2016-2017学年四川省雅安市高二下学期期末考试数学(理)试题(含答案)

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

四川省雅安市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·南宁月考) 已知集合，，则中元素的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2020高一上·南开期末) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）若，则复数(a2-4a+5)+(-b2+2b-6)i 表示的点在（）A . 在第一象限B . 在第二象限C . 在第三象限D . 在第四象限4. （2分）已知等差数列的前项和为，且,则（）A .C .D . 45. （2分）(2018·六安模拟) 已知函数在处有极值，则＝（）A .B .C . 或D . 或6. （2分） (2019高二下·温州月考) 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A . 异面B . 相交C . 异面或平行D . 相交或异面7. （2分）(2019高二上·郑州期中) 在中，则的值等于（）A .B .C .8. （2分）已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos，则其中的真命题是（）A . ①③④B . ①②④C . ②③④D . ①②③9. （2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（）A . 2B . 4C . 6D . 810. （2分）直线的斜率为﹣2，在y轴上的截距是4，则直线方程为（）A . 2x+y﹣4=0B . 2x+y+4=0C . 2x﹣y+4=0D . 2x﹣y﹣4=0二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高三上·上海期中) 已知，，则 ________12. （1分） (2016高一下·太康开学考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．13. （1分） (2016高一下·吉林期中) 已知数列1，，，…，，…，则其前n 项的和等于________．14. （1分）(2017·成都模拟) 二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2017高一下·河口期末) 在中，若，则C=________．16. （1分） (2016高一上·张家港期中) 已知则满足的x值为________．17. （1分） (2018高三上·湖南月考) 正四棱锥的体积为，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为________．四、解答题 (共5题；共55分)18. （10分） (2017高三上·北京开学考) 已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0， ]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．19. （10分） (2018高二上·遂宁期末) 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面;ACD（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分）数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2）；求证：数列{}是等差数列．21. （10分）在极坐标系中，曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα= ）作平行于θ= （ρ∈R）的直线l，且l与曲线C分别交于A，B两点．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线C和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AB|的长．22. （15分）(2018·淮南模拟) 已知（为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）①若有两个零点，求的取值范围；②在①的条件下，求证：．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共55分)18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。

四川省雅安市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）直线x= 的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·石家庄模拟) 若复数（i是虚数单位），则 =（）A . ﹣1+iB . ﹣1﹣iC . 1+iD . 1﹣i3. （2分）某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1～1000编号，并按照编号顺序平均分成100组（1～10号，11～20号，…，991～1000号）．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为（）A . 86B . 96C . 106D . 974. （2分） (2016高一下·黑龙江期中) 在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则 =（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2016高一下·南安期中) 已知集合M=， N=，则（）A .B .C . [-3,3]D . {3,2}6. （2分） (2017高一上·新疆期末) 若向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），则一定满足（）A . 的夹角等于α﹣βB . （）⊥（）C . ∥D . ⊥7. （2分）已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .8. （2分）将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为（）A .B .C .D .9. （2分）不共面的四点可以确定平面的个数为（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 无法确定10. （2分）(2018·上饶模拟) 已知的最大值为A，若存在实数、，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为A .B .C .D .11. （2分）二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A . 180B . 90C . 45D . 36012. （2分） (2016高二上·驻马店期中) 对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）A . （﹣∞，1）∪（3，+∞）B . （1，3）C . （﹣∞，1）∪（2，+∞）D . （1，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·唐山期末) 已知是等比数列，，则________.14. （1分） (2015高二上·船营期末) 设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是________．15. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为________．16. （1分）(2017·扬州模拟) 现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是________cm．三、解答题 (共8题；共75分)17. （15分） (2019高二上·上海月考) 已知以为首项的数列满足： .（1）当时，且，写出、；（2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围；（3）记为的前项和，当时，①给定常数，求的最小值；②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由.18. （10分）(2017·柳州模拟) 某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．19. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20. （10分）已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．21. （10分） (2017高二上·长沙月考) 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若对一切恒成立，求的取值范围.22. （10分）如图，过点A分别作⊙O的切线AP与割线AC，P为切点，AC与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，BD∥AP，PC与BD交于点N．（1）在线段BC上是否存在一点M，使A，P，O，M四点共圆？若存在，请确定点M的位置，若不存在，请说明理由．（2）若CP=CD，证明：CB=CN．23. （5分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和曲线C的位置关系．24. （10分）(2017·许昌模拟) 已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。

试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

答在本试卷上无效。

5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(m o d 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

