【数学10份汇总】宁波市2020年高一数学(上)期末试卷

2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知角θ的终边上一点()()1,0P a a <，则=sin θ（ ） A ．a BC ．D ．【答案】B【分析】根据三角函数定义求解即可.【详解】因为角θ的终边上一点()()1,0P a a <， 所以sin θ，故选：B2．下列式子的互化正确的是（ ）A ．()130yy =<B ．)130xx -=≠C ．)540xx -=> D ．()()120x x =->【答案】C【分析】根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析. 【详解】根据分数指数幂的运算可知，1133||(0)y y y ==-<，)130xx -=≠，)540x x -=>，()()120x x =->，故选：C3．已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式求解即可. 【详解】由题知：22111222S r r α==⨯⨯=，解得2r .弧长212l =⨯=，所以扇形的周长为2226++=. 故选：C4．设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由函数的定义，集合{}M x |0x 2=≤≤中的每一个x 值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应，结合图象得出结论．从集合M 到集合能构成函数关系时，对于集合{}M x |0x 2=≤≤中的每一个x 值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应．图象A 不满足条件，因为当1x 2≤＜时，N 中没有y 值与之对应． 图象B 不满足条件，因为当x=2时，N 中没有y 值与之对应．图象C 不满足条件，因为对于集合M {x |0x 2}=≤＜中的每一个x 值，在集合N 中有2个y 值与之对应，不满足函数的定义．只有D 中的图象满足对于集合{}M x |0x 2=≤≤中的每一个x 值，在{}N y |0y 2=≤≤中都有唯一确定的一个y 值与之对应．【解析】函数的概念及其构成要素 5．已知集合{|23}A x cosx =≥，集合2{|20}B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．2,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,16π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【分析】化简集合A ，B ，根据交集运算求解即可.【详解】由2cosx ≥cos 2x ≥， 解得22,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以{|2{|22,}66A x cosx x k x k k Z ππππ=≥=-≤≤+∈，当0k =时，{|}66A x x ππ=-≤≤ 又2{|20}{|21}B x x x x x =+-≤=-≤≤， 所以,66A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故选：D6．将函数()()10y tan x ωω=->的图像向左平移2个单位长度后，与函数()3y tan x ω=+的图象重合，则的最小值等于（ ）A ．22π-B ．1C ．2π-D ．2【答案】D【分析】平移函数图象后得tan(21)y x ωω=+-，根据与()3y tan x ω=+重合可求解. 【详解】函数()()10y tan x ωω=->的图像向左平移2个单位长度后可得，tan[(2)1]tan(21)y x x ωωω=+-=+-，与函数()3y tan x ω=+的图象重合， 由0>ω，所以213ω-=时，即=2ω时图象重合，且ω最小. 故选：D7．若函数()212815y log ax x =-+在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围（ ）A ．[]0,2B ．1,24⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】换元，令2815ax t x -+=，由题意，根据复合函数同增异减的判断方法可知函数2815ax t x -+=在()1,2上单调递减，并且28150ax x -+>在()1,2上成立，求解即可.【详解】令2815ax t x -+=，则12log y t =，因为函数()212log 815y ax x =-+在()1,2上单调递增，函数12log y t =在定义域上是减函数，所以函数2815ax t x -+=在()1,2上单调递减，并且28150ax x -+>在()1,2上成立；当2815ax t x -+=在()1,2上单调递减，则280ax t '-=≤在()1,2上成立，所以2a ≤；又28150ax x -+>在()1,2上成立，所以2815a x x >-在()1,2上成立，所以8151244a ≥-=，综上，a 的取值范围为1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.【点睛】关于复合函数的单调性问题，一是通过口诀判断，换元以后判断内函数与外函数的单调性，根据同增异减判断即可，但需要注意对数函数的定义域；二是利用求导法x u x y y u '''=⋅，换元以后分别求导再相乘计算.8．已知函数()221,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，若方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有4个实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2-B ．5,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．()51,0,24⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭D ．()51,0,24⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用基本不等式计算得出(][)11,31,x x+-∈-∞-+∞，由题意可知，关于t的方程()f t a =有两个不等的实根1t 、2t ，且1t 、[]23,1t ∉-，然后作出函数()y f t =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】()2132132111x x x x x -++==+---，()221,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，设11t x x=+-. 