3.4一阶隐式方程与解的积分表示

形如
F ( x, y ') 0 (4.5) 的方程的解法
F ( x, p) 0 代表xp平面上 记 ，从几何地观点看， 的一条曲线。设把这曲线表为适当的参数形式
dy p y' dx
x (t ), p (t )
(4.6)
这里t为参数。再注意到，沿方程（4.5）的任何一条积 分曲线上，恒满足基本关系 dy pdx
dp 从 1 0 解得 p x c，代入求得原方程的解为： dx
x y cx c 2 2
x 2 p x 0 从 解得 p 2
2
，代入求得原方程的解为：
x2 y 4
注意：此例解中的一个特解，即奇解。
奇解
奇解图
2. 讨论形如
dy x f ( y, ) dx
4.1 可以解出x（或y）的方程 1. 讨论形如
y f ( x, dy ) dx (4.1)
dy ) 有连续的偏导数。 dx
的方程的解法，这里假设函数 f ( x,
p 解：作变换（引入参数）： dy dx
，有
y f ( x, p)
两边求关于x的导数：
f f dp p x p dx
以（4.6）代入上式得
两边积分，得到
dy (t ) '(t )dt
y (t ) '(t )dt c
于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为
于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为
x (t ) y (t ) '(t )dt c
(4.2)
(4.3)
方程(4.3)是关于x,p的一阶微分方程，若它的导数已解出。 则（4.1）的解有如下几种形式：

# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
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的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )

常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。

初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。

例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。

故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。

现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。

2.1.2 可化为变量分离方程的类型
引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，介绍两类这样的方程。 1. 齐次方程
1)方程的类型
定义
dy y g ( ) (2.5) 的方程，称为齐次 dx x 微分方程，这里 g (u ) 是 u 的连续函数。 14
dy ( y) f ( x)dx C (2.2)
可以证明这就是方程(2.1)的通解.
2)如果存在 y0， ( y0 ) 0, 则方程（ .1 使 2 ）还有特解
y y0
(**)
微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(**).
注意：积分常数C 的相对任意性。
7
3.变量分离方程的解题步骤
即 1 , 2 1 ,
则 ON OM ,
PM 而 tan 2 , OP ON
_____ _____
则有 y'
y x x y
2 2
.
上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。
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小结 1.变量分离方程的形状 dy f ( x) ( y )或M 1 ( x) N1 ( y ) dx M 2 ( x) N 2 ( y ) dy 0 dx 2.变量分离方程的求解：分离变量法 步骤：分离变量，两边积分，检查是否有遗漏的特解
2
(*)
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分离变量，得 dX 1 u du 2 X 1 2u u 两边积分，得 ~ 2 2 ln X ln | u 2u 1 | C
即X (u 2u 1) C1 (C1 e ), 此外容易验证 u 2 2u 1 0 亦为方程（*）的解，因此方程(*)的通解为 X 2 (u 2 2u 1) C1， 其中C1为任意常数。