高考数学(理科)二轮复习三篇

压轴题冲关系列(三)(时间：45分钟 分数：60分)1．(14分)(2021·贵州七校联考)已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 1的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.(1)求椭圆C 1的方程；(2)若椭圆C 1方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相像椭圆．已知C 2是椭圆C 1的3倍相像椭圆，若直线y ＝kx ＋b 与两椭圆C 1，C 2交于四点(依次为P ，Q ，R ，S )，且XC →＋RS→＝2QS →，试求动点E (k ，b )的轨迹方程． 解：(1)设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1，a ＞b ＞0， ∴直线AB 的方程为x －a＋yb ＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离为d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，∴a 2＋b 2＝7(a －1)2，又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 1的3倍相像椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，设Q ，R ，P ，S 各点坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 1方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，∴Δ1＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2＋3－b 2)＞0，(*) 此时，x 1＋x 2＝－8kb3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝43(4k 2＋3－b 2)3＋4k 2，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， ∴x 3＋x 4＝－8kb3＋4k 2，x 3x 4＝4b 2－363＋4k 2，|x 3－x 4|＝43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2，∴x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴线段XC ，QR 中点相同，∴|PQ |＝|RS |， 由XC→＋RS →＝2QS →，PQ →＝QR →， ∴|XC |＝3|QR |，即|x 3－x 4|＝3|x 1－x 2|， ∴43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2＝3×43(k 2＋3－b 2)3＋4k 2， 12k 2＋9＝4b 2，满足(*)式，∴动点E (k ，b )的轨迹方程为4b 29－4k 23＝1.2．(14分)(2021·天津河西二模)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，∵直线AF 的斜率为233， ∴2c ＝233，解得c ＝ 3.又c a ＝32，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝1. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 由题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＋4y 2＝4，化为(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 当Δ＝16(4k 2－3)＞0时，即k 2>34时， x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋k 2.∴|PQ |＝(1＋k 2) [(x 1＋x 2)2－4x 1x 1] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 1＋4k 22－481＋4k 2 ＝41＋k 24k 2－34k 2＋1，点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2， ∴S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1，设4k 2－3＝t ＞0，则4k 2＝t 2＋3， ∴S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤424＝1，当且仅当t ＝2，即4k 2－3＝2，解得k ＝±72时取等号．满足Δ＞0，∴△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为y ＝±72x －2. 3.(18分)(2021·云南昆明二测)已知函数f (x )＝ax ＋ln x . (1)争辩函数f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝ax 2，若存在x 0∈(1，＋∞)，使得g (x 0)<f (x 0)，求a 的取值范围；(3)证明：ln 1.1<0.11.解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x . 当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在定义域上单调递增， 当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (2)设h (x )＝g (x )－f (x )＝ax 2－ax －ln x ，当a ＝0时，h (x )＝g (x )－f (x )＝－ln x ，对于任意的x ∈(1，＋∞)，均有h (x )＝－ln x <0.即g (x )<f (x )在(1，＋∞)恒成立．当a ≠0时，h ′(x )＝2ax －a －1x ＝2ax 2－ax －1x ， 令F (x )＝2ax 2－ax －1，当a <0，x >1时，F (x )<0，则h ′(x )<0， 所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，对任意的x ∈(1，＋∞)，均有h (x )<h (1)＝0， 即g (x )<f (x )在(1，＋∞)恒成立． 