高三数学二轮复习：专题七 极坐标和参数方程

第1讲 坐标系与参数方程[考情考向分析] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．热点一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 例1 (2018·东北三省四市模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρcos θ＝3，曲线C 2：ρ＝4cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ<π2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设点Q 在C 2上，OQ →＝23QP →，求动点P 的极坐标方程．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得cos θ＝±32，∵0≤θ<π2，∴θ＝π6，ρ＝23，∴所求交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. (2)设P ()ρ，θ，Q ()ρ0，θ0且ρ0＝4cos θ0，θ0∈⎣⎡⎭⎫0，π2， 由已知OQ →＝23QP →，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝25ρ，θ0＝θ，∴25ρ＝4cos θ， 即ρ＝10cos θ，∴点P 的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2. 思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 跟踪演练1 (2018·山西省榆社中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝233－t ，y ＝23t 3－t(t 为参数，t >0且t ≠3)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解 (1)∵y x ＝t ，∴x ＝233－yx ，即y ＝3(x －2)，又t >0且t ≠3， 由x ＝233－t，得t ＝3－23x ，∴3－23x >0且3－23x ≠3，∴x >2或x <0，∴曲线M 的普通方程为y ＝3(x －2)(x >2或x <0)． ∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0.(2)由⎩⎨⎧y ＝3(x －2)，x 2－4x ＋y 2＝0，得x 2－4x ＋3＝0， ∴x 1＝1(舍去)，x 2＝3，则交点的直角坐标为(3，3)，极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. 热点二 参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．圆的参数方程圆心为点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．例2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.思维升华 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．跟踪演练2 (2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝6t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎫2，4π3. (1)求直线l 的普通方程；(2)求直线l 上的点到点M 距离最小时的点的直角坐标． 解 (1)直线l 的普通方程为3x －y －6＝0. (2)点M 的直角坐标是(－1，－3)，过点M 作直线l 的垂线，垂足为M ′，则点M ′即为所求的直线l 上到点M 距离最小的点． 直线MM ′的方程是y ＋3＝－13(x ＋1)，即y ＝－13x －13－ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －13－3，3x －y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17－3310，y ＝－9＋9310.所以直线l 上到点M 距离最小的点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫17－3310，－9＋9310.热点三 极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．例3 (2018·泉州质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3＋t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)． (1)求C 和l 的极坐标方程；(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA ||OB |的最大值．解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1， 化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0， 所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24sin ⎝⎛⎭⎫2β＋π4＋14， 由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， 则2β＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4， 所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA ||OB |取得最大值，即⎝⎛⎭⎫|OA ||OB |max ＝2＋14. 思维升华 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．跟踪演练3 (2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围． 解 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sin α－2cos α)t ＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4－4>0， ∴⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4∈⎝⎛⎦⎤22，1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4∈⎣⎡⎭⎫－1，－22∪⎝⎛⎦⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4， t 1t 2＝1>0，∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号， ∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|.由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|P A |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4∈(2,22]． ∴1|P A |＋1|AQ |∈(2,22]．真题体验1．(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1. (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α. 于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α＝|sin 2α－3cos 2α－3| ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. 押题预测1．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝13，求直线的倾斜角α的值．押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点．本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题． 解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ， 即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4，得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4， 化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2α＋12＝13， 故4cos 2α＝1，解得cos α＝±12.因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝π3或2π3.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，其中a >b >0.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若射线l 与曲线C 1交于点P ，当α＝0时，射线l 与曲线C 2交于点Q ，|PQ |＝1；当α＝π2时，射线l 与曲线C 2交于点O ，|OP |＝ 3. (1)求曲线C 1的普通方程；(2)设直线l ′：⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π3，求△OPR 的面积．押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势．解 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，且a >b >0，所以曲线C 1的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，而其极坐标方程为ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1.将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝a ，即点P 的极坐标为()a ，0； 将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2， 即点Q 的极坐标为(2,0)．因为|PQ |＝1，所以|PQ |＝|a －2|＝1， 所以a ＝1或a ＝3.将θ＝π2(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝b ，即点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫b ，π2， 因为|OP |＝3，所以b ＝ 3.