2021届重庆市渝中区巴蜀中学高三“一诊”模拟测试题数学(理)试题Word版含解析

数学参考答案·第1页（共8页） 巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 12345678答案 C A D A B C B D【解析】1．{|13}A x x =-≤≤， {|2}B x x =≥，所以[23]A B = ，，故选C ．数学参考答案·第2页（共8页）图1ln ()x f x ，则1()()ln ()0g x f x x f x x''=+< ，0，所以当01x <<时，()0g x >，当1x >时，g 时，ln 0x >，所以当)1(0x ∈，时，()0f x <. 0时，()0f x <；又()f x 为奇函数，所以当x 0>可化为09850x x <⎧⎨->⎩，或09850x x >⎧⎨-<⎩，，解得0，故选D ．（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BC AC ACD ABC【解析】A 选项错误；11()()()24P A P B P AB P ====，图2（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15128 30数学参考答案·第3页（共8页）数学参考答案·第4页（共8页） 【解析】17．（本小题满分10分）（1）证明：1211(1)140b a a =+=++=≠，……………………………………………（1分）1222121221(1)12222(1)2n n n n n n n b a a a a a b ++++=+=++=+=+=+=，…………………（3分） ∴12n nb b +=，∴{}n b 为以4为首项，2为公比的等比数列．……………………………（5分） （2）解：由（1）知：11122142221n n n n n n b a a -++=+===- ，，∴……………………（6分） 又112212112122n n n n n a a a ++--=+=-=-，，∴……………………………………………（7分） 所以2135212462()()n n n S a a a a a a a a -=+++++++++34(12)4(12)2238.1212n n n n n n +⎡⎤⎡⎤--=-+-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦……………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页） 18．（本小题满分12分）……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）证明：222111AC A C AA A C AC +=⊥，，∵∴又1111111ACC A ABC ACC A ABC AC A C ACC A ⊥=⊂ 平面平面，平面平面，平面，1.A C ABC ⊥平面∴又AB ABC ⊂平面，1.A C AB ⊥∴ ………………………………………………………（4分）（2）解：由111111121222332B ACC A B ACA A ABC ABC V V V S A C AC BC A C ---====⨯⨯⨯ △133BC == BC =∴………………………………………………………………………………（5分）以C 为坐标原点，1CA CB CA，，分别为x y z ，，的正向建立空间直角坐标系，则各点坐标如下：数学参考答案·第6页（共8页）1(000)00)(00)(00C A B A ，，，，，，，， ………………………………（7分）取平面1CA B 的法向量为(100)m = ，，，设平面11A BB 的法向量为000()n x y z =，，，取111(0(0BB AA A B ===，，则01100x n BB n A B ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，………………………………………………（10分） 设二面角11C A B B --的大小为θ，则|cos ||cos |m n θ=〈〉==，所以二面角11C A B B --的正弦值为sin θ== …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）患病者被误诊即被判定为阴性的概率为： 197.5950.002(10095)0.5%.10095P -=⨯⨯-=- ………………………………………………（3分）（2）当[95100)c ∈，时， 95()5%0.002(10095)(15%)10095c f c -=⨯⨯⨯-+-⨯-41000.010(10095)0.002(105100)(949500)1010095c c --⎡⎤⨯⨯-+⨯-=-+⨯⎢⎥-⎣⎦，…………（6分）当[100105]c ∈，时，100105()5%0.002(10095)0.012(105100)(15%)105100105100c c f c --⎡⎤=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⎢⎥--⎣⎦40.002(105100)(131400)10c -⨯⨯-=-+⨯，……………………………………………（9分）∴44(949500)10[95100)()(131400)10[100105]c c f c c c --⎧-+⨯∈⎪=⎨-+⨯∈⎪⎩，，，，，，………………………………………（10分） ()f c ∵在[95105]c ∈，单调递减，所以105c =时()f c ，最小．……………………（12分）21．（本小题满分12分）数学参考答案·第7页（共8页）数学参考答案·第8页（共8页）。

{}{}A. y = 4A.7a b巴蜀中学高三 一诊模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数 z = a 2 + a - 2 + (a 2 - 3a + 2)i 为纯虚数，那么实数 a 的值为A.-2B.1C.2D.1 或-22.已知集合 A = x y = log (4 - x 2) ， B = y y = 2 x+ 1 ，则 AB =2A. φB.(1,3)C. (1,+∞)D.(1,2)3.直线 l 过点(0,2)，被圆 C : x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 9 = 0 截得的弦长为 2 3 ，则直线 l 的方程是14x + 2B. y = - x + 2C.y=2D. y = x + 2 或 y=233 34.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为9 8 10 B.C.D.8109115.已知各项不为 0 的等差数列 { n}满足 a4- 2a 2 + 3a = 0 ，数列{ }是等比数列，且b = a ，则b b b =7 8 n 7 7 3 8 10A.1B.8C.4D.26.已知函数 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的奇函数，若对于任意的实数 x ≥ 0 ，都有 f ( x + 2) = f ( x ) ，且当2,0) 4]上单调递增.其中是真命题的为A.2B.3x∈[0,2)时，f(x)=log(x+1)，则f(2014)+f(-2015)+f(2016)的值为2A.-1B.-2C.2D.17.对于函数f(x)=xcosx，现有下列命题：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0,A.②④B.①④C.②③D.①③π9.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2-c2=b，且sin(A-C)=2cos A s in C，则b=A.6B.4C.2D.110.已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是A.39B.63C.83D.611.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNAB的最大值为23C.1D.3312.若函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则称函数f(x)为“和谐函数”.下列函数中：①224 2 8 x13.已知函数 f ( x ) = ⎨ 则 f ( f ( f ( ))) = _______.⎩ 2 x , x ≤ 0,1 1 a （2）设 c =，求数列 {c }的前 n 项和 S .aa1 1g ( x ) = x - 1 + ；② h ( x ) = log (( ) x + ) ；③ p ( x ) = ；④ q ( x ) = ln x .“和谐函数”的个数为1 2A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）⎧log x, x > 0, 13 314.二项式 (2 x - 1 2 x)n(n ∈ N * ) 的展开式中，二项式系数最大的项是第 4 项，则其展开式中的常数项是_____.15.△ABC 中，∠A=120°，∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D ，且 AB=2，CD=2DB ，则 AD 的长为_____16.A ，B ，C ，D 四点在半径为5 2 2的球面上，且 AC=BD=5，AD=BC= 41 ，AB=CD ，则三棱锥 D-ABC 的体积是______.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）已知数列 { }的首项 a = 1 ，且满足 (an1n +1 - 1)a + a nn +1 = 0(n ∈ N * ) .（1）求数列 { }的通项公式；n3n nnnn18.（本小题满分 12 分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，... ，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图，统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；‘（2）若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在[40,60)记 0 分，在[60,80)记 1 分，在[80,100]记 2 分，用 ξ 表示抽取结束后的总记分，求 ξ 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA=2，E是侧棱BB的中点.111111（1）求证：平面AD E⊥平面A D E；111（2）求二面角E-AC-B的正切值.120.（本小题满分12分）椭圆C:x2y2+a2b2=1(a>b>0)，作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为k，k k=-12122 3.（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与x轴交于点D(-3,0)，且满足DP=2QD，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln x-kx+1.（1）若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）证明：ln2ln3ln4ln n1n2+n+10+++⋅⋅⋅++(1+)n<(n∈N*,n≥2). 3815n2-1n4⎩ y = sin ⎩ y = 1 + t,请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .22.（本小题满分 10 分）【选修 4-1：几何证明选讲】如图，在△ABC 中，DC ⊥AB 于 D ，BE ⊥AC 于 E ，BE 交 DC 于点 F ，若 BF=FC=3，DF=FE=2.（1）求证： AD ⋅ AB = AE ⋅ AC ；（2）求线段 BC 的长度.23.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】⎧ x = 2 cos θ , ⎧x = 2 + 3t,已知曲线 C 的参数方程为： ⎨ (θ 为参数），直线 l 的参数方程为： ⎨ (t 为参数），θ ,点 P(2,1)，直线 l 与曲线 C 交于 A ，B 两点.（1）写出曲线 C 和直线 l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求 P A ⋅ PB 的值.24.（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】（1）设函数 f ( x ) =x + 1 + x - 2 - a 的定义域为 R ，试求 a 的取值范围；（2）已知实数 x ，y ，z 满足 x+2y+3z=1，求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值.高 2016 届一诊模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5 ADDCB 6-10 ABACD 11-12BC4.S=1【解析】⎧a2+a-2=0,1.⎨⎩a2-3a+2≠0,即a=-2，故选A.118++⋅⋅⋅+=，故选C.1⨯22⨯38⨯995.设等差数列的公差是d，由a-2a2+3a=0，a-3d-2a2+3(a+d)=0，解得a=2或者a=047877777（舍去），所以b b b=(b)3=8，故选B.381076.由已知f(x)为R上的奇函数，且对于任意的实数x≥0，都有f(x+2)=f(x)，则f(2014)+f(-2015)+f(2016)=f(0)-f(1)+f(0)=-1，故选A.7.f(0)=0，f(2π)=2π，f(0)≠f(2π)，所以②错；f(0)=0，f(π)=-π，f(0)≠-f(π)，所以③错，故选B.8.由题意，当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而23232a+3b13b a1325+=(+)=+(+)≥+2=，故选A.a b a b66a b669.sin A cos C=3cos A s in C⇒2(a2-c2)=b2，又a2-c2=b，代入得b=2，故选C.2310.如图，根据三视图间的关系可得BC=23，∴侧视图中V A=42-(⨯32⨯23)2=23，∴三棱锥侧视图面积S1△VBC=2⨯23⨯23=6，故选D.b a ⎪ a =④错误.若 f(x)在区间[a,b]上单调递减，须满足： f (a) = ， f (b ) = ，对于③，代入有⎨ 2 ，ab=2 2 xT2 2 211.过 A ，B 分别作抛物线准线的垂线 AQ ，BP ，垂足分别为 Q ，P ，连接 AF ，BF ，设 AF = a ， BF = b .由a +b MN 3抛物线定义及余弦定理得： AB 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos120 ，MN = ，由均值不等式得： ≤2 AB 3故选 B.，12.由题意知，若 f(x)在区间[a,b]上单调递增，须满足： f (a) = a b， f (b ) = ，结合图象知：①②正确，2 2⎧ 1 b 2 21 a ⎪ = ⎩ b 21即可.例如： [ ,4] 满足题意，所以③正确，故选 C.2二、填空题13. log 1 1 1 1 【解析】 f ( f ( f ( ))) = f ( f (-1)) = f ( ) = log3 2 3 2 3 2.14.-20【解析】由题意知，展开式中有 7 项，n=6， r +1解得 r=3，所以常数项为-20.= C r (2 x )6-r (- 16)r = (-1)r C r 26-2r x 6-2r ，6-2r=0，6 15. 4CD 2 1 2 【解析】由题意 B ，C ，D 三点共线，且 = ，则 AD = AC + AB ，根据角平分线的性质3 BD 1 3 3AB BD 1 1 2 1 4 4 16 = = ，所以 AC=4， AD 2 = AD = ( AC + AB)2 = AC + AB + AC ⋅ AB = ，所 AC CD 2 3 3 9 9 9 94以 AD = .316.20【解析】如图，设长方体的三条棱长分别为 a ，b ，c ，则有 a 2 + b 2 = 25 ， a 2 + c 2 = 41 ，a 2 +b 2 +c 2 = 50 ，解得 a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积是 20.三、解答题17.解：（1）整理得1an +11- = 1 ， ................................... 3 分 an所以1n na解得：S=(2n-1)44C1C1C1C1+C227=15C21=1+(n-1)=n，所以a=....................................6分n（2）由（1）知，c=n⋅3n，...................................7分nS=1⨯3+2⨯32+3⨯33+⋅⋅⋅+n⨯3n，①n3S=1⨯32+2⨯33+3⨯34+⋅⋅⋅+(n-1)⨯3n+n⨯3n+1，② (9)n分①-②有-2S=3+32+33+⋅⋅⋅+3n-n⨯3n+1，n3⨯3n+1+....................................12分n18.解：（1）设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01+0.015⨯2+0.025+0.005)⨯10+x=1，可得x=0.3.所以频率分布直方图如图所示.....................................4分估计本次考试的平均分为x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.15+75⨯0.3+85⨯0.25+95⨯0.05=71....................6分（2）学生成绩在[40,60)的有0.25⨯60=15人，在[60,80)的有0.45⨯60=27人，在[80,100]的有0.3⨯60=18人，并且ξ的可能取值为0,1,2,3,4......................7分则P(ξ=0)=C215=C260727207；P(ξ=1)=，P(ξ=2)=151827=118C2118C25906060；P(ξ=3)=C1C12718=C2608151；P(ξ=4)=18=295C259060..........................9分所以ξ的分布列为E(ξ)=0⨯7..................................11分272078151+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=2.1........................12分11811859029559019.