当0x >时，由基本不等式可得1111t x x =+-≥=，当且仅当1x =时，等号成立，当0x <时，由基本不等式可得()()11111213t x x x x x x⎡⎤=+-=--+-≤--⋅-=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立. 所以，(][)11,31,t x x=+-∈-∞-+∞.当3t时，()()21321213221111t t t f t t t t t -+++====+<----. 作出函数11t x x=+-的图象如下图所示：由于方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有4个实根，则关于t 的方程()f t a =有两个实根1t 、2t ，设12t t ≤.若13t =-，则54a =，此时关于t 的方程()f t a =的另一实根23t >， 直线1t t =与函数11t x x =+-的图象只有一个交点， 直线2tt =与函数11t x x=+-的 图象有两个交点，此时，关于x 的方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有3个实根，不合乎题意；若11t =，则0a =，则关于t 的方程()f t a =的另一实根23t =，直线1t t =与函数11t x x =+-的图象有且只有一个交点， 直线2tt =与函数11t x x=+-的 图象有两个交点，此时，关于x 的方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有3个实根，不合乎题意； 所以，关于t 的方程()f t a =有两个不等的实根1t 、2t ，且1t 、[]23,1t ∉-，由图象可知，10a -<<或524a <<. 故选：D.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数与外层函数；（2）确定外层函数的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）然后确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数的交点个数()1,2,3,,i a i n =，最后得到原函数的零点个数为123n a a a a ++++.二、多选题9．若“()00,2x ∃∈，使得200210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ可能的值是（ ）A ．1B ．22C ．3D ．32【答案】AB【分析】由题意可知，命题“()0,2x ∀∈，2210x x λ-+≥成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得λ的取值范围，由此可得结果.【详解】由题意可知，命题“()0,2x ∀∈，2210x x λ-+≥成立”， 所以，221x x λ≤+，可得12x xλ≤+，当()0,2x ∈时，由基本不等式可得12x x +≥=当且仅当x =时，等号成立，所以，λ≤故选：AB.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.10．设函数()|cos ||cos2|f x x a x b =+++，,a b ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最小正周期可能为2π B ．()f x 为偶函数C ．当0ab 时，()f x D ．存a ，b 使()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 【答案】BCD【分析】A ．分析()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是否恒成立；B ．分析函数定义域，根据()(),f x f x -的关系判断是否为偶函数；C ．采用换元法，将()f x 写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D ．分析1a b ==-时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断. 【详解】A ．因为cos cos 2sin cos 2222f x x a x b x a x b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()011,12f a b f a b π⎛⎫=+++=-+ ⎪⎝⎭，所以()02f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭不一定成立，所以()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭不恒成立，所以()f x 的最小正周期不可能为2π，故错误； B ．因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称；又因为()()()()cos cos 2cos cos 2f x x a x b x a x b f x -=-++-+=+++=， 所以()f x 为偶函数，故正确； C ．因为0ab ，所以()cos cos2f x x x =+，所以()2cos 2cos 1f x x x =+-令[]cos 1,1x t =∈-，记[]221,1,1y t t t =+-∈-，所以222221,1,21,21,0,221,2t t t t t t y t t t t t t ⎧⎡--∈-⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪--+∈⎪⎢⎪⎪⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-++∈⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎪⎪⎤⎪+-∈⎥⎪⎣⎦⎩，当1,2t ⎡∈--⎢⎣⎭时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=--=-->---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭时，222191921224848y t t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-++≥-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=-++=--+>--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当t ⎤∈⎥⎣⎦时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上可知：()2cos 2cos 1f x x x =+-，取最小值时cos 2t x ==±，故正确； D ．