人教版九年级数学上册《25章 概率初步 25.3 用频率作为概率的估计值》优质课课件_14
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25.3 用频率估计概率教学目标1. 知道通过大量重复试验,可以用频率估计概率.2. 会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题,解决问题的能力.3. 让学生经历硬币实验和投图钉实验,对数据进行收集、整理、描述和分析,通过“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程,体验频率的随机性与规律性,丰富对随机现象的体验,了解用频率估计概率的合理性和必要性,培养随机观念.4. 通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.5. 在合作探究学习过程中,激发学生学习的好奇心与求知欲,体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学,渗透辩证思想教育.教学重点对实验数据进行收集、整理、描述和分析.通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.教学难点1. 用频率估计概率方法的合理性.2. 对大量重复试验得到频率的稳定值的分析.课时安排:2课时.第1课时教学内容25.3 用频率估计概率(1).教学目标1.知道通过大量重复试验,可以用频率估计概率.2.让学生经历硬币实验和投图钉实验,对数据进行收集、整理、描述和分析,通过“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程,体验频率的随机性与规律性,丰富对随机现象的体验,了解用频率估计概率的合理性和必要性,培养随机观念.3.在合作探究学习过程中,激发学生学习的好奇心与求知欲,体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学,渗透辩证思想教育.教学重点对实验数据进行收集、整理、描述和分析.教学难点用频率估计概率方法的合理性.教学过程一、导入新课问题:周末市体育场有一场精彩的篮球比赛,老师手中只有一张球票,小强与小明都是班里的篮球迷,两人都想去,我很为难,真不知该把球给谁,请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.生:抓阄、抽签、猜拳、投硬币,……教师对同学的较好想法予以肯定.(学生肯定有许多较好的想法,在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币)追问,为什么要用抓阄、投硬币的方法呢?学生讨论:这样做公平,能保证小强与小明得到球票的可能性一样大.过渡:抛掷一枚质地均匀的硬币时,“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等,这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚硬币100次时,就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢?二、新课教学1.试验:把全班同学分成10组,每组同学抛掷一枚硬币50次.整理同学们获得的试验数据,并完成下.12全班学生3人一组,进行实验.第1组的数据填在第1列,第1,2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列.如果在抛掷硬币n 次时,出现m次“正面向上”,则称比值nm为“正面向上”的频率. 教师在学生填写后,根据上表的数据,在下图中标注出对应的点.问题1:频率和概率有什么不同?问题2:如果重复实验次数增多,结果会怎样? 问题3:随着重复实验次数的增加,“正面向上”的频率有什么规律?教师引导学生思考这3个问题,理解用频率估算概率的合理性和必要性,鼓励学生探索数据中隐藏的规律,提高学生的统计意识.2.历史上的抛掷硬币的试验.历史上,有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验.其中一些试验结果见下表:思考:随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率的变化趋势是什么? 可以发现,在重复抛掷一枚硬币时,“正面向上”的频率在0.5附近摆动.一般地,随着抛掷次数的增加,频率呈现出一定的稳定性:在0.5附近摆动的幅度会越来越小.这时,我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值.当“正面向上”的频率稳定于0.5时,“反面向上”的频率也稳定于0.5.总结:实际上,从长期实践中,人们观察到,对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.因此,我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.问题1:你怎样理解“固定数”?问题2:“正面向上”的概率是0.5,连续掷2次,结果一定是“正面向上”和“反面向上”各1次吗?教师让学生思考、分析,通过问题,深化理解.“固定数”就是“概率”;概率是0.5并不能保证掷2n次硬币一定恰好有n次“正面向上”,只是当n越来越大时,正面向上的频率会越来越稳定于0.5.可见,概率是针对大量重复试验而言的,概率具有稳定性.三、巩固练习教材第144页练习1、2.四、课堂小结今天学习了什么?有什么收获?五、布置作业习题25.3 第1、3题.第2课时教学内容25.3用频率估计概率(2).教学目标1.学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题,解决问题的能力.2.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.3.通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值.教学重点通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.教学难点大量重复试验得到频率的稳定值的分析.教学过程一、导入新课什么是频率?怎样用频率估计概率?通过复习,导入新课的教学.二、新课教学问题1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,应采用什么具体做法?幼树移植成活率是实际问题中的一种概率.这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知,所以成活率要由频率去估计.m 在同样条件下,对这种幼树进行大量移植,并统计成活情况,计算成活的频率.随着移植数n越来越大,频率n 会越来越稳定,于是就可以把频率作为成活率的估计值.教师引导学生补全教材第146页统计表中的空缺,然后完成表下的填空.学生计算、填写,然后分析,发现:随着移植数的增加,幼树移植成活的频率越来越稳定.当移植总数为14 000时,成活的频率为0.902,于是可以估计幼树移植成活的概率为0.9.问题2 某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元,那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比较合适?34销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘,进行“柑橘损坏率”统计.并把获得的数据记录在教材第147页表中,请你帮忙完成此表.教师引导学生计算、填表,从表中可以看出,随着柑橘质量的增加,柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500 kg 时的损坏频率为0.103,于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小数点后一位).由此可知,柑橘完好的概率为0.9.根据估计的概率可以知道,在10 000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为 10 000×0.9=9 000(kg ). 完好柑橘的实际成本为9.029000100002=⨯≈2.22(元/kg ). 设每千克柑橘的售价为x 元,则(x -2.22)×9 000=5 000.解得x ≈2.22(元).因此,出售柑橘时,每千克定价大约2.8元可获利润5 000元.三、巩固练习1.某射击运动员在同一条件下练习射击,结果如下表所示:(1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中.(2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率约是_____. 学生独立完成,小组内订正. 2.教材第147页练习. 四、课堂小结今天你学习了什么?有什么收获? 五、布置作业习题25.3 第4、5题.。
