3.2.6立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法一、知识点1.点的位置向量：在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP称为点P 的位置向量.2.直线的方向向量：空间中任意一条直线ｌ的位置可以由ｌ上一个定点A 以及一个定方向确定.★直线的方向向量就是指和这条直线平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个.3.平面的法向量：若直线ｌ⊥α，取直线ｌ的方向向量a ，则向量a叫做平面α的法向量.4. 平面的法向量的求解步骤：首先要建立空间直角坐标系，然后设平面的法向量为()n x,y,z =（1）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标()()111222a a ,b ,c ,b a ,b ,c== ； （2）根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组n a 0n b 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩（3）解方程组，取其中的一组解，即得法向量.5.利用空间向量解决立体几何问题（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.题型一：用向量方法解决平行问题例1、已知111ABC A B C -是正三棱柱，D 是AC 的中点，求证：1AB ∥平面1DBC ．例2、已知正方体1AC 的棱长为1，E F G ，，分别为1AB AD AA ，，的中点，求证：平面EFG ∥平面11B CD ．题型二：用向量方法解决垂直问题例3、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.求证：AB 1⊥面A 1BD.例4、如图，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.（Ⅰ）求证：11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面； （Ⅱ）求证：.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴.B 1C 1D 1 A 1 A BC D题型三：用向量方法求空间中的角例5、正四面体A BCD -边长均为1，E 、F 分别为AD 和BC 中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值.例6、求正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小.例7、如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠A C B ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的余弦值.B C A DF E题型四：用向量方法求距离例8、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N ． （Ⅰ）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。

立体几何中的向量方法(理)一、直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量直线l 上的向量e 或与e 共线 的向量叫做直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量有 无数 个． 2．平面的法向量如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n ⊥α，此时向量n 叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有 无数多 个，且它们是 共线 向量．求平面法向量的一般步骤是什么？ 二、利用向量求空间角1．求两条异面直线所成的角设，分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则l 1与l 2所成的角θ的范围 求法：cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝ a 与b 的夹角〈a ，b 〉的范围0＜〈a ，b 〉＜π,求法cos θ〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |2.求直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝ | cos 〈a ，n 〉| ＝|a·n ||a ||n |.3．求二面角的大小(1)若AB 、CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是 的夹角(如图①)． (2)设n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是(如图②③)．0＜θ≤π2|a·b ||a ||b |向量AB →与CD →三、求空间距离1．若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |2．a 2＝a·a ＝ |a |2 3.点面距离的求法：设n 是平面α的法向量，点则点B 到平面α的距离为 .线面距、面面距均可转化为点面距离再用(3)中方法求解．1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确2．若平面α与平面β的法向量分别是a ＝(4,0，－2)，b ＝(－4,0,2)，则平面α与β的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法判断3．(全国高考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.634．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为________．考点一、利用向量证明平行、垂直问题利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直．1．设直线l 1的方向向量为u 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为u 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔u1∥u 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )； l 1⊥l 2⇔u1⊥u 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.2．设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔u ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0；l ⊥α⇔u ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． 3．设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )；α⊥β⇔n1⊥n 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. 例一、如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证： (1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF|A B →·n ||n |考点2利用空间向量求异面直线所成角和线面角 1.求异面直线所成角时注意的问题利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角． 2．利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 例3在四棱锥S －OABC 中，底面四边形OABC 是直角梯形，且∠COA ＝∠OAB ＝π2，OA ＝OS ＝AB ＝1，OC ＝4，点M 是棱SB 的中点，N 是OC 上的点，且ON ∶NC ＝1∶3，以OC ，OA ，OS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .(1)求异面直线MN 与BC 所成的角的余弦值； (2)求MN 与平面SAB 所成的角的正弦值．考点3、利用空间向量求二面角利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n 1和n 2，则二面角的大小等于〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)． 例4、已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直于BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点． (1)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．(2)求平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的余弦值． 考点4利用空间向量求空间距离高考中以两点距与点面距为重点，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解，两点距一般用向量的模求解，即利用两点间的距离公式，而点面距主要利用平面的法向量求解，有时也利用直接法或等体积转化法求解．例5、在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离．例6、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求二面角P－EC－D的余弦值；(3)求点B到平面PEC的距离．题眼：向量法求空间角例7、四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面P AC，求二面角P－AC－D的大小【心得】(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用．(2)本题易错点是学生在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范．(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错．课时作业 立体几何中的向量方法1．已知向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ⊥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)3.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直D ．不能确定4．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为( )A.13 B.23C.33D.235．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.226.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 、F 分别是BC 、DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55C.53D.2557．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________．8．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AA 1＝2，则二面角C 1－AB －C 的余弦值为________．9.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．(1)求点B 到平面PCD 的距离； (2)求二面角C －AE －D 的余弦值．10．(2012郑州质量检测)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝2.(1)求三棱锥C －A 1B 1C 1的体积V ；(2)求直线BD 1与平面ADB 1所成角的正弦值；(3)若棱AA 1上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→，当二面角A －B 1C 1－P 的大小为30°时，求实数λ的值．。