四川省雅安市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、本大题为单项选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·孝感期末) 设全集U={0，1，2，3}，集合A={0，2}，集合B={2，3}，则（∁UA）∪B=（）A . {3}B . {2，3}C . {1，2，3}D . {0，1，2，3}2. （2分）复数z满足（其中为虚数单位），则=（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A . 所有不能被2整除的整数都是偶数B . 所有能被2整除的整数都不是偶数C . 存在一个不能被2整除的整数是偶数D . 存在一个能被2整除的整数不是偶数4. （2分） (2016高二下·广州期中) 曲线y=x与y=x3围成的封闭区域的面积是（）A . 1B .C .D .5. （2分） (2019高一下·宿州期中) 若满足线性约束条件，则的最大值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·惠阳期中) （x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（）A . 10B . 20C . 30D . 407. （2分） (2016高二下·衡水期中) f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈（0，+∞），都有f （f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（）A . （0，）B . （，1）C . （1，e）D . （e，3）8. （2分）三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（）种A . 144B . 1440C . 150D . 1889. （2分） (2016高二下·揭阳期中) 形如y= （c＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f（x）=loga（x2+x+1）（a＞0，a≠1）有最小值，则当c，b的值分别为方程x2+y2﹣2x﹣2y+2=0中的x，y时的“囧函数”与函数y=loga|x|的图象交点个数为（）A . 1B . 2C . 4D . 610. （2分）“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既非充分条件也非必要条件11. （2分） (2016高一上·宜春期中) 下列式子中，成立的是（）A . log0.44＞log0.46B . 1.013.4＞1.013.5C . 3.50.3＜3.40.3D . log78＜1og8712. （2分）若定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式f（x）f′（x）＞0的解集是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）B . （﹣1，0）∪（1，+∞）C . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D . （﹣1，0）∪（0，1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·攀枝花模拟) 已知随机变量服从正态分布且，则________14. （1分）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是________．15. （1分） (2013·上海理) 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32 ，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________．16. （1分） (2017高二上·湖北期末) 某学校为了调查大声朗读对学生的记忆是否有明显的促进作用，把200名经常大声朗读的学生与另外200名经常不大声朗读的学生的日常记忆情况作记载后进行比较，提出假设H0：“经常大声朗读对记忆没有明显的促进作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05．根据比较结果，学校作出了以下的四个判断：p：有95%的把握认为“经常大声朗读对记忆有明显的促进作用”；q：若某学生经常大声朗读，那么他有95%的可能记忆力很好；r：经常大声朗读的学生中，有95%的学生的记忆有明显的促进；s：经常大声朗读的学生中，只有5%的学生的记忆有明显的促进．则下列结论中，正确结论的序号是________．（把你认为正确的命题序号都填上）①p∧非q ②非p∧q③（非p∧非q）∧（r∨s）④（p∨非r）∧（非q∨s）三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2017·龙岩模拟) 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ ）﹣1=0，曲线C的参数方程是（t 为参数）．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求．18. （10分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．19. （10分） (2019高二下·吉林期末) 某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动．（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组有参加过天文研究性学习活动的同学个数X是一个随机变量，求随机变量X的分布列和数学期望．20. （15分）(2016·桂林模拟) 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（a为实数）．（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）如果关于x的方程g（x）=2exf（x）在区间[ ，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．21. （5分） (2019高二下·广东期中) 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．（Ⅰ）记A ， B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为，，根据图中数据，试比较，的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从A ， B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A ， B 两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．22. （10分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求函数f（x）的极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞2x﹣2a．参考答案一、本大题为单项选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

四川省雅安市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）89×90×91×92×…×100可表示为（）A .B .C .D .2. （2分）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·大新模拟) 某公司在销售某种环保材料过程中，记录了每日的销售量x（吨）与利润y（万元）的对应数据，下表是其中的几组对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程 =0.7x+a，若每日销售量达到10吨，则每日利润大约是（）x3 4 5 6y 2.534 4.5A . 7.2万元B . 7.35万元C . 7.45万元D . 7.5万元4. （2分）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为（）A . 42B . 96C . 48D . 1245. （2分） (2016高二下·渭滨期末) （ + ）4展开式中所有项的系数和为（）A . 16B . 32C . 64D . 816. （2分）将5名学生分到A,B,C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（）A . 18种B . 36种C . 48种D . 60种7. （2分）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞。

现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法。

A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 若X﹣B（n，p），且E（X）=6，D（X）=3，则P=（）A .B . 3C .D . 2二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0．5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。