初中数学试卷新人教版数学九年级上册第25章25.3用频率估计概率课时作业一、选择题1、绿豆在相同条件下的发芽试验,结果如下表所示:每批粒数n100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频数nm0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950则绿豆发芽的概率估计值是()A.0.96 B.0.95 C.0.94 D.0.90答案:B知识点:利用频率估计概率解析:解答:x=(0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950)÷7≈0.95,当n足够大时,发芽的频率逐渐稳定于0.95,故用频率估计概率,绿豆发芽的概率估计值是0.95.故选B.分析:考查利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法.对于不同批次的绿豆种子的发芽率往往误差会比较大,为了减少误差,我们经常采用多批次计算求平均数的方法.2、某人在做掷硬币实验时,投掷m次,正面朝上有n次(即正面朝上的频率是p= nm).则下列说法中正确的是()A.P一定等于12, B.P一定不等于12, C.多投一次,P更接近12, D.投掷次数逐渐增加,P稳定在12附近答案:B知识点:利用频率估计概率解析:解答:∵硬币只有正反两面,∴投掷时正面朝上的概率为12,根据频率的概念可知投掷次数逐渐增加,P稳定在12附近.故选D.分析:考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.利用频率估计概率时,只有做大量试验,才能用频率会计概率.3、小明在一只装有红色和白色球各一只的口袋中摸出一只球,然后放回搅匀再摸出一只球,反复多次实验后,发现某种“状况”出现的机会约为50%,则这种状况可能是()A.两次摸到红色球B.两次摸到白色球C.两次摸到不同颜色的球D.先摸到红色球,后摸到白色球答案:C知识点:利用频率估计概率解析:解答:∵摸到红色和白色球的概率均为12,∴反复多次实验后,发现某种“状况”出现的机会约为50%,这种状况可能是两次摸到不同颜色的球.故选C.分析:考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.根据用频率估计概率的意义,从四个选项中选出出现的机会约为50%的情况.4、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中88次摸到黑球,估计盒中大约有白球()A.28个B.30个C.36个D.42个答案:A知识点:利用频率估计概率解析:解答:由题意得:白球有×8≈28个.故选A.分析:本题考查的是通过样本去估计总体,只需将样本“成比例地放大”为总体即可.关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式.共摸球400次,其中88次摸到黑球,那么有312次摸到白球;由此可知:摸到黑球与摸到白球的次数之比为88:312;已知有8个黑球,那么按照比例,白球数量即可求出.5、为验证“掷一个质地均匀的骰子,向上的点数为偶数的概率是0.5”,下列模拟实验中,不科学的是( )A .袋中装有1个红球一个绿球,它们除颜色外都相同,计算随机摸出红球的概率B .用计算器随机地取不大于10的正整数,计算取得奇数的概率C .随机掷一枚质地均匀的硬币,计算正面朝上的概率D .如图,将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形,转动转盘任其自由停止,计算指针指向甲的概率答案:D知识点:利用频率估计概率解析:解答: A 、袋中装有1个红球一个绿球,它们出颜色外都相同,随机摸出红球的概率是,故本选项正确;B 、用计算器随机地取不大于10的正整数,取得奇数的概率是12,故本选项正确; C 、随机掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率是12,故本选项正确; D 、将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形,转动转盘任其自由停止,指针指向甲的概率是13,故本选项错误; 故选D .分析:此题考查了模拟实验,选择和掷一个质地均匀的骰子类似的条件的试验验证掷一个质地均匀的骰子的概率,是一种常用的模拟试验的方法.分析每个试验的概率后,与原来掷一个质地均匀的骰子的概率比较即可.6、从口袋中随机摸出一球,再放回口袋中,不断重复上述过程,共摸了150次,其中有50次摸到黑球,已知口袋中有黑球10个和若干个白球,由此估计口袋中大约有多少个白球( )A .10个B .20个C .30个D .无法确定 答案:B知识点:利用频率估计概率解析:解答:摸了150次,其中有50次摸到黑球,则摸到黑球的频率是5011503,设口袋中大约有x 个白球,则101103x =+ 解得x=20.故选B .分析:考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是得到关于黑球的概率的等量关系.先由频率=频数÷数据总数计算出频率,再由题意列出方程求解即可.7、小鸡孵化场孵化出1000只小鸡,在60只上做记号,再放入鸡群中让其充分跑散,再任意抓出50只,其中做有记号的大约是( ) A .40只 B .25只 C .15只 D .3只 答案:D知识点:利用频率估计概率解析:解答:小鸡孵化场孵化出1000只小鸡,在60只上做记号,则做记号的小鸡概率为603100050=,再任意抓出50只,其中做有记号的大约是350350⨯=只.故选D . 分析:此题考查概率的应用.任意抓出50只中有记号的只数=50×做记号的小鸡概率. 先计算出做记号的小鸡概率为603100050=,再任意抓出50只,则其中做有记号的大约是350350⨯=只. 8、一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其它完全相同的小球,其中有6个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么可以推算出n 大约是( ) A .6 B .10 C .18 D .20 答案:D知识点:利用频率估计概率解析:解答:由题意可得,60n×100%=30%, 解得,n=20(个). 故估计n 大约有20个. 故选:D .分析:此题主要考查了利用频率估计概率,本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系.在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.9、一个盒子里装有若干个红球和白球,每个球除颜色以外都相同.5位同学进行摸球游戏,每位同学摸10次(摸出1球后放回,摇匀后再继续摸),其中摸到红球数依次为8,5,9,7,6,则估计盒中红球和白球的个数是( )A .