问题的最优性和最优解的存在性。
2.4 对偶理论对偶理论是泛函分析中的重要概念，它描述了两个线性空间之间的关系。
通过对偶理论，我们可以将一个线性空间映射到它的对偶空间，并研究它们之间的一些性质和关系。
三、泛函分析的应用泛函分析在许多领域都有广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：3.1 物理学中的泛函分析泛函分析在物理学中有广泛的应用，特别是在量子力学和流体力学等领域。
泛函分析知识点总结本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March泛函分析一，距离空间定义设X是任一非空集合，对于X中的任意两点x,y，均有一个实数d(x,y)与它对应，且满足：1）d(x,y)≥0（非负性）2）d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3）d(x,y)=d(y,x)4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）则称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集合称为一个距离空间，记为（X,d），有时简记为X。
设（X,d）是一个距离空间，X中的一个数列，存在X中的任意点，如果当n趋于无穷时，这个数列按照距离收敛到这个点，则称这个数列以这点收敛。
(x,y)是x,y的二元函数，若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y 的数列收敛到y，则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。
(利用三角不等式证明)开球的定义（X,d）是一个距离空间，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心，r为半径的开球。
有界集：称A为有界集，若存在一个开球，使得A属于这个开球。
内点：称x0为集合G的内点，若存在一个开球B(x0,r)属于G。
开集：称G为开集，若G中的每一个点都是它的内点。
闭集：开集的补集就是闭集。
（若用接触点定义闭集就是，A的接触点的全体称为A的闭包，也就是闭集。
）闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。
全空间和空集即使开集也是闭集。
任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。
任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
等价距离：两个距离空间称为等价距离，如果它们之间可以互相表示。
连续映射：在两个距离空间之间存在一个映射：T，称T为连续映射。
若在定义域的距离空间中存在一个开集，经过映射T，在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。
映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。
泛函分析复习与总结汇编泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是无穷维空间中的函数和函数空间的性质。
泛函分析具有很强的抽象性和广泛的应用性，在数学和物理学中都有着重要的地位。
本文将对泛函分析的基本概念、定理与应用进行复习与总结。
一、基本概念1.线性空间与赋范线性空间：线性空间是指满足线性运算规则的集合，包括实数域上的向量空间和复数域上的向量空间。
赋范线性空间是在线性空间的基础上，引入了范数的概念，即给每个向量赋予一个非负实数，满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
2.内积空间与希尔伯特空间：内积空间是在赋范线性空间的基础上，引入了内积的概念，即给每一对向量赋予一个复数，满足线性性、共轭对称性和正定性等性质。
希尔伯特空间是一个完备的内积空间，即内积空间中的柯西序列收敛于该空间中的元素。
3.函数空间：函数空间是指由特定性质的函数组成的集合，常见的函数空间有连续函数空间、可微函数空间和L^p空间等。
二、定理与性质1.希尔伯特空间的性质：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，任意一序列收敛于希尔伯特空间中的元素，该序列收敛于该元素的充分必要条件是该序列的柯西序列。
2. Riesz表示定理：Riesz表示定理是希尔伯特空间的一个重要定理，它指出了希尔伯特空间中的任意线性连续泛函都可以由内积表示。
具体地说，对于希尔伯特空间中的任意线性连续泛函f，存在唯一的y∈H，使得对于所有的x∈H，有f(x)=(x,y)。
3.泛函分析的基本算子理论：算子是泛函分析中的一个重要概念，它用来描述线性变换的性质。
常见的算子包括线性算子、连续算子和紧算子等。
4.开放映射定理：开放映射定理是泛函分析中的一个重要定理，它指出了一个连续算子的开集的像还是开集。
具体地说，如果X和Y是两个赋范线性空间，并且T:X→Y是一个连续线性算子，如果T是开映射，则其像T(X)也是Y中的开集。
三、应用泛函分析在数学和物理学的各个领域都有重要的应用，包括偏微分方程、最优控制理论和量子力学等。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析知识点总结1.Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第⼆类型集。
解释：完备的距离空间(X,d)，∀x∈X都是内点，因为X在X中是开集。
⼀个⽆处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X，即X不是第⼀类型集，所以只能是第⼆类型集。
注：完备的距离空间是第⼆类型集，那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。
这个经常被⽤来证明。
例如，开映射定理、闭图像定理等。
2. 闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。