2016-2017学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．若i是虚数单位，则复数=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．数列{a n}共有9项，若9项中有三项值为3，其余六项值为6，则这样的数列共有（）A．35个B．56个C．84个D．504个3．已知命题P：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[0，1] D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）4．若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣6在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．55．函数f（x）=﹣x3+4x﹣4在[0，3]上的最大值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．D．26．函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（0，1）7． =（）A．1 B．2 C．3 D．48．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．21 B．14 C．﹣14 D．﹣219．学校要安排6名实习老师到3个不同班级实习，每班需要2名实习老师，则甲、乙两名老师在同一个班且丙、丁两名老师不在同一个班的概率为（）A．B．C．D．10．通过随机询问72名不同性别的学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下联表：（）参考公式：则根据以上数据：A ．能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间无关系B ．能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之间无关系C ．能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间有关系D ．能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之有无关系11．在棱长为2正方体ABCD ﹣A 1B 1C1D 1中，E 、F 分别是CC 1、A 1D 1中点，M 、N 分别为线段CD 、AD 上的动点，若EN ⊥FM ，则线段MN 长度的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．112．若存在两个正实数m 、n ，使得等式a （lnn ﹣lnm ）（4em ﹣2n ）=3m 成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，] C ．[，+∞） D ．（﹣∞，0）∪[，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．（1+）6（1）6的展开式中x 的系数为 ．14．曲线y=x （2lnx+1）在点（1，1）处的切线方程是 ．15．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则AO 与B 1C 所成角的余弦值为： ． 16．下列4个命题：①“若a 、G 、b 成等比数列，则G 2=ab”的逆命题； ②“如果x 2+x ﹣6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“若A ＞B”则“sinA＞sinB”的逆否命题；④当0≤α≤π时，若8x 2﹣（8sin α）x+cos2α≥0对∀x ∈R 恒成立，则α的取值范围是0≤α≤．其中真命题的序号是．三、解答题（共70分）解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

2017-2018学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z＝（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明“若x＜y，则x3＜y3”时，假设内容是（）A．x3＝y3B．x3＞y3C．x3＝y3或x3＞y3D．x3＝y3或x3＜y33．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（4，3），若P（ξ＜a﹣5）＝P（ξ＞a+1），则实数a等于（）A．4B．5C．6D．74．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为表格所示，则随机变量X的均值为（）A．B．C．D．5．（5分）（1+）6的展开式中有理项系数之和为（）A．64B．32C．24D．166．（5分）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体时，则第二支也是好晶体管的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．∃x0∈R，f（x0）＝0D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝08．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．9．（5分）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（）A．B．C．D．10．（5分）我班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”．在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种11．（5分）设函数f（x）＝x3+x，x∈R．若当0＜θ＜时，不等式f（m sinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（，1）D．（，1]12．（5分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p ≠q，不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[15，+∞）B．（﹣∞，15]C．（12，30]D．（﹣12，15]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z＝的共轭复数为．14．（5分）若（x+1）n＝x n+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a：b＝3：1，那么n＝．15．（5分）已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tan x0＝．16．（5分）已知边长为1的正△A'BC的顶点A'在平面a内，顶点B，C在平面a外的同一侧，点B'，C'分别为B，C在平面a内的投影，设BB'≤CC'，直线CB'与平面A'CC'所成的角为ϕ．若△A'B'C'是以角A'为直角的直角三角形，则tanϕ的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝lnx﹣e x+m在x＝1处有极值，求m的值及f（x）的单调区间．18．（12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值100元的奖品，有二等奖券3张，每张可获得价值50元的奖品，其余6张没有奖，某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得奖品总价值为100元的概率．19．（12分）如图所示，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥AC，，N 为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（1）证明：CM⊥SN；（2）求平面NBC与平面CMN所成角的余弦值．20．（12分）某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（Ⅰ）求证：PD⊥平面P AB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱P A上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x＝1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．2017-2018学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵z＝（﹣8+i）i＝﹣8i+i2＝﹣1﹣8i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，故选：C．2．【解答】解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3＜y3”的否定为：“x3≥y3”，故选：C．3．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）＝P（ξ＞a+1），∴x＝a﹣5与x＝a+1关于x＝4对称，∴a﹣5+a+1＝8，∴2a＝12，∴a＝6，故选：C．4．【解答】解：由题意可得：，解得p1＝．∴EX＝＝．故选：C．5．【解答】解：（1+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•，令为整数，可得r＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为+++＝25＝32，故选：B．6．【解答】解：根据题意，已知第一只是好的，则盒子里还有5只好晶体管，4只坏晶体管，∴已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为P＝．故选：D．7．【解答】解：对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，A：若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，则f（x）＝x3﹣x2﹣x，对于f（x）＝x3﹣x2﹣x，∵f′（x）＝3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故错；B：∵f（﹣﹣x）+f（x）＝（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c ＝﹣+2c，f（﹣）＝（﹣）3+a（﹣）2+b（﹣）+c＝﹣+c，∵f（﹣﹣x）+f（x）＝2f（﹣），∴点P（﹣，f（﹣））为对称中心，故B正确．C：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）＝0，正确；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）＝0，正确．故选：A．8．【解答】解：由题意，A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0）在xOy平面上投影坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（1，2，0）．故选：C．9．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，∴不同的调整方法有C72A52，故选：B．10．【解答】解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有＝141种．故选：D．11．【解答】解：∵f（x）＝x3+x，∴f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x），∴函数f（x）＝x3+x为奇函数；又f′（x）＝3x2+1＞0，∴函数f（x）＝x3+x为R上的单调递增函数．