山东省潍坊市高三数学一模试卷 文(含解析)

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π2．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．162B ．15C ．3D ．833．已知集合{|lg }M x y x ==，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2]B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)4．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D ．2048327π 5．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A 5B 30C 6D 256．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．127．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A ．2B ．2C ．10D ．109．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则下述四个结论：①3ω=②4πϕ=③262f π⎛⎫=⎪⎝⎭④点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．32363π+ B ．836πC 323163π+D ．16833π11．函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．312．设点(,0)A t ，P 为曲线xy e =上动点，若点A ，P 间距离的最小值为6，则实数t 的值为（ ） A ．5B ．52C ．ln 222+D ．ln 322+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 设与为两个正四棱锥，正方形ABCD 的边长为且，点M 在线段AC上，且，将异面直线PD ，QM所成的角记为，则的最小值为（ ）A．B．C．D．2.已知，则的值等于A．B．C．D ．±3. 已知函数，对任意，都有，若在上的值域为，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（ ）A ．64B ．16C ．8D ．45. 已知正三角形的顶点在抛物线上，另一个顶点，则这样的正三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.在等比数列中，，则（ ）A ．-4B ．8C ．-16D ．167.若，则A．B．C．D．8. 设m ，n 是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（ ）A ．当时，“”是“”的充分不必要条件B ．当时，“”是“”的充分不必要条件C ．当时，“”是“”的必要不充分条件D ．当时，“”是“”的必要不充分条件9. 已知Р是圆上的动点，直线与交于点Q ，则（ ）A．B ．直线与圆O 相切C ．直线与圆O截得弦长为D．长最大值为10. 已知，函数，则下列区间一定包含的零点的是（ ）A．B．C．D．11. 已知数列，，有，，，则（ ）A ．若存在，，则B．若，则存在大于2的正整数n，使得C ．若，，且，则山东省潍坊市2022届高三一模统考（3月）数学试题(1)山东省潍坊市2022届高三一模统考（3月）数学试题(1)三、填空题四、解答题D ．若，，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列12.三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆的圆心在的欧拉线上，为坐标原点，点与点在圆上，且满足，则下列说法正确的是（ ）A ．圆的方程为B ．的方程为C ．圆上的点到的最大距离为D ．若点在圆上，则的取值范围是13. 在中，角的对边分别为，已知，，，则的最大值为_______.14. 某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为______15. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点是双曲线上的任意一点，满足，的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比_____________.16. 已知椭圆左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任一点，直线，、是直线上两点，、分别交椭圆于点、两点．(1)直线、的斜率分别为、，求的值；(2)若、、三点共线，，求实数的值；(3)若直线过椭圆右焦点，且，求面积的最小值.17.已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合;若不存在，请说明理由.18. 设等比数列，，，的公比为，等差数列，，，的公差为，且，.记.（1）求证：数列，，不是等差数列；（2）设，.若数列，，是等比数列，求关于的函数关系式及其定义域；（3）数列，，，能否为等比数列？并说明理由.19. 已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2.(1)求动点的轨迹方程；(2)设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标.20. 已知椭圆，其焦距为，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于不同两点，求证：直线与直线所成的较小角相等．21. 某校篮球社组织一场篮球赛，参赛队伍为甲､乙两队，比赛实行三局两胜制，已知甲队赢得每一局比赛的概率为p（）.(1)若最终甲队获胜的概率为，求乙队赢得每一局比赛的概率.(2)在（1）成立的情况下，在每一局比赛中，赢的队伍得2分，输的队伍得1分.用X 表示比赛结束时两支球队的得分总和，求随机变量x 的分布列和期望.。

潍坊市高考模拟考试文科数学本试卷共4页.满分150分.注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -5【答案】C3.已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A4.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C5.执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A. 0B.C. 0或D. 0或1【答案】C6.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，且，若点是角终边上一点，则（）A. -12B. -10C. -8D. -6【答案】D7.若函数的图象过点，则（）A. 点是的一个对称中心B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是【答案】D8.函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A9.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）A. B. 8 C. D.【答案】A10.已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（）A. B.C. D.【答案】B11.已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C12.定义：区间，，，的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为（）A. B. C. D.【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】[﹣3，3]14.的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，若，，，则的长为__________．【答案】115.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线及其准线依次相交于、、三点（其中在、之间且在第一象限），若，，则__________．【答案】216.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得；②翻折过程中，的长是定值；③若，则；④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.【答案】②④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.为等比数列的前项和，已知，，且公比.（1）求及；（2）是否存在常数，使得数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得列出关于和的方程组，解得，，根据通项公式和求和公式即可求出；（2）假设存在常数，使得数列是等比数列，分别令，2，3，根据等比数列的性质求出的值，再根据定义证明即可．【详解】解：（1）由题意得，解得，所以，.（2）假设存在常数，使得数列是等比数列，因为，，，又因为，所以，所以，此时，，则，故存在，使得数列是以为首项，公比为3的等比数列.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质与判断，等比数列的通项公式，属于中档题．18.如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，，为的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，推导出，，，从而平面，由此能证明；（2）推导出，从而，由此能求出三棱锥的体积．【详解】解：（1）过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）由（1）可知，，因为，，故，又因为，，所以，，因为平面，所以，故，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，对于三棱锥的体积主要采用等体积法，关键是找到几何体的高，是中档题．19.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；（2）该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点（横纵直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的平均数.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算出，，代入求出系数和，求出回归方程即可；（2）代入的值，求出的预报值，求平均数即可．【详解】解：（1）由题意得：，，，，所以，，所以.（2）由回归方程得：当时，，当时，，当时，，故平均数为：.所以一株产量的平均数为.【点睛】本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值以及平均数问题，考查了学生的计算能力，属于基础题．20.如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）这样的直线不存在.详见解析【解析】【分析】（1）设，，则，，且，通过，转化求解即可．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，则其充要条件为，则点Q 的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合点Q在曲线上，得到关于k的方程求解即可．