当a >0时，由2ax 2－ax －1＝0， 解得x 1＝1＋1＋8a 4或x 2＝1－1＋8a4， 且当x >x 1时，F (x )>0，当x 2<x <x 1时，F (x )<0. 若a ≥1，则14<x 1≤1，当x >1≥x 1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)单调递增， h (x )>h (1)＝0，此时，g (x )>f (x )恒成立，不符合题意； 若0<a <1，则x 2<1<x 1， 当x ∈(1，x 1)时，h ′(x )<0， 所以h (x )在(1，x 1)单调递减， h (x )<h (1)＝0，即存在x 0∈(1，x 1)， 有g (x 0)<f (x 0)成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)．(3)证明：依据(2)的争辩，当a ≥1时，h (x )>0在(1，＋∞)上恒成立． 令a ＝1，x ＝1.1，得1.12－1.1－ln 1.1>0， 即得ln 1.1<0.11.4．(14分)(2021·河北石家庄二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，若cos ∠APB ＝13，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得⎩⎨⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)解法一：设直线的方程设为y ＝kx ＋t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0. 则有x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2，由Δ>0，得4k 2＋1>t 2.y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋4k 2.设A ，B 的中点为D (m ，n )，则m ＝x 1＋x 22＝－4kt1＋4k 2，n ＝y 1＋y 22＝t 1＋4k 2，由于直线PD 与直线l 垂直，所以k PD ＝－1k ＝13－n －m，得t 1＋4k 2＝－19， 由Δ>0，得4k 2＋1>t 2，即－9<t <0. 由于cos ∠APB ＝2cos 2∠APD －1＝－13，所以cos ∠APD ＝33，得tan ∠APD ＝2， 所以|AB |2|PD |＝2，由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13＋t 1＋k2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 22－4×4t 2－41＋4k 2 ＝4(1＋k 2)(1＋4k 2－t 2)1＋4k 2，由|AB |2|PD |＝2(1＋k 2)(1＋4k 2－t 2)1＋4k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13＋t 1＋k 2＝2和t 1＋4k 2＝－19，解得t ＝－1∈(－9,0)，k ＝±2， 故直线的方程为y ＝2x －1或y ＝－2x －1.解法二：设直线l 的斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 的中点为D (x 0，y 0)，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2，x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，①x 224＋y 22＝1，②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 化简，得14＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，即14＋k y 0x 0＝0，又由于直线PD 与直线l 垂直，所以y 1－13x 0·k ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧14＋k y 0x 0＝0，y 0－13x 0·k ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－19，x 0＝49k ，由于cos ∠APB ＝2cos 2∠APD －1＝－13， 所以cos ∠APD ＝33⇒tan ∠APD ＝2， 所以|AB |2|PD |＝2， |PD |＝(x 0－0)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－132＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫492 ＝49k 2＋1.设直线l 的方程设为y －y 0＝k (x －x 0)，得y ＝kx －4k 2＋19，联立⎩⎨⎧y ＝kx －4k 2＋19，x24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k (4k 2＋1)9x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋192－4＝0， x 1＋x 2＝2x 0＝89k ，x 1x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋192－41＋4k 2，由Δ>0，得k 2<20.|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 92－44⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋192－41＋4k 2 ＝89(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫20－k 21＋4k 2， |AB |2|PD |＝49(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫20－k 21＋4k 2891＋k 2＝2，解得k ＝±2，满足k 2<20. 代入y ＝kx －4k 2＋19，得直线的方程为y ＝2x －1或y ＝－2x －1.。