又因为a >b >0，所以a ＝3， 所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1.(2)因为直线l ′的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ≠0)，所以直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)， 而其极坐标方程为θ＝－π3(ρ∈R ，ρ≠0)，所以将直线l ′的方程θ＝－π3代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR |＝1.因为将射线l 的方程θ＝π3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ3＝1，得ρ＝3105，即|OP |＝3105，所以S △OPR ＝12|OP ||OR |sin ∠POR＝12×3105×1×sin 2π3＝33020.A 组 专题通关1．(2018·河南省六市联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，若|AB |＝42，求实数α的值．解 (1)由曲线 C 1 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，消去参数得曲线 C 1 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 又曲线 C 2 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， ∴ C 2 的直角坐标方程为 x 2 ＋y 2＝4y ， 整理得x 2＋(y －2)2＝4.(2)曲线 C 1：(x －2)2＋y 2＝4 化为极坐标方程为ρ＝4cos θ. 设 A (ρ1，α1)，B (ρ2，α2)，又曲线 C 3 的极坐标方程为θ＝α，0<α<π，ρ∈R ，点 A 是曲线C 3 与 C 1 的交点，B 是曲线 C 3 与C 2 的交点，且均异于原点O ，且|AB |＝42， ∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝|4sin α－4cos α|＝42⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝4 2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝±1， 又0<α<π，∴－π4<α－π4<3π4，∴α－π4＝π2，解得 α＝3π4.2．(2018·石嘴山适应性测试)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t为参数)．现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 的坐标为(－1,0)，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t ，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0. 又由ρ＝6cos θ，得ρ2＝6ρcos θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t代入x 2＋y 2－6x ＝0中，得t 2－42t ＋7＝0，则t 1＋t 2＝42，t 1t 2＝7>0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4 2.3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 22＋y 2＝1，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)已知射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (异于原点O )，当0<α<π4时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．解 (1)因为C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ，所以曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 2的极坐标方程ρ＝2sin θ. 对于曲线C 1：x 22＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ.(2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α， |OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2α＋4()sin 2α＋1－4. 因为0<α<π4，1<1＋sin 2α<32，所以|OA |2＋|OB |2∈⎝⎛⎭⎫2，103. 4．(2018·潍坊模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，点M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值． 解 (1)设P (x ，y )，M ()x 0，y 0，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0.∴⎩⎨⎧x 0＝x a，y 0＝y a .∵点M 在C 1上，∴⎩⎨⎧xa ＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)， 消去参数θ，得()x －2a 2＋y 2＝4a 2(a >0且a ≠1)． ∴曲线C 2是以()2a ，0为圆心，以2a 为半径的圆．(2)方法一 A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0. 设B 点坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋3. ∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a .∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.方法二 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入()x －2a 2＋y 2＝4a 2，并整理得ρ＝4a cos θ，令θ＝α，得ρ＝4a cos α. ∴B ()4a cos α，α.∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝a |2sin αcos α－23cos 2α| ＝a |sin 2α－3cos 2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－3， ∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意知(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.5．(2018·揭阳模拟)在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫0，12，半径为12，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)设M ，N 是圆C 上两个动点，满足∠MON ＝2π3，求|OM |＋|ON |的最小值．解 (1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝14， 即x 2＋y 2－y ＝0，化为极坐标方程为ρ2－ρsin θ＝0，整理可得ρ＝sin θ. (2)设M ()ρ1，θ，N ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋2π3， |OM |＋|ON |＝ρ1＋ρ2＝sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3 ＝12sin θ＋32cos θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤θ≤π，0≤θ＋2π3≤π，得0≤θ≤π3，π3≤θ＋π3≤2π3， 故32≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1， 即|OM |＋|ON |的最小值为32. B 组 能力提高6．在直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P ⎝⎛⎭⎫1，233，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线E 的极坐标方程；(2)若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值，并求出这个定值． 解 (1)将点P ⎝⎛⎭⎫1，233代入曲线E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos α，233＝2sin α，解得a 2＝3，所以曲线E 的普通方程为x 23＋y 22＝1，极坐标方程为ρ2⎝⎛⎭⎫13cos 2θ＋12sin 2θ＝1. (2)不妨设点A ，B 的极坐标分别为 A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，ρ1>0，ρ2>0， 则⎩⎨⎧13(ρ1cos θ)2＋12(ρ1sin θ)2＝1，13⎣⎡⎦⎤ρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＋12⎣⎡⎦⎤ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＝1，即⎩⎨⎧1ρ21＝13cos 2θ＋12sin 2θ，1ρ22＝13sin 2θ＋12cos 2θ，所以1ρ21＋1ρ22＝56，即1|OA |2＋1|OB |2＝56，所以1|OA |2＋1|OB |2为定值56.7．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π4，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4(θ为参数)． (1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值． 解 (1)点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫322，322，由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4， 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①， 可得曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1.