【详解】（1）设，，则，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得，②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．21.已知函数，，.（1）当时，求的单调区间；（2）设，若，为函数的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，可得时，若，，单调递增；若，求出导函数的零点，根据导函数与0的关系可得原函数的单调性；（2）根据导数先得在R上单调递增，原题转化为证，根据和进一步转化为证，再由，得到证明，设，，化为证明，设，利用导数证明即可．【详解】解：（1），若，，，单调递增.若，由，解得，且，，单调递减，，，单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），故在上单调递增，即证：，也即证：，又，，所以，为方程的两根，即即证，即，而①-②得，即证：，不妨设，，则证：变形得，所以，，设，则，∴在单调递增，，即结论成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查利用导数求函数的最值以及导数与极值的关系，考查数学转化思想方法，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.22.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线与直线交点的极坐标（，）.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出极坐标系下的结果．【详解】（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为.（2）的普通方程为，联立，解得或，所以交点的极坐标为，.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）若，设，，且满足，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的最值，即可求出t的值，（2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．【详解】（1）由得，所以，即.（2）因为，由，知=，当且仅当，即时取等号.所以.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，属于基础题．。

试卷类型：A山东省潍坊市2020届高三毕业班一模试题数学试卷本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}2,4A =，{}B 30x N x =∈-≤，则A B =U A ．{}1,2,3,4B ．{}0,1,2,3,4C ．{}2D ．{}4x x ≤2．甲、乙、丙、丁各位同学各自对x ，y 两变量的线性相关性作试验，并用回分析方法分别求得相关系数r ，如下表：则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性? A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．在平面直角坐标系xOy 中，点P ，将向量OP uuu r 绕点O 按逆时针方向旋转2π后得到向量OQ uuu r，则点Q 的坐标是A ．(B ．(－C ．(D ．(－4．“a ＜1”是“210,x x a x+∀＞≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不允分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.函数sin ()x xx xf x e e--=+在[],ππ-上的图象大致为6．玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址．玉琮王通高8．8cm ，孔径4．9cm ，外径17．6cm ．琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像．兽面的两侧各浅浮雕鸟纹．器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm 3) A ．6250B ．3050C ．2850D ．23507．定义在R 上的偶函数()21x mf x -=-，记a =f (－ln3)，b =f (log 25)，c =f (2m )，则A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a8．如图，已知抛物线C ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，点0(,23)P x 0()2px ＞是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 相交于点Q ，与过焦点F 且垂直于对称轴的直线交于点A ，B ，AB PQ =，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M ，若3PF PQ =，则PQ FM=A ．1B ．3C．2 D二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9．已知双曲线222sin(,)42x yk k Zθθπ-=≠∈，则不因θ改变而变化的是A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程l0．下图是《2018年全国教育事业发展统计公报》中1949—2018年我国高中阶段在校生数条形图和毛入学率的折线图，根据下图可知在1949—2018年A ．1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高B ．从1990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高C ．2010年我国高中阶段住校生数和毛入学率均达到了最高峰D ．2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.91％，而毛入学率提高了0.5个百分点 11．已知函数f (x )对x R ∀∈，满足f (x )=－f (6－x )，f (x +1)=f (－x +1)，若f (a )=－f (2020)．[]5,9a ∈且f （x ）在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是 A ．f (3)=0B ．a =8C ．f (x )是周期为4的周期函数D ．y =f (x )的图象关于点(1，0)对称12．如图，点O 是正四面体P －ABC 底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则 A ．若MN ∥平面PAB ，则AB ∥RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=u u u r u u u r u u u rD ．111PQ PR PS++u u u r u u u r u u u r 是常数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知复数2a ii -+是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为___________________． 14．82()x的展开式中x 2项的系数是__________．(用数字作答)15．已知函数()sin()(0,f x A x A ωϕωϕπ=+＞＞0,0＜＜)是偶函数，将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y =g (x )．已知y =g (x )的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω=______________，若y =g (x )的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，则g (x )在[0，π]上的最大值为_____________．(本题第一空3分，第二空2分)16．定义函数f (x )=[x [x ]]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[1，3]=1，[－1．5]=－2，[2]=2．当*[0,)()x n n N ∈∈时，f (x )的值域为A n ．记集合A n 中元素的个数为a n ，则2020211i i a =-∑的值为_______________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m =(c －a ，sinB)，n =(b －a ，sinA+sinC)，且m ∥n ． (1)求C ；(2)33b a += ，求sinA ． 18．(12分)在①b 2n =2b n +1，②a 2=b 1+b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．知数列{}n a 中a 1=1，a n +1=3a n ．公差不等于0的等差数列{}n b 满足____________，_____________，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n ．注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分． 19．(12分)如图，在等腰直角三角形ADP 中，∠A=90°，AD=3，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且BC ∥AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点．现将△PBC 沿BC 折起，得到四棱锥P －ABCD ，连接EF ． (1)证明：EF ∥平面PAD ；(2)是否存在点B ，当将△PBC 沿BC 折起到PA ⊥AB 时，二面角P －CD －E 的余弦值等于15？若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由．20．(12分)研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(缩写为BMI)来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是22kg BMI m体重（单位：）身高（单位：）中国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18．5为偏瘦；18．5≤BMI ＜24为正常；BMI ≥24为偏胖．为了解某社区成年人的身体肥胖情况，研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的45名男性、45名女性为样本，测量了他们的身高和体重数据，计算得到他们的BMI 值后数据分布如下表所示：BMI 标准老年人中年人青年人男女 男 女 男 女 BMI ＜18．5 3 3 1 2 4 5 18．5≤BMI ＜245 7 5 7 8 10 BMI ≥245410542(I)从样本中的老年人、中年人、青年人中各任取一人，求至少有1人偏胖的概率；(2)从该社区所有的成年人中，随机选取3人，记其中偏胖的人数为X．