红球比白球多B .白球比红球多C .红球,白球一样多D .无法估计 答案:A .知识点:利用频率估计概率解析:解答: ∵5位同学摸到红球的频率的平均数为8597675++++=,∴红球比白球多. 故选A .分析:考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.易错点是得到红球可能的情况数.计算出摸出红球的平均数后分析,若得到的平均数大于5,则说明红球比白球多,反之则不是.10、关于频率和概率的关系,下列说法正确的是( ) A .频率等于概率;B .当实验次数很大时,频率稳定在概率附近;C .当实验次数很大时,概率稳定在频率附近;D .实验得到的频率与概率不可能相等 答案:B知识点:利用频率估计概率解析:解答: A 、频率只能估计概率; B 、正确; C 、概率是定值;D 、可以相同,如“抛硬币实验”,可得到正面向上的频率为0.5,与概率相同. 故选B .分析:考查利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.大量反复试验时,某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近,这个常数就叫做事件概率的估计值,而不是一种必然的结果.11、在学习掷硬币的概率时,老师说:“掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率是12”,小明做了下列三个模拟实验来验证.①取一枚新硬币,在桌面上进行抛掷,计算正面朝上的次数与总次数的比值;②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份,并依次标上奇数和偶数,转动转盘,计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值;③将一个圆形纸板放在水平的桌面上,纸板正中间放一个圆锥(如图),从圆锥的正上方往下撒米粒,计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值.上面的实验中,不科学的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案:A知识点:利用频率估计概率解析:解答:①由于一枚质地均匀的硬币,只有正反两面,故正面朝上的概率是12;②由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份,并依次标上奇数和偶数,标奇数和偶数的转盘各占一半.指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为12.③由于圆锥是均匀的,所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀的分布的,与纸板面积成正比,可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为12.三个试验均科学,故选A.分析:选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率,是一种常用的模拟试验的方法.分析每个试验的概率后,与原来的掷硬币的概率比较即可.12、抛掷两枚均匀的硬币,当抛掷多次以后,出现两个反面的成功率大约稳定在()A.25% B.50% C.75% D.100%答案:A知识点:利用频率估计概率解析:解答:抛掷两枚均匀的硬币,可能出现的情况为:正正,反反,正反,反正,∴出现两个反面的概率为14,∴抛掷多次以后,出现两个反面的成功率大约稳定在25%.故选A.分析:考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.抛掷两枚均匀的硬币,可能会出现四种情况,而出现两个反面的机会为四分之一.13、下列说法正确的是()①试验条件不会影响某事件出现的频率;②在相同的条件下试验次数越多,就越有可能得到较精确的估计值,但各人所得的值不一定相同;③如果一枚骰子的质量分布均匀,那么抛掷后每个点数出现的机会均等;④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币,出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同.A.①②B.②③C.③④D.①③答案:B知识点:利用频率估计概率解析:解答:①错误,实验条件会极大影响某事件出现的频率;②正确;③正确;④错误,“两个正面”、“两个反面”的概率为,“一正一反”的机会较大,为12.故选B.分析:大量反复试验下频率稳定值即概率.易错点是得到抛掷两枚硬币得到所有的情况数.根据频率与概率的关系分析各个选项即可.14、小明练习射击,共射击60次,其中有38次击中靶子,由此可估计,小明射击一次击中靶子的概率是()A.38% B.60% C.约63% D.无法确定答案:C知识点:利用频率估计概率解析:解答:∵小明练习射击,共射击60次,其中有38次击中靶子,∴射中靶子的频率38196030=≈0.63,故小明射击一次击中靶子的概率是约63%.故选C.分析:本题比较容易,考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.根据频率=频数÷数据总数计算.15、在一个不透明的盒子中,红色、白色、黑色的球共有40个,除颜色外其他完全相同,老师在课堂上组织同学通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%,则盒子中黑色球的个数可能是()A.16 B.18 C.20 D.22答案:A知识点:利用频率估计概率解析:解答:∵通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%,∴摸到盒子中黑色球的概率为1-45%-15%=40%,∴盒子中黑色球的个数为40×40%=16.故选A.分析:此题主要考查了利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率,然后用频率估计概率即可解决问题.由于通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%,由此可以确定摸到盒子中黑色球的概率,然后就可以求出盒子中黑色球的个数.二、填空题1、有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个,小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回箱子中,多次重复上述过程后.发现摸到红球的频率约为0.6,据此可以估计红球的个数约为____.答案:600个知识点:利用频率估计概率解析:解答:∵摸到红球的频率约为0.6,∴红球所占的百分比是60%.∴1000×60%=600(个).故答案为:600个.分析:本题考查用频率估计概率,因为摸到红球的频率约为0.6,红球所占的百分比是60%,从而可求出解.因为多次重复上述过程后,发现摸到红球的频率约为0.6,所以红球所占的百分比也就是60%,根据总数可求出红球个数.2、在“抛掷正六面体”的试验中,如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”,如果试验的次数增多,出现数字“1”的频率的变化趋势是____答案:接近1 6知识点:利用频率估计概率解析:解答:如果试验的次数增多,出现数字“1”的频率的变化趋势是接近1 6分析:实验次数越多,出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率.