点的轨迹问题--杨华

课时：2课时教学目标：1. 知识目标：理解轨迹问题的基本概念，掌握解决轨迹问题的方法。

2. 能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学思维能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

教学重点：1. 轨迹问题的基本概念和解决方法。

2. 分析和解决轨迹问题的能力。

教学难点：1. 轨迹问题的多样性和复杂性。

2. 对轨迹问题的综合分析和解决。

教学过程：一、导入1. 复习直线方程、圆方程等基本知识，为轨迹问题打下基础。

2. 引入轨迹问题，展示几个简单的轨迹问题实例，激发学生的学习兴趣。

二、新课讲解1. 讲解轨迹问题的基本概念，包括定义、分类和特点。

2. 介绍解决轨迹问题的方法，如解析法、几何法等。

3. 结合实例，讲解如何分析轨迹问题的条件和要求，以及如何运用解决方法。

三、课堂练习1. 分组讨论，让学生自主解决几个简单的轨迹问题。

2. 教师巡视指导，解答学生在解题过程中遇到的问题。

3. 对学生的解题过程进行点评，强调解题思路和方法。

四、课堂小结1. 总结轨迹问题的基本概念、解决方法和注意事项。

2. 强调在解决轨迹问题时，要注重分析问题和综合运用知识。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 查阅资料，了解轨迹问题的应用和拓展。