（1）证明：如图，在矩形ABB A中，E为BB中点且AA=2，AB=1，1111所以AE=A E=2，所以△A AE为等腰直角三角形，11EA⊥AE.......................................2分1在直四棱柱ABCD-A B C D中，因为底面是边长为1的正方形，1111所以A D⊥平面A ABB.1111又因为AE⊂平面A ABB，11所以A D⊥AE，所以AE⊥平面A D E........................4分1111又因为AE⊂平面AD E，所以平面AD E⊥平面A D E....................6分1111（2）解：方法一：因为AB⊥平面B BCC，所以平面ABC⊥平面B BCC，11111所以只需在平面B BCC内过点E作EF⊥BC于F，而EF⊥平面ABC.1111如图，过F作FG⊥AC于G，连接EG，1则∠EGF就是二面角E-AC-B的平面角.....................8分1BCAC 在 RT △EFG 中， tan ∠EGF = EF⎧在 △EBC 中， EF =2S △E BC 111= EB ⋅ C 1B 1 = BC155 ，3 5 所以 C F = C E 2 - EF 2 =.511在 △ A BC 中， FG = C F ⋅ s in ∠FC G = C F ⋅AB1 1 1 11=30 10. ................. 10 分6 = . FG 3所以二面角 E - AC - B 的平面角的正切值大小为 163. ................ 12 分方法二：以 D 为原点，DA ，DC ， DD 分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.1由题意 A (1,0,2) ，E(1,1,1)， D (0,0,2) ，A(1,0,0)， C (0,1,2) ，C(0,1,0)，B(1,1,0)，......7 分1 11AE = (0,1,1) ， C E = (1,0,-1) ，1设平面AEC 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ， 1则 ⎨ y + z = 0 ⎩ x - z = 0⇒ n = (1,-1,1) ，2 2 1 2 1 ⎪⎪ k 1 = y + y ， 解得： e = c 2m 2 +3 2m 2 + 3同理可得，平面 ABC 的一个法向量为 m = (2,0,1) ， .................10 分1代入公式有： cos < m , n >=3 5 ⋅ 3 = 15 5 ，所以二面角 E - AC - B 的平面角的正切值大小为 1 6 3. ................ 12 分20.解：（1）设 P( x , y ) ， Q( x , y ) ，代入椭圆 C 的方程有： 11 2 2 x 2 2 + a 2 y 2 2 = 1, b 2 x 2 y 2 1 + 1 = 1 ， ........................ 2 分 a b 2x 2 - x 2 y 2 - y 2 两式相减： 2 1 + 2 1 = 0 ， a 2 b 2即 ( x 2 - x 1 )( x 2 + x 1 ) a 2 ( y - y )( y + y ) + = 0 ， b 2⎧ 又 ⎨ ⎪k = ⎪⎩ 2 y - y 2 1 x - x 2 1 2 1 x + x 2 1联立两个方程有 k k = - 1 2 b 2 2 =- ， ....................... 4 分 a 2 33 = . .................5 分a3（2）由（1）知 e = c 3 = ，得 a 2 = 3c 2 , b 2 = 2c 2 ， a 3可设椭圆 C 的方程为： 2 x 2 + 3 y 2 = 6c 2 ，设直线 l 的方程为： x = my - 3 ，代入椭圆 C 的方程有(2m 2 + 3) y 2 - 4 3my + 6 - 6c 2 = 0 ，............................6 分因为直线 l 与椭圆 C 相交，所以 ∆ = 48m 2 - 4(2m 2 + 3)(6 - 6c 2 ) > 0 ，4 3m 6 - 6c 2 由韦达定理： y + y = ， y y = . 1 2 1 2又 DP = 2QD ，所以 y = -2 y ，1 222a2即：k≥ln x+196m2代入上述两式有：6-6c2=-，..................8分2m2+3所以S∆OPQ13∆3=OD y-y==1248m2-4(2m2+3)(6-6c2)2m2+3.................9分=18m2m2+3=1812m+3m≤362，......................10分当且仅当m2=32时，等号成立，此时c2=5，代入∆，有∆>0成立，所以所求椭圆C的方程为：x2y2+=1.........................12分151021.（1）解：由f(x)≤0有：kx≥ln x+1，ln x+1，令h(x)=，x xh'(x)=-ln xx2=0，解得x=1，.......................2分在(0,1)上，h'(x)>0；在(1,+∞)上，h'(x)<0.所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即k≥1..................4分（2）证明：由（1）知，当k=1时，ln x≤x-1，当且仅当x=1时，取等号.令x=n2(n∈N*,n≥2)，有ln n2≤n2-1，即ln n1n<<，.................6分n2-122ln2ln3ln4ln n1(n-1)(n+2)+++⋅⋅⋅+<(2+3+⋅⋅⋅+n)=3815n2-124，①..........9分1111令x=1+，有ln(1+)<⇒(1+)n<e<3，②..............11分n n n n①+②有：ln2ln3ln4ln n1n2+n+10+++⋅⋅⋅++(1+)n<(n∈N*,n≥2).......12分3815n2-1n422.（1）证明：由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD⋅AB=AE⋅AC...........................3分（2）解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，⎪⎪ ⎩5由已知，∠BDC=90°，又因为 FG ⊥BC ，所以 B ，G ，F ，D 四点共圆，所以由割线定理知： CG ⋅ C B = CF ⋅ C D ，①...................5 分同理，F ，G ，C ，E 四点共圆，由割线定理知：BF ⋅ BE = BG ⋅ BC ，②......................7 分①+②得： CG ⋅ C B + BG ⋅ BC = CF ⋅ C D + BF ⋅ BE ，即 BC 2 = CF ⋅ C D + BF ⋅ BE = 3 ⨯ 5 + 3 ⨯ 5 = 30 ， .......................8 分所以 BC = 30 . . ................. 10 分23.解；（1）曲线 C 的标准方程为： x 2 2+ y 2 = 1 ， 直线 l 的标准方程为： x - 3 y - 2 + 3 = 0 ..........................5 分⎧ 3x = 2 + t（2）将直线 l 的参数方程化为标准方程： ⎨ 2 （t 为参数）， ...............6 分⎪ y = 1 + 1 t ⎪ 2代入椭圆方程得： 5t 2 + 8( 3 + 1)t + 16 = 0 ，..........................8 分所以 P A ⋅ PB = t t =16 1 2. ......................... 10 分24 解：（1）由题设知，当 x ∈ R 时，恒有 x + 1 + x - 2 - a ≥ 0 ，即 x + 1 + x - 2 ≥ a ，又 x + 1 + x - 2 ≥ 3 ，∴ a ≤ 3 ........................................5 分（2）由柯西不等式 ( x 2 + y 2 + z 2 )(12 + 22 + 32 ) ≥ ( x + 2 y + 3z) 2 = 1 ，∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 14， x y z 1 1 3 当且仅当 = = 时，即 x = ， y = ， z = 时， 1 2 3 14 7 141x2+y2+z2取最小值14.........................10分。

2021年重庆市渝中区巴蜀中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.(2021·重庆市市辖区·模拟题)6的倒数是()A. 16B. −6 C. 9 D. −162.(2021·云南省·模拟题)如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是()A.B.C.D.3.(2021·重庆市市辖区·模拟题)计算(−3x3)2正确的是()A. 6x6B. −9x6C. 9x6D. 9x54.(2021·重庆市市辖区·模拟题)AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠AOB=70°，则∠B的度数为()A. 10°B. 20°C. 30°D. 35°5.(2021·重庆市市辖区·模拟题)估计√48−√3的值应在()A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间6.(2021·重庆市市辖区·模拟题)下列各命题是真命题的是()A. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线相等的平行四边形是矩形7. (2021·山西省·其他类型)如图，在平面直角坐标系中，已知点E ，F 的坐标分别为(−4,2)，(−1,−1).以点O 为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OEF 缩小，则点E 的对应点E′的坐标为( )A. (12,12)B. (1,−2)C. (2,−1)D. (4,−2)8. (2021·甘肃省兰州市·模拟题)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的12，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的23，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x ，乙持钱为y ，可列方程组为( ) A. {x +23y =50y +12x =50 B. {x +12y =50y +23x =50 C. {x −12y =50y −23x =50D. {x −23y =50y −12x =509. (2021·重庆市市辖区·模拟题)为了纪念巴蜀中学首任校长周助成和首任教务主任孙伯才而修建的助艾亭，见证了巴蜀走过的风雨历程；助艾亭下的石榴花，阶梯边的蓝楹树，也陪伴着一届届巴蜀学子的青春成长.小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对助艾亭的高度进行测量，他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F 点测得亭顶A 点的仰角为13°，F 点到地面的垂直高度FG =1.8米.从钢板斜坡底的E 点向前走16.25米到D 点，测得亭前阶梯CD 的长度为2.5米，坡度为3：4.C 点到亭中心O 点的距离为1米.根据测量结果，助艾亭的高度AO 大约为( )米.(参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A ；B ，C ，D ，E ，F ，G 各点均在同一平面内)A. 4.9米B. 4.6米C. 6.4米D. 6.1米10. (2016·山东省淄博市·期末考试)从3，−1，12，1，−3这5个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的不等式组{13(2x +7)≥3x −a <0无解，且使关于x 的分式方程xx−3−a−23−x =−1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之积是( ) A. 12B. 3C. −3D. −3211. (2021·重庆市市辖区·模拟题)一天早晨，慧慧从家出发匀速步行到学校.慧慧出发一段时间后，她的爸爸发现慧慧忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿慧慧行进的路线，匀速去追慧慧.爸爸追上慧慧将学习用品交给慧慧后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，爸爸返回时骑车的速度只是原来速度的一半.慧慧继续以原速度步行前往学校.爸爸与慧慧之间的距离y(米)与慧慧从家出发后步行的时间x(分)之间的关系如图所示(慧慧和爸爸上、下楼以及爸爸交学习用品给慧慧耽搁的时间忽略不计).对于以下说法，正确的结论是( )A. 学校离家的距离是1000米B. 爸爸去时的速度为60米/分钟C. 爸爸从追上慧慧到返回家中共用时25分钟D. 当爸爸刚回到家时，慧慧离学校的距离为200米12.(2021·重庆市市辖区·模拟题)如图，等腰△ABC中，AB=AC，边AC过原点O，BC平行于x轴，AE⊥BC于点E，连接E点和AB边的中点D点，交x轴于点F.若D点在反比例函数y=kx (k≠0)的图象上，E点在反比例函数y=−2−kx(k≠0)的图象上，△ADE的面积是10，DF：EF=1：2，则k的值是()A. 7B. 385C. 8 D. 263二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.(2021·重庆市市辖区·模拟题)计算(13)−1+|−2|=______ ．14.(2021·重庆市市辖区·模拟题)根据国家卫健委官网，截至2021年4月7日，31个省(自治区、直轴市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠疫苗约14900万剂次，将数据14900用科学记数法表示为______ ．15.(2021·重庆市市辖区·模拟题)现有四张正面分别标有数字−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则反比例函数y=mnx的图象在二、四象限的概率是______ ．16.(2021·重庆市市辖区·模拟题)如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=2√2，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，如图所示，则图中阴影部分的面积是______ .(结果保留x)17. (2021·重庆市市辖区·模拟题)如图，△ABC 中，O 为AB 边中点，将△AOC 沿着CO翻折得△DOC ，CD 交AB 于点E 且满足：∠A =∠CDB ，若tan∠A =12，AO =5，则点E 到BC 的距离是______ ．18. (2021·重庆市市辖区·模拟题)传播正能量，树立新方向.“泌园”糕点店准备开发出A 、B 两款礼盒为奋斗的人们鼓劲、两款礼盒均由“加油打气”饼，“奋发图强”酥，“超越自我”糕三行糕点搭配而成.其中A 礼盒一共有18块糕点、B 礼盒一共有24块糕点.A 礼盒中的“加油打气”饼的数量和B 礼盒中的“超越自我”糕的数量一致、A 礼盒中的“奋发图强”酥的数量和B 礼盒中的“加油打气”饼的数量一致.每块“加油打气”饼、“奋发图强”酥、“超越自我”糕的成本分别是5元，2元，3元.A ，B 两种礼盒的包装盒成本之比为9：8.经测算、A 礼盒的总成本比B 礼盒多12.5%(每种礼盒总成本=礼盒中糕点成本+包装盒成本).后因原材料成本上涨、每块“加油打气”饼，“奋发图强”酥，“超越自我”糕的成本分别上涨20%，50%，50%，包装盒成本不变，结果A 礼盒比B 礼盒的总成本多1元.则上涨后每个B 礼盒的的总成本是______ 元.三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. (2021·重庆市市辖区·模拟题)计算：(1)(x +y)2+y(3x −y)； (2)(1−mm+3)÷m 2−9m 2+6m+9．20.(2021·重庆市市辖区·模拟题)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠A=130°，DE平分∠ADC交AB于点E，连接CE．(1)请用直尺和圆规过E点作BC的垂线，交BC于点M(保留作图痕迹)；(2)在(1)的条件下，当M是BC的中点时，求∠DEC的度数．21.(2021·重庆市市辖区·模拟题)每年4月15日为全民国家安全教育日.“国家安全，从我做起”，我校组织有关国家安全教育知识线上测试活动，测试满分100分，为了解七、八年级学生此次线上测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩，已知抽查得到的七年级的数据如下：80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，80．为了便于分析数据，统计员对七年级数据进行了整理，如表：七、八年级成绩的平均数、中位数、优秀率如表：(分数80分以上、不含80分为优秀)(1)a=______ ，c=______ ，m=______ ；(2)七年级佳佳和八年级静静的分数都为80分，判断佳佳、静静在各自年级的排名哪位更靠前？并说明理由；(3)如果我校七、八年级各有学生2000人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩优秀的总人数．22.(2021·重庆市市辖区·模拟题)探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有的学习经验，请结的性质．合表中的数据，画图并探究该函数y=−ax2+2(1)根据表中数据可得：a=______ ，b=______ ．(2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)观察该函数图象，写出该函数图象的一条性质：______ ；(4)已知函数y=−23x−103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式−ax2+2≤−23x−103的解集______ ．23.(2021·重庆市市辖区·模拟题)随着天气转暖，众多时令水果相继上市，某水果店以10元/千克的价格购进A，B两种水果共250千克，计划加价60%卖出．(1)若B水果的数量不少于A水果的数量的1.5倍，那么B水果至少有多少千克？(2)在(1)中B水果数量最小的情况下，由于A水果比较受欢迎，商家决定每千克比原计划提高a元销售，结果有2a千克的A水果由于腐败变质没能卖出；B水果比原计划降价13a元/千克销售.销售完这批水果后盘点发现，实际销售利润和原计划相同，求a的值．24.(2021·重庆市市辖区·模拟题)如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“绝对数”，如：三位数312，∵1=|3−2|，∴312是“绝对数”，把一个绝对数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F(m)，把m的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为G(m)．如：F(312)=31+32+12=75，G(312)=3×3+2×1+2=13．(1)请问257是不是“绝对数”，如果是，请求出F(257)，G(257)的值；(2)若三位数A是“绝对数”，且F(A)−2G(A)是完全平方数，请求出所有符合条件的A．