随着试验次数的增多,变化趋势接近与理论上的概率.3、从某玉米种子中抽取6批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下: 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率0.8500.7450.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计,该玉米种子发芽的概率约为____(精确到0.1). 答案:0.8知识点:利用频率估计概率解析:解答:∵种子粒数5000粒时,种子发芽的频率趋近于0.801, ∴估计种子发芽的概率为0.801,精确到0.1,即为0.8. 故本题答案为:0.8.分析:本题比较容易,考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.本题考查的是用频率估计概率,6批次种子粒数从100粒大量的增加到5000粒时,种子发芽的频率趋近于0.801,所以估计种子发芽的概率为0.801,精确到0.1,即为0.8. 4、晓刚用瓶盖设计了一个游戏:任意掷出一个瓶盖,如果盖面朝上则甲胜,如果盖面朝下则乙胜,你认为这个游戏____(是否公平);如果以硬币代替瓶盖,同样做上述游戏,你认为这个游戏____(是否公平). 答案:不公平,公平 知识点:利用频率估计概率解析:解答:因为瓶盖不是均匀的,故盖面朝上和盖面朝下的机会不是均等的;故这个游戏不公平.如果以硬币代替瓶盖,因为硬币是均匀的,故正面与反面向上机会相等;故这个游戏公平.分析:本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率,概率相等就公平,否则就不公平.根据实际情况即可解答.瓶盖不是均匀的,而硬币均匀,所以两种情况不一样. 5、一个不透明的袋中装有2枚白色棋子和n 枚黑色棋子,它们除颜色不同外,其余均相同.若小明从中随机摸出一枚棋子,多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%.则n 很可能是___枚.答案:8知识点:利用频率估计概率解析:解答:不透明的布袋中的棋子除颜色不同外,其余均相同,共有n+2个棋子,其中黑色棋子n 个,根据古典型概率公式知:P (黑色棋子)=2n n =80%,解得n=8.故答案为:8.分析:此题主要考查了概率公式的应用,一般方法为:如果一个事件有n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A 出现m 种结果,那么事件A 的概率P (A )=m n. 根据黑色棋子的概率公式2nn +=80%,列出方程求解即可. 三、解答题1、某商场为了吸引顾客,举行抽奖活动,并规定:顾客每购买100元的商品,就可随机抽取一张奖券,抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”,就可以分别获得100元、50元、20元的购物券,抽得“谢谢惠顾”不赠购物券;如果顾客不愿意抽奖,可以直接获得购物券10元.小明购买了100元的商品,他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下: 奖券种类 紫气东来 花开富贵 吉星高照 谢谢惠顾 出现张数(张)500100020006500(1)求“紫气东来”奖券出现的频率;(2)请你帮助小明判断,抽奖和直接获得购物卷,哪种方式更合算?并说明理由. 知识点:利用频率估计概率 解析:解答:(1)50011000020=或5%;(2)平均每张奖券获得的购物券金额为100×50010000+50×100010000+20×200010000+0×650010000=14(元), ∵14>10,∴选择抽奖更合算.分析:此题考查概率的求法:如果一个事件有n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A 出现m 种结果,那么事件A 的概率P (A )=mn,易错点是获得购物券得到金额的平均数.(1)根据概率的求法,找准两点: ①、符合条件的情况数目; ②、全部情况的总数. 二者的比值就是其发生的概率.(2)算出每张奖券获得的购物券金额的平均数,与10比较即可.2、研究问题:一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量?操作方法:先从盒中摸出8个球,画上记号放回盒中,再进行摸球实验,摸球实验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,放回盒中,再继续.活动结果:摸球实验活动一共做了50次,统计结果如下表:球的颜色无记号有记号红色黄色红色黄色摸到的次数18 28 2 2推测计算:由上述的摸球实验可推算:(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少?(2)盒中有红球多少个?知识点:利用频率估计概率解析:解答:(1)由题意可知,50次摸球实验活动中,出现红球20次,黄球30次,∴红球所占百分比为20÷50=40%,黄球所占百分比为30÷50=60%,答:红球占40%,黄球占60%;(2)由题意可知,50次摸球实验活动中,出现有记号的球4次,∴总球数为504×8=100,∴红球数为100×40%=40,答:盒中红球有40个.分析:此题主要考查了利用频率估计概率的问题,首先利用模拟实验得到盒中红球、黄球各占总球数的百分比,然后利用百分比即可求出盒中红球个数.(1)根据表格数据可以得到50次摸球实验活动中,出现红球20次,黄球30次,由此即可求出盒中红球、黄球各占总球数的百分比;(2)由题意可知50次摸球实验活动中,出现有记号的球4次,由此可以求出总球数,然后利用(1)的结论即可求出盒中红球.3、端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,五月初五早上,奶奶为小明准备了四只粽子:一只肉馅,一只香肠馅,两只红枣馅,四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同.小明喜欢吃红枣馅的粽子.(1)请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率;(2)在吃粽子之前,小明准备用一个均匀的正四面体骰子(如图所示)进行吃粽子的模拟试验,规定:掷得点数1向上代表肉馅,点数2向上代表香肠馅,点数3,4向上代表红枣馅,连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子,从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率.你认为这样模拟正确吗?试说明理由.知识点:利用频率估计概率解析:解答:(1)∴P(两只都为红枣馅)==;(3分)(2)这样模拟不正确(4分)理由如下:连续两次掷骰子点数朝上的情况有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16种,而满足条件的情况有4种(5分)∴P(点数3,4向上)=416=14≠p(两只均为红枣馅)(6分)∴这样模拟不正确.(7分)分析:树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.此题需要两步完成,所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单;解题时要注意是放回实验还是不放回实验,(1)此题属于不放回实验;(2)此题模拟的为放回实验;所以模拟的不正确.4、如图,均匀的正四面体的各面依次标有1,2,3,4四个数字.小明做了60次投掷试验,结果统计如下:朝下数字 1 2 3 4出现的次数16 20 14 10(1)计算上述试验中“4朝下”的频率是____;(2)“根据试验结果,投掷一次正四面体,出现2朝下的概率是13.”的说法正确吗?为什么?(3)随机投掷正四面体两次,请用列表或画树状图法,求两次朝下的数字之和大于4的概率.