2018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.6 等价转化法（测）理2０1８年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.6 等价转化法(测） 理编辑整理：尊敬的读者朋友们: 这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对 文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(20１8 年高考数学二轮复习 第 三篇 方法应用篇 专题３．6 等价转化法(测)理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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12018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.6 等价转化法（测）理方法六 等价转化法总分 _＿_＿_＿＿ 时间 _＿＿____ 班级 ＿＿__＿__ 学号 ＿______ 得分_______（一） 选择题（１２*5=60 分)1。

【201６高考新课标 3】若 tan 3 ,则 cos2 2sin 2 (）4(Ａ） 64 25【答案】Ａ（B） 48 25(Ｃ） １（D) 16 25【解析】由tan 3 4，得sin 3 , cos 54 5或 sin3 5, cos4 5,所以cos22 sin216 25412 2564 25,故选 A.2。

若 的定义域为 ，恒成立,,则的解集为（ )A.B.C。

D。

【答案】B点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些 数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质， 那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全22018 年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题 3.6 等价转化法（测）理面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。

2017届高考数学二轮复习 第三部分 能力篇 专题四 抽象概括能力与数据处理能力课时作业 理1.(2016·西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,4 B ．4,4 C ．5,6D ．6,4解析：x 甲＝75＋82＋84＋＋x ＋90＋936＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D.答案：D2．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：附表：随机变量K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，经计算，K 2的观测值k 0≈4.762，参考附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由表可知，有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A. 答案：A3．(2016·湖南五校调研)已知函数f(x)是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f (|x －1|)－1的图象可能是( )解析：设y ＝g (x )＝f (|x －1|)－1，则g (0)＝f (1)－1，g (1)＝f (0)－1，g (2)＝f (1)－1， ∴g (0)＝g (2)，排除A ，C ，又f (x )是定义在R 上的增函数， ∴g (0)>g (1)，排除D ，选B. 答案：B4．据我国西部各省(区，市)2016年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.7解析：依题意，由图可估计人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A. 答案：A5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75分钟时，可食用率p 最大．故选B. 答案：B6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β，若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ·b 和b ·a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ·b等于( ) A.12 B ．1 C.32D.52解析：设a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ＝k 12，b ·a ＝|b ||a |cos θ＝k 22，两式相乘，得cos 2θ＝k 1k 24.因为a ·b 和b ·a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，所以k 1，k 2都是正整数．因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以12<cos 2θ＝k 1k 24<1，即2<k 1k 2<4，所以k 1k 2＝3.而|a |≥|b |>0，所以k 1＝3，k 2＝1，于是a ·b ＝32. 答案：C7.如图是某路段从晚上8点到第二天6点监控拍到的经过的车辆数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[10,20)内的概率为________． 解析：因为共有10个样本数据，数据落在区间[10,20)内的有2个人，所以所求概率为210＝0.2.答案：0.28．给定方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x －1＝0，下列命题：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数根； ④若x 0是方程的实数根，则x 0>－1. 正确的序号是________．解析：由题意可知求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋sin x －1＝0的解，等价于求函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝sin x 的图象交点的横坐标，作出它们的图象，如图所示．