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初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
《二次函数的图像和性质》说课稿尊敬的老师、亲爱的同学们：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像和性质》，这是九年级下册第26章的内容。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面，本节课是对一次函数有关内容的推广，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和初中学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
第二十六章 二次函数一、知识点盘点1、二次函数的图象和性质解析式 顶点坐标 对称轴 图象y ＝ax 2(a ≠0)y ＝ax 2＋k(a ≠0)y ＝a(x －h)2(a ≠0)y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的系数与图象的关系（1）a 决定抛物线的开口方向、大小及最大值或最小值。
a ＞0 开口向 有最 值；a ＜0 开口向 有最 值。
︱a ︱越大，开口越 ；︱a ︱越小，开口越 。
（2）a 、b 决定抛物线的对称轴和顶点位置。
b ＝0 对称轴是 ，顶点在 ；a 、b 同号 对称轴在y 轴的 侧， a 、b 异号 对称轴在y 轴的 侧； （3）c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置。
xy OxyOxy O xyO x yO x yOxy O xy O xy O x yO x yOxy O xy O xyOx yO x yO xy OxyO（0，c ）是抛物线与y 轴的交点坐标。
当c ＝0 抛物线过 ；c ＞0 抛物线交y 轴 ；c ＜0 抛物线交y 轴 。
（4）b 2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴公共点的个数b 2－4ac ＞0 抛物线与x 轴有 个公共点；b 2－4ac ＝0 抛物线与x 轴有 个公共点；b 2－4ac ＜0 抛物线与x 轴有 个公共点。
（5）抛物线的特殊位置与系数的关系顶点在x 轴上 b 2－4ac 0；顶点在y 轴上 b 0；顶点在原点 ；抛物线经过原点 。
3、二次函数关系式的形式及对称轴、顶点坐标（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，其对称轴为直线x ＝－ b2a，顶点坐标 为（－ b2a ，4ac －b 24a）.（2）顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其对称轴为直线x ＝h ，顶点坐标为（h,k ）。
（3）交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0 )，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根。
二次函数的图像与性质在我们学习数学的过程中，二次函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中，比如物理、经济等方面也经常能看到它的身影。
今天，咱们就来好好聊聊二次函数的图像与性质。
二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。
当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。
这就好像一个碗，如果开口向上，就能往里装东西；开口向下，东西就容易掉出来。
先来说说二次函数图像的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。
这条对称轴把二次函数的图像分成了两个对称的部分，就像镜子里的反射一样。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，那么对称轴就是 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。
接下来看看顶点。
顶点就是二次函数图像的最高点或者最低点。
当a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标可以通过把对称轴的 x 值代入函数中求得。
还是以 y ＝ x²2x ＋ 1 为例，对称轴 x ＝ 1 ，把 x ＝ 1 代入函数，得到 y ＝ 1² 2×1 ＋1 ＝ 0 ，所以顶点坐标就是(1, 0) 。
再说说二次函数的截距。
当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，这个 c 就是函数在y 轴上的截距。
比如函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里的 c ＝－1 ，也就是说函数图像与 y 轴的交点是(0, －1) 。
二次函数的图像还与判别式Δ ＝ b² 4ac 有着密切的关系。
如果Δ＞ 0 ，函数图像与 x 轴有两个交点；如果Δ ＝ 0 ，函数图像与 x 轴有一个交点；如果Δ ＜ 0 ，函数图像与 x 轴没有交点。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x 3 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，c ＝－3 ，那么Δ ＝（－2)² 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0 ，所以函数图像与 x 轴有两个交点。
二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，其图像形状特殊且具有许多性质。
本文将介绍二次函数的图像特点以及与其相关的性质。
一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
为了便于研究，我们可以将二次函数表示为标准形式f(x) =a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二、二次函数的图像特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线。
对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
2. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，是二次函数的关键特征。
顶点坐标为(h, k)。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
4. 正定或负定：二次函数的图像在开口方向上是否有最值，与二次项系数a的符号有关。
若a > 0，则二次函数为正定；若a < 0，则二次函数为负定。
5. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点个数最多为2个。
三、二次函数的性质1. 零点和因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解得到。
对于一般二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求根公式或配方法将其因式分解为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂为零点。
2. 最值：二次函数开口方向上的最值即为顶点，若二次函数开口向上，顶点为最小值；若二次函数开口向下，顶点为最大值。
3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对于任意x点，若(x, y)在图像上，则(x, -y)也在图像上。
4. 范围：二次函数的范围与二次项系数a的正负相关。
若a > 0，则函数的范围为区间(k, +∞)；若a < 0，则函数的范围为区间(-∞, k)，其中k为顶点纵坐标。
