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2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学生 3500名初中生4500名 高中生 2000名小学初中30 高中10 年级50 O近视率/%8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
常考问题1 函数、基本初等函数的图象与性质[真题感悟]1．(2011·江苏卷)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 因为函数u ＝2x ＋1，y ＝log 5u 在定义域上都是递增函数，所以函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间即为该函数的定义域，即2x ＋1＞0，解得x ＞－12，所以所求单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________.解析 f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 －23．(2013·南京、盐城模拟)若函数f (x )＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f (x )的值域为________．解析 由题意可得f (－1)＝－f (1)，解得a ＝－12，所以f (x )＝－12－12x －1，当x ≥1时，得f (x )为增函数，2x ≥2,2x －1≥1，∴0＜12x－1≤1，∴－32≤f (x )＜－12.由对称性知，当x ≤－1时，12＜f (x )≤32.综上，所求值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，324．(2010·江苏卷)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为______________．解析 由题意可得g (x )＝e x＋a e －x为奇函数，由g (0)＝0，得a ＝－1. 答案 －1 [考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质．试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考查.1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.热点一 函数的性质及其应用【例1】 (1)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.(2)(2013·苏州模拟)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________．解析 (1)依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值是0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14.答案 (1)－12 (2)－14[规律方法] 根据函数的奇偶性、单调性和周期性，把所求函数值转化为给定范围内的函数值，再利用所给范围内的函数解析式求出函数值．【训练1】 (1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＝________.解析 (1)由f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0，构造函数F (x )＝f (x )－2x ，得F (x )在R 上是增函数，又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4，即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1.(2)易知函数的周期为6.所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋335×1＝335＋2＝337. 答案 (1)(－1，＋∞) (2)337 热点二 函数的图象及其应用【例2】 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为________．解析由奇函数的定义和f (2)＝0得出函数在(－∞，0)上也为增函数．画出函数草图(如图)，可得在(－2,0)和(2，＋∞)上f (x )>0，在(－∞，－2)和(0,2)上f (x )<0.当x >0时，由f x －f －xx<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )<0，结合图象可知(0,2)符合；当x <0时，由f x －f －xx<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )>0，结合图象可知(－2,0)符合．答案 (－2,0)∪(0,2)[规律方法] 研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【训练2】 (2013·盐城调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤0，2 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，可得b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x ≤0，2 x >0，图象如图所示．方程f (x )＝x 解的个数即y ＝f (x )与y ＝x 图象的交点个数．由图知两图象有A ，B ，C 三个交点，故方程有3个解． 答案 3热点三 函数的综合应用【例3】 (2013·无锡模拟)设函数f (x )＝lg∑n －1i ＝1i x ＋n xa n，其中a ∈R ，对于任意的正整数n (n ≥2)，如果不等式f (x )＞(x －1)lg n 在区间[1，＋∞)上有解，则实数a 的取值范围为______．解析 由题意可得函数f (x )＝lg ∑n －1i ＝1i x＋n xa n ＝lg1x ＋2x ＋3x ＋…＋n －1x＋n xan＞(x －1)lgn ＝lg nx －1，即为1x ＋2x ＋3x ＋…＋n －1x＋n xa n＞n x －1在区间[1，＋∞)上有解，分离参数可得1－a ＜⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nx＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n x ＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x max ，由指数函数的单调性可得函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n x ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x 在区间[1，＋∞)递减，即x ＝1时取得最大值1＋2＋3＋…＋n －1n＝n －12，所以1－a ＜n －12⇒a ＞3－n2在n ≥2时恒成立，所以a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n 2max，而3－n 2在[2，＋∞)上递减，所以当n ＝2时取得最大值12，故a ＞12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[规律方法] 关于不等式恒成立、有解问题，通常利用分离参数的方法将所求字母的取值范围转化为函数最值，再利用相关函数的单调性等性质求函数最值，要熟练掌握并且能够灵活应用这一解法．【训练3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x a －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b x－12的定义域是[a ，b ]，其中0＜a ＜b .(1)求f (x )的最小值； (2)讨论f (x )的单调性．解 (1)f (x )＝x 2a 2＋b 2x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋b x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋b x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋b x ＋2－2b a.设t ＝x a ＋bx ，则由x ∈[a ，b ]，0＜a ＜b ，得t ≥2 b a， 从而t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a ，1＋b a ，于是y ＝t 2－2t ＋2－2b a＝(t －1)2＋1－2b a在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a ，1＋b a 上单调递增， 所以当t ＝2b a ，即x ＝ab 时，f (x )min ＝2⎝⎛⎭⎪⎫ b a －12. (2)由t ＝x a ＋bx≥2b a ，当且仅当x a ＝bx， 即x ＝ab 时等号成立，且t ＝x a ＋b x在[a ，ab ]上单调递减， 在[ab ，b ]上单调递增， 且y ＝t 2－2t ＋2－2b a 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 b a ，1＋b a 上单调递增函数，所以f (x )在区间[a ，ab ]上单调递减，区间[ab ，b ]上单调递增.备课札记：希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