根据样本数据，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；(3)经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯、体育锻炼或其他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因，整理数据得到如下表：请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说明2条措施．21．(12分)直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆C ：22221x y a b+= (a＞b ＞0)的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P 为椭圆C 上的动点(点P 与C 的左右顶点不重合)，当△PF 1F 2为等边三角形时，123PF F S =V ． (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线x =－4于点D ，过点O 作OE ∥AP 交直线x =－4于点E ．证明：∠OEF 1=∠ODF 1． 22．(12分)已知函数f (x )=2ln x －x 2，()a g x x x=+． (1)设函数f (x )与g (x )有相同的极值点． (i)求实数a 的值；(ii)若对1x ∀，21[,3]x e ∈，不等式12()()11f xg x k --≤恒成立，求实数k 的取值范围．(2)a =0时，设函数h (x )=e g (x )－sin(g (x ))－1试判断h (x )在(－π，0)上零点的个数．高三数学参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1—4 BDDA5—8 ADCB二、多项选择题(每小题5分，共20分) 9．BD10．AD11．AB12．ABD三、填空题(每小题5分，共20分)13．1214．11215．116．20191010四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．解：(1)因为m ∥n ，所以(c －a )(sinA+sinC)=(b －a )sinB ，…………………………………………2分 由正弦定理得(c －a )(a +c )=(b －a )b ， 所以a 2+b 2－c 2=ab ，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 因为(0,)C π∈，故3C π=．…………………………………………………………5分(2)由(1)知23B A π=-23sin()3sin 3C A A π+-=，即1cos sin sin 222A A A ++=，可得sin()32A π-=．……………………7分由于203A π＜＜，333A πππ-－＜＜，所以cos()32A π-=，故sin sin()33A A ππ=-+sin()cos cos()sin 3333A A ππππ=-+-4=．……………………………………………………… 10分18．解：因为a 1=1，a n +1=3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n =3n -1．………………………………………………………………………2分 选①②时，设数列{b n }公差为d ，因为a 2=3，所以b 1+b 2=3，…………………4分 因为b 2n =2b n +1，所以n =1时，b 2=2b 1+1，解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=．……………………………………………………7分 所以533n n n b n a -=． 12123122712533333n n n n b b b n S a a a -=++=++++...+ (i)所以2341127125853333333n n n n n S +--=++++…+ (ii)……………………………9分 (i)－(ii)，得：23122111535()333333n n n n S +-=+++-…+1125155336233n n n ++-=+--⋅ 13109223n n ++=-⋅…………………………………………11分 所以9109443n nn S +=-⋅．……………………………………12 选②③时，设数列{b n }公差为d ，因为a 2=3，所以b 1+b 2=3，即2b 1+d =3，…4分因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22=b l b 4，即(b 1+d )2=b 1(b 1+3d )，化简得d 2=b l d ，因为d ≠0，所以b 1=d ，从而d =b 1=1，所以b n =n ，………………………………7分 所以13n n n b n a -=， 120121121233333n n n n b b b nS a a a -=++=+++…++… (i) 所以123111231333333n n n n n S --=+++++… (ii)…………………………………9分(i)－(ii)，得：1231211111333333n n n n S -=++++-+… 31(1)233n n n =-- 323223nn +=-⋅，…………………………………………11分 所以1923443n n n S -+=-⋅．……………………………………12分 选①③时，设数列{b n }公差为d ，因为b 2n =2b n +1，所以n =1时，b 2=2b 1+1，所以d =b 1+1．又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22=b l b 4，即(b 1+d )2=b 1(b 1+3d )，化简得d 2=b 1d ，因为d ≠0，所以b 1=d ，从而无解，所以等差数列{b n }不存在，故不合题意． 19．(1)证明：方法1：作CM ∥AB 交AD 于点M ，连接PM ，取PM 中点N ，连接AN ，FN ，由中位线定理得FN ∥CM ，且FN=12CM ，…………………3分 因为E 是AB 的中点，所以AE ∥CM ，且AE=12C M ，故FN ∥AE ，且FN=AE ，所以四边形AEFN 是平行四边形，所以EF ∥AN ，因为AN ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ．……………………5分方法2：取CD 中点G ，连接EG ，FG ，因为E ，F分别是AB ，PC 的中点，所以FG ∥PD ，EG ∥AD ， …………………3分 因为FG ∩EG=G ，所以平面EFG ∥平面PAD ，因为EF ⊂平面EFG ，所以EF ∥平面PAD ．…………………………………5分 (2)解：存在．理由如下：因为BC ⊥AB ，BC ⊥PB ，且AB ∩PB=B ， 所以BC ⊥平面PAB ，又BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PAB ，所以PA ⊥AD ，…………………………………6分又因为AB ⊥AD ，PA ⊥AB ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=a ，则PB=BC=3－a ，由PB ＞AB 得0＜a ＜32，A(0，0，0)，C(a ，3－a ，0)，P(0，0，D(0，3，0)，………………………………………………………8分所以DC u u u r =(a ，－a ，0)，DP u u u r=(0，－3设平面PCD 的一个法向量为n =(x ，y ，z )，则030DC n ax ay DP n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u ur ，设y =1， 则n =(1，1，……………………………………………………………10分又平面CDE 的一个法向量m =(0，0，1)，依题意，有cos 5n m n m n m⋅==＜，＞，所以5=，解得a =1，即AB 的长为1．故存在点B ，此时AB 的长为1．……………………………………………………12分 20．解：(1)设事件：“在老年人中任取1人，这个人恰好为偏胖的老年人”为A ，则P(A)=91273=；事件：“在中年人中任取1人，这个人恰好是偏胖的中年人”为B ，则P(B)= 151302=；事件：“在青年人中任取1人，这个人恰好是偏胖的青年人”为C,则P(C)= 623311=，事件A ，B ，C 互相独立，则至少有一人偏胖的概率为： 21981()1()()()1321111P ABC P A P B P C -=-=-⨯⨯=．……………………3分(2)由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2，3．………………………………………4分因为在该社区成年人中，随机选取1人，此人为偏胖的概率是301903=， 所以03318(0)(1)327P X C ==⨯-=，123114(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223122(2)()339P X C ==⨯⨯=，33311(3)()327P X C ==⨯=．…………………7分 所以随机变量X 的分布列为：故8()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………9分 (3)答案不唯一，言之有理即可．如可以从导致人偏胖的原因的人次来分析问题，参考答案如下：由表可知，因饮食习惯欠佳导致人偏胖的人次占比为30％；因缺乏体育锻炼导致人偏胖的人次占比约为40％．……………………………………………………………10分 所以为减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，建议我们至少要采取以下2种措施： ①加强体育锻炼；②改善饮食习惯．………………………………………………12分 21．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，因为△PF 1F 2是等边三角形，所以此时P 在上顶点或下顶点处， 所以a =2c ，所以bc =2分 又由a 2=b 2+c 2，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3，故椭圆的方程为22143x y +=．………………………………………………………4分 (2)由题意知A(2，0)，设AP 的中点M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，设直线AP 的方程为y =k (x －2)，(k ≠0)，将其代入椭圆方程整理得 (4k 2+3)x 2－16k 2x +16k 2－12=0，所以21216243k x k +=+，……………………………………6分所以202843k x k =+，0026(2)43ky k x k -=-=+ 即M 的坐标为22286()4343k kk k -++，， 从而22263438443OM k k k k k k -+==-+，…………………………………………………………8分 所以直线OM 的方程为34y x k =-，令x =－4，得D(－4，3k)，直线OE 的方程为y =kx ，令x =－4，得E(－4，－4k )， 方法一：由F 1(－1，0)，得14433EF k kk -==-， 所以1OM EF k k ⋅=－l ，即OM ⊥EF l ，记垂足为H ，…………………………………11分因为1313DF k k k==--，OE AP k k k == 所以OE ⊥DF 1，记垂足为G ，在直角三角形EHO 和直角三角形DGO 中，∠ODF 1和∠OEF 1都与∠EOD 互余， 所以∠ODF 1=∠OEF 1．