∴f（m sinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（m sinθ）＞﹣f（1﹣m）＝f（m﹣1）恒成立，∴m sinθ＞m﹣1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1﹣sinθ）＜1恒成立，由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1﹣sinθ＜1，＞1由m＜恒成立知：m≤1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选：A．12．【解答】解：∵的几何意义为：表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．不等式＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）＝＞1 在（1，2）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y＝2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故x＝2时，y＝2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：z＝＝+i，则z＝的共轭复数为＝﹣i，故答案为：﹣i14．【解答】解：∵（x+1）n＝x n+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），∴a＝∁n3，b＝∁n2，∵a：b＝3：1，∴a：b＝∁n3：∁n2＝3：1，∴：＝3：1，∴n＝11．故答案为：1115．【解答】解：求导函数，可得∵函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1∴∴∴∴∴tan x0＝故答案为：16．【解答】解：如图，由CC′⊥α，A′B′⊂α，得A′B′⊥CC′，又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′＝C′，∴A′B′⊥面A′C′C，则φ＝∠B′CA′，设BB′＝a，CC′＝b，则A′B′2＝1﹣a2，A′C′2＝1﹣b2，设B′C′＝c，则1﹣a2+1﹣b2，＝c2，（）2+（）2＝，整理得：ab＝．∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，tanφ＝B′A′，在三角形BB′A′中，∵斜边A′B为定值1，∴当a最大为时，A′B′取最小值，tanφ的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：∵函数f（x）＝lnx﹣e x+m，∴f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝，由函数f（x）＝lnx﹣e x+m在x＝1处有极值，可得f'（1）＝1﹣e1+m＝0，解得m＝﹣1，∴f′（x）＝1﹣e x﹣1，∵f'（x）在（0，+∞）上是减函数，且f'（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．故f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，+∞）．18．【解答】解：（1）由题意得该顾客没有中奖的概率为p′＝＝，∴该顾客中奖的概率为：P＝1﹣＝，∴该顾客中奖的概率为．（2）根据题意可得：P（X＝100）＝＝．19．【解答】解设P A＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系（如图）．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），又AN＝AB，M、S分别为PB、BC的中点，∴N（，0，0），M（1，0，），S（1，，0），（1）＝（1，﹣1，），＝（﹣，﹣，0），∴＝（1，﹣1，）•（﹣，﹣，0）＝0，因此CM⊥SN．（2）＝（，1，1），＝（，﹣1，0），设＝（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，∴•＝0，•＝0．则，取y＝1，则得＝（2，1，﹣2）．平面NBC的法向量，＝＝．因为平面NBC与平面CMN所成角是锐二面角，所以平面NBC与平面CMN所成角的余弦值为..20．【解答】解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P（A）＝，P（AB）＝．…（2分）∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P（B|A）＝．…（5分）（2）X的可能取值为：0，10，20，30，则P（X＝0）＝＝，P（X＝10）＝+＝，P（X＝20）＝＝，P（X＝30）＝1﹣﹣﹣＝．…（9分）∴X的分布列为…（10分）∴X的数学期望为EX＝0×+10×+20×+30×＝．…（12分）21．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD，又PD⊥P A，且P A∩AB＝A，∴PD⊥平面P AB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD＝AC＝，∴CO⊥AD，又∵P A＝PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则＝；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．22．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a＝b．则f（x）＝lnx﹣ax+，∴，则f′（1）＝1﹣2a，又f（1）＝0，∴f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y﹣0＝（1﹣2a）（x﹣1），即y＝（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5＝﹣1+2a，即a＝﹣2；（2）证明：∵f（x）＝lnx﹣ax+，∴＝，令g（x）＝（0＜x＜1），则＝＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）＝2ln1﹣+2﹣ln2＝．∴0＜a＜1时，；（3）由f（x）＝lnx﹣ax+，得＝．当a＝0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＜0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△＝1﹣4a2＞0，得0．则当x∈（0，），（）时，f′（x）＜0；当x∈（）时，f′（x）＞0．设，则x1＜1，x2＞1，∵f（x）在（x1，1）上递增，∴f（x1）＜f（1）＝0，又，∴存在，使得f（x0）＝0，又，f（1）＝0，∴f（x）恰有三个不同的零点．综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．。

绝密★启用前四川省雅安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理)试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．详解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，故选：C．点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题．2．用反证法证明“若，则”时，假设内容应是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“”的否定为：“”，故选：C．考点：反证法与放缩法．3．设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a的方程，解方程即可．详解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故选：C．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.4．已知离散型随机变量的分布列为表格所示，则随机变量的均值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用离散型随机变量分布列的性质求得到，进而得到随机变量的均值详解：由已知得，解得：∴E（X）=故选：C点睛：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的基本性质，是基础题.5．的展开式中有理项系数之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，求出r的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．详解：（1+）6的展开式的通项公式为 T r+1=•，令为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为+++=25=32，故选：B．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数6．一个盒子里有支好晶体管，支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管时，则第二支也是好晶体管的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意，知取出一好晶体管后，盒子里还有5只好晶体管，4支坏晶体管，所以若已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为，故选D．考点：等可能事件的概率．7．已知函数，那么下列结论中错误的是（）A. 若是的极小值点，则在区间上单调递减B. 函数的图像可以是中心对称图形C. ，使D. 若是的极值点，则【答案】A【解析】分析：求导f′（x）=3x2+2ax+b，导函数为二次函数，若存在极小值点，根据二次函数的图象便知一定存在极大值点，并且该极大值点在极小值点的左边，从而知道存在实数x1＜x0，使f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，从而判断出A的结论错误，而根据f（x）的值域便知f（x）和x轴至少一个交点，从而B的结论正确，而a=b=c=0时，f（x）=x3为中心对称图形，从而判断C正确，而根据极值点的定义便知D正确，从而得出结论错误的为A．详解：A．f′（x）=3x2+2ax+b，导函数为二次函数；∴在极小值点的左边有一个极大值点，即方程f′（x ）=0的另一根，设为x 1； 则x 1＜x 0，且x ＜x 1时，f′（x ）＞0；即函数f （x ）在（﹣∞，x 1）上单调递增,∴选项A 错误；B ．该函数的值域为（﹣∞，+∞），∴f （x ）的图象和x 轴至少一个交点； ∴∃x 0∈R ，使f （x 0）=0；∴选项B 正确；C ．