教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作精神等。

2. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量和数量。

3. 课后反馈：了解学生对轨迹问题的掌握程度，以及对教学方法的意见和建议。

教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和内容。

2. 注重培养学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力。

3. 结合实际，拓展轨迹问题的应用，提高学生的综合素质。

思路探寻求动点的轨迹方程问题经常出现在解析几何试题中，这类问题侧重于考查同学们的推理、分析以及运算能力.求解这类问题的主要方法有定义法、参数法、相关点法和交轨法.下面结合实例，谈一谈这四种方法的特点以及应用技巧.一、定义法定义法是指运用圆锥曲线的定义解题.若发现动点的轨迹形如椭圆、圆、双曲线、抛物线或其中的一部分曲线，就可以根据椭圆、圆、双曲线、抛物线的定义，确定定点、焦点、焦点与动点之间的关系，求得椭圆、圆、双曲线、抛物线方程中的各个参数，便可以快速确定曲线的轨迹方程.例1.如图1所示，已知圆C1：x2+（y+4）2=25和圆C2：x2+（y-4）2=1，某动圆C分别与圆C1和圆C2外切，求动圆圆心C的轨迹方程.图1解：由题意知两圆的圆心为C1(0,-4)，C2(0,4)，半径为r1=5，r2=1，设动圆C的半径为r，因为圆C分别与圆C1和圆C2外切，所以||CC1=r+5，||CC2=r+1，所以||CC1-||CC2=4<8，即点C到两定点C1、C2的距离之差为常数4，所以动圆圆心C的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的上支，可得2a=4，2c=||C1C2=8，所以b2=c2-a2=12.所以动圆圆心C的轨迹方程是y24-x212=1(y≥2).结合图形分析动圆C与圆C1、圆C2的位置关系，即可发现||CC1=r+5，||CC2=r+1，即可得出||CC1-||CC2=4<8，由此可联想到双曲线的定义，即平面内到两定点的距离之差为定值的点的轨迹，确定动点的轨迹，求得a、b、c值，即可求得动点的轨迹方程.二、参数法参数法是解答数学问题的重要方法.若动点受某些变量的影响，而我们又无法确定这些变量的取值，则需运用参数法，即用参数表示出变量，设出直线的斜率、点的坐标、曲线的方程等，然后将其代入题设中，建立关系式，通过恒等变换消去参数，即可求得动点的轨迹方程.例2.已知抛物线y2=4px(p>0)的顶点为O，A,B是抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.解：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b，因为OA⊥OB，所以k=-xy，由ìíîy2=4px，y=kx+b，得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0，所以x1x2=-b2k2，y1y2=-4pb k，因为OA⊥OB，所以y1y2=-x1x2，所以-4pbk=-b2k2，即b=-4kp，所以直线AB的方程为y=kx+b=k(x-4p)，将k=-xy代入，得x2+y2-4px=0(x≠0)，即所求点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0).解答本题主要运用了参数法，即先引入参数x、y，49k 、b 、x 1、x 2、y 1、y 2，设出动点M 的坐标、直线AB 的方程以及A 、B 两点的坐标；然后将直线与抛物线的方程联立，根据一元二次方程的根与系数的关系建立关系式；最后通过恒等变换消去参数，得到关于x 、y 的方程，即为动点的轨迹方程.三、相关点法若两个动点之间存在某种特定的关系，则可以采用相关点法求解.先分别设出两个动点的坐标，并根据二者之间的关系，用所求动点的坐标表示另一个动点的坐标；然后根据另一个动点的几何关系，建立关于所求动点坐标的关系式，从而求得动点的轨迹方程.运用相关点法解题，要注意寻找两个动点之间的联系，并确定另一个动点所满足的几何关系.例3.如图2所示，在圆x 2+y 2=4上任意选取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD中点M 的轨迹方程.图2解：设点M (x ,y )，P (x 0,y 0)，因为M 为线段PD 的中点，所以ìíîïïx =x 0，y =y 02，得{x 0=x ，y 0=2y ，又因为点P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=4上，所以x 02+y 02=4，将{x 0=x ，y 0=2y ，代入上述方程中，得x 24+y 2=1，所以点M 的轨迹为一个椭圆，其方程为x 24+y 2=1.本题中P 、M 均为动点，且点M 随着点P 的运动而变化，需采用相关点法求解，先分别设出P 、M 两点的坐标；然后用M 点的坐标表示P 的坐标；再将其代入点P 的轨迹方程，即可确定点M 的轨迹及其方程.四、交轨法当问题中所求的动点为两条动曲线的交点时，往往需采用交轨法，即将两条动曲线的方程联立，消去其中的参数，得到的关于x 、y 的方程即为所求的动点的轨迹方程.例4.如图3所示，已知双曲线C ：y 24-x 23=1与y轴交于点A 1(0,-2)与点A 2(0,2)，直线l ：y =m 与双曲线交于点P ,Q ，直线A 1P 与直线A 2Q 相交于点M ，试求点M 的轨迹方程.图3解：设P (x 1,m )，Q (-x 1,m )，M (x ,y )，因为点P 在双曲线上，所以m 24-x 123=1.当x 1≠0时，直线PA 1的方程为y +2=m +2x 1x ，直线QA 2的方程为y -2=2-m x 1x，可得y 2-4=4-m 2x 12x 2，所以x 12=3m 2-124，将其代入y 2-4=4-m 2x 12x 2，得y 2-4=-43x 2，化简整理得y 24+x 23=1.当x 1=0时，点M 的坐标满足方程y 24+x 23=1.综上所述，点M 的轨迹方程为y 24+x 23=1.仔细分析题意可知，M 为直线A 1P 与直线A 2Q 的交点，且点A 1、A 2、P 、Q 都满足双曲线的方程，于是采用交轨法，求得两动直线A 1P 与A 2Q 的方程，再将两方程联立，消去参数，即可求出交点M 的轨迹方程.总之，求动点的轨迹方程，关键是要根据题目中的几何条件，寻找动点的横坐标与纵坐标之间的关系，建立关于动点的横坐标与纵坐标的方程.求动点的轨迹方程的方法很多，同学们需熟练掌握一些常用方法的特点、适用情形、解题思路，才能将其灵活地应用于解题中.（作者单位：江苏省南通市海门实验学校）思路探寻50。

教学目标：1. 知识与能力：理解轨迹问题的概念，掌握轨迹问题的解题方法，能够解决简单的轨迹问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队协作精神和自主学习能力。