……………………………………………………………12分方法二：因为3(4)D k-，，E(－4，－4k )，F 1(－1，0)，所以EO uuu r =(4，4k )，1EF u u u r =(3，4k )，DO u u u r =(4，3k-)，13(3,)DF k =-u u u u r ，所以221cos EO EF<>=u u u r u u u r，，221912cos,DO DF+<>==u u u u r u u u u r…………11分所以11cos,cosEO EF DO DF<>=<>u u u r u u u r u u u r u u u u r，11,,EO EF DO DF<>=<>u u u r u u u r u u u r u u u u r所以∠ODF1=∠OEF1．……………………………………………………………12分22．解：(1)(i)22(1)'()xf xx-=，由'()0f x=得x=1，x∈(0，1)时'()0f x＞，f(x)单调递增；x∈(1，+∞)时'()0f x＜，f(x)单调递减，故x=1为f(x)唯一的极大值点．由题意，x=1也是g(x)的极值点，2'()1ag xx=-，由g＇(1)=1－a=0得a=1，经检验x=1为g(x)的极小值点，所以a=1．……………………………………3分(ii)由(i)知，a=1，由于211()2fe e=--，f(1)=－1，f(3)=2ln3－9显然1(3)f f fe＜()＜(1)，故1[,3]xe∈时，min()2ln39f x=-，max()1f x=-，又11()g ee e=+，g(1)=2，110(3)333g=+=，故1(1)g g ge＜()＜(3)，所以1[,3]xe∈时min()2g x=，max10()3g x=．……………………………………5分①当k－1＞0，即k＞1时，问题等价于f(x1)－g(x2)≤k－1，即k≥f(x1)－g(x2)+1恒成立，即k≥[f(x1)－g(x2)]max+1，因为f(x1)－g(x2)+1≤－1－2+1=－2，所以k≥－2，故k＞1适合题意．②当k－1＜0，即k＜1时，问题等价于f(x1)－g(x2)≥k－1，即k≤f(x1)－g(x2)+1恒成立，即k≤[f(x1)－g(x2)]min+1，因为121034()()12ln 3912ln 333f x g x -+--+=-≥，所以342ln 33k -≤． 综上：342ln 33k -≤或k ＞1．…………………………………………………………8分 (2)方法一：a =0时，g (x )=x ，h (x )=e x －sin x －1，x ∈(－π，0)， h ＇(x )=e x －cos x ， 当x ∈(－π，－2π)时，h ＇(x )＞0，h (x )单调递增， h (－π)=e －π－1＜0，h (－2π)=2e π-＞0，故(,)2x ππ∈--存在唯一零点．…9分当(,0)2x π∈-时，设m (x )=h ＇(x )=e x －cos x ，m ＇(x )=e x +sin x 在(,0)2π-上单调递增，又4'()042m eππ--=- (因为e π＞e 3＞4，所以144442e e ππ-=＞＜) m ＇(0)=1＞0，故存在唯一0(,0)4x π∈-使m ＇(x 0)=0，即00sin 0x e x +=，当0(,)2x x π∈-时m ＇(x )＜0，m (x )单调递减，当0(,0)x x ∈时m ＇(x )＞0，m (x )单调递增．……………………………………10分 又2()2m eππ--=＞0，m (x 0)= 0000cos (sin cos )xe x x x -=-+＜0，m (0)=0，故存在唯一1(,0)2x π∈-，使m (x 1)=0，且1(,)2x x π∈-时m (x )＞0，h (x )单调递增，1(,0)x x ∈时m (x )＜0，h (x )单调递减．而2()2h eππ--=＞0，h (0)=0，故(,0)2x π∈-时没有零点．…………………11分综上，h (x )在(－π，0)上有1个零点．……………………………………………12分方法二：当a =0时，g (x )=x ，h (x )=e x －sin x －1，(,0)x π∈-， 令sin 1()1xx u x e +=-，(,0)x π∈-，则)1cos sin 14'()x xx x x u x e eπ+---==，……………………9分 令u ＇(x )=0，解得2x π=-，所以当(,)2x ππ∈--时，u ＇(x )＜0，u (x )单调递减，当(,0)2x π∈-时，u ＇(x )＞0，u (x )单调递增．…………………………………10分又u (－π)=e π－1＞0，u (2π-)=－1＜0，u (0)=0，所以u (x )在(－π，0)只有一个零点，...................................................11分 因此h (x )在(－π，0)只有一个零点． (12)。

2025届山东省潍坊市高三第一次调研测试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数f (x )＝21xx e -的图象大致为()A ．B ．C ．D ．2．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．83．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( )A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 4．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．5．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．786．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π7．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ） A ．2⎛ ⎝⎭B ．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．设函数()22cos 23sin cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()17,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m =（ ） A ．12B ．32C ．1D ．7210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23B ．25C ．28D ．2911．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年⼭东省潍坊市⾼考数学⼀模试卷（⼆）（有答案解析）2020年⼭东省潍坊市⾼考数学⼀模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. A∩B={x|x＞0}B. A∩B={x|x＞1}C. A∪B={x|x＞1}D. A∪B=R2.若复数z满⾜（1+i）z=|3+4i|，则z的虚部为（）A. 5B.C.D. -53.设α，β为两个不同平⾯，直线m?α，则“α∥β”是“m∥β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线⽅程为y=2x，则C的离⼼率为（）A. B. C. D.5.执⾏如图的程序框图，如果输出的y值为1，则输⼊的x的值为（）A. 0B. eC. 0或eD. 0或16.某校有1000⼈参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显⽰数学成绩优秀（⾼于120分）的⼈数占总⼈数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的⼈数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 4007.若函数f（x）=2sin（x+2θ）?cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），则（）A. 点（，0）是y=f（x）的⼀个对称中⼼B. 直线x=是y=f（x）的⼀条对称轴C. 函数y=f（x）的最⼩正周期是2πD. 函数y=f（x）的值域是[0，2]8.y=4cos x-e|x|图象可能是（）A. B.C. D.9.已知偶函数y=f（x），当x∈（-1，0）时，f（x）=2-x，若α，β为锐⾓三⾓形的两个内⾓，则（）A. f（sinα）＞f（sinβ）B. f（sinα）＞f（cosβ）C. f（cosα）＞f（cosβ）D. f（cosα）＞f（sinβ）10.已知不共线向量，夹⾓为α，||=1，||=2，=（1-t），=t（0≤t≤1），||在t=t0处取最⼩值，当0＜t0时，α的取值范围为（）A. （0，）B. （，）C. （，）D. （，π）11.如图所⽰，在著名的汉诺塔问题中，有三根⾼度相同的柱⼦和⼀些⼤⼩及颜⾊各不相同的圆盘，三根柱⼦分别为起始柱、辅助柱及⽬标柱．已知起始柱上套有n个圆盘，较⼤的圆盘都在较⼩的圆盘下⾯．现把圆盘从起始柱全部移到⽬标柱上，规则如下：每次只能移动⼀个圆盘，且每次移动后，每根柱上较⼤的圆盘不能放在较⼩的圆盘上⾯，规定⼀个圆盘从任⼀根柱上移动到另⼀根柱上为⼀次移动，若将n个圆盘从起始柱移动到⽬标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则p（4）=（）A. 33B. 31C. 17D. 1512.定义：区间[a，b]，（a，b]，（a，b），[a，b）的长度均为b﹣a，若不等式≥m（m≠0）的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则（）A. 当m＞0时，l＝B. 当m＞0时，l＝C. 当m＜0时，l＝﹣D. 当m＜0时，l＝﹣⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.若x，y满⾜约束条件，则z=x-2y的最⼤值是______．14.在等⽐数列{a n}中，a1=1，a5=8a2，S n为{a n}的前n项和．若S n=1023，则n=______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间且G在第⼀象限），若|GF|=4，|MN|=2|MF|，则p=______．16.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是______．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中，CN的长是定值；③若AB=BM，则AM⊥B1D；④若AB=BM=1，当三棱锥B1-AMD的体积最⼤时，三棱锥B1-AMD的外接球的表⾯积是4π．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.△ABC的内⾓A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin2-sin C=1，a=，b=4．（1）求⾓C的⼤⼩和BD的长；（2）设∠ACB的⾓平分线交BD于E，求△CED的⾯积．18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，∠BAA1=45°，平⾯AA1C1C⊥平⾯AA1B1B．（1）求证：AA1⊥BC；（2）若BB1=AB=2，直线BC与平⾯ABB1A1所成⾓为45°，D为CC1的中点，求⼆⾯⾓B1-A1D-C1的余弦值．19.如图，点T为圆O：x2+y2=1上⼀动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂⾜分别为A，B，连接BA延长⾄点P，使得=，点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的⽅程；（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|=1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平⾏四边形，若存在，求出直线l⽅程；若不存在，说明理由．