当a=b=c=0时，f （x ）=x 3，为奇函数，图象关于原点对称； ∴f （x ）是中心对称图形,∴选项C 正确；D ．函数在极值点处的导数为0,∴选项D 正确． 故选：A ．点睛：本题利用导函数研究了函数的极值点，零点，对称性，单调性等性质，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.8．已知三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以平面为投影面，得到的俯视图可以为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】点在的投影为，点在的投影为，在的投影为，在的投影为，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C9．名同学合影，站成了前排人，后排人，现摄影师要从后排人中抽人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，利用乘法原理可得结论．详解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，∴不同的调整方法有C72A52，故选：C点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．10．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有=141种．故选：A．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．11．设函数，.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】利用奇函数f（x）=x3+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，转化为msinθ＞m﹣1恒成立，由0＜θ＜，可求得实数m的取值范围．分析：详解：∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数；又f′（x）=3x2+1＞0，∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，∴msinθ＞m﹣1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1﹣sinθ）＜1恒成立，由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1﹣sinθ＜1，＞1由m＜恒成立知：m≤1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选：A．点睛：解决抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．12．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x）=＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a的取值范围．详解：∵的几何意义为：表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．不等式＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=＞1 在（1，2）内恒成立．即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故 x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故选：A．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．复数的共轭复数为__________．【答案】【解析】试题分析：：，则共轭复数为，考点：复数代数形式的乘除运算．14．若，且，那么__________．【答案】11【解析】分析：根据条件中所给的二项式定理的展开式，写出a和b的值，根据这两个数字的比值，写出关于n的等式，即方程，解方程就可以求出n的值．详解：∵（x+1）n=x n+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），∴a=C n3，b=C n2，∵a：b=3：1，∴a：b=C n3：C n2=3：1，∴：=3：1，∴n=11．故答案为：11点睛：本题是考查二项式定理应用，考查二项式定理的二项式系数，属于基础题，解题的关键是利用通项公式确定a与b的值．15．已知函数的图象在点处的切线斜率为，则__________．【答案】【解析】试题分析：根据导数的几何意义，可知，且，化简后可得，从而求得，，所以有．考点：导数的几何意义，求导公式，辅助角公式，三角函数求值．【易错点睛】解决该题的关键是首先要对函数求导，结合导数的几何意义，列出相应的等量关系式，最后确定出，根据三角函数值，从而确定出，，从而确定出，在求解的过程中，容易出错的地方有化简函数解析式的时候，再者是根据函数值求角的时候，最后是根据角的大小确定其正切值的时候，注意对基础指数的总结．16．已知边长为的正的顶点在平面内，顶点，在平面外的同一侧，点，分别为，在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若是以角为直角的直角三角形，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：由题意找出线面角，设BB′=a，CC′=b，可得ab=2，然后由a的变化得到A′B′的变化范围，从而求得tanφ的范围．详解：如图，由CC′⊥α，A′B′⊂α，得A′B′⊥CC′，又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，设BB′=a，CC′=b，则A′B′2=4﹣a2，A′C′2=4﹣b2，设B′C′=c，则有，整理得：ab=2．∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，tanφ=，在三角形BB′A′中，∵斜边A′B为定值2，∴当a最大为时，A′B′取最小值，tanφ的最小值为．当a减小时，tanφ增大，若a≤1，则b≥2，在Rt△A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾，∴a＞1，此时A′B′＜，即tanφ．∴tanφ的范围为．即的最小值为故答案为：．点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.三、解答题17．已知函数在处有极值，求的值及的单调区间.【答案】见解析.【解析】试题分析:由极值定义得，解得，再根据导函数符号确定函数单调区间：当时，单调递增；当时，单调递减.试题解析:的定义域为，，由题意可得，解得：，从而，显然在上是减函数，且，所以当时，单调递增；当时，单调递减.故的单调增区间是，的单调减区间是18．在一次购物抽奖活动中，假设某张奖券中有一等奖券张，可获得价值元的奖品，有二等奖券张，每张可获得价值元的奖品，其余张没有奖，某顾客从此张奖券中任抽张，求（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得奖品总价值为元的概率.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由题意求出该顾客没有中奖的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出该顾客中奖的概率；（2）利用古典概型概率公式即可求得该顾客获得奖品总价值为元的概率.详解：（1）由题意得该顾客没有中奖的概率为=，∴该顾客中奖的概率为：P=1﹣=，∴该顾客中奖的概率为．（Ⅱ）根据题意可得：P（X=100）==.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.19．如图所示，三棱锥中，平面，，，为上一点，，，分别为，的中点.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】分析：由PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，我们不妨令PA=1，然后以A 为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；（2）要求平面与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出平面与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出平面与平面CMN 所成角的大小．详解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又AN＝AB，M、S分别为PB、BC的中点，∴N(，0,0)，M(1,0，)，S(1，，0)，(1)＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，∴·＝(1，－1，)·(－，－，0)＝0，[来源:学.科.网Z.X.X.K]因此CM⊥SN.＝(－，1,0)，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，∴·a＝0，·a＝0.则∴取y＝1，则得＝(2,1，－2)．平面NBC的法向量，因为平面NBC与平面CMN所成角是锐二面角所以平面NBC与平面CMN所成角的余弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．某理科考生参加自主招生面试，从道题中（道甲组题和道乙组题）不放回地依次任取道作答.（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）规定理科考生需作答道甲组题和道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为，答对乙组题的概率均为，若每题答对得，否则得零分.现该生已抽到道题（道甲组题和道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】分析：（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确X的可能取值，求出相应的概率值，得到的分布列，进而得到数学期望详解：（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件B，则所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为（2）X的可能取值为：0,10,20,30，则，，，的分布列为的数学期望为点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得. 21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值.（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅱ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M （0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．详解：(1)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；(2)假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．点睛：点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22．已知函数，对任意的，满足，其中，为常数.（1）若的图象在处的切线经过点，求的值；（2）已知，求证：；（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析。