答案:(1)16知识点:利用频率估计概率解析:解答:(1)“4朝下”的频率:101606=;… 故答案为:16. (2)这种说法是错误的.在60次试验中,“2朝下”的频率为13并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为13.只有当试验的总次数很大时,事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近.(3)随机投掷正四面体两次,所有可能出现的结果如下: 1 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4)(2,4)(3,4)(4,4)总共有16种结果,每种结果出现的可能性相同,而两次朝下数字之和大于4的结果有10种.∴P (朝下数字之和大于4)=105168=.… 分析:本题主要考查列表法与树状图法求概率,以及频率的意义,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比. (1)先由频率=频数÷试验次数算出频率;(2)根据表格观察抛掷的次数增多时,频率稳定到哪个数值,这就是概率. (3)列表列举出所有的可能的结果,然后利用概率公式解答即可.5、一粒木质中国象棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面是年平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某实验小组做了棋子下掷实验,实验数据如下表: 实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上频数14384752667888相应频率0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.56 0.55(1)请将数据补充完整;(2)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图;(3)如果实验继续进行下去,根据上表的数据,这个实验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率是多少?知识点:利用频率估计概率解析:解答:(1)所填数字为:40×0.45=18,66÷120=0.55;(2)折线图:(3)根据表中数据,试验频率为0.7,0.45,0.63,0.59,0.52,0.55,0.56,0.55稳定在0.55左右,故估计概率的大小为0.55.分析:考查利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.作图时应先描点,再连线.用到的知识点为:部分的具体数目=总体数目×相应频率.频率=所求情况数与总情况数之比.(1)(3)根据图中信息,用频数除以实验次数,得到频率,由于试验次数较多,可以用频率估计概率;(2)将频率作为纵坐标,试验次数作为横坐标,描点连线,可得折线图.。
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25.3 用频率估计概率※教学目标※【知识与技能】1。
理解每次试验可能的结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,利用统计频率的方法估计概率.2。
会设计模拟试验,能应用模拟试验求概率。
【过程与方法】1.经历利用频率估计概率的学习,使学生明白在同样条件下,大量重复试验时,根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到常数,可以估计这个事件发生的概率.2.通过模拟试验的设计与学习,理解试验在现实生活中具有重要作用.【情感态度】通过用频率估计概率的学习,认识数学在社会生活中具有重要作用,它既能用于解决实际问题,又为我们提供一套完整的解决问题的思维方式,从而体验数学的重要性.【教学重点】对利用频率估计概率的理解和应用。
【教学难点】利用频率估计概率的理解。
※教学过程※一、情境导入出示科比在NBA赛场上的图片,提出问题:一位篮球运动员投3分球的命中率有多大?引入课题.二、探索新知1。
利用频率估计概率活动一每人向上抛掷一枚质地均匀的硬币一次,统计全班结果,落地时正面向上的有人,反面向上的有人,则正面向上的频率是 .(让学生举手进行统计)活动二分组试验把全班分成10组,每组同学掷一枚硬币50次,一名同学掷硬币,另一名同学做记录,其余同学观察试验必须在同样条件下进行,以实事求是的态度通过画“正"字的方式统计“正面向上”的频数,整理并记录下来。
第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率用频率估计概率连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次、20次、30次、40次、50次……分别记录每轮试验中硬币“正面向上”和“反面向上”出现的次数,求出“正面向上”和“反面向上”的频率,分析数据,可探索出频率的变化规律.用频率估计概率(1)从长期实践中,人们观察到,对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.因此,我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. (2)一般地,在大量重复试验中,如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ,那么事件A 发生的概率P (A )=p .n 个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3,那么估计摸到黄球的概率为A.0.3 B.0.7C.0.4 D.0.6【答案】A【解析】∵通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3,∴估计摸到黄球的概率为0.3,故选A.【名师点睛】一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率mn稳定于某个常数p,那么估计事件A发生的概率P(A)=p.试验得出的频率只是概率的估计值.概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映出的规律并非在每一次试验中都发生.(1)将表格补充完成;(精确到0.01)(2)估计这名同学投篮一次,投中的概率约是多少(精确到0.1)?(3)根据此概率,估计这名同学投篮622次,投中的次数约是多少?【解析】(1)153÷300=0.51,252÷500≈0.50;故答案为:0.51,0.50;(2)估计这名同学投篮一次,投中的概率约是0.5;(3)622×0.5=311(次).所以估计这名同学投篮622次,投中的次数约是311次.1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是A.频率等于概率B.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近C.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近D.试验得到的频率和概率不可能相等2.随机事件A出现的频率mn满足A.mn=0 B.mn=1C.mn>1 D.0<mn<13.两人各抛一枚硬币,则下面说法正确的是A.每次抛出后出现正面或反面是一样的B.抛掷同样的次数,则出现正、反面的频数一样多C.在相同条件下,即使抛掷的次数很多,出现正、反面的频数也不一定相同D.当抛掷次数很多时,出现正、反面的次数就相同了4.一个不透明的口袋里装有除颜色不同外其余都相同的10个白球和若干个红球,在不允许将球倒出来数的前提下,小亮为了估计其中的红球数,采用如下方法:先将口袋中的球摇匀,再从口袋中随机摸出1球,记下颜色,然后把它放回口袋中,不断重复上述过程,小亮共摸了1000次,其中有200次摸到白球,因此小亮估计口袋中的红球有A.60个B.50个C.40个D.30个5.