取1a b ==-，所以()|cos 1||cos21|f x x x =-+-，所以()1cos 1cos2f x x x =-+-，所以()22cos cos 3f x x x =--+，所以()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 又因为cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0,1x ∈，且2125248y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()0,1t ∈时单调递减，根据复合函数的单调性判断方法可知：()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以存在1a b ==-使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故正确， 故选：BCD.【点睛】思路点睛：复合函数()()f g x 的单调性的判断方法：（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性； （2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数； （3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.三、填空题11．计算：cos7515sin75cos sin15︒+︒︒︒=____． 【答案】12【分析】根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由两角差的余弦公式可知，cos sin 1cos7515sin 7515cos(7515)cos602︒︒︒︒+=︒-︒=︒=， 故答案为：1212．计算11281lg 2lg lg1252252-=____． 【答案】12【分析】根据对数的运算法则和性质结合对数恒等式lg 2lg51+=求解出原式的结果.【详解】原式3732211281121lg 2lg 22lg125lg 2lg 2lg 52252252=-+=-+()()13117lg 22lg53lg 2lg5lg 2lg52222=⨯--+=+=， 故答案为：12. 13．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示：则函数()f x 的解析式为______．【答案】()2sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】由函数图象的最值和周期可得A 和ω，然后将点(2代入解析式，利用ϕ的范围即可得到ϕ值，从而得到函数解析式．【详解】由图象得到()f x 2，周期为16，且过点(2 所以2A =又216T πω==，所以8πω=，将点(2代入()f x ，2πϕ<．得到4πϕ=，所以()2sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为()2sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：．【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，注意函数周期的求法，考查计算能力，属于常考题型．14．若函数sin 223y x a x =++的最小值为1，则正实数a =____． 【答案】3【分析】由辅助角公式化简可得)3y x ϕ=++，根据最小值即可求出.【详解】由函数sin 223y x x =++，可得)3y x ϕ=++，所以min 31y ==， 解得3a = 故答案为：315．函数2y x =-+____．【答案】1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.【详解】设)0t t =≥，则273t x -=，所以原函数可化为：()211033y t t t =-++≥， 由二次函数性质，当32t =时，函数取最大值1312，由性质可知函数无最小值，所以值域为：1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 16．已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是_____．【答案】115(0,][,]16816【分析】化简函数解析式，由f (x ) =0，可得sin(2)04x πω-=，解得()2,28k x ππωωππ=+∉，结合102ω<≤即可得出结论. 【详解】()2111cos 211(sin )sin 2sin 222222x f x x x x ωωωω-=+-=+-)24x πω=-．由()0f x =，可得24k x πωπ-=，解得82k x ππωω=+，k Z ∈． 因为()f x 在区间(),2ππ内没有零点， 所以()2,28k x ππωωππ=+∉，且2T ≥π，即()2,28k x ππωωππ=+∉且102ω<≤， 因为0>ω，分别取0k =，1,2,3⋯，11599115(,)(,)(,)(,)(,)168168168168165ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞，115(0,][,]16816ω∴∈∴ω的取值范围是115(0,][,]16816，故答案为：115(0,][,]16816．【点睛】关键点点睛：由三角函数化简求出函数零点()82,2k ππωωππ+∉，k Z ∈，分别取0,1,2,k=⋯，可得ω不属于的集合，结合102ω<≤，可判断ω所在区间即可，属于难题.17．已知0x >，0y >，且2183x y x y ++≤+，则2xy x y+的最大值为____． 【答案】16【分析】由0x >，0y >2183x y x y ++≤+，2212121(8)()()3()x y x y x y x y+⋅+≤+-+ 利用均值不等式得22121()3()18x y x y+-+≥， 解得21x y+的取值范围，进而求得2xyx y +的最大值.【详解】由0x >，0y >2183x y x y ++≤+，得2183x y x y+≤+-， 即2212121(8)()()3()x y x y x y x y+⋅+≤+-+又2116(8)()101018y xx y x y x y+⋅+=++≥+=， 当且仅当16y xx y=，即4x y =时，取等， 故22121()3()18x y x y+-+≥， 解得216x y +≥或213x y+≤-（舍） 故111226xy x y y x=≤++，即2xy x y +的最大值为16， 故答案为：16.四、解答题18．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+． （1）当3a =时，求A 和()R A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|3A x x =<-或}4x >，(){}|37RA B x x ⋃=-≤≤；（2）2a <-或6a >.