由图象可知：①该方程没有小于0的实数解，错误；②该方程有无数个实数解，正确；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解，正确；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1，正确． 答案：②③④9．(2016·安徽八校联考)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________． ①[－x ]＝－[x ]； ②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]； ④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]； ⑤离实数x 最近的整数是－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋12. 解析：当x ＝1.1时，[－x ]≠－[x ]，①错；因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以②恒成立，即②对；因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以x －[x ]为小数部分，记作{x }，设[x ]＝a ，{x }＝b ，[y ]＝c ，{y }＝d ，因为[x ＋y ]＝[a ＋b ＋c ＋d ]＝a ＋c ＋[b ＋d ]＝[x ]＋[y ]＋[b ＋d ]，所以[x ＋y ]≥[x ]＋[y ]，③对；因为[xy ]＝[(a ＋b )(c ＋d )]＝[ac ＋ad ＋bc ＋bd ]＝ac ＋[ad ＋bc ＋bd ]＝[x ][y ]＋[ad ＋bc ＋bd ]，所以[xy ]≥[x ][y ]，④错；用特殊值检验可知⑤正确．综上所述，选②③⑤. 答案：②③⑤10．(2016·河北三市联考)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：(1)求该生5(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x 、y 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.附：b ^＝∑n i ＝1x i －xy i －y∑ni ＝1x i －x2＝∑n i ＝1x i y i －nx － y －∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解析：(1)x ＝15×(79＋81＋83＋85＋87)＝83，∵y ＝15×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，∴s 2y ＝15×[(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(83－80)2]＝4.8.(2)∵∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝30，∑5i ＝1 (x i －x )2＝40， ∴b ^＝0.75，a ^＝y －b ^x ＝17.75. 则所求的线性回归方程为y ^＝0.75x ＋17.75.11．为了解高三学生参加体育活动的情况，对某校高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生在一个月内参加体育活动的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.(1)求a 的值，并根据此频率分布直方图估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数(精确到个位数)；(2)在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任选2人，求这2人中至少有1人参加体育活动的次数不少于25次的概率． 解析：(1)∵分组[10,15)的频数是10，频率是0.25，∴10M＝0.25，∴M ＝40，即频数之和为40，∴n ＝2440＝0.60，又a 是分组[15,20)对应的频率与组距的商， ∴a ＝0.605＝0.12.∴所求中位数为15＋0.250.60×5≈17，即估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数为17.(2)由(1)知m ＝4，故样本中参加体育活动的次数不少于20次的学生共有6人，其中参加体育活动的次数在[20,25)的学生共有4人，分别记为a ，b ，c ，d ， 参加体育活动的次数在[25,30]的学生共有2人，分别记为e ，f .则从这6人中任选2人的所有基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个，这2人中至少有1人参加体育活动的次数不少于25次的基本事件为(a ，e )，(a ，f )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共9个．由古典概型的概率计算公式可得，所求概率为P ＝915＝35.12．(2016·广州模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于PM2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值．即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米－75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2.5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示．(1)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取3天，记ξ表示抽取的3天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)x ＝26＋30＋36＋44＋50＋606＝41，s 2＝16×[(26－41)2＋(30－41)2＋(36－41)2＋(44－41)2＋(50－41)2＋(60－41)2]＝137.根据样本估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值为41，方差为137.(2)由茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ可能取的值为1,2,3，其中，P (ξ＝1)＝C 14·C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24·C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34·C 02C 36＝15. 所以ξ的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2，所以ξ的数学期望为2.。

弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(三) 数列综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .2．已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、32a 2、a 2成等差数列．(1)求a n ；(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n ＞0的解集．3．(2014·济南市模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝(3n－1)n2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)nλ＜T n对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．5．(2014·辽宁省五校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n (其中p为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ；(3)当a ＝1时，令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .6．(2013·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n＜74.大题规范练(三)1．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1.① 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.②(4分) (2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *.(6分)所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .(8分)两式相减得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n， 整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n ＋1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.(12分)2．解：(1)∵4a 1、32a 2、a 2成等差数列，∴4a 1＋a 2＝3a 2，即4a 1＝2a 2，∴q ＝2.(2分) 则S 6＝a 1（1－26）1－2＝21，解得a 1＝13，∴a n ＝2n －13.(5分)(2)由(1)得－a 1＝－13，∴b n ＝2＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝7－n 3，T n ＝2n ＋n2(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13n －n 26，(9分)∴T n －b n ＞0，即－（n －1）（n －14）6＞0，解得1＜n ＜14(n ∈N *)，故不等式T n －b n ＞0的解集为{n ∈N *|1＜n ＜14}．(12分) 3．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1.(4分)∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(6分) (2)∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，(8分)∴c n ＝3n 3n ＋1＝n3n ，(9分) ∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1＜0，(10分) ∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，(11分)即c n ＋1＜c n ≤13.(12分)4．解：(1)由题知，1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝3a n＋1， ∴1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，∴1a n ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12·3n －1＝3n2， ∴a n ＝23n－1.(4分) (2)由(1)知，b n ＝(3n－1)·n2n ·23n －1＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，T n ＝1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋()n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，(6分) 两式相减得，12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.(8分) ∵T n ＋1－T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋32n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1＝n ＋12n ＞0，∴{T n }为递增数列．①当n 为正奇数时，－λ＜T n 对一切正奇数成立， ∵(T n )min ＝T 1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1； ②当n 为正偶数时，λ＜T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min ＝T 2＝2，∴λ＜2. 综合①②知，－1＜λ＜2.(12分)5．解：(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n.(1分)令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列．(3分) (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列， ∴c n ＝c 1·pn －1＝a ·pn －1，即a n ＋1a n＝ap n －1.(4分) 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(aq n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p n 2－3n ＋22，(6分)∵a 1满足上式，∴a n ＝a n －1pn 2－3n ＋22，n ∈N *.(7分)(3)∵a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝(ap n )×(ap n －1)＝a 2p 2n －1， ∴当a ＝1时，b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.(8分) ∴S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋np2n －1，①p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)p 2n －1＋np 2n ＋1.②∴当p 2≠1时，即p ≠±1时，①－②得：(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p2n －1－np2n ＋1＝p （1－p 2n ）1－p－np 2n ＋1， 即S n ＝p （1－p 2n ）（1－p 2）2－np 2n ＋11－p2；(11分)当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(12分)当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n （n ＋1）2.(13分)综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，p ＝1，－n （n ＋1）2，p ＝－1，p （1－p 2n）（1－p 2）2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1.6．解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2分)(2)解法一：由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，(4分)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得na n ＋1－(n ＋1)a n ＝n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1.(6分) 又当n ＝1时，a 22－a 11＝42－11＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(8分) 解法二：因为2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，所以2S n n ＝S n ＋1－S n －13n 2－n －23.(4分)整理得n ＋2n S n ＝S n ＋1－13(n ＋1)(n ＋2)， 所以S n ＋1（n ＋1）（n ＋2）－S n n （n ＋1）＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n （n ＋1）是首项为S 12，公差为13的等差数列，(6分)所以S n n （n ＋1）＝S 12＋13(n －1)＝2n ＋16，所以S n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）6，所以S n －1＝（n －1）n （2n －1）6(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2(n ≥2)． 因为a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(8分) (3)证明：设T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n.当n ＝1时，T 1＝1a 1＝1＜74；当n ＝2时，T 2＝1a 1＋1a 2＝1＋14＝54＜74；当n ≥3时，1a n ＝1n2＜1（n －1）n ＝1n －1－1n，(10分)此时T n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(12分)。

