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复变函数复习范围

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复变函数总复习资料

复变函数总复习资料

性质: (1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
(2) Ln z1 z2
（3）Lnzn

Lnz1 nLnz
Lnz2 Ln n
, z

1
Lnz
n
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支
处处连续, 处处可导, 且 (ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z 15
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b
bLna
b[ln a i(arga2k )]
b(ln a iarga)2kbi
ez的性质：
1. f (z) ez 0
2. ez ez 处处解析
3. 满足加法定理：ez1ez2 ez1z2
4. 周期性：周期为 2k i
14
2.对数函数：Ln z ln z iArg z ln z i arg z i2k
多值！
主值： ln z ln z i arg z arg z 分支： Ln z ln z 2k i k 1, 2
3、 复数运算
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
加法、减法： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法: 除法:
z1z2 (x1 i y1)(x2 i y2ห้องสมุดไป่ตู้)
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z
各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的: (zb ) bzb1.

《复变函数》复习资料

《复变函数》复习资料

《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。

（ ）8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项）.2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z≤-，求()(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数211x +当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑1z <. 3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C,在C 上()1z ϕ<试证 在C内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰，则在D 内恒有()f z 1ic =+，其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z+=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项） 解：)1()(2z z e z f z+=211z e z z=+ =21(1)2!3!z z z ++++（2421(1)n n z z z -+-+-+）=215126z z z +--+（1||0<<z ）.2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解：因为 ||1a <，||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰，因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =，在该点的去心领域内有洛朗展式：2az e =22412!a az z+++所以2Re 0az z s e ==，故20I =，因此原积分值为零。

复变函数复习提纲

复变函数复习提纲

复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。

复变函数复习重点

复变函数复习重点

第一章复数与复变函数
1. 复数的四则运算，欧拉公式，复数的n次方根
2. 复平面上的曲线方程，参数方程和直角坐标方程以及与复数之间的互化。

3. 映射的概念
4. 复变函数的连续与极限
第二章解析函数
1. 掌握复变函数的导数与微分，解析函数的概念
2. 掌握函数解析的判断（大题）
3. 初等函数，掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数；了解双曲函数（定义）、反三角函数与反双曲函数的定义。

（大题）
第三章复变函数的积分
1. 了解复变函数积分的概念和性质
2. 掌握柯西积分定理及其应用：柯西积分定理，原函数，复合闭路定理（大题）
3. 掌握柯西积分公式，解析函数的高阶导数（大题）
4. 掌握解析函数与调和函数的关系。

（大题）
第四章复级数
1. 掌握复数项级数的审敛法
2. 掌握幂级数的敛散性判断及收敛半径
3. 掌握泰勒级数与洛朗级数的展开（大题）
第五章留数及其应用
1. 函数的零点与极点及其判断
2. 留数及留数定理(大题)
3. 留数在定积分计算中的应用，掌握教材中的1, 2, 3三种类型。

(大题)
第六章拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换的概念
2. 拉普拉斯变换的性质
3. 卷积，拉普拉斯逆变换
4. 拉普拉斯变换的应用（大题，求解微分方程）
第七章矢量分析
1. 矢量的微分与积分
2. 矢量的标量积、矢量积以及混和积
第八章场论
1. 方向导数与梯度（大题）
2. 通量与散度（散度定理）（大题）
3. 环量与旋度（斯托克斯定理）（大题）
4. 有势场与调和场。

复变函数复习(主要知识点)

复变函数复习(主要知识点)