一、选择题1．(0分)[ID ：13857]在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ） A ．25B ．35C ．12 D ．342．(0分)[ID ：13852]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．52,125πωϕ==B ．5,126πωϕ==C ．122,55πωϕ==D ．12,56πωϕ== 3．(0分)[ID ：13849]将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ）A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π 4．(0分)[ID ：13872]若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π5．(0分)[ID ：13862]函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23C ．2D ．36．(0分)[ID ：13838]在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．(0分)[ID ：13925]已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位8．(0分)[ID ：13924]若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形9．(0分)[ID ：13921]若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．33B ．33-C ．539D ．69-10．(0分)[ID ：13915]扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（ ）A ．12B ．0C ．12-D ．2-11．(0分)[ID ：13913]已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫>∈==- ⎪⎝⎭，的最小值为(),23f x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦12．(0分)[ID ：13910]在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH13．(0分)[ID ：13909]已知5sin α=，则44sin cos αα-的值为 A ．35B ．15-C ．15D ．3514．(0分)[ID ：13834]已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ）A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π15．(0分)[ID ：13829]已知A ，B 的⊙O 上的两个点，OA ·OB ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA ＋CB ｜＝1，则｜AC ｜的最大值为（ ）A ＋1B ．21 C ．＋1D +1二、填空题16．(0分)[ID ：14023]已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________.17．(0分)[ID ：14021]已知12,e e 是夹角为3π的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+，则2a b +=___．18．(0分)[ID ：14005]已知函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,)2A πωϕ>><图象上一个最高点P 的横坐标为13，与P 相邻的两个最低点分别为Q ，R .若PQR ∆是面积为边三角形，则函数解析式为y =__________.19．(0分)[ID ：13997]设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______．20．(0分)[ID ：13996]空间四点,,,A B C D 满足3AB =，=7BC ，||=11CD ，||=9DA ，则·AC BD =_______．21．(0分)[ID ：13980]已知向量(12,)a k =，(1,14)b k =-，若a b ⊥，则实数k =__________．22．(0分)[ID ：13991]在△ABC 中，120A ∠=︒，2133AM AB AC =+，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为____________．23．(0分)[ID ：13987]已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝()()11f x f x +-，则f (2018)=________.24．(0分)[ID ：13985]已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．25．(0分)[ID ：13947]已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距，则ω值为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：14115]在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 27．(0分)[ID ：14097]已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin 5B C +=，求ABC ∆的面积. 28．(0分)[ID ：14050]已知圆C 经过1(1,0)M -，2(3,0)M ，3(0,1)M 三点． (1)求圆C 的标准方程；(2)若过点N 1)的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角． 29．(0分)[ID ：14049]已知(2)2a m i j =-⋅+，(1)b i m j =++⋅，其中i j 、分别为x y 、轴正方向单位向量（1）若2m =，求a 与b 的夹角 （2）若()()a b a b +⊥-，求实数m 的值30．(0分)[ID ：14045]已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值是x 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．C4．A5．A6．D7．B8．C9．C10．C11．A12．C13．A14．C15．A二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件17．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力18．【解析】【分析】作出三角函数的图象结合三角形的面积求出三角函数的周期和即可得到结论【详解】不妨设是距离原点最近的最高点由题意知是面积为4的等边三角形即则周期即则三角形的高则则由题得所以又所以即故答案19．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB20．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型21．【解析】由题意则22．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题23．-3【解析】【分析】由已知分析出函数f（x）的值以4为周期呈周期性变化可得答案【详解】∵函数f（x）满足：f（1）=2f（x+1）=∴f（2）=﹣3f（3）=﹣f（4）=f（5）=2……即函数f（x24．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小25．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos A 和cos C 的表达式，由2A C =，结合正弦定理sin sin c aC A= 2sin cos aC C =得出cos C 的表达式，利用余弦定理得出cos C 的表达式，可解出n 的值， 于此确定ABC ∆三边长，再利用大边对大角定理得出C 为最小角，从而求出cos C ． 【详解】2A C =，由正弦定理sin sin c a C A=，即sin sin 22sin cos c a aC C C C ==， ()1cos 221a n C c n +∴==-， ()()()()222222114cos 22121n n n a b c n C ab n n n ++--+-+===++，()()142121n n n n ++∴=-+， 解得5n =，由大边对大角定理可知角C 是最小角，所以，63cos 244C ==⨯，故选D ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．2．C解析：C 【解析】 【分析】给出三角函数图像，求相关系数，可以通过读取周期，某些特殊值来求解. 【详解】由图可以读取5=066T ππ，（，）为五点作图的第一点2512==65T ππωω⇒⇒= 1222()2565k k Z k ππϕπϕπ⨯-=∈⇒=+，||ϕπ<25πϕ⇒=选择C. 