x2+ 25.(2021·重庆市市辖区·模拟题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−123x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．2(1)求B、C两点的坐标；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF//x轴交直线BC于点F，过P作PE//y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移√5个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称2轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．26.(2021·重庆市市辖区·模拟题)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．答案和解析1.【答案】A【知识点】倒数【解析】解：∵6的倒数是1．6故选：A．根据倒数的定义，即可求解．此题主要考查了倒数，关键是掌握乘积是1的两数互为倒数．2.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：从正面看有2层，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，故A 符合题意，故选：A．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.【答案】C【知识点】幂的乘方与积的乘方【解析】解：(−3x3)2=9x6．故选：C．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】B【知识点】圆周角定理、切线的性质【解析】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，∵∠AOB=70°，∴∠B=90°−∠AOB=20°，故选：B．根据切线的性质得出OA⊥AB，求出∠OAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可．本题考查了直角三角形的性质和切线的性质，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．5.【答案】C【知识点】估算无理数的大小【解析】解：√48−√3=4√3−√3=3√3，∵(3√3)2=27，∴25<(3√3)2<36，∴5<3√3<6，故选：C．根据二次根式的加减运算法则，先计算出√48−√3的值，再估算无理数的值．本题考查了无理数的估算，把无理数夹逼在相邻的两个整数之间是解题的关键，估算无理数的大小一般要用夹逼法．6.【答案】D【知识点】证明与定理【解析】解：A、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，故选：D．利用平行四边形的对称性、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的对称性、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．7.【答案】C【知识点】坐标与图形性质、位似图形及相关概念【解析】解：∵点E 的坐标为(−4,2)，以点O 为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OEF 缩小，∴点E 的对应点E′的坐标为(−4×(−12),2×(−12))，即(2,−1)， 故选：C ．根据位似变换的性质计算，判断即可．本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．8.【答案】B【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】解：由题意可得， {x +12y =50y +23x =50， 故选：B ．根据甲得到乙的钱数的12，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的23，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．9.【答案】A【知识点】解直角三角形的应用 【解析】解：由题意可知，∠AFM =13°，CD =2.5.CD 的坡比是3：4，EF 的坡比是12：5，FG =1.8，DE =16.25，MF//NG ，ON ⊥NG ，CH ⊥NG ，FG ⊥NG ，OC =NH =1， ∴四边形MNGF 是矩形， ∴FM =NG ，在RtCDH 中，设CH =3x ，DH =4x ，∴CD =2.5，∴(3x)2+(4x)2=2.52， ∴x =0.5，∴DH =2，CH =1.5， 在RtEFG 中，FGEG =125，FG =1.8，∴1.8EG =125，∴EG =0.75，∴FM =GN =EG +DE +DH +NH =20， 在RtAMF 中，tan∠AFM =AMFM =tan13°， ∴AM ≈20×0.23=4.6，∴AO =AM +MO =AM +(FG =CH)=4.9(米)， 答：助艾亭的高度AO 大约为4.9米． 故选：A ．由题意可知四边形MNGF 是矩形，在RtCDH 中，根据勾股定理求得DH =2，在RtEFG 中，根据条件可求得EG =0.75，进而求出FM =20，在RtAMF 中，根据三角函数的定义求出AM =4.6，进而可求出AO ．本题主要考查了解直角三角形的应用，在问题中找出适当的直角三角形是解决问题的关键．10.【答案】B【知识点】一元一次不等式组的解法、分式方程的解 【解析】解：不等式组整理得：{x ≥1x <a ，由不等式组无解，得到a ≤1，分式方程去分母得：x +a −2=−x +3， 解得：x =5−a 2，由分式方程有整数解，3，−1，12，1，−3这5个数中，得到a =3，−1，1，−3， ∵a ≤1，∴a =−1、1、−3．则这5个数中所有满足条件的a 的值之积为3， 故选B不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出5个数中满足条件a的值，进而求出之积．此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.【答案】D【知识点】一次函数的应用【解析】解：由图象得：家到学校总路程为1200米，故A错误，不符合题意；慧慧步行速度：1200÷30=40(米/分)，由函数图象得出，爸爸在慧慧10分后出发，15分时追上慧慧，设爸爸去时的速度为v米/分，(15−10)v=15×40，v=120，∴爸爸去时的速度为120米/分，故B错误，不符合题意；则爸爸回家时的速度为：120÷2=60(米/分)则爸爸回家的时间：15×40÷60=10(分)，∴爸爸从追上慧慧到返回家中共用时15−10+10=15(分)，故C错误，不符合题意；(30−15−10)×40=200(米).即当爸爸刚回到家时，慧慧离学校的距离为200米，故D正确，符合题意；故选：D．由图象可知：家到学校总路程为1200米，分别求慧慧和爸爸的速度，妈妈返回时，根据“爸爸返回时骑车的速度只是原来速度的一半”，得速度为60米/分，可得返回时又用了10分钟，此时慧慧已经走了25分，还剩5分钟的总程．本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程=速度×时间之间的关系的运用，分别求慧慧和爸爸的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．12.【答案】D【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质【解析】解：设AE 与x 轴交于点H ，过点D 作DG ⊥AH 于G ，DM ⊥x 轴于M ，如图，设D(a,k a )，则OM =a ，由于BC 平行于x 轴，所以GH =DM =ka ． 设E(b,−k−2b)，则OH =b ，EH =2+k b，由题意a >b ，k >0．∴DG =HM =a −b ，EG =GH +HE =ka +k+2b．∵DG ⊥AH ，BE ⊥AE ， ∴DG//BE ． ∵D 为AB 的中点， ∴AG =GE ．∴S △DEG =12S △AED =12×10=5．∴12×(a −b)(k a+k+2b )=5．整理得：ak+2a b−bk a=12①.∵DG//BE ，DF ：EF =1：2， ∴GH HE =DF EF=12．即ka ：k+2b=1：2．整理得：ak +2a =2kb②． 把②代入①得：2k −k+22=12．解得：k =263．故选：D ．过点D 作DG ⊥AH 于G ，DM ⊥x 轴于M ，设D(a,ka )，由于BC 平行于x 轴，则OM =a ，GH=DM=ka .设E(b,−k−2b)，则OH=b，EH=2+kb，由题意a>b，k>0.可得DG=HM=a−b，EG=GH+HE=ka +k+2b；由△ADE的面积是10，易得△DGE的面积为5.于是可得12×(a−b)(ka+k+2b)=5.因为DG⊥AH，MH⊥AH，所以DG//MH，可得GHHE=DFEF=12.即ka ：k+2b=1：2，整理得：ak+2a=2kb，把它代入12×(a−b)(ka+k+2b)=5可得k的值．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征，平行线的判定与性质，三角形的面积，换元法解方程，反比例函数的性质．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．13.【答案】5【知识点】绝对值、负整数指数幂【解析】解：原式=3+2=5．故答案为：5．直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．14.【答案】1.49×104【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：将数据14900用科学记数法表示为1.49×104．故答案为：1.49×104．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15.【答案】13【知识点】反比例函数的性质、反比例函数的图象、用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：根据题意得：所有等可能结果数为：12．∵反比例函数y=mnx的图象在二、四象限．∴mn<0．∴所有等可能目标事件的总数为：4．∴反比例函数y=mnx 的图象在二、四象限的概率是412=13．故答案为：13．画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用反比例函数y=mnx的图象在二、四象限，说明mn<0，求出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．16.【答案】π−2√2+2【知识点】扇形面积的计算、矩形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】解：在矩形ABCD中，AD=2，AB=2√2，∴∠ADC=90°，AB//CD，OB=OD，∴∠ABD=∠CDB，∵AF=AB=2√2，AF2=AD2+DF2，∴(2√2)2=22+DF2，∴DF=2，∴AD=DF，∴∠DAF=∠DFA=45°，∴∠BAF=45°，在△BOM和△DOF中，{∠MBO=∠FDO OB=OD∠BOM=∠DOF，∴△BOM≌△DOF(ASA)，∴BM=DF=2，∴AM=2√2−2，∴图中阴影部分的面积为：45π×(2√2)2360−12×(2√2−2)×2=π−2√2+2，故答案为：π−2√2+2．由图可知，阴影部分的面积是扇形ABF和△AMF的面积之差，然后根据题目中的数据，可以求得AF、DF、AM的长，∠BAF的度数，从而可以解答本题．本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，三角形全等的判断和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17.【答案】12√511【知识点】翻折变换(折叠问题)、解直角三角形、点到直线的距离【解析】解：过E分别作EF⊥BC于F，EQ⊥BD于Q，连接AD，延长CO交AD于P，由翻折可得，△AOC≌△COD，∴AC=CD，NO=CO=OD=5，则AB=2AO=10，∴CO平分∠ACD，∴P是AD中点且CP⊥AD，∠ACB=∠ADB=90°，∴tanA=BCAC =12，AC2+BC2=AB2=100，∴AC=4√5，BC=2√5，AO=CO，∴∠CAO=∠ACO，∴tan∠ACO=AP=11∴AP =4，CP =8，∴AD =2AP =8，∴BD =√AB 2−AD 2=6，∵∠CDB =∠CAO ，∴tan∠CDB =EQ DQ =1212tan∠ABD =AD BD =43， ∴EQ BQ =43， ∴DQ EQ =83，DQ +BQ =6，∴BQ =1811，EQ =2411， ∴EB =√EQ 2+BQ 2=3011，∵∠ABC =∠ABC ，∠EFB =∠ACB =90°，∴△ACB∽△EFB ，∴EF AC =EB AB ，∴EF =12√511， ∴点E 到BC 的距离是12√511． 故答案为：12√511． 过E 分别作EF ⊥BC 于F ，EQ ⊥BD 于Q ，连接AD ，延长CO 交AD 于P ，根据翻折性质与等腰三角形性质可得AB 的长及∠ACB =∠ADB =90°，然后由勾股定理和解直角三角形即可得到答案．此题考查的是翻折变换，解直角三角形，掌握翻折的性质及三角函数公式是解决此题关键．18.【答案】101【知识点】一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用【解析】解：设A 礼盒中“加油打气”饼的数量为x 块，“奋发图强”酥的数量为y 块，“超越自我”糕的数量为(18−x −y)块，则B 礼盒中“加油打气”饼的数量为y 块，“奋发图强”酥的数量为(24−x −y)块，“超越自我”糕的数量为x 块，设A 礼盒的包装盒成本为9k 元，则B 礼盒的包装盒成本为8k 元，∵每块“加油打气”饼、“奋发图强”酥、“超越自我”糕的成本分别是5元、2元、3元，成本分别上涨20%、50%、50%，∴原材料成本上涨后，每块“加油打气”饼、“奋发图强”酥、“超越自我”糕的成本分别是6元、3元、4.5元，由题意得：{5x +2y +3(18−x −y)+9k =(1+12.5%)[5y +2(24−x −y)+3x +8k]6x +3y +4.5(18−x −y)+9k =6y +3(24−x −y)+4.5x +8k +1， 解得：{x =5y k =4.5y −8， 由题意得：{18−x −y >024−x −y >0k >0，即：{18−6y >024−6y >04.5y −8>0，解得：179<y <3，∵y 为整数，∴y =2，∴x =5×2=10，k =4.5×2−8=1，∴上涨后每个B 礼盒的的总成本为：6y +3(24−x −y)+4.5x +8k=3y +1.5x +72+8k=3×2+1.5×10+72+8×1=101(元)，故答案为：101．设A 礼盒中“加油打气”饼的数量为x 块，“奋发图强”酥的数量为y 块，“超越自我”糕的数量为(18−x −y)块，则B 礼盒中“加油打气”饼的数量为y 块，“奋发图强”酥的数量为(24−x −y)块，“超越自我”糕的数量为x 块，设A 礼盒的包装盒成本为9k 元，则B 礼盒的包装盒成本为8k 元，易求得原材料成本上涨后，每块“加油打气”饼、“奋发图强”酥、“超越自我”糕的成本分别是6元、3元、4.5元，由题意列出方程组，解得{x =5y k =4.5y −8，再由题意列出不等式组，求出y =2，x =10，k =1，即可得出结果．本题考查了一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识；正确理解题意，列出一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 19.【答案】解：(1)(x +y)2+y(3x −y)=x 2+2xy +y 2+3xy −y 2=x 2+5xy ；(2)(1−mm+3)÷m2−9m2+6m+9=m+3−mm+3⋅(m+3)2(m+3)(m−3)=3m+3⋅(m+3)2(m+3)(m−3)=3m−3．【知识点】单项式乘多项式、完全平方公式、分式的混合运算【解析】(1)根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；(2)根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20.【答案】解：(1)如图，直线EM即为所求作．(2)∵BM=CM，EM⊥BC，∴EB=EC，∴∠B=∠ECB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD=130°，AB//CD，∴∠B=∠ADC=50°，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=25°，∵∠ECD=∠BCD−∠ECB=130°−50°=80°，∴∠CED=180°−80°−25°=75°．【知识点】尺规作图与一般作图、平行四边形的性质【解析】(1)利用尺规作出图形即可．(2)利用平行四边形的性质以及角平分线的性质求出∠EDC，∠ECD，再利用三角形内角和定理解决问题即可．本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考常考题型．21.【答案】10 77.525【知识点】加权平均数、用样本估计总体、中位数、频数(率)分布表【解析】解：(1)由题干数据可知a=10，b=3，c=(75+80)÷2=77.5，m=(3+ 2)÷20×100=25．故答案为：10，77.5，25；(2)七年级佳佳的排名更靠前．理由如下：因为七年级的中位数是77.5，八年级的中位数是82.5，所以七年级佳佳和八年级静静的分数都为80分，佳佳的排名更靠前．(3)2000×25%+2000×50%=500+1000=1500(人)．故估计该校此次线上知识竞赛成绩优秀的总人数是1500人．(1)根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、b、c、m的值；(2)根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；(3)分别求出该校七、八年级线上知识竞赛成绩优秀的人数，再相加即可求解．本题考查用样本估计总体、统计表、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】12 1211函数y=−12x2+2的图像关于y轴对称x≤−4或−2≤x≤1【知识点】一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数的图象【解析】解：(1)当x=0时，−a0+2=−6，解得：a=12，∴函数的解析式为y=−12x2+2，当x=3时，y=−129+2=−1211，∴b=1211，故答案为：12，1211；(2)画出函数的图象如图：故答案为：−1211，−6；(3)根据函数图象：函数y=−12x2+2的图象关于y轴对称；故答案为：函数y=−12x2+2的图象关于y轴对称；(4)由图象可知：不等式−ax2+2≤−23x−103的解集为x≤−4或−2≤x≤1．(1)代人一对x、y的值即可求得a的值，然后代人x=3求得b的值即可；(2)利用描点法作出图像即可；(3)结合图象可从函数的增减性及对称性写出一条性质即可；(4)根据图象求得即可．本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)设购进B水果x千克，则购进A水果(250−x)千克，依题意得：x≥1.5(250−x)，解得：x≥150．答：B水果至少有150千克．(2)依题意得：[10×(1+60%)+a]×(250−150−2a)+[10×(1+60%)−13a]×150−10×250=10×60%×250，整理得：2a 2−18a =0，解得：a 1=9，a 2=0(不合题意，舍去)．答：a 的值为9．【知识点】一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用【解析】(1)设购进B 水果x 千克，则购进A 水果(250−x)千克，根据B 水果的数量不少于A 水果的数量的1.5倍，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；(2)根据总利润=每千克的利润×销售数量，结合实际销售利润和原计划相同，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．24.【答案】解：(1)∵|2−7|=5，∴257是“绝对数”，∴F(257)=25+27+57=109，G(257)=2×3+2×5+7=23；(2)设三位数A 为abc −，(1≤a ≤9,0≤b ≤9,0≤c ≤9，且a ，b ，c 为整数)， ∵三位数A 为“绝对数”，∴F(A)=10a +b +10a +c +10b +c =20a +11b +2c ，G(A)=3a +2b +c ，∴F(A)−2G(A)=20a +11b +2c −2(3a +2b +c)=14a +7b =7(2a +b)， ∵1≤a ≤9，0≤b ≤9，且a ，b 为整数，∴2≤2a +b ≤27，∵F(A)−2G(A)是完全平方数，∴7(2a +b)是完全平方数，∴2a +b =7，∴a =7−b 2， ∴{a =3b =1或{a =2b =3或{a =1b =5。