• Ch6. 留数及应用
1.留数的定义及计算 2.利用留数定理计算复积分 3.利用 点的留数计算复积分 4. 利用留数计算实积分
部分实例
1. ez
|z|3
(
z
i)2
(
z
dz 1)
2. z |z|3(z1)12(z2)(z4)dz
3. I
dx
0 (4 x2)2
4.
I xsin xdx 0 x2 1
• Ch3. 复积分
1. 利用参数方程计算积分：
b
Cf(z)dzaf(z(t))z'(t)dt (C :zz(t),t:a b )
2. Cauchy积分定理、推广的Cauchy积分定理（复 合闭路定理）、Cauchy积分公式、高阶导数公 式
3. 利用原函数计算复积分 4. 调和函数及相关计算
部分实例
• Ch4. 幂级数
1.复数项级数的敛散性（绝对收敛、条件收敛） 2.幂级数收敛半径的计算 3.解析函数的Taylor展开 4. 三大定理
• Ch5. 洛朗级数与孤立奇点
1. 解析函数在圆环域内展开为洛朗级数 2.孤立奇点的定义、分类及判断
部分实例
1.
f(z)1在 1 |z 1 | 内 展 开 为 洛 朗 级 数 z(z 1 )
复数复数的表示复数的模辐角和辐角主值区域与曲线相关概念复变函数概念2复数的化简复数的四则运算2
主要知识点
• Ch1. 复数与复变函数
1. 复数、复数的表示、复数的模辐角和辐角主值、 区域与曲线相关概念、复变函数概念 2. 复数的化简、复数的四则运算、复数的乘方与 开方 Nhomakorabea 部分实例
1. ，求 z 2 2 3i 3 4i

复变函数总复习资料

复变函数总复习资料

总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应 用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断 函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等 。这些应用在物理学、工程学、经济学等领 域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方 程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有 着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有 着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中， 解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
THANKS
感谢观看
总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计 算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问 题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺 序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。

复变函数复习资料

复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。

复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。

在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。

一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。

复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。

复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。

二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。

根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。

解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。

三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。

泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。

而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。

四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。

复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。

复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。

五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。

复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。

总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。

复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。

复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。

《复变函数》考试大纲

《复变函数》考试大纲课程名称：复变函数一、考试的总体要求本门课程主要要求：掌握该课程的基本概念及其性质，掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法，要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。

二、考试的内容及比例1、复数与复变函数（5%～10％）：(1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。

(2) 掌握复变函数、极限、连续性。

(3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。

2、解析函数（10%～20％）：(1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。

(2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。

(3) 掌握初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数）。

(4) 了解初等多值函数（根式函数、对数函数）、初等多值函数（反三角函数、一般指数函数、一般幂函数）。

3、复变函数的积分（15%～25％）：(1) 掌握复积分的概念及基本性质。

(2) 掌握柯西积分定理（单连通与复连通域）、定积分与原函数。

(3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。

(4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。

4、解析函数的幂级数表示法（10～15％）：(1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。

(2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。

(3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。

5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点（10%～15％）：(1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。

(2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。

(3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。

6、留数理论及基应用（10%～15％）：(1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。

(2) 会利用留数定理计算一些实积分（前三种类型）。

(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。

复变函数复习考试提纲


• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]

复变函数复习要点

复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。

5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。

第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；P z是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。