教学重难点：1. 教学重点：轨迹问题的概念、解题方法。

2. 教学难点：轨迹问题的实际应用和解题技巧。

教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、轨迹问题相关习题。

2. 学生准备：笔记本、笔。

教学过程：一、导入新课1. 教师通过展示一些生活中的轨迹问题，引导学生思考什么是轨迹问题。

2. 学生结合生活实际，举例说明轨迹问题的现象。

二、新课讲授1. 教师讲解轨迹问题的概念，强调轨迹问题在数学中的重要性。

2. 教师通过实例，展示轨迹问题的解题方法，如：几何法、代数法等。

3. 学生跟随教师一起分析轨迹问题的解题步骤，并尝试解决一些简单的轨迹问题。

三、课堂练习1. 教师布置一些轨迹问题的习题，让学生独立完成。

2. 学生在完成习题的过程中，教师巡视指导，解答学生的疑问。

3. 学生展示解题过程，教师点评并总结。

四、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，强调轨迹问题的概念和解题方法。

2. 学生总结自己在解题过程中的收获和不足。

五、布置作业1. 教师布置一些与轨迹问题相关的课后作业，巩固所学知识。

2. 学生完成作业，教师批改并给予反馈。

教学反思：1. 教师在授课过程中，要注意引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的自主学习能力。

2. 教师要注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从不同角度分析问题。

3. 教师在讲解轨迹问题的解题方法时，要结合实际案例，让学生更好地理解知识。

4. 教师要关注学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。

到两点距离之和为定值的点的轨迹到两点距离之和为定值的点的轨迹1. 引言在数学中，我们常常研究各种几何问题，其中一个有趣的问题是求解到两点距离之和为定值的点的轨迹。

这个问题在几何学以及实际应用中都有重要的意义。

本文将对这个问题进行深入探讨，希望能从不同角度展示这个主题，让读者更全面地理解。

2. 点的距离公式在解决这个问题之前，我们首先来回顾一下两点之间的距离公式。

设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则点A到点B的距离可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)这个公式表示了两点之间的直线距离，是我们解决问题所依赖的基本工具。

3. 问题描述接下来，我们正式描述一下问题。

给定平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，以及一个定值d，我们要求解到点A和点B的距离之和为d的点的轨迹。

我们要找到所有满足下列条件的点P(x, y)：d = √((x - x1)^2 + (y - y1)^2) + √((x - x2)^2 + (y - y2)^2)这个问题看似简单，实际上涉及了曲线的性质和几何关系，需要我们通过分析和推理才能得出解。

4. 探索轨迹形状为了更好地理解问题，我们可以从简单的情况开始探索。

假设A和B 的距离为d，则P点必须位于以A和B为焦点的椭圆上。

根据椭圆的定义，该椭圆上的每个点到A和B的距离之和都等于d。

我们已经找到了一部分轨迹。

接下来，让我们考虑一些特殊情况。

如果A和B重合，那么任何满足条件的点都是轨迹的一部分，即所有到A的距离为d/2的点构成了一个以A为圆心、半径为d/2的圆。

如果A和B之间的距离等于d/2，那么轨迹将是一条直线，这条直线上的每个点到A和B的距离之和都等于d。

这是因为两点之间的距离恰好与到两边点的距离之和相等。

5. 利用方程求解轨迹除了简单情况外，我们还可以通过数学方法求解此问题。

我们将展示一种以代数方式表示轨迹的方法。

求点的轨迹的例题例 已知关于t 的一元二次方程)R ,(,0)(2)2(2∈=-++++y x i y x xy t i t(1)当方程有实根时，求点),(y x 的轨迹方程．（2)求方程的实根的取值范围．思路分析 （1)本题方程中有y x t 、、三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而结论是要求动点),(y x 的轨迹方程,联想到解析几何知识，求),(y x 的轨迹方程就是求关于y x 、的方程,于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t ，问题得解（2）由上面解答过程中的②知0=+-t y x 可看作一条直线,由③知2)1()1(22=++-y x 是一个圆，因此求实根t 的范围可转化为直线与圆有公共点的问题．解答（1）设实根为t ,则0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t即0)()22(2=-++++i y x t xy t t根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++)2(0)1(0222 y x t xy t t 由（2）得x y t -=代入（1）得02)(2)(2=+-+-xy x y x y 即2)1()1(22=++-y x (3)∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ，轨迹是以（1,－1）为圆心，2为半径的圆． （2）由（3)得圆心为（1,－1）,半径2=r ， 直线与圆有公共点，则22)1(1≤+--t,即2+t∴02≤-t，4≤≤故方程的实根的取值范围为[]0,4-．思维诊断此题涉及到复数与解析几何的知识,综合性较强，学生往往不易入手，审题不到位，且有畏惧心理，是思维受阻的主要因素，在第（2）题求实根的取值范围时还可由（1）（2)消去y建立关于实数x的二次方程，用判别式∆求出t的范围．同时通过本题，同学们要进一步认识,把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数与方程问题惯用的手法，要切实掌握好．。