重庆市渝中区2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．85【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目. 2．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x=（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 【分析】 由题意cos 3a b a bπ⋅=，代入解方程即可得解.【详解】 由题意21cos322a b a bx π⋅===，所以0x >，且2x =2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+4．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤ B ．{}2|x x ≤ C ．{}2|0x x -≤≤ D ．∅【答案】C 【解析】试题分析：化简集合故选C ．考点：集合的运算．5．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C<C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A>D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】 根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()2f xg x x =， 所以 ()()()32xf x f x g xx'-'=，因为当0x >时，()()2'f x f x x>， 即()()20xf x f x x'->，所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠⎪⎝⎭C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠⎪⎝⎭B B ， 即cos sin ∠>∠C B ， 所以()()22cos sin s sin f C f B co CB>，即()()22cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A B ．2C D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题，可求出1,AD CD ==2AB DC =，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=，利用向量三角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合题给AE xAB y AD =+，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =.【详解】由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，可求得1,AD CD ==2AB DC =·∵点E 在线段BC 上， 设(01)BE BC λλ= ， 则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为AE xAB y AD =+ 所以1,2x y λλ=-=，所以2211111(1)1(1)22222xy λλλλ⎛⎫⎡⎤=-=---=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当1λ=时，等号成立. 所以1||||22AE AB AD =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.7．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①② C ．①③ D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 9．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】 【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B ．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得2ABF ∆的边长为4a ，然后在12AF F ∆中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意122AF AF a -=，212BFBF a -=，又22AF BF AB ==，∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =， 在12AF F ∆中2221212122cos60F F AF AF AF AF =+-︒，即22214(6)(4)2642c a a a a =+-⨯⨯⨯228a =，∴． 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式．11．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．712+B ．12C ．43D ．512+【答案】A 【解析】 【分析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，sin cos sin B A C =，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，0A π<<，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<<，2C π∴=，9AB AC ⋅=，即cos 9cb A =，又1sin 62ABCSbc A ==，sin 4tan cos 3bc A a A bc A b∴===， 162ABCSab ==，则12ab =，所以，4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，5c ∴==. 以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤，()33,4CP CA CB λλ∴=+=-，设1CA e CA=，1C e B CB=，则121e e ==，()11,0e ∴=，()20,1e =，()12,CA CBCP x y xe ye x y CACB =⋅+⋅=+=，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y ∴+=， 所以，1177372343412341231211x y x y x y x x y y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32x y =时，等号成立， 因此，11x y +的最小值为37312+. 故选：A. 【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CA是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题. 12．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数()f x 的图象分别向左与向右平移m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合，那么m n k T +=⋅，利用()f x 的最小正周期为π，从而求得结果. 【详解】()f x 的最小正周期为π，那么3n k ππ+=(k ∈Z )，于是3n k ππ=-，于是当1k =时，n 最小值为23π， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届重庆市高三上学期第一次联合诊断检测数学试题一、单选题1．设集合A ＝{x |-1≤x ≤4}，B ＝{x |x 2＜4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |-2＜x ≤4} B ．{x |-1＜x ＜2}C ．{x |-2＜x ＜2}D ．{x |-1≤x ＜2}【答案】D【分析】化简集合B ，即得解. 【详解】由题得B ＝{x |22x -<<}， 所以A ∩B ＝{x |-1≤x ＜2}. 故选：D2．设复数z 满足(1)2z i i -=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】首先根据题意得到21iz i=-，从而得到z 在复平面内对应点为()1,1-，即可得到答案.【详解】因为()()()22122222111112i i i i i z i i i i i +-+-+=====-+-+--， 所以z 在复平面内对应点为()1,1-，位于第二象限. 故选：B.3．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ）A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3 【答案】D【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可. 【详解】因为命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3是全称命题， 所以其否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3. 故选：D .【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．为打赢新冠肺炎疫情阻击战，防止境外输入病例，中国国际航空公司在重庆江北机场设定了3个国际航班定点隔离酒店，重庆某医院呼吸科从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离酒店进行核酸检测采样工作，则选派的3名医生中至少有1名女医生的概率是（ ） A ．2328B ．514C ．1556D ．27【答案】A【分析】利用组合计数原理、古典概型以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，所求概率为35381023115628C P C =-=-=. 故选：A.5．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2-4x -2y -4＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A．B ．4C ．6D．【答案】D【分析】直线与圆相交，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解.【详解】圆x 2＋y 2-4x -2y -4＝0的圆心为(2,1)3= ，圆心到直线y ＝x ＋1=，=，则AB = . 故选：D【点睛】抓住直线和圆相交以后的几何特征，直角三角形，勾股定理解题. 6．已知,0a b >，8ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．12D ．16【答案】D【分析】由基本不等式，得到88ab a b =++≥，结合不等式的解法，即可求解.【详解】由基本不等式，可得a b +≥a b =时等号成立，则88ab a b =++≥，即2)0≥，解得16ab ≥，当且仅当4a b ==时，ab 取到最小值16． 故选: D.7．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且||512||PT AT -=．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A ．51+ B 51- C ．51+ D 15-【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到512RQ QB -=，即可求解. 【详解】根据图形的对称性，可得ES RC =，AP QC =，由和向量的运算法则，可得ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=， 又由RQ PT =，||||BQ AT =，故512RQ QB -=，所以15λ-=． 故选：D.8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，()()f x f x =-，当0x >时，()2'>f x x ，则关于x 的不等式()()244f x f x x -->-的解集为（ ）A ．（-∞，-1）∪（1，＋∞）B ．（-1，＋∞）C ．（-∞，1）D ．（-1，1）【答案】C【分析】根据已知条件构造函数()()2g x f x x =-，结合()g x 的单调性与奇偶性，得到不等式2x x ->，解不等式即可.【详解】当0x >时，()2'>f x x ，即()20f x x '->⇒()()20f x x '->，令()()2g x f x x =-，则函数()g x 在（0，＋∞）上单调递增，又()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，故()g x 为偶函数，()()244f x f x x -->-⇔()()()2222f x x f x x --->-，即()()2g x g x ->，∴2x x ->，解得1x <． 故选：C.【点睛】构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题9．下表是某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ）A ．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区B ．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区C ．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区D ．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50% 【答案】BC【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断. 【详解】由题中数据知，营业收入最低的是其它类，A 错； 生鲜区的净利润占比65.8%50%>，故B 正确；生鲜区的营业利润率为65.8%32.5%50%48.6%⨯<，故D 错；同理可计算其他各区的营业利润率，显然日用品区为20.2%32.5%10.8%⨯，最高，故C 正确．故选：BC.10．已知函数()cos cos f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 在[0,]π上单调递减 C ．()f x 奇函数 D ．()f x 的图象关于直线x π=对称【答案】AD【分析】根据函数周期性的定义，可判定A 正确；由()()02f f ππ==，可判定B 不正确；由(0)0f ≠，可判定C 不正确；根据函数对称性的定义，可判定D 正确. 【详解】当20x π+≥时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ+=+==， 当20x π+<时cos 2cos(2)cos()cos x x x x ππ+=--=-=， 又由cos(2)cos x x π+=，所以()()2f x f x π+=， 即2π为()f x 的周期，所以A 正确； 由()coscos0222f πππ=+=，()cos cos 0f πππ=+=，所以函数()f x 在[0,]π上不是单调递减函数，所以B 不正确；由(0)cos0cos 020f =+=≠，所以()f x 不是奇函数，所以C 不正确； 当20x π-≥时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ-=-==， 当20x π-<时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ-=-==， 又由cos(2)cos x x π-=，所以()(2)f x f x π-=， 所以函数()f x 的图象关于直线x π=对称，所以D 正确. 故选：AD.11．已知,,a b c ∈R ，且0b >，若1e ln ab c==，则,,a b c 的大小关系可以是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】ACD【分析】在同一坐标系中画出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，1y x=的图象，然后观察y m =与他们的交点即可得到答案.【详解】如图，在同一坐标系中画出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，1y x=的图象，当直线y m =与三者都相交时，交点的横坐标即为,,a b c 的值，由图知，当m 从大变到小时，依次出现c ＜a ＜b 、a ＜c ＜b 、a ＜b ＜c ．故选：ACD.12．