【分析】（1）当3a =时，得出集合B ，解分式不等式即可得集合A ，再根据补集和并集的运算，从而可求出()R A B ；(2)由题意知BA ，当B =∅时，221a a ->+；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题可知，当3a =时，则{}|17B x x =≤≤，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭或}4x >，则{}|34RA x x =-≤≤，所以(){}{}{}|34|17|37RA B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤.（2）由题可知，x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A ，当B =∅时，221a a ->+，解得：3a <-； 当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，解得：32a -≤<-或6a >； 综上所得：2a <-或6a >. 【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．已知1tan 2α=-．（1）求1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα+-++的值；（2）若()1tan 2αβ-=，求()tan 32αβ-的值． 【答案】（1）12-；（2）12．【分析】（1）根据221cos 22sin ,1cos 22cos αααα-=+=化简原式的分子分母，然后分式上下同除()2sin cos αα+，将原式变形为tan α的表示形式，由此计算出原式的值；（2）先根据正切的二倍角公式计算出()tan 22αβ-的值，然后根据角的关系：()3222αβαβα-=-+，结合两角和的正切公式求解出()tan 32αβ-的值.【详解】（1）因为1tan 2α=-，所以cos 0α≠且sin cos 0αα+≠，所以()()222sin sin cos 1sin 2cos 22sin 2sin cos 1tan 1sin 2cos 22cos 2sin cos 2cos sin cos 2ααααααααααααααααα++-+====-++++；（2）因为()1tan 2αβ-=，所以()()()22tan 4tan 221tan 3αβαβαβ--==--，()()()()tan tan 221tan 32tan 221tan tan 222ααβαβαβαααβ+--=-+==⎡⎤⎣⎦--.【点睛】关键点点睛：解答本题的第二问的关键是找到()32αβ-与,ααβ-的之间的关系，从而借助正切的两角和公式、二倍角公式完成求解. 20．已知定义在R 上的奇函数()2(01)1xf x b a a a =->≠+,． （1）求b 的值；（2）若()f x 在[]1,1-上的最大值为13，求a 的值． 【答案】（1）1b =；（2）2a =或12． 【分析】（1）根据()00f =先计算出b 的值，然后代入原函数中进行检验，最终确定出b 的值；（2）分类讨论：1,01a a ><<，结合指数型函数的单调性以及最大值求解出a 的值. 【详解】（1）由()20012f b b =-=⇒=，所以()211x f x a =-+，所以()211xf x a --=-+， 所以()()22222111111x x x x xa a f x f x a a a +--=-=-=-+=-+++，且定义域为R 关于原点对称，所以()f x 为奇函数，故1b =满足条件； （2）当1a >时，函数()211x f x a =-+单调递增， 故()()max 2111213f x f a a ==-=⇒=+， 当01a <<时，函数()211x f x a =-+单调递减，故()()1max 21111132f x f a a -=-=-=⇒=+ 故2a =或12. 【点睛】易错点睛：已知函数()f x 是奇函数，且定义域包含0，若通过()00f =求解函数中的参数值，求解出参数后需要验证()f x 是否为奇函数，这一点需要特别注意. 21．已知函数()2sin 22sin f x x x =+．（1）求()f x 的单调递增区间 （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()()()22210f x m f x m m ⎡⎤-+++=⎣⎦恰有三个不同的实数根，求m 的取值范围．【答案】（1）3,88k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）1m ≤< 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递增区间整体代入即可求解.（2）将问题转化为()f x m =或()1f x m =+共有三个不同实根，从而可得sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或sin 24x π⎛⎫-=> ⎪⎝⎭共有三个不同交点，作出函数图象，数形结合即可求解.【详解】（1）()2sin 22sin sin 2cos 21214f x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭所以增区间为：22,2422x k k πππππ⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭， 3,88k Z x k k ππππ⎛⎫∈⇒∈-+ ⎪⎝⎭k Z ∈（2）因()()()()()2221010f x m f x m m f x m f x m -+++=⇒---=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以()f x m =或()1f x m =+共有三个不同实根，即sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或sin 24x π⎛⎫-=> ⎪⎝⎭共有三个不同交点， 因30,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由图可得：12≤<1不合题意．1≤<且≤<，即1m ≤<【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，由方程的根求参数的取值范围，解212≤<且222≤<考查了计算能力、转化能力以及数形结合的思想.22．设函数()()cos2cos 1cos 1f x a x x x =++--，()()2sin 21sin g x a x a x =-+-，其中0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 的值域； （2）记()||f x 的最大值为M ， ①求M ；②求证：()||2g x M ≤．【答案】（1）17,416⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）①2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；②证明见解析． 