20.某⽔果种植基地引进⼀种新⽔果品种，经研究发现该⽔果每株的产量y（单位：kg）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过lm），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：x01234y15121198（）求出该种⽔果每株的产量关于它“相近”株数的回归⽅程；（2）有⼀种植户准备种植该种⽔果500株且每株与它“相近”的株数都为m（m∈N*），计划收获后能全部售出，价格为10元/kg，如果收⼊（收⼊=产量x价格）不低于25000元，则m的最⼤值是多少？（3）该种植基地在如图所⽰的直⾓梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了⼀株该种⽔果，其中每个⼩正⽅形的边长和直⾓三⾓形的直⾓边长都为1m，已知该梯形地块周边⽆其他树⽊影响，若从所种的该⽔果中随机选取⼀株，试根据（1）中的回归⽅程预测它的产量的分布列与数学期望．附：回归⽅程=+x中斜率和截距的最⼩⼆乘法估计公式分别为：=，=-．21.已知函数f（x）=x lnx-ax-x（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=e mx+x2-mx（x＞0，m∈R），若存在x1≠x2，使f（x1）=f（x2），证明：g（x1?x2）＜g（e2a）．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建⽴的极坐标系中，直线l的极坐标⽅程为cos （）=-2．（1）求曲线C的普通⽅程和直线l的直⾓坐标⽅程；（2）求曲线C与直线l交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23.已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|的最⼤值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）=f（x）+2|x+1|，设m＞0，n＞0，且满⾜=t，求证：g（m+2）+g（2n）≥2．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A∪B={x|x＞0}．故选：B．可解出集合B，然后进⾏交集、并集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．2.答案：C解析：解：由（1+i）z=|3+4i|=，得z=，∴z的虚部为-．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，由于α，β表⽰两个不同的平⾯，l为α内的⼀条直线，由于“α∥β，则根据⾯⾯平⾏的性质定理可知，则必然α中任何⼀条直线平⾏于另⼀个平⾯，条件可以推出结论，反之不成⽴，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选：A．利⽤⾯⾯平⾏和线⾯平⾏的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断．主要是考查了空间中⾯⾯平⾏的性质定理的运⽤，属于基础题．4.答案：C解析：解：∵双曲线的渐近线⽅程为y=±，⼀条渐近线的⽅程为y=2x，∴=2，设b=t，a=2t则c==t∴离⼼率e==．故选：C．先根据双曲线的标准⽅程求得渐近线⽅程，根据其中⼀条的⽅程求得a和b的关系，进⽽求得a和c的关系，则离⼼率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线⽅程中的a，b和c 基本关系．5.答案：C解析：解：程序对应的函数为y=，若x≤0，由y=1得e x=1，得x=0，满⾜条件．若x＞0，由y=2-ln x=1，得ln x=1，即x=e，满⾜条件．综上x=0或e，故选：C．根据程序框图，转化为条件函数进⾏计算即可．本题主要考查程序框图的识别和应⽤，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：∵P（X≤90）=P（X≥120）=0.2，∴P（90≤X≤120）=1-0.4=0.6，∴P（90≤X≤105）=P（90≤X≤120）=0.3，∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的⼈数约为1000×0.3=300．故选：C．由已知求出P（X≤90）=P（X≥120）=0.2，进⼀步求出P（90≤X≤105）=P（90≤X≤120）=0.3，则答案可求．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．7.答案：D解析：解：由函数f（x）=2sin（x+2θ）?cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），可得2sin2θ=2，即sin2θ=1，∴2θ=，∴θ=，故f（x）=2sin（x+2θ）?cos x=2cos2x=cos2x+1，当x=时，f（x）=1，故A、B都不正确；f（x）的最⼩正周期为=π，故C不正确；显然，f（x）=cos x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．根据函数f（x）的图象过点（0，2），求出θ，可得f（x）=cos2x+1，再利⽤余弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．8.答案：D解析：解：显然y=4cos x-e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x＞0时，y′=-4sin x-e x=-（4sin x+e x），显然当x∈（0，π]时，y′＜0，当x∈（π，+∞）时，e x＞eπ＞e3＞4，⽽4sin x≥-4，∴y′=-（4sin x+e x）＜0，∴y′=-（4sin x+e x）＜0在（0，+∞）上恒成⽴，∴y=4cos x-e|x|在（0，+∞）上单调递减．故选：D．判断函数的奇偶性，利⽤导数判断函数在（0，+∞）上的单调性即可得出结论．本题考查了函数图象的判断，⼀般从奇偶性，单调性，特殊值等⽅⾯判断，属于基础题．9.答案：B解析：解：根据题意，当x∈（-1，0）时，f（x）=2-x=（）x，则f（x）在（-1，0）上为减函数，⼜由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐⾓三⾓形的两个内⾓，则α+β＞90°，则α＞90°-β，则有sinα＞sin（90°-β）=cosβ，则有f（sinα）＞f（cosβ），故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（x）在（0，1）上为减函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在（0，1）上为增函数，⼜由α，β为锐⾓三⾓形的两个内⾓分析可得sinα＞sin （90°-β）=cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应⽤，涉及三⾓函数的诱导公式的运⽤，属于基础题．10.答案：C解析：解：由题意有：不共线向量，夹⾓为α，||=1，||=2，由=（1-t），=t（0≤t≤1），得：==t-（1-t），所以||2=（t-（1-t））2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由⼆次函数图象的性质有：当t=t0=时，||取最⼩值，即0＜，解得-＜cosθ＜0，⼜θ∈[0，π]，即θ∈（，），故选：C．由平⾯向量的线性运算得：得：==t-（1-t），由向量模的运算得：||2=（t-（1-t））2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由⼆次函数图象的性质可得：当t=t0=时，||取最⼩值，再求向量夹⾓的取值范围即可．本题考查了平⾯向量的线性运算、向量模的运算及向量夹⾓的取值范围，属中档题．11.答案：D解析：解：设把圆盘从起始柱全部移到⽬标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n-1），则有P（n）=2P（n-1）+1，则有P（n）+1=2[P（n-1）+1]，⼜P（1）=1，即是以P（1）+1=2为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，由等⽐数列通项公式可得：P（n）+1=2n，所以P（n）=2n-1，即P（4）=24-1=15，故选：D．由简单的合情推理得：是以P（1）+1=2为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，由等⽐数列通项公式可得：P（n）+1=2n，所以P（n）=2n-1，得解．本题考查了数列的递推公式及等⽐数列的通项公式，属中档题．12.答案：B解析：【分析】当m＞0时，∵+≥0?≤0，令f（x）=mx2-（3+3m）x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，根据韦达定理以及f（1），f（2）的符号，判断x1，x2与1和2的⼤⼩可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得．本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．【解答】解：当m＞0时，∵+≥0?≤0，令f（x）=mx2-（3+3m）x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则≤0，且x1+x2==3+，∵f（1）=m-3-3m+2m+4=1＞0，f（2）=4m-6-6m+2m+4=-2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，所以不等式的解集为（1，x1]∪（2，x2]，∴l=x1-1+x2-2=x1+x2-3=3+-3=，故选：B．13.答案：3解析：【分析】本题主要考查线性规划的应⽤，利⽤z的⼏何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数z=x-2y中，z的⼏何意义，通过直线平移即可得到z的最⼤值.【解答】解：（1）作出不等式组对应的平⾯区域如图：由z=x-2y，得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A（3，0）时，直线的截距最⼩，此时z最⼤，此时z的最⼤值为z=3-2×0=3．故答案为：3．14.答案：10解析：【分析】本题考查等⽐数列的前n项和公式的应⽤，关键是掌握等⽐数列前n项和的形式，属于基础题．根据题意，由等⽐数列的通项公式，分析可得q4=8×q，解可得q的值，结合等⽐数列的前n项和公式可得S n==2n-1=1023，解可得n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，等⽐数列{a n}中，a1=1，a5=8a2，则有q4=8×q，解可得q=2，若S n=1023，则有=2n-1=1023，解可得：n=10；故答案为：10．15.答案：2解析：解：如图，过M作MH⊥l=H，由|MN|=2|MF|，得|MN|=2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线⽅程为y=（x-），联⽴，得12x2-20px+3p2=0．解得：，则|GF|=，即p=2．故答案为：2．由已知|MN|=2|MF|可得MN所在直线当斜率，写出MN所在直线⽅程，与抛物线⽅程联⽴，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应⽤，是中档题．