已知数列{}n a 和各项均为正数的等比数列{}n b 满足：()122nini a i b=+=-∑，12b =，23b b +是3b 与4b 的等差中项，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n n a b -是等差数列B ．()11222n n n n S ++-=-C ．数列{}n a 是递增数列D ．11121ni i n a b =⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑ 【答案】ABC【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，求出q 的值，可求得数列{}n b 的通项公式，根据已知条件可求得n S ，利用n a 与n S 的关系可求得数列{}n a 的通项公式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可知，()23342b b b b +=+，即43220b b b --=，即222220b q b q b --=，因为20b ≠，故220q q --=，解得2q或1q =-（舍），所以，112n n n b b q-==，因为()()11122222nn i n n i n n a i S b +=++=+=-=-∑，故()11222n n n n S ++=--，B 选项正确；当1n =时，2112121a S ==--=. 当2n ≥时，()()11112222222n n n n n n n n n n a S S n +-+-⎡⎤⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 11a =满足2n n a n =-，所以，对任意的n *∈N ，2n n a n =-.所以，22n nn n a b n n -=--=-，故数列{}n n a b -是等差数列，A 选项正确； ()()11212210n n nn n a a n n ++⎡⎤-=-+--=->⎣⎦，故数列{}n a 为单调递增数列，C 选项正确；当1n =时，111a ，11211b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，矛盾，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】思路点睛：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a 的步骤： （1）当1n =时，11a S =；（2）当2n ≥时，根据n S 可得出1n S -，化简得出1n n n a S S -=-；（3）如果1a 满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式为1n n n a S S -=-；如果1a 不满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式要分段表示为11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.三、填空题13．若直线2x ＋y ＋4＝0经过抛物线y 2＝ax 的焦点，则实数a ＝________． 【答案】8-【分析】求出直线与x 轴的交点，由抛物线的焦点坐标即可求解.【详解】由抛物线y 2＝ax 的焦点在x 轴上，又直线2x ＋y ＋4＝0与x 轴的交点为()20-，， 所以抛物线y 2＝ax 的焦点为()20-，， 又抛物线y 2＝ax 的焦点为,04a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以24a=-，则8a =-. 故答案为：8-.14．7(x的展开式中x 的系数为________．【答案】560【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得r 的值，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式7(x-的展开式的通项为3772177((2)r r rr r rr T C xC x --+==-⋅，令4r =，可得4457(2)560T C x x =-⋅=，即x 的系数为560. 故答案为：560.15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，c ＝3，A ＝2B ，则a ＝________．【分析】由A ＝2B ，得sin sin 2A B =，结合正弦二倍角公式与正余弦定理即可求解． 【详解】由A ＝2B ，得sin sin 2A B =，所以sin 2sin cos A B B = 由正弦定理得2cos a b B =，又由余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，代入b ＝2，c ＝3得a 2＝10，故a =16．在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝DA ＝AA 1＝2，以CD 中点O 为球心、OD 1为半径的球O 截侧面ABB 1A 1所得图形的面积为________． 【答案】π【分析】取AB 的中点1O ，则1OO AB ⊥，可得1OO ⊥平面11ABB A ，得到O 到侧面11ABB A 的距离为1OO =求得球O 截侧面11ABB A 所得的圆的半径为r =进而求得截面的面积.【详解】由题意，四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，且底面ABCD 为等腰梯形，因为112,2DD AA CD ===，且O 为CD 的中点，所以1OD 取AB 的中点1O ，则1OO AB ⊥，可得1OO ⊥平面11ABB A ，又由O 到侧面11ABB A 的距离为1OO ==所以球O 截侧面11ABB A 所得的圆的半径为532r =-=，即球O 截侧面11ABB A 所得的图形是以1O 为圆心，半径为2的半圆， 所以截面的面积为21(2)2S ππ=⋅=. 故答案为：π.四、解答题17．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，有下列四个条件： ①4a =；②△ABC 的面积是272222322a bc c b +=+；④2b c=或12．请选择其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个“若________，则________”形式的命题（用序号填写即可），判断该命题的真假并说明理由． 【答案】答案见解析【分析】若①②③，则④：根据余弦定理以及三角形面积公式先求解出bc 、22b c +的值，再根据22b c bc+的结果进行判断；若①②④，则③：根据余弦定理以及三角形面积公式求解出bc 的值，再根据22,,a bc b c +的值进行判断；若①③④，则②：根据余弦定理求解出,sin bc A 的值，然后根据三角形面积公式求解出面积并进行判断；若②③④，则①：根据余弦定理以及三角形面积公式求解出sin ,A bc 的值，然后再利用余弦定理求解出a 的值并进行判断.【详解】解：若①②③，则④．此为真命题，理由如下：②sinbc A ⇒=③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，故16bc=，222216340324b cb c+-=⇒+=，所以22405162b c b cbc c b+=+==，即2bc=或12；若①②④，则③．此为假命题，理由如下：②sinbc A⇒=④2252b c b cbc c b+⇒=+=，即2252b c bc+=，因为222516582cos224bcb c aAbc bc bc-+-===-，sin Abc=，且22sin cos1A A+=，所以225814bc⎛⎫-+=⎪⎝⎭⎝⎭，解得16bc=或1769，当16bc=时，()222580b c bc+==，223324880a bc+=+=，所以2222322a bc c b+=+成立，当1769bc=时，()22880259b c bc+==，21762728802332339a bc+=+=≠，所以2222322a bc c b+=+不成立；若①③④，则②．此为真命题，理由如下：③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，④2252b c b cbc c b+⇒=+=，即2252b c bc+=，又因为222324b c abc+-=，所以5163224bcbc-=，所以16bc=，所以11sin16224ABCS bc A==⨯⨯=若②③④，则①．此为真命题，理由如下：②sinbc A⇒=③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，故16bc=，④2252b c b c bc c b +⇒=+=，即225402b c bc +==，所以22232cos 4032164a b c bc A =+-=-⨯=，所以4a =. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对条件的化简以及条件的结合使用，对于公式的熟练运用有一定要求，如③可用来求解A 的余弦值和正弦值，搭配②使用亦可求解出bc 的值.18．已知向量a ＝（sin x ，cos x ），π(cos()sin ,cos )6b x x x =++，函数()f x a b =⋅．（1）求f （x ）的单调递增区间； （2）若π1cos()63α-=，求f （α）．【答案】（1）(,)36k k k Z πππ-π+∈；（2）1336. 【分析】（1）先利用二倍角公式将函数化简，然后利用正弦函数单调性求解即可；（2）利用诱导公式将函数用πcos()6α-表示，然后代入数值即可求解.【详解】解：（1）1113()sin sin )12(cos 21)1sin(2)24264f x x x x x x x π=-+=+-+=++22226236k x k k x k k πππππππππ-<+<+⇒-<<+∈Z ，，∴f （x ）的单增区间为,36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，； （2）21313131113()sin(2)cos(2)cos ()2642346249436f ααααπππ=++=-+=--+=+=．【点睛】易错点睛：第二问关键是得想到()f α用 πcos()6α-表示，通常思路为将π6α-乘以2，然后和26πα+找关系，一般会用到诱导公式转换.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，49S a =，6321a a =+． （1）求n a ； （2）设1n n b S n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n T 与1n n a a +的大小，并说明理由．【答案】（1）31n a n =-；（2）1nn n a T a +<，理由见解析. 【分析】（1）将条件用1,a d 表示，然后解方程即可求出通项； （2）先求n T ，再用作差法比较大小.【详解】解：（1）4911146832S a a d a d a d =⇒+=+⇒=，631211a a d a =+⇒=+，∴12,3a d ==，∴23(1)31n a n n =+-=-； （2）由题知223131222n n S n n n +-=⋅=+，221211()331n b n n n n =⋅=-++ ∴211111212(1)(1)32231313(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++， 13132n n a n a n +-=+， 2132303(1)(32)n n n a n n T a n n +--+-=<++，故1nn n a T a +<． 20．2020年11月16日召开的经济形势专家和企业家座谈会全面分析了当前经济形势，并指出“注重开拓下沉市场特别是县乡市场，满足量大面广的基层需求，提升民生品质”等发展方向．某生产企业积极响应号召，决定将一批刚研发的新产品投入到县乡市场，为了解产品的销售量y （单位：件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，现对该产品进行试销，得到售价x i 和销售量y i （i ＝1，2，…，6）的对应数据如下表所示．（1）若y 与x 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程y bx a =+； （2）若该产品每件成本为5元，试依据（1）中的回归方程，确定产品售价为多少元/件时，企业可获得最大利润？（结果取整数）参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）ˆ4106y x =-+；（2）每件售价定为16元．【分析】（1）结合数据利用公式分别求出ˆa，ˆb 即可求出回归方程； （2）列出函数表达式后再求取得最值的条件即可. 【详解】解：（1）由题知 6.5x =，80y =，2360420498560600126 6.580ˆ41625364964816 6.5b+++++-⨯⨯==-+++++-⨯， ˆ80(4) 6.5106a=--⨯=， 故所求回归方程为ˆ4106yx =-+； （2）由题知，当每件售价定为x 元时，企业获利2(5)(4106)4126530z x x x x =--+=-+-，对称轴为x ＝15.75，故当x ＝16时，z 最大，即每件售价定为16元．21．已知函数()()211f x x a x x=+++，a ∈Z ． （1）当a ＝-1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（0，＋∞）上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）f（x ）在（-∞，0）和上单减，在)+∞上单增；（2）2- . 【分析】（1）利用导函数的正负判断原函数的增减，先求函数的导函数，再求出导函数大于0和小于0的区间，即是原函数的增减区间； （2）将函数无零点的问题转化为y a =与21()1g x x x=---没有交点，求出函数()g x 的值域()g x g ≤，估计32g -<<-，且a Z ∈，从而求出a 的最小值为2-.【详解】解：（1）21()f x x x =+，3'22121()2x f x x x x-=-=，'()0f x x >⇒>， 故f（x ）在（-∞，0）和上单减，在)+∞上单增； （2）21()01f x a x x =⇔=---，令21()1g x x x =---（x ＞0），则3'3322()1x g x x x-=-+=，'()00g x x >⇒<<，故g （x）在上单增，在)+∞上单减，x →0时g （x ）→-∞，11g =-=， x →＋∞时g （x ）→-∞，故f （x）无零点只需a g >，又3464()2327=>，故413<<，∴322<<，∴32g -<<-， ∴整数a 的最小值为-2．【点睛】理解原函数和导函数之间的关系，会将零点问题转化为函数图像交点个数问题，特别注意a Z ∈ .22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的四个顶点所围成的菱形边长为2，面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的下顶点作两条斜率之和为2的直线l 1，l 2，直线l 1，l 2与椭圆C 的另一交点分别为M ，N ，求点A （-1，0）到直线MN 的距离的最大值．【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）利用菱形的边长、面积与a ，b 的关系列出a 和b 的方程，求解即可得到答案；（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y kx m m =+≠±，联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理结合两条斜率之和为2，求出k 与m 的关系，从而得到直线恒过定点()1,1，再求解直线MN 的斜率不存在时也过该定点，从而分析点A 到直线MN 距离的最大值即可．【详解】（1）由题知2242a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得a =b ＝1，所以椭圆C 的方程为2213x y +=；（2）椭圆C 的下顶点为（0，-1），由题知M ，N 均不是椭圆的上下顶点，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m （m ≠±1），点M （x 1，y 1），N（x 2，y 2），由()2222231633013y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， Δ＝12（3k 2-m 2＋1）＞0，且122631km x x k +=-+，21223331m x x k -=+，①由题知1212112y y x x +++=，即1212112kx m kx m x x +++++=，即12122(1)2x x k m x x +++=， 将①式代入得262(1)233km k m m -++=-，整理得11k m -=-，即k ＋m ＝1， 所以直线MN 过点（1，1）当直线MN 的斜率不存在时，设M （x 0，y 0），N （x 0，-y 0）， 则0000112y y x x +-++=即x 0＝1， 综上，直线MN 恒过定点P （1，1）．当AP ⊥MN 时，点A 到直线MN的距离最远，即为||AP = 此时2k =-，m ＝3，Δ＝12（12-9＋1）＞0，这样的直线MN 存在， 故点A 到直线MN【点睛】关键点点睛：设直线MN 的方程为y kx m =+，得出直线过定点()1,1P ，从而当AP ⊥MN 时，点A 到直线MN 的距离最远是解题的关键.。