【分析】（1）化简得24c )os c s 1(o f x x x +=-，配方求值域即可；（2）①设cos t x =，换元得()22161248a a a h t a t a a -++⎛⎫=--⎪⎝⎭，分类讨论即可求解；②利用绝对值不等式的性质求出()||g x 11,0511,1531,1a a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪≤+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩利用做差法与2M 比较大小即可求证.【详解】（1）()()cos21cos 1f x a x a x a =+-+-当2a =时，()221172cos 2cos 14cos cos 14cos 816f x x x x x x ⎛⎫=++=+-=+-⎪⎝⎭ 因为[]cos 1,1x ∈-， 所以()17,416f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）设cos t x =，[]1,1t ∈-，()22161248a a a h t a t a a -++⎛⎫=--⎪⎝⎭ 对称轴为14a a -，开口向上，()1h a -=，()132h a =-，216148a a a h a a -++⎛⎫=-⎪⎝⎭1）当105a <≤时，114a t a-=≥，32a a ≤-，所以23M a =- 2）当115a <≤时，[)10,14a t a-=∈，()114a h h a -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以2618a a M a ++=3）当1a >时，()11,04at a-=∈-，()114a h h a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以32M a =- 综上所述：2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩②()()()2sin 21sin 2sin 21sin 21g x a x a x a x a x a a =-+-≤-+-≤+-11,0511,1531,1a a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩当105a <≤时，()()7122373305a a a +--=-≤-<所以()2g x M ≤当115a <≤时，()2261341313112110844444a a a a a a a a a ++--+-==--≤--<所以()2g x M ≤当1a >时，()()123255550a a a +--=-+<-<，所以()2g x M ≤ 综上所述：所以()2g x M ≤【点睛】关键点点睛：证明()||2g x M ≤时，先求出()||g x 的最大值是解题关键，应用绝对值不等式的性质，可求出max 1,01|()|31,1a a g x a a +<≤⎧=⎨->⎩，然后分类利用作差法比较大小即可，属于难题.。

浙江省宁波市2020届高三上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知，则条件“”是条件“”的（）条件.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3. 若函数为偶函数，则实数的值为（）A. 1B.C. 1或D. 04. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（）A. 3B.C. 5D.5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（）A. 1B. 2C. 4D. 86. 已知，为的导函数，则的图像是（）A. B. C. D.7. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）A. B. C. D.9. 若函数在上的最大值为，最小值为，则（）A. B. 2 C. D.10. 已知向量，，满足，，，为内一点（包括边界），，若，则以下结论一定成立的是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知，则__________．12. 设为虚数单位，则复数的虚部为__________，模为__________．13. 对给定的正整数，定义，其中，，则__________；当时，__________．14. 在锐角中，已知，则角的取值范围是__________，又若分别为角的对边，则的取值范围是__________．15. 已知双曲线的渐近线方程是，右焦点，则双曲线的方程为_________，又若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为__________．16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）．17. 如图，在平面四边形中，，，，点为中点，分别在线段上，则的最小值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值.19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知函数.（Ⅰ）若方程只有一解，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围.21. 已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.22. 已知数列满足，.（Ⅰ）若，求证：对任意正整数均有；（Ⅱ）若，求证：对任意恒成立.浙江省宁波市2020届高三上学期期末考试数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A.2. 已知，则条件“”是条件“”的（）条件.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当时，不成立，所以充分性不成立，当时，成立，也成立，所以必要性成立，所以“”是条件“”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题通过不等式的基本性质主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3. 若函数为偶函数，则实数的值为（）A. 1B.C. 1或D. 0【答案】C【解析】时，不是偶函数，时，二次函数的对称轴为，若为偶函数，则，得或，故选C.4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（）A. 3B.C. 5D.【答案】D【解析】是焦点在轴上的椭圆，，离心率，得，故选D.5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴，解得r=2，本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．