16.答案：②④解析：解：对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，⼜EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共⾯共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC=∠MAB1（定值），NE=AB1（定值），AM=EC（定值），由余弦定理可得NC2=NE2+EC2-2NE?EC?cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥⾯ODB1，即可得OD⊥AM，从⽽AD=MD，显然不成⽴，可得③不正确．对于④：当平⾯B1AM⊥平⾯AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最⼤，易得AD中点H就是三棱锥B1-AMD的外接球的球⼼，球半径为1，表⾯积是4π．故④正确．故答案为：②④．对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，⼜EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共⾯共点，不可能，对于②，可得由∠NEC=∠MAB1（定值），NE=AB1（定值），AM=EC（定值），由余弦定理可得NC是定值．对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥⾯ODB1，即可得OD⊥AM，从⽽AD=MD，显然不成⽴．对于④：当平⾯B1AM⊥平⾯AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最⼤，可得球半径为1，表⾯积是4π．．本题主要考查了线⾯、⾯⾯平⾏与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能⼒和推理论证能⼒，考查了反证法的应⽤，属于中档题17.答案：解：（1）∵由题意可得：sin C+1-2sin2=0，∴sin C+cos（A+B）=0，⼜A+B=π-C，∴sin C-cos C=0，可得tan C=，∵C∈（0，π），∴C=，∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=3+4-2×=1，解得：BD=1；（2）由（1）可知BD2+BC2=4=CD2，∴∠DBC=，∴S△DBC=BD?BC=，∵CE是∠BCD的⾓平分线，∴∠BCE=∠DCE，在△CEB和△CED中，S△BCE=，S△CED=，可得：==，∴S△BCE=S△CED，∴代⼊S△BCE+S△CED=S△BCD=，（1+）S△CED=，∴S△CED==（2-）=2-3．解析：本题主要考查了三⾓函数恒等变换的应⽤，余弦定理，三⾓形的⾯积公式在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和数形结合思想，考查了转化思想的应⽤，属于中档题．（1）由三⾓函数恒等变换的应⽤化简已知等式可得tan C=，结合范围C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值；（2）由（1）可知BD2+BC2=4=CD2，可求∠DBC=，可得S△DBC=，利⽤三⾓形的⾯积公式，可求S△BCE=S△CED，代⼊S△BCE+S△CED=S△BCD=，即可解得S△CED的值．18.答案：证明：（1）过点C作CO⊥AA1，垂⾜为O，∵平⾯AA1C1C⊥平⾯AA1B1B，∴CO⊥平⾯AA1B1B，故CO⊥OB，⼜∵CA=CB，CO=CO，∠COA=∠COB=90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，故OA=OB，∵∠A1AB=45°，∴AA1⊥OB，∵AA1⊥CO，∴AA1⊥平⾯BOC，∴AA1⊥BC．解：（2）BB1=AB=2，直线BC与平⾯ABB1A1所成⾓为45°，D为CC1的中点，以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系，∵CO⊥平⾯AA1B1B，∴∠CBO是直线BC与平⾯AA1B1B所成⾓，∴∠CBO=45°，∴AB=，AO=BO=CO=1，∴A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），A1（-1，0，0），B1（-2，1，0），D（-1，0，1），=（0，0，1），=（1，-1，1），设平⾯A1B1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），∵OB⊥平⾯AA1C1C，∴平⾯AA1C1C的法向量=（0，1，0），设⼆⾯⾓B1-A1D-C1的平⾯⾓为θ，则cosθ===，∴⼆⾯⾓B1-A1D-C1的余弦值为．解析：（1）过点C作CO⊥AA1，则CO⊥平⾯AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从⽽AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平⾯BOC，由此能证明AA1⊥BC．（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓B1-A1D-C1的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查⼆⾯⾓的余弦值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）设T（x0，y0），P（x，y），由A（x0，0），B（0，y0）由题意=，即A为PB的中点∴x=2x0，y=-y0，即x0=x，y0=-y，∵x02+y02=1故点P的轨迹C的⽅程为+y2=1，（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设直线l的⽅程为y=kx+t，∵|AB|=1，∴（-）2+t2=1，即+t2=1，①联⽴，消y可得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2-1）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+2t=，∵四边形OMQN为平⾏四边形，故Q（-，），∴（-）2+（）2=1，整理可得4t2=4k2+1，②，将①代⼊②可得4k4+k2+1=0，该⽅程⽆解，故这样的直线不存在．解析：（1）设T（x0，y0），P（x，y），通过=，即A为PB的中点，转化求解，点P的轨迹C的⽅程．（2）设直线l的⽅程为y=kx+t，先根据|AB|=1，可得+t2=1，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得4t2=4k2+1，②，将①代⼊②可得4k4+k2+1=0，该⽅程⽆解，问题得以解决本题考查点的轨迹⽅程的求法，考查满⾜条件的点是否存在的判断与直线⽅程的求法，体现了数学转化思想⽅法，是中档题．20.答案：解：（1）由题意可得，==2，=11，=-2×4+（-1）×1+0×0+1×（-2）+2×（-3）=-17，=（-2）2+（-1）2+02+12+22=10，∴b==，=-=11-2×=，∴=-x,（2）设每株的产量为ykg，根据题意可得10×500y≥25000,∴y≥5,令-x≥5可得，x即m最⼤值是5,（3）由回归⽅程可得，当x=1时，y=,当x=2时，y=11，当x=3时，y=,当x=4时，y=,∴P（y=）=,P（y=11）=，P（y=）=,P（y=）=,即y的分布列为P12.7119.37.6yE（y）==,即产量的期望.解析：本题主要考查了线性回归⽅程的求解及随机变量期望及分布列的求解，属于中档题.（1）利⽤公式b=，=-分别求出回归系数b，a即可；（2）设每株的产量为ykg，根据题意可得10×500y≥25000可求y的范围，进⽽可求满⾜条件的x及每⼀个值所对应的概率，可求分布列及期望.21.答案：解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ln x-a，令f′（x）=0，解得：x=e a，故f（x）在（0，e a）递减，在（e a，+∞）递增，故f（x）极⼩值=f（e a）=-e a，故f（x）的极⼩值是-e a，⽆极⼤值；（2）g′（m）=me mx+2x-m=m（e mx-1）+2x，当m＞0时，由于x＞0，故e mx＞1，e mx-1＞0，即g′（x）＞0，当m＜0时，由于x＞0，故e mx＜1，e mx-1＜0，即g′（x）＞0，当m=0时，g′（x）=2x＞0，综上，g′（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，故只需证明x1?x2＜e2a，即证ln x1+ln x2＜2a，由g（x1）=g（x2），可知x1ln x1-ax1-x1=x2ln x2-ax2-x2，故a=-1，即证ln x1+ln x2＜2（-1），ln x1+ln x2-2（＜-2，即证＜-2，ln?＜-2，ln?＜-2，不妨设x1＞x2，t=＞1，即证ln t?＜-2，ln t＞，即证ln t+2＞0，设h（t）=ln t+2（t＞1），h′（t）=＞0，故h（t）在（1，+∞）递增，故h（t）＞h（1）=0，即ln t+2＞0，故结论成⽴．解析：（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；（2）求出a，问题转化为证明ln x1+ln x2＜2（-1），即ln?＜-2，不妨设x1＞x2，t=＞1，即证ln t?＜-2，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应⽤以及不等式的证明，考查转化思想，是⼀道综合题．22.答案：解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直⾓坐标⽅程为：x2+（y-1）2=1，直线l的极坐标⽅程为cos（）=-2．转换为直⾓坐标⽅程为：x-y+2=0．（2）由（1）得：，解得：或转换为极坐标为（）（2，）．解析：（1）直接利⽤参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间的转换求出结果．（2）利⽤直线和曲线的位置关系的应⽤建⽴⼆元⼆次⽅程组，进⼀步求出结果．本题考查的知识要点：参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间的转换，⼆元⼆次⽅程的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．23.答案：解：（1）由f（x）=|x-1|-2|x+1|=，∴f（x）max=f（-1）=2，即t=2，证明：（2）g（x）=|x-1|，由+=2，知g（m+2）+g（2n）=|m+1|+|2n-1|≥|m+1+2n-1|=|m+2n|=|（m+2n）?（+）|=|++2|≥|2+2|=2，当且仅当=，即m2=4n2时取等号，∴g（m+2）+g（2n）≥2．解析：（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的性质，即可求出t的值，（2）根据三⾓不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是⼀道常规题．。