2021年重庆市巴蜀中学高考数学临考预测卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2＝4}，则∁M N＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．已知复数z的共轭复数是，若，则|z|＝（）A．B．C．D．3．已知二面角α﹣l﹣β，若直线m⊂α，直线n⊥β，则m，n的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上情况都有可能4．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于（）A．B．C．D．5．过坐标原点作曲线y＝lnx的切线，则切点的纵坐标为（）A．e B．1 C．D．6．已知，其中α是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．7．城市道路由于通勤造成道路交通的早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00﹣9：00，晚高峰时段通常在17：00﹣19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行程速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行程速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：km/h）：等级1 2 3 4 5快速路＞65 （50，65] （35，50] （20，35] ≤20 主干路＞45 （35，45] （25，35] （15，25] ≤15 次干路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 支路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 重庆市的黄花园大桥横跨嘉陵江之上，是连接渝中区和江北区的主干路．今在某高峰时段监测黄花园大桥的汽车平均行程速度，将得到的数据绘制成频率分布直方图如图，根据统计学知识估计该时段黄花园大桥拥堵程度的等级为（）A．2级B．3级C．4级D．5级8．已知圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3交直线于A，B两点，则对于θ∈R，线段AB长度的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．已知正实数a，b满足a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列不等式成立的有（）A．B．a2+b2＜1 C．D．10．函数f（x）＝，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）是R上的单调递增函数B．对于任意实数a，不等式f（a2+1）≥f（﹣a）恒成立C．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜0D．方程f（x）﹣f（﹣x）＝0有3个不相等实数解11．数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，则（）A．数列{a n}是公比为2的等比数列B．S6＝47C．既无最大值也无最小值D．12．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（）A．若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则|F1M|＝aB．若双曲线C的方程为，则△PF1Q的面积为24C．存在离心率为的双曲线满足条件D．若3|PF2|＝|QF2|，则双曲线C的离心率为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平面内的，两个向量同时满足：，，则向量与的夹角等于．14．已知椭圆C：的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，则的取值范围是．15．端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的表面积等于．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C+2c cos B＝a2，则a＝；若又知△ABC的面积为S满足4，则S＝﹒四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a n＞0，数列{a n}的前n项和为S n，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：①；②数列{c n}满足：，a1＝3，且{c n}的前n项和为；③．问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．18．（12分）已知函数，的最小值为0．（1）求常数a的值；（2）若把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在区间上有且仅有2个零点，求ω的取值范围．19．（12分）如图2，在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），点M（x0，2）（x0＞0）是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过C上异于点M的两点A，B分别作x轴的垂线交直线BM，AM于点P，Q，求直线PQ的斜率．20．（12分）随着校运会的临近，某班甲、乙两名同学开始记录自己100米短跑的成绩，他们二人的某10次的成绩（单位：秒）如表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 （1）请完成如图3的样本数据的茎叶图（在答题卡中），并分析甲、乙二人的成绩情况；（2）从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次分别记为x，y，定义随机变量ξ＝，求ξ的分布列和期望．21．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，时，求直线AA1与平面BB1C1C 所成角的正弦值的取值范围．22．（12分）已知函数，g（x）＝ln（x+1）﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；（2）若g（x）＜f（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2＝4}，则∁M N＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【分析】根据补集的运算即可求出．【解答】解：由题意，M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{﹣2，2}，则∁M N＝{﹣1，0，1}，故选：B．【点评】本题考查了补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z的共轭复数是，若，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】设z＝a+bi，则，代入已知等式，再利用复数相等的定义求出a，b的值，得到复数z，再利用复数模长公式求解．【解答】解：设z＝a+bi，则，由题意可得：﹣2a+4bi＝1+2i，则，，所以，故选：A．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，考查了复数相等的定义，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．已知二面角α﹣l﹣β，若直线m⊂α，直线n⊥β，则m，n的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上情况都有可能【分析】由题意画出图形（以二面角α﹣l﹣β为直二面角为例），由图分析得答案．【解答】解：如图，在正方体AC1中，取平面AA1D1D为α，底面ABCD为β，则AD为交线l，取AA1为n，则n⊥β，取DD1为m，则m∥n；取A1D1为m则m与n相交；取BB1为n，则n⊥β，取A1D1为m，则m与n异面．故m，n的位置关系可能平行、可能相交、可能异面．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于（）A．B．C．D．【分析】甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C，三家医院接种新冠疫苗的情况有n＝种，其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有：m＝3．由此能求出结果．【解答】解：甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C，三家医院接种新冠疫苗的情况有n＝种，其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有：m＝3．∴甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率为：，故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．5．过坐标原点作曲线y＝lnx的切线，则切点的纵坐标为（）A．e B．1 C．D．【分析】设切点P（x0，lnx0）（x0＞0），求出函数在切点处的切线方程，把（0，0）代入求得x0，即可求出切点的纵坐标．【解答】解：设切点P（x0，lnx0）（x0＞0），由y＝lnx，得，∴，∴曲线在点P处的切线l方程为，又l过（0，0），∴，解得x0＝e，∴切点P（e，1），纵坐标为1．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．6．已知，其中α是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由二倍角的正切公式化简已知等式可得tan2α﹣tanα﹣＝0，解得tan α的值，利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解．【解答】解：由＝﹣2，且α是第三象限角，可得tan2α﹣tanα﹣＝0，可得：，，，因此．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和方程思想是，属于基础题．7．城市道路由于通勤造成道路交通的早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00﹣9：00，晚高峰时段通常在17：00﹣19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行程速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行程速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：km/h）：等级1 2 3 4 5快速路＞65 （50，65] （35，50] （20，35] ≤20 主干路＞45 （35，45] （25，35] （15，25] ≤15 次干路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 支路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 重庆市的黄花园大桥横跨嘉陵江之上，是连接渝中区和江北区的主干路．今在某高峰时段监测黄花园大桥的汽车平均行程速度，将得到的数据绘制成频率分布直方图如图，根据统计学知识估计该时段黄花园大桥拥堵程度的等级为（）A．2级B．3级C．4级D．5级【分析】根据题中给出的信息，确定组距和组数，由频率之和为1，求出速度在[50，60]内的频率，利用平均数的计算公式求解出平均速度，结合题中的信息判断即可．【解答】解：由题意可知，组距为10，共6组，由六个矩形面积之和为1，可得速度在[50，60]内的频率为0.05，因此平均速度为5×0.1+15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.05＝30（km/h），根据表格中的信息可知，其拥堵等级为3．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的算法以及平均数公式的应用，考查了数据分析能力与运算能力，属于基础题．8．已知圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3交直线于A，B两点，则对于θ∈R，线段AB长度的最小值为（）A．1 B．C．D．2【分析】由题意画出图形，求出圆心C到直线的最大距离，再由垂径定理求线段AB长度的最小值．【解答】解：由圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3，知该圆的半径，圆心C（cosθ，sinθ）在单位圆上，∵原点O到直线的距离为，则点C到直线的距离d的最大值为，由可知，当d取最大值时，线段AB长度的最小值为，故选：C．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．已知正实数a，b满足a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列不等式成立的有（）A．B．a2+b2＜1 C．D．【分析】利用基本不等式的性质即可求解，注意一正，二定，三等的应用．【解答】解：∵，当且仅当a＝b时取等号，∴A正确，∵a2+b2＜a2+b2+2ab＝（a+b）2＝1，∴B正确，∵，当且仅当a＝b时取等号，∴C错误，∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴0＜a＜1，∵，当且仅当a＝1时取等号，∴a+＞2，D错误．故选：AB．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．函数f（x）＝，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）是R上的单调递增函数B．对于任意实数a，不等式f（a2+1）≥f（﹣a）恒成立C．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜0D．方程f（x）﹣f（﹣x）＝0有3个不相等实数解【分析】利用函数的单调性判断A；通过a的范围，结合函数的单调性，判断B；反例判断C；求出函数的零点，判断D．【解答】解：函数f（x）是（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调递增函数，但是，f（x）在R上不单调，A错误；当a≥0时，f（a2+1）≥f（1）＝0，f（﹣a）≤f（0）＝0，f（a2+1）≥f（﹣a）；当a ＜0时，a2+1＞﹣a＞0，由函数f（x）在（0，+∞）上单调递增知f（a2+1）＞f（﹣a）；B正确；令x1＝0，x2＝1，f（x1）＝f（x2），且x1+x2＞0，C错误；当x＝0时，f（x）﹣f（﹣x）＝0；当x＞0时，在（0，+∞）上单调递增，，，故存在1个解；同理知x＜0时也存在1个解；x＝0是函数的一个零点，故方程f（x）﹣f（﹣x）＝0共有3个解，D正确，故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11．数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，则（）A．数列{a n}是公比为2的等比数列B．S6＝47C．既无最大值也无最小值D．【分析】直接利用赋值法和数列的递推关系式求出数列的通项，进一步利用求和公式的应用和取值范围确定A、B、C、D的结论．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，令n＝1，知a2＝S1+1＝a1+1，结合a1+a2＝2，知，，a n+1＝S n+1⇒a n＝S n﹣1+1，所以a n+1﹣a n＝a n（n≥2），但，，，当n≥2，，S6＝3×16﹣1＝47，故A错误，B正确；由于，n≥2，时，，故C错误；所以无最小值，有最大值，，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（）A．若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则|F1M|＝aB．若双曲线C的方程为，则△PF1Q的面积为24C．存在离心率为的双曲线满足条件D．若3|PF2|＝|QF2|，则双曲线C的离心率为【分析】利用三角形的内切圆以及双曲线的定义，转化求解判断A；利用双曲线的标准方程，转化求解三角形的面积判断B；通过双曲线的离心率，判断直线与双曲线的位置关系判断C；利用已知条件转化求解双曲线的离心率判断D．【解答】解：记内切圆与PQ相切于N，与F1P相切于M，与F1Q相切于K，则|PM|＝|PN|，|QK|＝|QN|；故|F1P|+|F1Q|﹣|PQ|＝|F1M|+|F1K|+|PM|+|QK|﹣|PN|﹣|QN|＝|F1M|+|F1K|＝2|F1M|＝4a，A不正确；由以F1Q为直径的圆过点P，知PF1⊥PQ；若双曲线C的方程为，则a＝2，，；设|PF1|＝x，|QF2|＝y，则|PF2|＝x﹣4，|QF1|＝y+4，故，62+（2+y）2＝（4+y）2⇒y＝6；故△PF1Q的面积为，B正确；若，则，故渐近线为y＝±2x，设|PF1|＝y，|PF2|＝x，由得y＝2x，则k＝±2，此时直线不可能与右支交于两点，故C不正确；若3|PF2|＝|QF|，设|PF2|＝x，|QF2|＝3x，则|PF1|＝x+2a，|QF1|＝3x+2a，故（x+2a）2+（4x）2＝（3x+2a）2⇒x＝a，故，D正确，故选：BD．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是难题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平面内的，两个向量同时满足：，，则向量与的夹角等于120°．【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，对于，由数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，若，则，变形可得：﹣8•＝22+22，由于，则有﹣8||2cosθ＝4||2，因此，则θ＝120°，故答案为：120°．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．14．已知椭圆C：的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，则的取值范围是[，2] ．【分析】判断当A，B分别为椭圆的顶点时，取最值．然后求解即可．【解答】解：由椭圆性质可知，当A，B分别为椭圆的顶点时，取最值．当A为椭圆的右顶点时，|AF|最小，此时|AF|＝3﹣1＝2，此时B恰为椭圆的左顶点，|BF|最大，此时|B|F＝3+1＝4，此时的最小值为，同理可得的最大值为2，即的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的表面积等于．【分析】将正四面体放置在正方体中，求出正方体的内切球的表面积，则答案可求．【解答】解：设题中的正四面体为ABCD，将它放置于正方体内，如图所示，此时可得该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切．设正方体棱长为x，则，解得，因此正方体的内切球直径2r＝x，得，因此正方体内切球的表面积．故答案为：．【点评】本题考查正方体的内切球，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C+2c cos B＝a2，则a＝ 2 ；若又知△ABC的面积为S满足4，则S＝﹒【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sin A≠0，可得a的值，利用三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式即可求解S的值．【解答】解：因为2b cos C+2c cos B＝a2，由正弦定理得2sin B cos C+2sin C cos B＝a sin A，可得2sin A＝a sin A，因为sin A≠0，所以可得a＝2，因为，因此，即，由于，可得，当且仅当，b＝c，时等式成立，因此a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝4，解得b＝c＝2，所以．