13—立体几何中的向量方法向量是几何学中非常重要的概念之一，它可以用来描述空间中的方向和大小。

在立体几何中，向量方法被广泛应用于解决各种问题，例如计算向量的模、方向角、点到直线的距离等等。

本文将详细介绍立体几何中的向量方法，包括向量的基本概念、加减乘除、数量积、向量积等内容。

一、向量的基本概念在立体几何中，我们通常用箭头表示一个向量，表示向量的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

两个向量相等意味着它们的大小和方向都相同。

向量的模表示向量的大小，一般用，AB，表示，表示点A到点B的距离，也表示向量的大小。

二、向量的加减乘除1.向量的加法：向量的加法按照平行四边形法则进行，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。

用数学表示为A+B=C，C的起点为A的起点，终点为B的终点。

2.向量的减法：向量的减法等价于将减去的向量取反再进行加法，即A-B=A+(-B)。

其中，-B表示B的方向相反，大小相同的向量。

3. 向量的数量积：两个向量的数量积等于向量的模的乘积与两个向量之间的夹角的余弦值的乘积，即A·B=，A，B，cosθ。

其中，θ为两个向量之间的夹角。

4. 向量的向量积：两个向量的向量积等于一个新的向量，其方向垂直于原来两个向量所在的平面，大小等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，即A×B=，A，B，sinθn。

其中，n为右手定则确定的垂直于平面的方向。

三、应用实例1.计算向量的模：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其模为，A，=√((-3)^2+4^2+5^2)=√50。

2. 计算向量的方向角：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其方向角为α=arccos(-3/√50)，β=arccos(4/√50)，γ=arccos(5/√50)。

3.计算点到直线的距离：给定一点P(x,y,z)和一直线l，可以通过向量的方法计算点P到直线l的距离。

求解立体几何问题的向量方法向量方法在立体几何问题中的应用十分广泛，可以用于求解点、线、面的性质和相互关系，以及计算距离、角度和体积等问题。

以下将从点、线、面以及相关性质等方面详细介绍向量方法在立体几何中的应用。

一、点与向量的关系及性质：1.点P的坐标表示：设点P在空间中的坐标为(x,y,z)，则向量OP的坐标表示为(x,y,z)，其中O为坐标原点。

2.点的向量表示：点P与原点O的连线可表示为向量OP。

3.向量的模：向量OP的模记作，OP，或，OP，表示以点O为起点，点P为终点的有向线段OP的长度。

4.两点之间的向量：设点P(x1,y1,z1)、点Q(x2,y2,z2)，则向量PQ 的坐标表示为(Q-P)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。

5.向量的方向：向量OP的方向是从点O指向点P的，可以用单位向量来表示，即方向与模相等的向量。

二、线的性质及向量表示：1.直线方程的向量表示：对于直线L，设点P在直线L上，向量n为直线的方向向量，则直线L上的任意一点P的坐标表示为P=P₀+t·n，其中t为实数，P₀为直线L上一点的坐标。

2.直线的方向向量：对于直线L，若直线L的方向向量u的坐标分量为(a,b,c)，则直线L的方向向量u=(a,b,c)。

3.直线的垂直性判定：若向量u和v互相垂直，则u·v=0。

4.直线的共面性判定：设直线L₁上有两点A和B，直线L₂上有一点P，则L₁和L₂共面当且仅当向量AB和AP共面，即[AB,AP]=0，其中[AB,AP]表示向量AB和AP的叉乘。

三、平面的性质及向量表示：1.平面的方程：平面上任意一点P(x,y,z)满足Ax+By+Cz+D=0称为平面的方程，其中(A,B,C)为平面的法向量。

2.平面的法向量：平面的法向量表示平面垂直于该向量的方向，可表示为n=(A,B,C)。

3.平面的一般方程：Ax+By+Cz+D=0。

若平面上有一点P₀(x₀,y₀,z₀)，则平面的一般方程可表示为A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0。

立体几何的向量方法一、 求法向量平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.向量表示平行、垂直关系： 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔= ②l ∥α⇔a u ⊥ 0a u ⇔⋅= ③α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=求平面的法向量步骤：⑴ 设平面的法向量为(,,)n x y z =；⑵ 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；⑶ 根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组；⑷ 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.1．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平面ABC 的一个法向量.二、 用向量求空间线段的长度求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a ；三、点到平面的距离的求法用向量求点到平面的距离的方法： 设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则D. = ||||PA n n ∙ 求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.四、两条异面直线间的距离的求法用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n ∙= 求解.五、求二面角的平面角 若二面角两个面的法向量分别是12,n n ，二面角为θ则12cos cos ,n n θ=-，而 六．直线在平面上的投影若B 是平面上的一点，A 为平面外的一点，那么直线在平面上的投影为S,n cos cos(AB,n)AB.sin S θθ== 为平面的法向量， 121212cos ,.||||n n n n n n ∙<>=。

知识归纳：立体几何中的向量方法1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量.2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论5.用向量法求线线角：AB 与CD 的夹角和AB 与CD 的夹角相等或互补.公式为cos ,||||AB CDAB CD AB CD ⋅<>=.6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,||||AB nAB n AB n ⋅<>=.7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=.8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模.公式为d 9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P 到平面的距离d 等于在方向上正射影向量的模.公式为||n d =。