潍坊市高考模拟考试数学1. 已知平面向量()1,2a =注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ，()1,b λ=−，若a b ⊥，则实数λ=（ ）A.12B. 12−C. 2−D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =，)1,b λ=− ，由a b ⊥ ，得120a b λ⋅=−+=，所以12λ=. 故选：A2. 已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（ ） A. 1 B.54C.32D. 2【答案】B 【解析】【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =−， 又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154 −−= .故选：B3. 已知集合(){}3log212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ∪=，则=a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ∪=，即A B ⊆，所以4a =. 故选：D4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =−=+，则4S =（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +×===， 又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =， 则()()1444415822a a S +−+===. 故选：C5. 12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目： IV XLCDM1 5 10 50 100 500 1000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（ ） A. 2025 B. 2035C. 2050D. 2055【答案】B 【解析】【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000， 每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5， 因此MMXXXV 表示的数是20003052035++= 所以2035MMXXXV =. 故选：B6. 如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（ ）A.B.C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解. 【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ∩=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ， 于是1BD A C ⊥，同理11BC A C ，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ， 因此1A C ⊥平面1BC D ，因1DP AC ⊥，则DP ⊂平面1BC D ， 而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ∩平面11BC D BC =，为所以点P 的轨迹是线段1BC. 故选：B7. 已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列1n n a a −+是公比为2的等比数列，则2024a =（ ）A.2023213+ B. 2024213+C. 101221−D. 101121−【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列求出112n n n a a −++=，进而求得2112(2)n n n a a n −+−−=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a −++=，当2n ≥时，212n n n a a −−+=，则2112n n n a a −+−−=， 所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+−+−++−=+++++101120232(14)211143−+=+=−. 故选：A8. 已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（ ） A. 8 B. 12C. 16D. 24【答案】C 【解析】【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，为直三棱柱111ABC A B C外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点， 连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO∴该棱柱的体积12162V x =×≤=．当且仅当2232x x =−，即4x =时等号成立．故选：C ．二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（ ）A. 8a =B. 6人年龄的平均数为35C. 6人年龄的75%分位数为36D. 6人年龄的方差为643【答案】ACD 【解析】【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a −+=，解得8a =，故A 正确； 所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42， 则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误； 又675% 4.5×=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确； 又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S =−+−+−+−+−+−= ，故D 正确. 故选：ACD10. 函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+−（01ω<<）的图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为2πB. )3π(2y f x =+是奇函数C. π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D. 若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈ 【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<， 解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确； π(2)2sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[()]2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x −=−−=−+=+=， π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π]666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，且()()2f x f x x −−=，()()20g x g x +−=，则（ ）A. ()01g =B. ()f x y x=的图象关于点()0,1对称C. ()()20f x f x +−=D. ()212nk n n g k =−=∑（*N n ∈）【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x −−=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x −−=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +−=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =−，所以有(2)()2g n g n +−=−，()()211g g −=−，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x −−=， 所以()()2f x f x ′+−=′，即()()2g x g x +−=， 令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x −−=， 当0x ≠时，()()2f x f x x x −+=−，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确； 对于C ，假设()(2)0f x f x +−=成立， 求导得()(2)0f x f x ′′−−=， 即()(2)0g x g x −−=，又()(2)0g x g x +−=， 所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +−=，()(2)0g x g x +−=， 所以(2)()2g x g x −−−=−，(0)1g =，()10g =，()21g =−， 所以有(2)()2g n g n +−=−， 所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2−为公差的等差数列， 数列{}()g n 的偶数项是以1−为首项，2−为公差的等差数列，又()()211g g −=−，*N n ∈， 所以数列{}()g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列， 所以()1g n n =−，所以21()2nk n n g k =−=∑，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x −−=，()()20g x g x +−=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z=−______． 【答案】i 5【解析】【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】()i 2i i 2i z z +=⇒=+，故()()2ii ii i i i 22245z ===−+−−. 故答案为：i513. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示） 【答案】120 【解析】【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种， 则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120×=种排法． 故答案为：120．14. 已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =−，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是______．【答案】()1,4 【解析】【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d 再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =直线PD 方程为0022y x x y =−++， 联立00222y x x y y x =−++=，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d =平行四边形，所以22014y x −=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x −=、2214y x −=， 因为双曲线2214y x −=的实半轴长为1，双曲线2214y x −=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<<，即14t <<， 所以实数t 的取值范围是(1,4)． 