故答案为：2，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a n＞0，数列{a n}的前n项和为S n，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：①；②数列{c n}满足：，a1＝3，且{c n}的前n项和为；③．问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．【分析】（1）选①②③，根据数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用数列的单调性的应用求出结果．【解答】解：（1）选①：当n＝1，a1＝3，当n≥2，，作差有，则a n＝2n+1，又a1＝2+1＝3，符合，所以a n＝2n+1．选②：，又a1＝3，所以a n+1＝2n+3，所以a n＝2n+1．选③：当n＝1，a1＝3，n≥2，，作差：，所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，a n＞0，有a n﹣a n﹣1＝2，故数列{a n}为等差数列，a1＝3，d＝2，所以a n＝2n+1．（2），，易知为单调递增数列，又210＝1024＜2021，211＝2048＞2021，所以n+1≤10，n≤9，n∈N*，所以有9项符合．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的单调性，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18．（12分）已知函数，的最小值为0．（1）求常数a的值；（2）若把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在区间上有且仅有2个零点，求ω的取值范围．【分析】（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）＝2sin（x+）+a+1，由，可得，利用正弦函数的性质即可求解a的值．（2）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换可得，令g（x）＝0，令，则，，作出y＝sin t 和的图象，观察交点个数，可得，即可解得ω的取值范围．【解答】解：（1），当时，可得，可得，由f（x）min＝1+a+1＝0，可得a＝﹣2．（2）因为，则把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到，令g（x）＝0，令，则，由于，可得，则问题转化为y＝sin t在区间上有且仅有2个t，使得，求ω的取值范围．作出y＝sin t和的图象，如图2，观察交点个数，由题意列不等式：，解得．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．19．（12分）如图2，在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），点M（x0，2）（x0＞0）是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过C上异于点M的两点A，B分别作x轴的垂线交直线BM，AM于点P，Q，求直线PQ的斜率．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）求得M的坐标，设A，B的坐标，求得直线AM、BM的方程，可得交点P，Q的坐标，由两直线的斜率公式可得所求值．【解答】解：（1）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，由抛物线的定义可得，，则p＝1，所以抛物线的方程为x2＝2y；（2）∵M（x0，2）在抛物线C上，且x0＞0，∴，即x0＝2，M（2，2），设，，则直线AM的方程为，即y＝（x1+1）x﹣2x1，同理直线BM的方程为y＝（x2+1）x﹣2x2，由AP，BQ分别垂直于x轴，得点P（2x1，2（x1x2+x1﹣x2）），Q（2x2，2（x1x2﹣x1+x2）），则直线PQ的斜率．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）随着校运会的临近，某班甲、乙两名同学开始记录自己100米短跑的成绩，他们二人的某10次的成绩（单位：秒）如表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 （1）请完成如图3的样本数据的茎叶图（在答题卡中），并分析甲、乙二人的成绩情况；（2）从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次分别记为x，y，定义随机变量ξ＝，求ξ的分布列和期望．【分析】（1）将表格中的数据转化为茎叶图表示即可，由统计图求出平均数相同，再由方差的作用分析甲乙成绩的稳定性即可；（2）先确定随机变量ξ的可能取值，然后分别求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．【解答】解：（1）茎叶图如图所示，，，从统计图中可以看出，甲、乙的平均水平是一样的；乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以乙的成绩更稳定；（2）由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0，﹣1，1，则，，，所以ξ的分布列为：ξ﹣1 0 1P故．【点评】本题考查了茎叶图的理解和应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，时，求直线AA1与平面BB1C1C 所成角的正弦值的取值范围．【分析】（1）作AC的中点M，连接DM，BM，证明AC⊥DM，AC⊥BM，推出AC⊥平面BDM，即可证明AC⊥BD．（2）以M为坐标原点，以，，，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，说明∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，求出平面BB1C1C的法向量，，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，在等腰梯形ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，∴AC⊥DM，在正△ABC中，M为AC的中点，∴AC⊥BM，∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM⊂平面BDM，∴AC⊥平面BDM，又BD⊂平面BDM，∴AC⊥BD．（2）解：∵AC⊥平面BDM，在平面BDM内作Mz⊥BM，以M为坐标原点，以，，，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，∵DM⊥AC，BM⊥AC，∴∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，即∠DMB＝θ，A（1，0，0），，C（﹣1，0，0），，，，设平面BB1C1C的法向量为，，，则有，又，∴，∵，∴，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．22．（12分）已知函数，g（x）＝ln（x+1）﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；（2）若g（x）＜f（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）问题转化为e x＞x+1，令h（x）＝e x﹣x﹣1，根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为，令，求出函数的导数，结合函数的单调性求出a的取值范围即可．【解答】解：（1）证明：当x＞0时，，令h（x）＝e x﹣x﹣1，则h'（x）＝e x﹣1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，∴e x＞x+1．（2）解：由题g（x）﹣f（x）＜0，即，令，易知F（0）＝0，且，要满足题意，必有F'（0）≤0，则1﹣2a≤0，∴，当时，，记，x＞0，＝，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递减，则φ（x）＜φ（0）＝0，即当时，F（x）＜φ（x）＜0，满足题意，综上：．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题。

渝中区巴蜀中学2021届高三数学“一诊〞模拟测试题 理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项满足题目要求的()131i i z i-=+，那么其一共轭复数z 的虚部为〔 〕A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的一共轭复数z ，进而求得z 的虚部.【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 应选：B.【点睛】本小题主要考察复数乘法、除法的运算，考察一共轭复数的概念，考察复数虚部，属于根底题.1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，那么A B =〔 〕A. (]0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，应选：C.【点睛】本小题主要考察交集的概念和运算，考察分式不等式的解法，考察对数函数的定义域，属于根底题.a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为〔 〕A. B. 12-C.12【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21cos ,cos 32a a e π<>==-， 应选：B.【点睛】本小题主要考察向量投影的概念和运算，考察单位向量，属于根底题.{}n a 满足3243a =a ，那么数列{}n a 中一定为零的项是〔 〕A. 6aB. 7aC. 8aD. 9a【答案】A 【解析】 【分析】将条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项.【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=， 应选：A.【点睛】本小题主要考察等差数列的根本量计算，属于根底题.5.新高考方案规定，普通高中学业程度考试分为合格性考试〔合格考〕和选择性考试〔选择考〕.其中“选择考〞成绩将计入高考总成绩，即“选择考〞成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进展排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2021年参加“选择考〞总人数是2021年参加“选择考〞总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考〞的程度情况，统计了该校2021年和2021年“选择考〞成绩等级结果，得到如以下图表：针对该校“选择考〞情况，2021年与2021年比拟，以下说法正确的选项是〔〕A. 获得A等级的人数减少了B.C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数一样【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设2016年参加考试x人，那么2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如以下图所示：年份 A B C D E2021 0.28x0.32x0.30x0.08x0.02x 2021 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考察图表分析，考察数据分析与处理才能，属于根底题.6.执行如下图的程序框图，输出的结果为()A. 201921-B. 201922-C. 202022-D.202021-【答案】C 【解析】 【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．应选：C ．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的最小值是〔 〕 A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值. 【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 222x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π， 应选：A.【点睛】本小题主要考察诱导公式、辅助角公式，考察三角函数图像变换，考察根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112n n n nS a =-+，那么135S S S ++=〔 〕 A. 0 B.564 C.1764D.2164【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和. 【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，假设n 为偶数，那么112n nS -=，∴112k k S +=〔k 为奇数〕. 那么135111214166464S S S ++=++=， 应选：D.【点睛】本小题主要考察()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于根底题.C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB∆的面积为S ，且满足3232AB FB S ==，那么p =〔 〕 A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，那么211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知()222122y y AB AF BFa -=--=.依题意3232AB FB S ==， 那么3211322222a p a =⨯⨯⨯，∴2p =， 应选：D.【点睛】本小题主要考察抛物线的定义，考察与抛物线有关的三角形面积的计算，考察方程的思想，属于根底题.10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的体积为〔 〕A.28727B.2879C.282127D.28219【答案】C 【解析】 【分析】将三视图复原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图复原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为1223π33sin3==，所以其外接球的222237133R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，213R =.那么342821327V R ππ==球， 应选：C.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察三棱锥外接球体积有关计算，属于根底题.()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，那么k 的取值范围是( )A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如以下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，那么ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，那么23132220ABn n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，那么1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此题正确选项：D【点睛】此题考察根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是可以通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进展求解.ABC ∆中，A 、B 、C 为其三内角，满足tan A 、tan B 、tan C 都是整数，且A B C >>，那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A. 25A π>B. 3B π>C. 49A π<D.512B π<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比拟可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D ，由5tan 2tan 12A π=>，可知512A π<，又54129ππ<，应选项C 正确； 又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 应选：A.【点睛】本小题主要考察两角和的正切公式，考察三角形内角和定理，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分 13.()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，那么2a =______.【答案】10【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==.故答案为：10【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式，考察化归与转化的数学思想方法，属于根底题.C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C 的一条渐近线于点P 〔P 在第一象限内〕，假设线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，那么C 的离心率e =______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得b a =e =计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 60ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考察双曲线离心率的求法，考察双曲线的渐近线，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.15.中国光谷〔〕某科技公司消费一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，假设元件1或者元件2正常工作，且元件3正常工作，那么该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作互相HY.