在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共15个,每个球除颜色外都相同,每次摇匀后随即摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过大量重复摸球实验后,发现摸到黑球的频率稳定于0.6,则可估计这个袋中红球的个数约为__________.6.在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,然后把它放回袋中,不断重复,下表是活动进行中的一组统计数据:(1)上表中的a=__________;(2)“摸到白球”的概率的估计值是__________(精确到0.1);(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个?7.某批彩色弹力球的质量检验结果如下表:(1)请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图(2)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少?(精确到0.01)(3)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球,它们除了颜色外都相同,将它们放入一个不透明的袋子中,求从袋子中摸出一个球是黄球的概率.(4)现从第(3)问所说的袋子中取出若干个黑球,并放入相同数量的黄球,搅拌均匀,使从袋子中摸出一个黄球的概率为14,求取出了多少个黑球?1.在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,除颜色外,它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球,记下颜色后放回布袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色后放回……如此大量摸球试验后,小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2,摸出黑球的频率稳定于0.5,对此试验,他总结出下列结论:①若进行大量摸球试验,摸出白球的频率应稳定于0.3;②若从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是A.①②③B.①②C.①③D.②③2.抛掷一枚质地均匀的硬币2000次,正面朝上的次数最有可能为A.500B.800C.1000D.12003.在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球,它们除颜色外完全相同,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复,共摸球40次,其中10次摸到黑球,则估计盒子中大约有________个白球.4.一鱼池里有鲤鱼,鲫鱼,鲢鱼共1000尾,一渔民通过多次捕捞试验后发现,鲤鱼,鲫鱼出现的概率约为31%和42%,则这个鱼池里大概有鲤鱼______尾,鲫鱼______尾,鲢鱼______尾.5.某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下表.(1)从这批衬衣中抽1件是次品的概率约为多少?(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换?6.小明抛硬币的过程(每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况)见下表,阅读并回答问题:(1)从表中可知,当抛完10次时正面出现3次,正面出现的频率为30%,那么,小明抛完10次时,得到__________次反面,反面出现的频率是__________;(2)当他抛完5000次时,反面出现的次数是__________,反面出现的频率是__________;(3)通过上表我们可以知道,正面出现的频数和反面出现的频数之和等于__________,正面出现的频率和反面出现的频率之和等于__________.1.(2019•湖北襄阳)下列说法错误的是A.必然事件发生的概率是1B.通过大量重复试验,可以用频率估计概率C.概率很小的事件不可能发生D.投一枚图钉,“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得2.(2019•江苏泰州)小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表:若抛掷硬币的次数为1000,则“正面朝上”的频数最接近A.20 B.300C.500 D.8003.(2019•绍兴)为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区100名九年级男生,他们的身高x(cm)统计如下:根据以上结果,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于180cm的概率是A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.154.(2019•柳州)柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果.下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下,对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据:依据上面的数据可以估计,这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是__________(结果精确到0.01).5.(2019•长沙)在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表:根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是__________.(结果保留小数点后一位)6.(2019•雅安)某校为了解本校学生对课后服务情况的评价,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果制成了如下不完整的统计图.根据统计图:(1)求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数;(2)补全折线统计图;(3)根据调查结果,若要在全校学生中随机抽1名学生,估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少?1.【答案】C【解析】概率是一个确定的数,频率是一个变化量,当试验次数很大时,频率会稳定在概率附近.由此可得,选项C 正确.故选C . 2.【答案】D【解析】大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件,故频率mn的含义是在n 次试验中发生m 次,即必有0<mn<1.故选D . 3.【答案】C【解析】抛硬币是一个随机事件,抛一枚硬币,出现正面朝上或者反面朝上都有可能,但事先无法预料.故选C . 4.【答案】C【解析】∵小亮共摸了1000次,其中200次摸到白球,则有800次摸到红球, ∴白球与红球的数量之比为1:4, ∵白球有10个,∴红球有10×4=40(个), 故选C . 5.【答案】6【解析】黑球个数为:150.69⨯=,红球个数:1596-=.故答案为:6.【名师点睛】本题考查了频数和频率,频率是频数与总数之比,掌握频数频率的定义是解题的关键. 6.