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∫
4 z 2 dz = ∫ Z dz = ∫ dz = 4π i | z| = 2 2 | z| = 2 z C| z|
（2）因在 C 上有 | z |= 4 ， z ⋅ z =| z | 2 = 16 ，从而有 z =
16 ，故有 z 4 dz = 8π i z
∫
z dz = C| z|
∫
16 Z
i ⎡ ln 3+ i ( arg3+ 2 kπ ) ⎦ ⎤
= e −2 kπ ei ln 3 = e −2 kπ (cos ln 3 + i sin ln 3),
k = 0,±1,±2, "
(1 + i )
i
= ei Ln (1+i ) = e [
i ln 2 ⎛ π ⎞ − ⎜ + 2 kπ ⎟ 2 ⎝4 ⎠
第二章
2．下列函数何处可导？何处解析？ （1） f (z ) = x 2 − i y 解 （1）由于
∂u ∂v ∂u ∂v = −1 = 0, = 2 x, = 0, ∂y ∂x ∂x ∂y
1 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 x = − 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 f (z ) = u + i v = x − i y 仅在 2 1 直线 x = − 上可导，在 z 平面上处处不解析。 2
4⎞ ⎛ ln (− 3 + 4 i ) = ln | −3 + 4 i | + i arg(− 3 + 4 i ) = ln 5 + i⎜ π − arctan ⎟ 。 3⎠ ⎝
18．求 e 解：
1− i
π
2
， exp ⎜
⎛ 1＋i π ⎞ i i ⎟ ， 3 和 (1 + i ) 的值。 ⎝ 4 ⎠
（1）
又 f ( z ) = u + iv 在区域 D 内解析，则
∂u ∂v ∂u ∂v =− = ， ∂x ∂y ∂y ∂x
（2）
结合（1） 、 （2）两式，有
∂u ∂u ∂v ∂v = = 0， = = ∂x ∂y ∂x vy
故 u , v 在 D 内均为常数，分别记之为
u1 = C1 , u 2 = C 2 (C1 , C − 1 ；
（1）
(
⎡ ⎛ 3 i ⎞⎤ 3 − i = ⎢2⎜ − ⎟ = 2e −i π / 6 ⎜ 2 2 ⎟⎥ ⎢ ⎠⎥ ⎣ ⎝ ⎦
5
)
5
(
)
5
= 32e −i 5π / 6
⎡ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎤ = 32 ⎢ cos ⎜ − ⎟ + isin ⎜ − ⎟ ⎥ = −16 3 − 16i ⎝ 6 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 6 ⎠
1−i
π
2
e
= ee
−i
π
2
π π⎞ ⎛ = e⎜ cos − i sin ⎟ = − i e 2 2⎠ ⎝
⎛ 1＋i π exp ⎜ ⎝ 4 3i = ei Ln 3 = e ⎣
1 π 1 i π π⎞ 2 1 ⎞ 4 4 4 ⎛ = = = e e e cos i sin e 4 (1＋i ) ＋ ⎟ ⎜ ⎟ 4 4 2 ⎠ ⎝ ⎠
（3） 6 −1 = e
(
iπ+2kπ
)
1 6
=e
iπ ( 2k +1) /6
,k = 0,1,2,3,4,5 。可知 6 − 1 的 6 个值分别是
e iπ/6 = e i7π/6 = −
3 i 3 i iπ/2 + , e = i ， ei i 5π/6 = − + 2 2 2 2 3 i 3 i − ， e i 3π/ 2 = − i ， e i11π/ 4 = − 。 2 2 2 2
πi
2
Ln(− 3 + 4 i ) = ln | −3 + 4 i | + i[arg(− 3 + 4 i ) + 2kπ ] ⎤ ⎡⎛ 4⎞ = ln 5 + i ⎢⎜ π − arctan ⎟ + 2kπ ⎥ 3⎠ ⎦ ⎣⎝
⎡⎛ 4 ⎞⎤ = ln 5 − i ⎢⎜ arctan − (2k + 1)π ⎟⎥, k = 0,±1,±2, " 3 ⎠⎦ ⎣⎝