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况〔各部件能否正常工作互相HY 〕，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375 【解析】 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，那么部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375【点睛】本小题主要考察互相HY 事件概率计算，考察二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于根底题.1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，现有以下判断：①11A D C P ⊥；②假设1BD ⊥平面PAC ，那么13λ=；③PAC ∆周长的最小值是PAC ∆为钝角三角形，那么λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,AB AD BD ===由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即4PB PB =⋅=，13PB BD ==,可得13λ=，故②正确；将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +，又AC = 利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考察正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考察间隔 和的最值的求法，考察空间想象才能和逻辑推理才能，属于中档题. 三、解答题：解容许写岀文字说明、证明过程或者演算步骤ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =. 〔1〕求sin B 的值；〔2〕假设1AD =，求ABC ∆的面积. 【答案】〔1〕5sin 5B =；〔2〕98ABC S ∆=【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的根本关系式求得sin B 的值.〔2〕首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积. 【详解】〔1〕在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒，两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =， ∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故5sin 5B =. 〔2〕由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是25cos 5B =， 所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒31010=， 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 32sin 2BDA AB ADB ∠==，于是32tan 4AC AB B ==， 所以113232922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 【点睛】本小题主要考察正弦定理解三角形，考察三角形的面积公式，考察同角三角函数的根本关系式，考察两角和的正弦公式，属于根底题.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置〔P ∉平面ABCE 〕.〔Ⅰ〕证明：AE PB ⊥；〔Ⅱ〕假设直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】〔I 〕见解析；〔II 〕55-. 【解析】 【分析】〔I 〕先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；〔II 〕在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ，证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】〔I 〕证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；〔II 〕解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(,0,0),(,0,),(,22222P E C PE EC ∴=-=,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，那么11130022,,013022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩ 设3x =，那么y=-1,z=1， ∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =， 设二面角A-EP-C 为α，1212||15|cos |=5||||5n n n n α⋅==.易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =-5α.【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，考察二面角的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和空间想象转化分析推理才能.233M ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到C 的左、右焦点的间隔 之和为22〔1〕求C 的方程；〔2〕设O 为坐标原点，假设C 的弦AB 的中点在线段OM 〔不含端点O ，M 〕上，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的HY 方程.〔2〕设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围.【详解】〔1〕由条件知2241133a b +=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.〔2〕设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，那么AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-.设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m∆=->解得23m<，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考察椭圆的定义和HY 方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察点差法，考察向量数量积的坐标运算，考察运算求解才能，属于中档题.20.有“九通衢〞之称，也称为“江城〞，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.〔1〕为理解“五·一〞劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；〔2〕为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心方案在2021年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A X 〔单位：万人〕都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤ 5X >频数〔年〕 24 4以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量互相HY.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量〔单位：艘〕要受当日客流量X 〔单位：万人〕的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤ 5X >假设某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，那么游船中心当日可获得利润3万元；假设某艘A Y 〔单位：万元〕表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2021年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？ 【答案】〔1〕()4353P ξ==；〔2〕投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】 【分析】〔1〕首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.〔2〕分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【详解】〔1〕年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；假设采用分层抽样的方法抽取10人，那么年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. 〔2〕①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，那么()3E Y =〔万元〕. ②当投入2艘A 型游船时，假设13X <<，那么30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭； 假设3X ≥，那么326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=〔万元〕. ③当投入3艘A 型游船时，假设13X <<，那么312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==； 假设35X ≤≤，那么320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=；假设5X >，那么339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=；此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=〔万元〕. 由于6.2 5.33>>，那么该游船中心在2021年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考察分层抽样，考察超几何分布概率计算公式，考察随机变量分布列和期望的求法，考察分析与考虑问题的才能，考察分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21()(1)2,2x f x x e ax ax a R =+++∈.(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)假设00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析 【解析】【分析】〔1〕求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；〔2〕由〔1〕的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】〔1〕()()()()222xxf x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 的极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点〔2〕由〔1〕知，假设()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，那么()()22,,0a e e--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠- ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，那么t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞那么()()()2114422t tg t e t t t t e '=-+=-+当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减 ()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；此题中证明不等式的关键是可以通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】〔1〕22193x y +=，10x y -+=；〔2〕2. 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】〔1〕因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.〔2〕由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+40t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.()()210f x x a x a =++->.〔1〕当1a =时，求不等式()4f x >的解集；〔2〕假设不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；〔2〕()5,+∞ 【解析】 【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集.〔2〕化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或者2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】〔1〕当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或者1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或者1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或者53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.〔2〕当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或者2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

秘密★启用前重庆一中高2021级高三上期第一次摸底考试数学试题共4页．总分值150分．考试时间120分钟。

本卷须知：1.答题前，务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0. 5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一选择题．〔每题5分，共50分〕1、己知集合M＝{ a, 0｝，N＝｛x｜2x2－5x＜0，x∈Z｝，如果M N≠∅，那么a等于〔〕A.52B.12.设f〔x)＝e x＋x－4，那么函数f〔x〕的零点位于区间〔〕A. (-1, 0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)3.A＝｛x｜y＝2x-｝，B＝(y｜y＝x2－2},那么A B=〔〕 A. ［0, +∞〕 B. [-2,2］ C.［一2，+∞〕 D.［2，＋∞〕4. 如图，正方形ABCD的顶点A(0，22)，B〔22，0〕，顶点C，D位于第一象限，直线1：x＝t(0≤t≤2〕将正方形ABCD分成两局部，记位于直线1左侧阴影局部的面积为f (t)，那么函数s＝f (t}的图象大致是〔〕5.以下选项表达错误的选项是〔〕“假设x≠l，那么x2－3x十2≠0”的逆否命题是“假设x2－3x十2＝0，那么x＝1”∨q为真命题，那么p，q均为真命题C.假设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x 十1#0，那么⌝p ：x ∃∈R ，x 2＋x 十1＝0D ．“x ＞2”是“x 2一3x ＋2＞0’，的充分不必要条件∈R 时，f 〔x 〕＋x '()f x <0成立〔其中'()f x 是f 〔x 〕的导函数〕，假设a ＝ (3) ·f(3)， b ＝(log 3)(log 3)f ππ，c ＝3311(log )(log )99f ，那么a ，b ，c 的大小关系是〔 〕A. a ＞b ＞cB. c ＞a ＞bC. c ＞b ＞aD. a ＞c ＞b7.函数f 〔x 〕＝x 3＋ ax ＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，那么a b 的值为〔 〕 A. －2 B.－23 C.－2或一238.定义在R 上的偶函数f 〔x 〕满足.f (x) > 0, .f (x + 2)＝1()f x 对任意x ∈R 恒.成立．那么f (2021〕等于〔 〕 B.2 C.3 D.49.假设不等式｜2x 一a ｜＞x －2对任意x ∈(0,3)恒成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. (－∞, 2] U [7, +∞)B. (－∞, 2) U (7, +∞)C. (－∞, 4) U [7, +∞〕D.〔－∞, 2) U (4,+ ∞)10.设函数f 〔x 〕的定义域为D ，假设存在非零实数m 满足x ∀∈M 〔M ⊆D 〕，均有x ＋m ∈D ， 且f (x + m) ≥f 〔x 〕，那么称f 〔x 〕为M 上的m 高调函数．如果定义域为R 的函数f 〔x 〕是奇函数，当x ≥0时，f 〔x 〕＝｜x －a 2｜一a 2，且f 〔x 〕为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. [－1,1］B. (－l,l 〕C.［－2,2］D.〔－2,2)二．填空题．〔每题5分，共25分〕11、计算定积分121(sin )x x dx -+⎰＝＿＿＿2a ＝5b 11a b +＝＿＿＿ 1220()20x x c f x x x x ⎧⎪≤≤=⎨⎪+-≤<⎩ ，其中c ＞0．且f 〔x 〕的值域是［－14，2］，那么c 的取值范围是＿＿＿＿14.函数f 〔x ..zxxk com 的值域为＿＿＿＿＿＿．15.函数f (x)满足f 〔－1〕＝14．对于x,y ∈，有4()()()()22x y x y f f f x f y +-=+，那么f 〔－2021〕＝＿＿三．解答题．〔共6小题，共75分〕16.〔13分〕记函数f 〔x 〕＝lg 〔x 2一x 一2〕的定义域为集合A ，函数g 〔x的定义域为集合B ．〔1〕求A B ；〔2〕假设C ＝｛x ｜x 2＋4x ＋4一p 2＜0，p ＞0｝，且C ()A B ⊆，求实数p 的取值范围．17.(13分〕f 〔x 〕是定义在［－e, e ］上的奇函数，当x ∈ 〔0, e ］时，f 〔x 〕＝e x ＋In x 。