视频6. 已知，为的导函数，则的图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，为奇函数，图象关于原点对称，排除，又，可排除，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意，，，，故选B.8. 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为（其中）；则由，得所以，最小的1分为．故选A．考点：等差数列的性质9. 若函数在上的最大值为，最小值为，则（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】，又，且时，等号成立，故只需求的最大值，由于，故，故选C.10. 已知向量，，满足，，，为内一点（包括边界），，若，则以下结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为原点，以所在直线轴建立坐标系，设，则有，，得，又点在内，满足的关系式为，取不满足，，排除选项，取，不满足，排除选项，又，正确，故选B.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积以及平面向量基本定理、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知，则__________．【答案】2【解析】，，，故答案为.12. 设为虚数单位，则复数的虚部为__________，模为__________．【答案】 (1). -2 (2).【解析】，的虚部为，故答案为（1）；（2）. 13. 对给定的正整数，定义，其中，，则__________；当时，__________．【答案】 (1). 64 (2).【解析】，时，，故答案为（1）；（2）.14. 在锐角中，已知，则角的取值范围是__________，又若分别为角的对边，则的取值范围是__________．【答案】 (1). (2).【解析】锐角中，，，由，可得，，故答案为（1）；（2）.15. 已知双曲线的渐近线方程是，右焦点，则双曲线的方程为_________，又若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为__________．【答案】 (1). (2).【解析】双曲线的渐近线方程是，右焦点，双曲线方程为，设右焦点，由双曲线定义可得，的周长为，故答案为（1）；（2）.16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）．【答案】52【解析】因为，对于上述四种情形掷这四个骰子，分别有种情形，综上共有种情形，故答案为.17. 如图，在平面四边形中，，，，点为中点，分别在线段上，则的最小值为__________．【答案】1..................故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值，最小值为.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式化简，根据周期公式可得结果；（Ⅱ由，可得，结合正弦函数的图象可得时，取得最大值，时，的最小值为.试题解析：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为，所以.当，即时，取得最大值；当，即时，.即的最小值为.19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设与的交点为，连结，则为的中点，由为中点，利用三角形中位线定理可得，从而根据线面平行的判定定理可得平面；（Ⅱ）由勾股定理可得，根据线面垂直的性质定理得平面，故，再根据线面垂直的判定定理可得平面，故就是直线与平面所成的角，在直角中可得.试题解析：（Ⅰ）设与的交点为，连结.因为为矩形，所以为的中点.在中，由已知为中点，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在中，，，所以，即.因为平面平面，平面平面，，所以平面，故.又因为，平面，所以平面，故就是直线与平面所成的角.在直角中，，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 已知函数.（Ⅰ）若方程只有一解，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，可得函数在上单调递减，函数在区间上单调递增，根据单调性可得时，，时，,且，结合函数图象可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意正实数，恒成立，等价于，先排除，当时，利用导数可得，所以.试题解析：（Ⅰ）由已知.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在区间上单调递增.故.又当时，.且（对足够小的）.又当时，.即所求的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.所以对任意正实数，恒成立，等价于.∵.（1）当时，，与式矛盾，故不合题意.（2）当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在区间上单调递减.，所以.综合（1）（2）知实数的取值范围为.21. 已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，，由消去得，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，从而可得结论；（Ⅱ）设，则，，，，，利用导数求出的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，以为切点的切线方程分别为，.由消去得.则，.这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，得.所以直线恒过定点.（Ⅱ）设，则，，当时，则，可得，当时，则，，，同样可得.所以.由.所以.令，..所以在上为减函数，在上为增函数.所以.（或当时取等号.）【方法点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22. 已知数列满足，.（Ⅰ）若，求证：对任意正整数均有；（Ⅱ）若，求证：对任意恒成立.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，根据和在均为增函数，可得，当时，由在上为减函数，得.当时，可得恒成立，从而可得结论；（Ⅱ）由第（Ⅰ）题知，令，则，可证明为递减数列，.从而.又由可得.所以.试题解析：（Ⅰ）当时，根据和在均为增函数.从而当时，必有或.当时，由在上为减函数，得.当时，，从而恒成立.综上所述，对所有满足的正整数均成立.（Ⅱ）一方面，由第（Ⅰ）题知.又.所以.另一方面，，且，令，则，即，且，.∴.由，且知为递减数列，且.所以.从而.又由.所以.所以.。