导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤⽴点。
所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。
3.闭集在度量空间中，如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。
4.不动点定理压缩映射：设(X,d)是距离空间，T是X到X的映射，如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈X，满⾜下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称T是X上的⼀个压缩映射。
不动点定理：设X是完备的距离空间，T是X到X的压缩映射，则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。
5.施密特正交化将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。
e1=x1 ||x1||e2=x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||e j+1=x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k||注：本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量，就正交化了。
然后再除以对应范数，进⾏单位化。
6.Hilbert空间的同构n为的实（复）Hilbert空间与R n(C n)同构。
（保距离，保线性，保范数，保内积）⽆限维可分Hilbert空间与l2空间（L2[0,1]）等距同构。
7.算⼦的连续性和有界性连续性：对于X中的任何收敛于x0的点列{x n}，恒有Tx n→Tx0,n→=∞有界性：存在正常数M，使得对⼀切x∈X，有||Tx||≤M||x||⼀点连续，则处处连续：设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，T:X→Y是⼀个线性算⼦。
泛函分析中的概念和命题泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间.定理：M 是赋范线性空间X,|| || 的一个真闭线性子空间，则0, y X,|| y|| 1,使得：|| y x|| 1 , x M定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则1. f X * N f {x X | f x 0}是X的闭线性子空间2. 非零线性泛函f x 是不连续的N f 在X中稠密定理：X ,Y是赋范空间，X { }, 则Y是Banach空间B X,Y 是Banach空间X ,Y, Z是赋范空间， A B X,Y ,B Y,Z ,则AB B X,Z ,且||AB || || A||||B || 可分B空间：L P 0,1,l p 1 p ,c,c0,C a,b 可分L 0，1,l 不可分Hahn-Banach 泛函延拓定理设X 为线性空间，p是定义在X上的实值函数，若：(1) p x y p x p y , x, y X ,则称p为次可加泛函(2) p x p x , 0, x X ，则称p为正齐性泛函(3) p x | | p x , K, x X ，则称p为对称泛函实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，p x 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，X0是X 的线性子空间，f 0是定义在X 0上的实线性泛函且满足f0 x p x x X0 ，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足：1．f0 x p x x X2. f x f0 x x X0复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是复线性空间，p x 是定义在X 上的次可加对称泛函，X 0 是X 的线性子空间，f0 是定义在X 0上的线性泛函且满足| f0 x | p x x X0 ，则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ，且满足：1．| f0 x | p x x X2. f x f0 x x X0定理: 设X是线性空间，若X { }，则在X上必存在非零线性泛函。
泛函分析知识总结汇总
一、函数的概念
函数是把特定的输入映射到特定的输出的规律。
常用的函数有：实数
函数、复数函数、多元函数和函数序列等。
二、函数的极限
极限是指当自变量的值向其中一数趋近时，函数的值向另一数趋近。
极限可以用来推导函数的行为，它也对定义微积分有着重要的意义。
三、函数的微分
微分是指将函数的变量的值变化一点点，函数值也发生一点点的变化。
微分是运用微积分最基本的操作，也是后续科学研究的基础。
四、函数的积分
积分是指将函数的不断变化的变量值，加以积分，求出函数的总积分，又称为定积分。
在实际应用中，经常使用积分来解决一些问题，如了解随
机变量的概率分布、求参数方程的解等。
五、函数的反函数
反函数就是由变量x的函数f(x)的一个变量y取得，满足条件
f(x)=y的一个函数。
反函数也是函数的一种，它的研究也是微积分的重
要内容之一
六、函数的条件积分
条件积分是指由两变量函数给定的函数在满足其中一种条件的情况下，确定它的积分。
在现实应用中，条件积分也是常用的一种积分方法，用以
求解参数方程的解等。
七、函数的级数
级数是由一系列的数序列组成的，并且它们满足其中一特定的规律。
泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间.定理：M 是赋范线性空间()||||,⋅X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈∃>∀y X y ε使得： M x x y ∈∀->-,1||||ε定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则1.*X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=⇔ 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ⇔定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ⇔≠θ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间，可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10，不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若：(1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈∀+≤+(2)()()()为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈∀≥∀=,0,ααα (3) ()()()为对称泛函，则称p X x x p x p ∈∀∈∀=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足：1．()()()X x x p x f ∈∀≤02. ()()()00X x x f x f ∈∀=复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是复线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加对称泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的线性泛函且满足()()()00||X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ，且满足：1．()()()X x x p x f ∈∀≤||02. ()()()00X x x f x f ∈∀=定理: 设X 是线性空间， 若}{θ≠X ， 则在X 上必存在非零线性泛函。
Hahn-Banach 延拓定理: 设X 是赋范线性空间， 0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X 上的有界线性泛函f ，满足：1．0||||||||0X f f =2. ()()()00X x x f x f ∈∀=定理：设X 是赋范线性空间，M 是X 的线性子空间，(),0,,00>=∈d M x X x ρ则必有 *X f ∈，满足：(1)()()1||||)3()2(,00==∈∀=f d x f M x x f ；；定理：设X 是赋范空间，()1||||||,||,},{00*0==∈∃-∈∀f x x f X f X x 使必θ定理：设X 是赋范空间，1}||||,|)(sup{|||||,*000=∈=∈∀f X f x f x X x ：必有凸集分离定理极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形承托超平面：的在点凸集0x E 承托超平面0x L L E L 有公共点的一侧，且与在是指Minkowski 泛函：上作一个点的凸子集，在的含有是是线性空间，设X X M X θ取值于],0[+∞的函数： ()()X x M x x p ∈∀∈>=},|0inf{λλ与M 对应，称函数p 为M 的Minkowski 泛函定理：L 是赋范空间X 的(闭)超平面⇔存在X 上的非零(连续)线性泛函f 及()}|{,,r x f X x H H L R r r f rf =∈==∈其中使Hahn-Banach 定理的几何形式: 设X 是赋范空间，E 是X 的具有内点的真凸子集，又设00,x E E X x 与离则必存在一个超平面分-∈定理：设X 是赋范空间，；具有内点，且的两个非空凸集，是和φ=⋂F E E X F E 0则 F E H X f s sf 和分离使得超平面及},{R *θ-∈∈∃Ascoli 定理：设X 是赋范空间，E 是X 的真闭凸子集，则R ,,*0∈∈∃-∈∀αX f E X x 适合()()()E x x f x f ∈∀<<，0α Mazur 定理：设X 是赋范空间，E 是X 的一个有内点的凸子集，F 是X 的一个线性流形，又设的一侧在，使的闭超平面则存在一个包含L E L F F E ,0φ=⋂定理：设X 是赋范空间，E 是X 的一个含有内点的闭凸集，则通过E 的每个边界点都可以作出E 的一个承托超平面 基本定理定理：()()()εθθε,1,,0,Banach ,O TB Y X B T Y X ⊃>∃∈使得是满射，则空间，是设 开映射定理：()是开映射是满射，则空间，是设T Y X B T Y X ,Banach ,∈Banach 逆算子定理：()()Y X B T Y X B T Y X ,,Banach ,1∈∈-是双射，则空间，是设等价范数定理：设X 是线性空间，1||||•和2||||•是X 上的两个范数，若X 关于这两个范数都成为Banach 空间，而且2||||•强于1||||•，则1||||•也强于2||||•，从而1||||•和2||||•等价闭算子：是赋范空间，设Y X ,()的映射，到是Y X T D T ⊂若T 的图像()()}|,{T D x Tx x ∈是赋范线性空间Y X ⨯中的闭集，则称T 是闭映射或闭算子闭算子判别定理：设Y X ,是赋范空间，()⇔⊂是闭映射的映射，则到是T Y X T D T(),}{T D x n ⊂∀若()00000,,Tx y T D x Y y Tx X x x n n =∈∈→∈→，且则闭图像定理：空间，是设Banach ,Y X ()的线性映射到是Y X T D T ⊂，而且是闭算子，若 ()T D 是X 的闭线性子空间，则T 是连续的定理：空间，是设Banach ,Y X 的线性算子到是Y X T ，则T 连续⇔T 是闭算子 共鸣定理：空间，是设Banach X Y 是赋范空间，().,,Λ∈∈λλY X B T 如果X x ∈∀，都有有界：则}||{||,||||sup Λ∈+∞<Λ∈λλλλT x T自反空间与共轭算子除声明外下面的Y X ,都是一般的赋范线性空间共轭空间：[]()[]()共轭，，q p p b a C l c c l l L L q p q P ,,1b ,a V ,,)(,)(,)(0*1*0***∞<≤===== 伴随算子:()()()()||||||||,,*******T T X Y B T f f T Tx f x f Y X B T =∈==∈，，，， 1.