(2)直线2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的直角坐标方程为2x ＋4y －2＝0， 设点Q 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，22＋sin θ，则M ⎝⎛⎭⎫2＋cos θ2，2＋sin θ2， ∴点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫2＋cos θ2＋4⎝⎛⎭⎫2＋sin θ2－222＋42＝|52＋cos θ＋2sin θ|25＝52＋5sin (θ＋φ)25，其中tan φ＝12.∴d ≥52－525＝10－12(当且仅当sin(θ＋φ)＝－1时取等号)，∴点M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值为10－12. 8．已知α∈[0，π)，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程为ρcos(θ－α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6(θ为参数)． (1)求证：l 1⊥l 2；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，P 为直线l 1，l 2的交点，求|OP ||AP |的最大值． (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos(θ－α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α＋y sin α－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0. 因为sin αcos α＋(－cos α)sin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知，l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2，θ＝π3时，ρcos(θ－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 所以点A ⎝⎛⎭⎫2，π3在直线ρcos(θ－α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6上． 设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知，d 的最大值为|OA |2＝1.于是|OP ||AP |＝d ·|OA |＝2d ≤2， 所以|OP ||AP |的最大值为2.第2讲 不等式选讲[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2018·乌鲁木齐模拟)设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1即为 |2x －3|＋5x ≥5x ＋1， ∴||2x －3≥1， 解得x ≥2或x ≤1.∴不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥2}． (2)由f (x )≤0，得||2x －a ＋5x ≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a 2，7x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，3x ＋a ≤0，又a >0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 3， 由题意得－a3＝－1，解得a ＝3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若函数g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1.由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{}x |－1≤x ≤1. (2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝32， g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019 ≥||2x －2 018－a －2x ＋2 019＝|a －1|， 则|a －1|≤32，解得－12≤a ≤52，即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，52. 热点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．例2 (2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋3|. (1)解不等式f (x )<2x ＋10；(2)若不等式f (x )≤m |x ＋2|有解，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －4，x ≤－32，x ＋2，－32<x <－1，3x ＋4，x ≥－1，由f (x )<2x ＋10，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－32，－3x －4<2x ＋10或⎩⎪⎨⎪⎧－32<x <－1，x ＋2<2x ＋10或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，3x ＋4<2x ＋10， 得x ∈⎝⎛⎭⎫－145，6. (2)①若x ＝－2，显然无解； ②若x ≠－2，则m ≥|x ＋1|＋|2x ＋3||x ＋2|，令g (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋3||x ＋2|≥|(2x ＋3)－(x ＋1)||x ＋2|＝1⎝⎛⎭⎫当且仅当－32≤x ≤－1时等号成立， ∴m ≥1.即m 的取值范围是[1，＋∞)．思维升华 绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a . (3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．跟踪演练2 (2018·上饶模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值范围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝|3x －1|＋|3x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4，解得x ≤0或x ≥43，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0或x ≥43. (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－k 3，13时， 由k >－1，得3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ， 不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎡⎭⎫－k 3，13恒成立，即k ≤－k3＋3， 解得k ≤94，又k >－1，故－1<k ≤94，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，94. 热点三 不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 例3 (2018·山东省名校联盟模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若g (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32(x ∈R )，求证：|a ＋1|－|2a －1||a |≤g (x )对∀a ∈R ，且a ≠0恒成立． (1)解 依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3， 解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪||a ＋1－|2a －1||a | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪2－1a ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪1＋1a＋2－1a ＝3， 当且仅当⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫2－1a ≤0时取等号， 所以－3≤⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪2－1a ≤3， 即－3≤||a ＋1||－2a －1|a |≤3.又因为当x ∈R 时，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x ＋32－⎝⎛⎭⎫x －32＝3， 当且仅当⎝⎛⎭⎫x ＋32⎝⎛⎭⎫x －32≤0时，等号成立． 故g (x )min ＝3.所以||a ＋1||－2a －1|a |≤g (x )对∀a ∈R ，且a ≠0恒成立．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练3 (2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集．(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |.(1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6.当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ， 由－6x <6，解得x >－1，∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2， 又2<6恒成立，∴－13≤x ≤13； 当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ， 由6x <6，解得x <1，∴13<x <1. 综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 ()ab ＋12－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab )＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)．由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1，∴a 2－1<0，b 2－1<0，∴(a 2－1)(b 2－1)>0，∴||ab ＋1>|a ＋b |.