【解析】(1)a =290500=0.58,故答案为:0.58; (2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60,所以其概率的估计值是0.60,故答案为:0.60; (3)由(2)摸到白球的概率估计值为0.60,所以可估计口袋中白球的个数=20×0.6=12(个),黑球20−12=8(个). 答:黑球8个,白球12个.【名师点睛】本题考查利用频率估计概率,事件A 发生的频率等于事件A 出现的次数除以实验总次数;在实验次数非常大时,事件A 发生的频率约等于事件发生的概率,本题可据此作答;对于(3)可直接用概率公式.7.【解析】(1)如图,(2)()10.9420.9460.9510.9490.9485⨯++++=1 4.7365⨯=0.9472≈0.95. (3)P (摸出一个球是黄球)=551322++=18.(4)设取出了x 个黑球,则放入了x 个黄球,则551322x +++=14,解得x =5.答:取出了5个黑球.【名师点睛】本题考查利用频率估算概率,数量较大、批次较多时用求平均值的方法更接近概率,理解题意灵活运用概率公式是解题关键.1.【答案】B【解析】∵在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于50%,∴①若进行大量摸球实验,摸出白球的频率稳定于:1–20%–50%=30%,故此选项正确; ∵摸出黑球的频率稳定于50%,大于其它频率,∴②从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大,故此选项正确;③若再摸球100次,不一定有20次摸出的是红球,故此选项错误;故正确的有①②.故选B.【名师点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,根据频率与概率的关系得出是解题关键.2.【答案】C【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2000次,正面朝上的次数最有可能为1000次,故选C.【名师点睛】本题主要考查随机事件,关键是理解必然事件为一定会发生的事件;解决此类问题,要学会关注身边的事物,并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题,提高自身的数学素养.3.【答案】12【解析】∵共试验40次,其中有10次摸到黑球,∴白球所占的比例为:40103 404-=,设盒子中共有白球x个,则344xx=+,解得x=12,经检验,x=12是原方程的根,故答案为:12.【名师点睛】本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是根据白球的频率得到相应的等量关系.4.【答案】310;420;270【解析】根据所给数据可得:鲤鱼:1000×31%=310(尾);鲫鱼:1000×42%=420(尾);鲢鱼:1000–310–420=270(尾).故答案为:310;420;270.5.【答案】(1)0.06;(2)36件【解析】(1)抽查总体数m=50+100+200+300+400+500=1550,次品件数n=0+4+16+19+24+30=93,P(抽到次品)=931550=0.06.(2)根据(1)的结论:P(抽到次品)=0.06,则600×0.06=36(件).答:至少准备36件正品衬衣供顾客调换.6.【答案】(1)7;70%;(2)2502;50.04%;(3)抛掷总次数;1【解析】(1)从表中可知,当抛完10次时正面出现3次,正面出现的频率为30%,那么,小明抛完 10次时,得到7次反面,反面出现的频率是710=0.7=70%; (2)当他抛完5000次时,反面出现的次数是5000–2498=2502,反面出现的频率是2502÷5000=0.5004=50.04%;(3)通过上面我们可以知道,正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数,正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1.1.【答案】C【解析】A 、必然事件发生的概率是1,正确;B 、通过大量重复试验,可以用频率估计概率,正确;C 、概率很小的事件也有可能发生,故错误;D 、投一枚图钉,“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得,正确,故选C .2.【答案】C【解析】观察表格发现:随着实验次数的增加,正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近,所以抛掷硬币的次数为1000,则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次,故选C .3.【答案】D【解析】样本中身高不低于180cm 的频率==0.15,所以估计他的身高不低于180cm 的概率是0.15.故选D .4.【答案】【解析】概率是大量重复试验的情况下,频率的稳定值可以作为概率的估计值,即次数越多的频率越接近于概率,∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95.故答案为:0.95.5.【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近,故摸到白球的频率估计值为0.4;故答案为:0.4.6.【解析】(1)由折线统计图知“非常满意”9人,由扇形统计图知“非常满意”占15%,所以被调查学生总数为9÷15%=60(人),所以“满意”的人数为60–(9+21+3)=27(人);15100(2)如图:(3)所求概率为.=6927035。
25.3 用频率估计概率1.当试验的可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,一般用统计频率的方法来估计概率.2.会设计模拟试验,能应用模拟试验求概率.重点对利用频率估计概率的理解和应用.难点对利用频率估计概率的理解.一、情境引入某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下:投篮次数n 8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率错误!(1)(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少?解答:(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7;(2)0.75.二、自主探究利用频率估计概率1.试验要求:(1)把全班分成10或12组,每组中有一名学生投掷硬币,另一名同学做记录,其余同学观察试验,计算结果,各组必须在同样条件下进行.(2)明确任务,每组掷币50次,认真统计“正面朝上”的频数,算出“正面朝上”的频率,整理试验的数据,并记录下来.2.各组汇报试验结果:把各组试验数据汇报给教师,教师积累后填入表格,板书,学生计算出累加后的频率.(由于试验次数较小,有可能有些组的最后结果和自己的猜想有出入)3.根据列表填在教材第142页图中,观察频率变化情况,小组交流后阐述所得结论.4.思考:教材第143页“思考”.5.问题1:教材第144页问题1.分析:幼树的成活率是实际问题中的概率,在这个实验过程中,移植总数无限,每一棵小苗成活的可能性不相等,所以不能用列举法求概率,只能用频率估计概率.解:教师引导学生完成方法总结:(1)先计算出每次试验的频率;(2)观察频率活动情况,选择最接近且围绕波动的频率数作为概率.用频率估计概率的应用教材第145页问题2分析:学生阅读表25-6提供的信息:(1)估测出损坏率.(实质也是概率问题)(2)算出完好柑橘的质量.(3)计算出实际成本,再确定定价.三、巩固练习教材第147页练习.四、课堂小结(1)利用频率估计概率,建立在大量重复试验的基础上.(2)利用频率估计概率,得到的概率是近似值.五、作业布置教材第147~148页习题1,2,5.。