求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是高中数学中一个重要的话题，不仅是对数学知识综合运用的考验，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的一个重要环节。

在学习求轨迹方程的过程中，学生需要掌握一定的方法和技巧，同时要注意对不同类型的题目进行分类和分析，以便能够正确地找到轨迹方程。

一、思路和方法求轨迹方程的基本思路是根据给定的条件，建立方程，然后通过逻辑推理和代数计算，最终得到表达轨迹的方程。

在具体进行求解的过程中，我们可以采用以下几种方法：1. 笛卡尔坐标系法在求轨迹方程的过程中，我们常常需要用到二维平面坐标系。

通过设定坐标轴，建立直角坐标系，将问题中的各个点的坐标表示成(x,y)，然后根据给定条件进行分析，建立方程，最终得到轨迹方程。

2. 参数法有时候通过引入参数，可以简化问题的解决过程。

我们可以设一个参数t，用其作为辅助变量，来表达轨迹上各点的位置关系。

通过对参数的变化范围和步骤进行分析，最终得到轨迹方程。

3. 抽象化方法对于一些复杂的问题，我们可以通过抽象化的方法来求解轨迹方程。

将问题转化成一个更加简单的形式，然后进行分析和计算，最终得到轨迹方程。

二、对应的题型在求轨迹方程的过程中，我们会遇到各种各样的题目，不同的题目需要采用不同的方法和技巧进行求解。

下面列举一些常见的求轨迹方程的题型：1. 直线的轨迹方程有时候给定直线上的一个点和直线的方向向量，我们需要求直线的轨迹方程。

这时可以通过点斜式或者两点式求解。

给定圆心和半径，求圆的轨迹方程。

可以通过圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²来求解。

有时候会给定一组参数方程，我们需要求这些参数方程表示的轨迹方程。

可以通过把参数方程组合起来，得到关于自变量的函数表达式，最终得到轨迹方程。

第二篇示例：求轨迹方程是一种常见的数学问题，涉及到解析几何和函数方程的知识。

在数学学习中，经常会遇到求轨迹方程的题目，需要运用相关的方法和思路来解决。

轨迹问题专题一.综述(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M （x ,y ）的坐标.⒉写出点M 的集合(几何关系）.⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f (x ,y )=0,化简方程为最简形式.4.检验特殊点,进行必要的文字说明.(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲 破解规律例1. 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明为定值，并写出点E 的轨迹方程.分析: 题目中要求证明为定值,容易知道, E 的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.222150x y x ++-=EA EB +EA EB+点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简即可.(2)定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.(3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现学现用1:如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程.例2. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹的方程；规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点N 、M ,且点N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而M 的运动是由N 的运动而引发的，这样的题目可采用相关点法求动点M 的轨迹方程.基本方法是设M 的坐标,再反解出N 的坐标,然后带入N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.现学现用2: 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 做x 轴ABCD ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D --,AM AD DN DC λλ==[]0,1,AN λ∈BM Q Q P P x y P AB B ()6,5A ()()221:434C x y -+-=AB P 2C 2212x y +=的垂线，垂足为N ，点P 满足.求点P 的轨迹方程；例3: 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.点评:本题考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系、轨迹求法规律总结: 当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x 、y 与某一变量(或多个)的关系,再消去参变量,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法现学现用3: 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时， 的内心的轨迹方程为__________．三.课堂练习 强化技巧 2NP NM =C 22y x =F x 12,l l C A B ，C P Q ，F AB R PQ AR FQ ∥PQF △ABF △AB 12,F F 22:143x y C +=P C 12PF F ∆I1. 已知|| =3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点， ，则点P 的轨迹方程为( )．A .B .C .D .2. 若动圆与圆和圆都外切，则动圆的圆心的轨迹（ ） A . 是椭圆 B . 是一条直线 C . 是双曲线的一支 D . 与的值有关3. 已知直线过抛物线： 的焦点， 与交于， 两点，过点， 分别作的切线，且交于点，则点的轨迹方程为________.四.课后作业 巩固内化1. 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称， 为原点，若为的中点，且，则点的轨迹方程为__________．2. 已知A(1,14),B(−1,14)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是12，则点M 的轨迹C 的方程是___________．3. ．点P 是圆C:(x +2)2+y 2=4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是___． AB 12OP OA OB 33=+22y x 14+=22x y 14+=22x y 19+=22y x 19+=P ()22:21M x y ++=()()22:314N x y λλ++=≤≤P λl C 24y x =l C A B A B C P P (),P x y x y A B Q P y O P AB 1OQ AB ⋅=P4. 