()()||||||||,,,**********T T T T X X T T X B T ==∈的延拓且是则的子空间看成若将记2.()()1**1*)(,--=⇔∈T T T T Y X B T 有有界逆，且此时有有界逆，则3.()()的保范线性算子到是由映射***,,X Y B Y X B A A α4.()()()***,,,,A B AB Z Y B B Y X B A =∈∈则若 定理：若)(11*不自反，可分。
可分，则l L X X ⇒；X 是Banach 空间，自反自反X X ⇔* 自反空间的闭线性子空间是自反空间自然嵌入映射**x x →：τ是赋范空间X 到**X 的保范的有界线性算子，即：||||||||**x x =Riesz 表示定理：设X 是局部紧空间，()()则：时，},|sup{|||||X x x f f X C f c ∈=∈ (1) 若()X C c 是ϕ上的正线性泛函，则存在X 上一个正则Borel 测度u ，使得对任()X C f c ∈都有()⎰=u f f d ϕ(2) 若()*X C c ∈ϕ，则存在X 上一个广义正则Borel 测度u ，使()⎰=u f f d ϕ(3) 若()X C c 是X 上具有紧支集的复连续函数空间，则对()X C c 上任一有界复线性泛函ϕ，存在复正则Borel 测度u ，使()⎰=u f f d ϕ弱收敛和弱列紧基本概念：弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的*弱收敛；弱列紧；局部弱列紧；*弱列紧；局部*弱列紧定理：设()()当且仅当：强收敛于某个空间，是Y X T Y X B T Y X n ,B ,}{Banach ,∈⊂1.()K ,3,2,1||||0||}{||=≤>n M T M T n n ，使有界，即有2.收敛，，使中的稠集存在}{x T D x D X n ∈∀定理：设当且仅当：弱收敛于某个则空间，是***}{,}{Banach X f f X f X n n ∈⊂1.有界；||}{||n f2.()收敛，，使中的稠集存在}{x f D x D X n ∈∀ 定理：设当且仅当：弱收敛于某个是赋范空间，则X x X x X n ∈⊂}{1.有界；||}{||n x2.()()x f x f D f D X n 收敛于，有，使中的稠集存在}{*∈∀定理：设,}{X x X x X n ∈⊂弱收敛于某个是赋范空间，则存在由}{n x 的凸组合构成的点列使其强收敛到x ，且||||lim ||||n n x x ∞→≤ 定理：可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的Hilbert Space基本概念：除声明外下面所涉及的空间都是Real or Complex Hilbert Space X内积：一个(数域K 上)线性空间X 上的内积指的是共轭双线性泛函：K →⨯X X ，它满足正定性和共轭对称性。
内积空间：定义了内积的线性空间。
定义了内积的复(实)线性空间称为复(实)内积空间。
内积导出的范数满足平行四边形公式。
内积(按内积导出的范数)是X X ⨯上的连续函数.若由内积导出的范数是完备的，这样的内积空间称为Hilbert 空间定理：设()()⋅⋅,,X 是内积空间，||||⋅是由内积()⋅⋅,导出的范数，则||||⋅与()⋅⋅,满足如下关系：当X 是实线性空间时，()()X y x y x y x y x ∈∀--+=,,||||||||41,22 当X 是复线性空间时，()()X y x iy x i iy x i y x y x y x ∈∀--++--+=,,||||||||||||||||41,2222 极化恒等式：()()()()()[]iy x iA iy x iA y x A y x A y Ax --++--+=41,，()()x Ax x A ,= 定理：为了在赋范线性空间()||||,⋅X 中引入内积()⋅⋅,，使得由()⋅⋅,导出的范数就是||||⋅，当且仅当||||⋅满足平行四边形公式：()2222||||||||2||||||||y x y x y x +=-++定理：设()()⋅⋅,,X 是内积空间，M 是X 的非空子集，()X n y y x n ∈=K ,2,1,,，则1.222||||||||||||y x y x y x +=+⇒⊥ 2.()y x y y n y x n n ⊥⇒→=⊥,,2,1K 3.M x M x span ⊥⇒⊥ 4.()⊥⊥⊥⊥=⊂M M M M , 5.}{θ=⇒⊥M X M 中稠在 6.()⊥⊥⊥=spanM M X M 的闭线性子空间，且是定理：设X 是希尔伯特空间，M 是X 的非空闭凸子集，则M y X x o ∈∃∈∀唯一的,，使得()}||inf{||,||||0M y y x M x y x ∈-==-：ρ正交分解定理：设M 是希尔伯特空间X 的一个闭线性子空间，X x ∈∀，存在唯一的正交分解：⊥⊥⊕=∈∈+=M M X M x M x x x x 即：),,(,1010定理：设()()⋅⋅,,X 是希尔伯特空间，M 是X 的线性子空间，则：1.()M M =⊥⊥2. }{θ=⇔⊥M X M 中稠在定理：系中必存在完备标准正交空间}){(θ≠H H H ilb ert定理：假定}|{Λ∈=ααe S 是中的标准正交系空间H H ilb ert ，那么.H x ∈∀有Parseval 不等式：∑Λ∈≥αα2||||2||||c x定理：}|{Λ∈=ααe S 是中的完备标准正交系空间H Hilbert ，⇔.H x ∈∀有Fourier 展开式和Parseval 等式：∑Λ∈=∑Λ∈=ααααα2||||2||||,c x e c x ，其中：()()系数的称为Fourier ,x e x c Λ∈=ααα。