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，(当且仅当a ＝b 时，等号成立)因此a ＋b ≤2.押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|.由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2； 当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4， 解得x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4， 解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.(当且仅当(2x －4)(2x ＋a )≤0时等号成立)因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)．2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件． 押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值．解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以x 4＋y 4＝1. 由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·x y＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立， 只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝⎛⎭⎫x －832＋323≥323， 当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b 恒成立，求a ＋b 的最小值．解(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x，x<－12，x＋2，－12≤x<1，3x，x≥1.y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值为5. 2．(2018·全国Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋4，x≤－1，2，－1<x≤2，－2x＋6，x>2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，当且仅当x＋a与2－x同号时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·潍坊模拟)已知f(x)＝|x＋1|＋||x－m.(1)若f(x)≥2，求m的取值范围；(2)已知m >1，若∃x ∈(－1,1)，使f (x )≥x 2＋mx ＋3成立，求m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝|x ＋1|＋||x －m ≥||m ＋1，∴由f (x )≥2，得||m ＋1≥2，∴m ＋1≥2或m ＋1≤－2，∴m 的取值范围是{m |m ≥1或m ≤－3}．(2)∵m >1，∴当x ∈(－1,1)时，f (x )＝m ＋1，∴不等式f (x )≥x 2＋mx ＋3，即m ＋1≥x 2＋mx ＋3，∴m (1－x )≥x 2＋2，即m ≥x 2＋21－x. 令g (x )＝x 2＋21－x ＝(1－x )2－2(1－x )＋31－x＝(1－x )＋31－x－2. ∵0<1－x <2，∴(1－x )＋31－x≥23(当且仅当x ＝1－3时取“＝”)． ∴g (x )min ＝23－2，∴m ≥23－2.即m 的取值范围是[23－2，＋∞)．4．(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|.(1)解不等式f (x )＋x >0；(2)若关于x 的不等式f (x )≤2a 2－5a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)不等式f (x )＋x >0可化为|x －1|＋x >|x ＋2|，当x <－2时，－(x －1)＋x >－(x ＋2)，解得x >－3，即－3<x <－2；当－2≤x <1时，－(x －1)＋x >x ＋2，解得x <－1，即－2≤x <－1；当x ≥1时，x －1＋x >x ＋2，解得x >3，即x >3.综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <－1或x >3}．(2)由不等式f (x )≤2a 2－5a ，可得|x －1|－|x ＋2|≤2a 2－5a .∵|x －1|－|x ＋2|≤||x －1－x －2＝3，∴2a 2－5a ≥3，即2a 2－5a －3≥0，解得a ≤－12或a ≥3. ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[3，＋∞)． 5．(2018·辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知函数f (x )＝||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪x ＋1a (a >0)． (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3的解集；(2)证明：f (m )＋f ⎝⎛⎭⎫－1m ≥4. (1)解 当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|＋⎪⎪⎪⎪x ＋12， 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－x －2－x －12>3 或⎩⎨⎧ －2≤x ≤－12，x ＋2－x －12>3或⎩⎨⎧ x >－12，x ＋2＋x ＋12>3，解得x <－114或x >14. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－114或x >14. (2)证明 f (m )＋f ⎝⎛⎭⎫－1m ＝|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪－1m ＋a ＋⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪－1m ＋a ＋⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ≥2⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＝2⎝⎛⎭⎫|m |＋1|m |≥4 (当且仅当m ＝±1且a ＝1时等号成立)．B 组 能力提高6．(2018·榆林模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a .(1)求不等式f (x )>a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )>a ，得|3x －1|>|2x ＋1|，不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1，即5x 2>10x ，解得x <0或x >2.所以不等式f(x )>a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12<x <13，x －2，x ≥13，作出函数g (x )的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)<g (4)＝2<g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)<0，f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a <0，2＋a ≥0， 故a 的取值范围为[)－2，－1.7．(2018·百校联盟TOP20联考)已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|.(1)解不等式f (x )>2|x |；(2)若f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，求证：ac ＋2bc ≤78. (1)解 由f (x )>2|x |，得x 2＋|x －2|>2|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x 2＋x －2>2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，x 2＋2－x >2x或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2－x >－2x ， 解得x >2或0<x <1或x ≤0，即x >2或x <1.所以不等式f (x )>2|x |的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)证明 当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －2≥22＋2－2＝4；当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －122＋74≥74，所以f (x )的最小值为74. 因为f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，所以a 2＋2b 2＋3c 2≤74， 又a 2＋2b 2＋3c 2＝a 2＋c 2＋2(b 2＋c 2)≥2ac ＋4bc ，所以ac ＋2bc ≤78.(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立) 8．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12. ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12， 解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12， 解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵a ∈[0,1]，∴f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a | ＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，∴f (x )max ＝a ＋1－a .对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－⎝⎛⎭⎫a －122＋14. ∴当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，g (a )单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1时，g (a )min ＝1，∴b的取值范围为(－∞，1]．。