10．证明：如果函数 f (z ) = u + iv 在区域 D 内解析，并满足下列条件之一，那么 f (z ) 是常数。 （1） f (z ) 恒取实值。 （2） f (z ) 在 D 内解析。 （3） | f (z ) | 在 D 内是一个常数。 （4） arg f (z ) 在 D 内是一个常数。 （5） au + bv = c ，其中 a 、 b 与 c 为不全为零的实常数。 解 （1）若 f (z ) 恒取实值，则 v = 0 ，又根据 f (z ) 在区域 D 内解析，知 C-R 条件成立，于是
= 2e
−i
π 4
10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 则 z (− i ) =| z | ei Arg z ⋅ e 解： 设复数 z =| z | ei Arg z ， 辐角减少
−i π 2
= |z|e ⎝
π⎞ ⎛ i ⎜ Arg z − ⎟ 2⎠
， 可知复数的模不变，
π
2
。
14．求下列各式的值 （1） 解
15．求 Ln(− i ) ， Ln(− 3 + 4 i ) 和它们的主值。 解
⎞ ⎛ π Ln(− i ) = Ln | − i | + i(arg(− i ) + 2kπ ) = i⎜ − + 2kπ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ = i π ⎜ 2k − ⎟, k = 0,±1,±2, " 2⎠ ⎝ ln (− i ) = ln | − i | + i arg(− i ) = −
(x
2
+ i y dz 的值。
)
解（1）沿 y = x 。此时 z = t + i t (0 ≤ t ≤ 1) 。 dz = (1 + i )dt ，于是
∫ (x
1+i 0
2
+ i y dz =
)
∫ (t
1 0 2
2
1 ⎛1 + i t (1 + i )dt = (1 + i ) t 2 + i t dt = (1 + i )⎜ + 0 ⎝3
再利用解析函数 f (z ) = u + iv 的实、虚部 u 和 v 满足 C-R 条件，得
∂u ⎧ ∂u =0 a −b ⎪ ⎪ ∂x ∂y ⎨ ∂u ∂u ⎪b =0 +a ⎪ ∂ ∂y x ⎩
解得
∂u ∂u ∂v ∂v = 0 ，同理也可求得 = = 0 ，知函数 f (z ) 为一常数。 = ∂x ∂y ∂x ∂y
| z| = 4
4
dz =
∫
| z| = 4
第四章
12．求下列各函数在指定点 z0 处的 Taylor 展开式，并指出它们的收敛半径： （3）
1 ， z0 = −1 z2
（3）因 故
1 1 1 ⎛1⎞ 2 = − 1 + (z + 1) + (z + 1) + " ， = −⎜ ⎟′ 及 = − 2 z 1 − (z + 1) z ⎝z⎠
1 n −1 = 1 + 2(z + 1) + " + n(z + 1) + " = z2
[
]
| z + 1 |< 1 ，
∑ (n + 1)(z + 1)
n =0
∞
n
， | z + 1 |< 1 ，
而 R=1。
16．把下列各函数在指定的圆环域内展开成 Laurent 级数。 （2）
1 1 ,0 <| z − 1 |< 1,1 <| z − 2 |< +∞ ， 0 <| z |< 1,0 <| z − 1 |< 1 ； （3） 2 (z − 1)(z − 2) z (1 − z )
i ln|1+ i|]+ i ( arg (1+ i ) + 2 kπ )
⎞ ⎛1 −π ⎜ + 2 k ⎟ ⎠ ⎝4
=e
=e
ln 2 ln 2 ⎞ ⎛ + i sin ⎟， ⎜ cos 2 2 ⎠ ⎝
k = 0,±1,±2, "
第三章
2．分别沿 y = x 与 y = x 算出、积分 ∫
2
1+i 0
（4）若 arg z 在 D 内是一个常数 C1 ，则 f (z ) ≠ 0 ，从而 f (z ) = u + iv ≠ 0 ，且
v ⎧ u>0 ⎪ arctan u , ⎪ v ⎪ arg f (z ) = ⎨arctan + π , u < 0, v > 0 u ⎪ ⎪arctan v − π , u < 0, v < 0 ⎪ u ⎩
则
f (z ) = u + iv = C1 + iC 2 = C
为一复常数。
（3）若 | f (z ) | 在 D 内为一常数，记为 C1 ，则 u 2 + v 2 = C12 ，两边分别对于 x 和 y 求偏导，得
∂v ⎧ ∂u =0 + 2v 2u ⎪ ⎪ ∂x ∂x ⎨ ∂u ∂v ⎪2u + 2v =0 ⎪ ∂y ⎩ ∂y
复变函数复习范围
第一章
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （3）1+ 3 i； 解：