高三数学复习计划例文一、一年任务早知道-科学安排时间如果我们对各门功课的复习制订切实可行的计划，那么成绩的提高是指日可待。

复习时间的安排有长期、中期和短期。

长期要与老师的安排大体一致，即整体进度跟着老师走。

中期安排就数学而言，主要是抓好几大分支：函数、三角、数列、不等式等以及解析几何、立体几何。

其中函数（含不等式）、数列、解析几何是重中之重。

第一轮复习时要注意各分支之间的有机结合，综合程度要根据自己的实际情况而定，普通中学的学生对综合程度高的难题，可以暂时回避，先把基础内容掌握好。

立体几何近年上海卷因两种教材并行考查相对容易。

近期安排就是以章为单位或一周为单位，做个可行的计划，有时计划可以安排每天做些什么，任务要具体明确，操作性强。

计划要结合老师的近期安排，跟着老师的节奏并在完成老师布置的作业后，针对自己的薄弱环节重点突破（如忘掉的公式要记住，生疏的方法要熟练）。

第一轮复习务必要把基本概念、解决一类问题的基本方法等扎实掌握。

二、计划关键在落实-提高学习效率“一年之际在于春”的意义谁都明白，对新高三的同学，____月份是关键时期，要适应高三的快节奏、大运动量的学习生活。

“双基”落实到位。

即要掌握各章节的基本概念和常见问题的解题方法，以及相应的技能技巧。

有些同学之所以“一听就懂，一看就会，一做就错”的原因就在这方面做的不到位。

课堂上不仅要和老师同步思考，还要争取与老师同步或快于老师算出正确答案。

只听懂是远远不够的，它离掌握知识、形成能力还有很远距离。

要知道“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。

限时做好作业。

做作业要给自己规定时间，像考试一样“进入状态”，同样遵循先易后难的原则，遇到难题要认真思考，但一时做不出要学会“放弃”。

老师在批改时发现不会做或错误较多的地方会集体讲评。

提倡“做后满分”，就是对做错的题目要认真订正，不妨准备一本错题集，记下错误原因，过段时间再回顾一下，争取不犯同样错误。

有些同学做作业毫无时间观念，一边看公式一边做题，甚至互相对答案，这种作业不能反映实际水平，一旦考试就眼高手低，不是速度慢就是计算差错多。

方法四 分离（常数）参数法分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例1. 已知函数()242x x a af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,2x ∈时， ()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由函数为奇函数可得()()f x f x -=-，即242422x x x xa a a aa a a a---+-+=-++，可得2a =．（Ⅱ）分离常数可得()2121x f x =-+，故函数为增函数，再由211x+>，可得211121x -<-<+，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得()()212221xx xm +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立，令()2113xt t =-≤≤，，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，根据函数21y t t=-+的单调性可得函数的最大值，从而可得实数m 的取值范围（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++， ∴函数()f x 在R 上单调递增， 又211x+>，∴22021x -<-<+， ∴211121x -<-<+．∴函数()f x 的值域为()1,1-．（Ⅲ）当[]1,2x ∈时， ()21021x xf x -=>+． 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数，∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 例2.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. 【解析】（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，第21题图1第21题图22MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x yx y ==-，代入2201x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性例3....例4.【2018届高三训练】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切则a的最小值为( )A. 0B. －2C. －3【答案】C2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例5.【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）__________．【解析】由题可知：t=n+1M的最小值是例6.（1（2）围．【答案】（1（2【解析】（1（22.2 求定点的坐标例7. .【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。

高三备考数学三轮复习计划7篇高三备考数学三轮复习计划7篇怎么拟定好高三备考数学三轮复习计划呢？高三一轮复习时间较长,一般情况下有6个月左右的时间,二轮复习大概是在2月-4月,剩下的时间进行三轮复习,下面是小编为大家整理的关于高三备考数学三轮复习计划，如果喜欢可以分享给身边的朋友喔!高三备考数学三轮复习计划篇1一、指导思想以学校和高三年部的教学计划为目标，深入钻研教材及总复习大纲，依靠集体智慧处理教研、教改资源及多媒体信息。

根据我校实际，合理运用现代教学手段、技术，提高课堂效率，全面提高数学教学质量，以确证学生在明年高考中取得好的成绩。

二、目标要求1．深入钻练教材，结合所教学生实际，确定好每节课所教内容，及所采用的教学手段、方法。

2．本学期重点为高考第一轮复习，为明年的下一轮复习以及高考打基础。

3．继续培养学生的学习兴趣，帮助学生解决好学习教学中的困难，提高学生的数学素养和综合能力。

4．本期重点培养和提升学生的抽象思维、概括、归纳、整理、类比、相互转化、数形结合等能力，最终提升学生的整体解题能力。

三、教材分析本期教材：高中全部必修、选修教材及第一轮复习资料。

教辅资料：《优化探究》。

四、具体方法措施1．高质量备课，参考网上的课件资料，结合我校学生实际，充分发挥全组老师的集体智慧，确保每节课件都是高质量的。

统一教案、统一课件。

2．高效率的上好每节课，真正体现学生主体、教师主导作用。

保证练的时间，运用多媒资源，让学生对知识充分理解。

3．狠抓作业批改、讲评，教材作业、练习课内完成，课外作业认真批改、讲评。

一题多思多解，提炼思想方法，提升学生解题能力。

4．认真落实月考，考前作好指导复习，试卷讲评起到补缺长智的作用。

5．继续抓紧培优补差工作，让优等生开阔知识视野，丰富各种技能，达到思维多角度，解题多途径，效果多功能之目的。

让弱科学生基础打牢，技能提升，方法灵活得当，收到弱科不弱之效果。

高三备考数学三轮复习计划篇2一、指导思想依托20__届取得的辉煌成绩，实现啸中学校发展蓝图，高三数学组必须团结一致，群策群力抓好高三数学复习，备战20__高考，切实落实“关注差异，开发潜能，多元发展”的教学方针。