【点睛】由三角函数sin()y A x ωϕ=+图像，获取相应参数的值一般遵循先定A ，然后根据周期定ω，最后通过带值定ϕ.解析：C 【解析】试题分析：()1sin()cos()sin 2222y x x x ϕϕϕ=++=+将其向右平移8π个单位后得到：11sin 2sin 22824y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若为偶函数必有：()42k k Z ππϕπ-=+∈，解得：()34k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，D 正确，1k =-时，B 正确，当2k =-时，A 正确，综上，C 错误. 考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.4．A解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．6．D【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(,1)12π求得3πϕ=，函数解析式()sin(2)3f x x π=+，比较解析式cos sin()2y x x π==+，根据图像变换规律即可求解.【详解】由()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈⎪⎝⎭在一个周期内的图象可得1A =,11244126T πππω=⋅=+，解得=2ω，图象过点(,1)12π，代入解析式得1sin(2)12πϕ=⨯+，因为2πϕ<，所以3πϕ=，故()sin(2)3f x x π=+，因为cos sin()2y x x π==+，将函数图象上点的横坐标变为原来的12得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移12π个单位得sin[2()]sin(2)()1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B. 【点睛】本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.8．C解析：C 【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.9．C解析：C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，sin 42πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．10．C解析：C 【解析】 【分析】首先以OA 与OB 作为一组向量基底来表示AP 和BP ，然后可得()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+，讨论OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，进一步可得AP BP ⋅有最小值12-.【详解】 由题意得AP OP OA =-, BP OP OB =-，所以()()()()2AP BP OP OA OP OB OPOA OB OP OA OB ⋅=-⋅-=+⋅-⋅+()()11122OP OA OB OP OA OB =--⋅+=-⋅+因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得1OA OB +=，所以当OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，此时()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+有最小值12-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ） 的单调递减区间． 【详解】∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2π=，∴12•T 2ππω==， ∴ω＝2，∴f （x ）＝sin （2x +θ）． 又f （x ）＝f （3π-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6π=，∴2•6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴θ6π=，f （x ）＝sin （2x 6π+）． 将f （x ）的图象向左平移6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2π+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，k π2π+]， 故选A ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12．C解析：C 【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.13．A解析：A【解析】44sin cos αα-()()2222sin cos sin cos αααα=-+22sin cos αα=-22sin 1α=-35=-，故选A.点睛：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的，用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论.14．C解析：C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的周期求出ω的值，利用逆向变换将函数()y g x =的图象向左平行23π个单位长度，得出函数()y f x =的图象，根据平移规律得出ϕ的值. 【详解】由于函数()y f x =的周期为6π，2163πωπ∴==，则()1sin 3g x x =， 利用逆向变换，将函数()y g x =的图象向左平移23π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，所以()1212sin sin 3339f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，29πϕ=，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.15．A解析：A 【解析】 【分析】先由题意得到==OA OB 3AOB π∠=，以O 为原点建立平面直角坐标系，设A θθ）得到点B 坐标，再设C （x ，y ），根据点B 的坐标，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】依题意，得：2==OA OB因为cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠，AOB ∠＝1，得：3AOB π∠=，以O 为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设A （2cos θ，2sin θ），则B （2cos 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭） 或B （2cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫-⎪⎝⎭） 设C （x ，y ）， 当B （2cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭）时， 则OA CB +＝（2cos θ＋2cos 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－x ，2sin θ＋2sin 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭－y ） 由｜OA ＋CB ｜＝1，得：222cos 2cos 2sin 2sin 33x y ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝1，即点C 在1为半径的圆上，A （2cos θ，2sin θ）到圆心(2cos 2cos 2sin 2sin )33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的距离为：22 2cos (2sin )33d ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2｜AC ｜的最大值为2＋1 当B （2cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin 3πθ⎛⎫-⎪⎝⎭）时，结论一样． 故选A【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．17．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】 先计算得到1212e e ⋅=，再计算1223a b e e +=-，然后计算2(2)727a b a b +=⇒+=. 【详解】12,e e 是夹角为3π的两个单位向量1212e e ⇒⋅=12121222()3a b e e e e e e +=-++=-2222121122(2)(3)96931727a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=【点睛】本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.18．【解析】【分析】作出三角函数的图象结合三角形的面积求出三角函数的周期和即可得到结论【详解】不妨设是距离原点最近的最高点由题意知是面积为4的等边三角形即则周期即则三角形的高则则由题得所以又所以即故答案解析：23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】作出三角函数的图象，结合三角形的面积求出三角函数的周期和A ，即可得到结论． 【详解】不妨设P 是距离原点最近的最高点， 由题意知||T RQ =，PQR ∆是面积为∴2134322T =216T =， 则周期4T =，即24πω=，则2πω=，三角形的高2h A ==A =则()3sin()2f x x πϕ+，3sin(6πϕ+()2,62k k Z ππϕπ+=+∈又2πϕ<所以263πππϕ=-=，即()3sin()23f x x ππ+，故答案为23y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数解析式求解，根据条件求出三角函数的周期和振幅是解决本题的关键．19．