如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分即为，区域中动点到的距离之积为1.求点的轨迹的方程；5. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为.求动圆的圆心点的轨迹方程；6. 在平面直角坐标系中，设动点到两定点， 的距离的比值为的轨迹为曲线．求曲线的方程；7. 已知动点E 到点A 与点B 的直线斜率之积为，点E 的轨迹为曲线C ．求C 的方程；8. 平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点.求点的轨迹方程；9. 设M,N,T 是椭圆x 216+y 212=1上三个点，M,N 在直线x =8上的射影分别为xOy 1:l y x =2:l y x =-W W (),P x y 12,l l PC G ()4,0F y 8G G xOy P ()2,0M -()1,0N 2C C ()2,0()2,0-14-xOy 222150x y x ++-=M ()1,0N T M TN TM P PM1,N1．（1）若直线MN过原点O，直线MT,NT斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值；（2）若M,N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为(3,0)，ΔM1N1L与ΔMNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．10. 已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A在椭圆Γ上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：1OA2+1OB2为定值；（3）设点C在椭圆Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数√3，求动点D 的轨迹方程．轨迹问题专题答案一.综述(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M （x ,y ）的坐标.⒉写出点M 的集合(几何关系）.⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f (x ,y )=0,化简方程为最简形式.4.检验特殊点,进行必要的文字说明.(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲 破解规律例1. 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明为定值，并写出点E 的轨迹方程.分析: 题目中要求证明为定值,容易知道, E 的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.222150x y x ++-=EA EB +EA EB +答案:（） 解析:因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （）. 点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简即可.(2)定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.(3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现学现用1:如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程.13422=+y x 0≠y ||||AC AD =AC EB //ADC ACD EBD ∠=∠=∠||||ED EB =||||||||||AD ED EA EB EA =+=+A 16)1(22=++y x 4||=AD 4||||=+EB EA )0,1(-A )0,1(B 2||=AB E 13422=+y x 0≠y ABCD ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D --,AM AD DN DC λλ==[]0,1,AN λ∈BM Q Q P P x y P解析：设，由,求得, ∵,∴, ∴，整理得. 可知点的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为. 例2. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹的方程；分析：设点的坐标为，点的坐标为，根据点坐标，和点是线段的中点，得， ，再由点在圆上运动，求得点的轨迹方程，进而可求得点的轨迹的方程；答案:解析：设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为， 且点是线段的中点，所以， 于是有， ①因为点在圆上运动，所以点的坐标满足的方程 即： ②把①代入②，得整理，得所以点的轨迹的方程为.(),Q x y ,AM AD DN DC λλ==()()2,2,42,2M N λλ--1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭1224y y x x ⋅=-+-()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤Q 14P 2214x y +=AB B ()6,5A ()()221:434C x y -+-=AB P 2C P (),x y A ()00,x y B P AB 026x x =-025y y =-A 1C A P 2C ()()22541x y -+-=P (),x y A ()00,x y B ()6,5P AB 062x x +=052y y +=026x x =-025y y =-A 1C A 1C ()()22434x y -+-=()()2200434x y -+-=()()222642534x y --+--=()()22541x y -+-=P 2C ()()22541x y -+-=规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点N 、M ,且点N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而M 的运动是由N 的运动而引发的，这样的题目可采用相关点法求动点M 的轨迹方程.基本方法是设M 的坐标,再反解出N 的坐标,然后带入N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.现学现用2: 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足.求点P 的轨迹方程；解析:设，，即 代入椭圆方程，得到 ∴点的轨迹方程。