25.3用频率估计概率一、基本目标【知识与技能】1.掌握用随机事件的频率估计事件发生的概率的方法.2.掌握设计试验来估计比较复杂的随机事件发生的概率,并灵活运用概率的有关知识解决实际问题.【过程与方法】经历“猜想——试验——收集数据——分析结果”的探索过程,丰富对随机现象的体验,体会概率是描述不确定现象规律的数学模型,理解频率与概率的关系.【情感态度与价值观】通过分组合作学习,积累数学活动经验,发展合作交流的意识与能力,逐步建立正确的随机观念,体验数学的价值与学习的乐趣,渗透辩证思想教育.二、重难点目标【教学重点】理解用频率估计概率的条件与方法.【教学难点】设计试验来估计比较复杂的随机事件发生的概率.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P142~P146的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.抛掷一枚质地均匀的硬币时,“正面向上”和“反面向上”发生的可能性__相等__,这两个随机事件发生的概率都是__0.5__.通过试验可以发现,在重复抛掷一枚硬币时,“正面向上”的频率在__0.5__附近摆动.一般地,随着抛掷次数的增加,频率呈现一定的__稳定__性:在__0.5__附近摆动的幅度会越来越__小__.2.教材P143“思考”的答案是“正面向上”的频率呈现出稳定性,稳定于__0.5__.3.用频率估计概率时必须做足够的试验才能使频率__稳定于__概率,并且每项试验必须在__相同条件__下进行,试验次数越__多__,得到的频率值就越接近概率,规律就越明显,此时可以用频率的__稳定值__估计事件发生的概率.环节2合作探究,解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验,统计发芽种子数,获得如下频数表.试验种子n(粒)1550100200500100020003000 发芽频数m 14459218847695119002850发芽频率mn10.800.900.920.940.9520.951 a b(1)计算表中a、b的值;(2)估计该麦种的发芽概率;(3)如果该麦种发芽后,只有87%的麦芽可以成活,现有100 kg麦种,则有多少千克的麦种可以成活为秧苗?【互动探索】(引发学生思考)计算出发芽频率,然后利用频率估计概率,用频率估计概率的条件是什么?【解答】(1)a=1900÷2000=0.95,b=2850÷3000=0.95.(2)观察发现,随着大量重复试验,发芽频率逐渐稳定到常数0.95附近,所以该麦种的发芽概率约为0.95.(3)100×0.95×87%=82.65(千克),故有82.65千克的麦种可以成活为秧苗.【互动总结】(学生总结,老师点评)在大量重复试验中,如果某个事件发生的频率呈现稳定性,此时可以用频率的稳定值估计事件发生的概率.【活动2】巩固练习(学生独学)1.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有60个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同.小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45,则口袋中白色球的个数很可能是(B)A.12B.24C.36D.482.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40只,这些球除颜色外其余完全相同.小颖做摸球试验,搅匀后,她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后,再把球放回盒子中,不断重复上述过程,下表是试验中的一组统计数据:摸球的次数n 10020030050080010003000 摸到白球的次数m 651241783024815991803摸到白球的频率mn0.650.620.5930.6040.6010.5990.601(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近__0.6__;(精确到0.1)(2)若从盒子里随机摸出一只球,则摸到白球的概率的估计值为__0.6__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】均匀的正四面体的各面依次标有1、2、3、4四个数字.小明做了60次投掷试验,结果统计如下:朝下数字123 4出现的次数16201410(1)上述试验中“4朝下”的频率是__________;(2)“根据试验结果,投掷一次正四面体,出现2朝下的概率是13”的说法正确吗?(3)随机投掷正四面体两次,请用列表或画树状图法,求两次朝下的数字之和大于4的概率.【互动探索】(引发学生思考)结合频率和概率的相关知识,频率和概率有什么区别?(2)问中的说法正确吗?【解答】(1)1 6(2)这种说法是错误的.在60次试验中,“2朝下”的频率为13并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为13.只有当试验的总次数很大时,事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近.(3)列表如下:第一次第二次123 4 1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4) 由表可知,总共有16种结果,每种结果出现的可能性相同.两次朝下数字之和大于4的结果有10种,故P(两次朝下数字之和大于4)=1016=58.【互动总结】(学生总结,老师点评)试验得出的频率只是概率的近似值,试验次数越多,频率越趋向于概率.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十五章25.3用频率估计概率教案《25.3 用频率估计概率》教学设计一、内容和内容解析:1、内容用频率估计概率2、内容解析“用频率估计概率”是“概率初步”这一章的第三节,是在学生初步了解概率的意义及会用概率的古典定义求一些简单等可能事件的概率之后对概率的进一步研究.教材这样编排其主要意图有三:1、遵从概率的产生及发展规律,历史上概率(指客观概率)的定义经历了三个阶段:①概率的古典定义;②概率的统计定义;③概率的公理化定义. 2、符合学生的认知规律概率的古典定义相对简单,所涉事件的概率有确定的结果,学生易于接受,而概率的统计定义其内涵更为深刻. 3、相对于概率的古典定义,用频率估计概率的方法更具一般性与普遍性,它不受列举法求概率两个条件的限制,适用范围更广.它突破了对随机事件发生结果的等可能性与有限性的限制,揭示了偶然性中蕴含的必然规律. “频率稳定性”是概率统计定义的核心,相比古典定义“用频率估计概率”更具普遍性,它是求概率达成目标(3)的标志是:了解数学知识的发展史,对试验中的每一个数据的收集能注意要求,严谨认真。
三、教学问题诊断分析1、由于学生初学概率,且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件,对于一些结果不是等可能的随机事件会依然采取列举法,这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件把握不够,对事件发生的可能性大小分析不透彻所致.2、频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小,但频率本身是随机的,在试验前不能确定,无法从根本上刻画事件发生可能性的大小,只有在大量重复试验的条件下,可以近似地作为这个事件的概率. 概率是巨大数据统计后得出的结论,是一种大的整体趋势,是频率在理论上的期望值,它是一个确定的常数,是客观存在的,与试验次数无关.频率与概率是从量变到质变,是对立统一的. 对于初学者,对两者关系的理解,还需要一个循序渐进的过程.因此本节课的教学重难点如下:教学重点:通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.教学难点:对大量重复试验得到频率的稳定值的分析。