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB解析：6 【解析】 【分析】由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得21233y y y ++=， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴21233y y y ++=，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．20．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型解析：0 【解析】 【分析】由BD AD AB =-代入·AC BD ，再由AC AD DC AC AB BC ，=+=+代入进一步化简【详解】因为()()()······AC BD AC AD AB AC AD AC AB AD DC AD AB BC =-=-=+-+ ()()222222211··22AB AD DC AD AB BC AB AD DC AD DC AD AB =+--=++-+--()()()2222222221111122222BC AB BC AB AD AC DC AD AB AC +++=+-+--+ ()()()222222111811219490222BC AB AD DC AB BC ++=--+=--+=. 故答案为0 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.21．【解析】由题意则 解析：6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k=-．22．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题【解析】 【分析】由cos120AB AC AB AC ⋅=︒，可以求出1AB AC =，由22222221414414233999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭，即可求出答案． 【详解】由题意知1cos1202AB AC AB AC ⋅=-=︒，可得1AB AC =， 则222222214144144442223399999999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅=+⋅=-=⎪⎝⎭，（当且仅当224199AB AC =，即2AB AC =时取“=”.）故23AM ≥，即线段AM .本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题．23．-3【解析】【分析】由已知分析出函数f （x ）的值以4为周期呈周期性变化可得答案【详解】∵函数f （x ）满足：f （1）=2f （x+1）=∴f（2）=﹣3f （3）=﹣f （4）=f （5）=2……即函数f （x解析：-3 【解析】 【分析】由已知分析出函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化，可得答案． 【详解】∵函数f （x ）满足：f （1）=2，f （x +1）=()()11f x f x +-，∴f （2）=﹣3， f （3）=﹣12， f （4）=13， f （5）=2， ……即函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化， ∵2018=504×4+2， 故f （2018）=f （2）=﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，难度不大，属于中档题．24．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒【解析】 【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅.【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+；三是几何方法，从图形判断角的大小.25．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得解析：π【解析】由题意，令sin cos x x ωω=， sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4x k πωπ-=， k Z ∈，即14x k ππω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，当10,4k x πω==， 122y =；当251,4k x πω==， 222y =-，如图所示，由勾股定理得()()()22221213y y x x -+-=，解得ωπ=.三、解答题 26．（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2] 【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其单调增区间． (2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．(2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．27．（1）(,1]2-；（2. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)123x π-<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=+B C b c ，结合sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(2-．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )+=+B C b c ．又sin sin 5B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆== 【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．(1) 22(1)(1)5x y -++= (2) 30°或90°．【解析】 【分析】（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆C 的一般方程，再化为标准方程；解法二：求出线段12M M 和13M M 的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算3CM 为圆的半径，即可写出圆C 的标准方程；（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线l 的距离为1，并对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线l 的斜率不存在，得出直线l 的方程为2x =，验算圆心到该直线的距离为1；二是当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()312y k x --=-，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为1得出关于k 的方程，求出k 的值．结合前面两种情况求出直线l 的倾斜角． 【详解】（1）解法一：设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ∴2,2,3,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩即圆C 为222230x y x y +-+-=， ∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=；解法二：则12M M 中垂线为1x =,13M M 中垂线为y x =-， ∴圆心(,)C x y 满足∴(1,1)C -，半径3145r CM ==+=，∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=．（2）①当斜率不存在时，即直线:2l x =到圆心的距离为1，也满足题意， 此时直线l 的倾斜角为90°，②当斜率存在时，设直线l 的方程为(2)31y k x =-+， 由弦长为4，可得圆心(1,1)C - 到直线l 541-=，2|(12)131|11k k-++-=+，∴33k =l 的倾斜角为30°， 综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°．本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．29．（1）；（2）1m = 【解析】 【分析】（1）把2m =代入向量，利用向量的夹角公式计算得到答案. （2）根据()()a b a b +⊥-得到()()(1)(3)(3)(1)0m i m jm i m j -⋅++-⋅+-=，即()()()()13310m m m m --++-=计算得到答案.【详解】（1）当2m =时，(2)222a m i j j a =-⋅+=∴=，310b i j b =+∴=则()()236a b j i j ⋅==+，6cos arccos 1010210a b a bαα⋅====⋅ （2）()()a b a b +⊥-即()()(1)(3)(3)(1)0m i m jm i m j -⋅++-⋅+-=即()()()()13310m m m m --++-= 解得1m = 【点睛】本题考查了向量的夹角和向量的垂直，意在考查学生对于向量知识的灵活运用.30．(Ⅰ)π；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简整理函数()f x 的表达式，由周期2T πω=．（2）先求解52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图像求解最值． 【详解】：()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x =--=+--cos2sin224x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭(1)最小正周期为π (2)由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当32,,48x x πππ+==即时 ()f x 的最小值为.()f x 取最小值时x 的集合为3.8π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】：三角函数()y Asin φx ω=+在闭区间内[]a,b 上的最值问题的步骤： （1）换元，令t φx ω=+，其中[]12t t t ∈， （2）画出三角函数y Asint =的函数图像． （3）由图像得出最值．。