故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=． （1）求A ；（2）若c =a =，D 为BC 的中点，求AD ． 【答案】（1）π4（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】因为()sin cos a B B c +=， 由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=， 在ABC 中，sinsin()C A B =+， 则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=； 【小问2详解】根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+−，则有2522b b =+−，解得3b =或1b =-（舍去）， D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+， ()222111722923444AD AB AC AB AC ∴=++⋅=×++= ，AD ∴16. 已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E的左、上顶点，AC =E的焦距为（1）求E 的方程和离心率；（2）过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=−，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=，e =（2）3 【解析】【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小． 【小问1详解】由题意可得(,0)A a −，(0,)C b ，可得AC =2c =c =可得2223a b c −==，225a b +=， 解得24a =，21b =，所以离心率ce a == 所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率e =【小问2详解】 由（1）可得(0,1)C ，小问3详解】 【小问4详解】由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=， 设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my +==+，整理可得22(4)230m y my ++−=， 显然0∆>，且12224my y m +=−+，12234y y m =−+， 直线CR ，CS 的斜率1111y k x −=，2221y k x −=， 则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my −−+−++−+=+=++ 1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +−+−=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m −−⋅+−⋅−++=−−−⋅+⋅+++， 因为123k k +=−，即231m −=−，解得13m =， 所以直线RS 的斜率13k m==． 即k 的值为3．【17. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D −中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=°，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC 的中点．（1）求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；（2）若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2. 【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】ABCD 中，由120ABC ∠=°，得60DCM ∠=°，而2,4DC CM ==， 在DCM △中，由余弦定理，得DM =，则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，在所以平面11CDD C ⊥平面1D DM . 【小问2详解】在四棱台1111ABCD A B C D −中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =， 在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ， 则14,4AE A E ==，又1AA =，显然22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥， 又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ， 以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz −，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC −=−， 设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⋅=−+= ⋅=−+=，令z =，得(4,n = ，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||sin |cos ,|||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B. 18. 若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ． （1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量． ①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；（2）()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ijj P a pξ+∞===∑．【答案】（1）①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅−−；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可. 【小问1详解】①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=， 显然3312()C ()()33nnnP n η−==，则3333111(|)C ()()C ()222mmn mmn n nm n ξη−−−−−====， 所以3333112(,)C ()C ()()233mnn n n n P m n ξη−−−===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n −=⋅−−. 【小问2详解】 由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη====== 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b P a b ξηξηξη===+==++==+11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞======∑∑ 1ij j p +∞==∑. 【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.的19. 已知函数1()2ln f x m x x x=−+（0m >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：2322221111(1)(1)(1)(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；（3）若函数221()ln 2g x m x x x=−−+有三个不同的零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析； （3）(1,)+∞. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间. （2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【小问1详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x−+−′=−−=， 设2()21k x x mx =−+−，则24(1)m ∆=−，①当01m <≤时，0,()0f x ∆′≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减； ②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =−>=>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x ′<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x ′>， 即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增， 所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m ++∞，递增区间为(m m . 【小问2详解】由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=−+<=， 则1ln 22x x x<−，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ， 于是2222222111111111ln(1)(1)()112212(1)4n n n n n n n +<+−=+<<++−111122n n −−+，22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)234n ++++++++ 111111212()()()11111113322332222222n n n <−+−++−=−<−+−+−++ ， 所以2322221111(1)(1)(1)(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.【小问3详解】函数222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x −=−−+=−=+， 由于ln x 与1x −同号，则ln y m x +1x =，令t =，由(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =， 则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<−，则<，即ln t < 因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m−=−+<−−+=<， 由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=−++−+=， 而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ， 所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。