2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ） A ．{}1,0- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 4．已知131log 4a =，154b =，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >> 5．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0kt P P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=）A ．8B ．9C ．10D ．147．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若0.33a =，log 3bπ=，0.3log c e =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 11．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1x x x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．4 12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥ B ．2a ≥- C ．52a ≥- D ．3a ≥-二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 14．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.17．函数20.5log y x =________18．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x f x g x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.19．已知函数1()41x f x a =+-是奇函数，则的值为________. 20．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，(1)求g (x )的解析式及定义域；(2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21x g x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值. 23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .24．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mt y c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。

浙江省宁波市外国语学校2020年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．参考答案：D略2. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的是（）A. B.C. D.参考答案：B略3. 的值等于（）A . B. C . D.参考答案：D4. 与函数y=|x|相等的函数是（）A．y=（）2 B．y=（）3 C．y=D．y=参考答案：C【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】对于A，B，D经过化简都可得到y=x，显然对应法则和y=|x|的不同，即与y=|x|不相等，而C化简后会得到y=|x|，从而得出该函数和y=|x|相等．【解答】解：y=，， =x，这几个函数的对应法则和y=|x|的不同，不是同一函数；，定义域和对应法则都相同，是同一函数．故选C．【点评】考查函数的三要素：定义域、值域，和对应法则，三要素中有一要素不同，便不相等，而只要定义域和对应法则相同时，两函数便相等．5. 已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α<a<b<β B．a<α<β<b C．a<α<b<β D．α<a<β<b参考答案：A6. 已知圆C的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为A. B.C. D.参考答案：D略7. 下列函数是偶函数的是（）A．y=x B．y=3x2 C．y=x﹣1 D．y=|x|（x∈[0，1]）参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数、偶函数的定义即可判断每个选项函数的奇偶性，从而找出正确选项．【解答】解：y=x，y=x﹣1都是奇函数；y=3x2为偶函数；y=|x|（x∈[0，1]）的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数．故选：B．8. 已知全集，集合A={4,5,6}，则=A．{1,2,3,4} B．{0,1,2,3} C．{x|0≤x≤3} D．{1,2,3}参考答案：B9. 如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5D．a≥5参考答案：A10. 在等差数列中,若，则的值等于（）A.45B.75C.180D.300参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 .参考答案：(2,0)12. 不等式的解集是．参考答案：（﹣4，2）【考点】其他不等式的解法．【分析】由不等式可得（x﹣2）（x+4）＜0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．【解答】解：由不等式可得＜0，即（x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2，故不等式的解集为（﹣4，2），故答案为（﹣4，2）．13. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，2），则f（3）= ．参考答案：9【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出函数y=f（x）的解析式，再计算f（3）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，a∈R，函数图象过点（，2），∴=2，解得a=2；∴f（x）=x2，∴f（3）=32=9．故答案为：9．【点评】本题考查了幂函数求解析式以及求函数值的应用问题，是基础题目．14. 函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2．当x1≠x2时，恒有＜0．则称函数f（x）为“理想函数”，则下列四个函数中：①f（x）=；②f（x）=x2；③f（x）=；④f（x）=log（+x）可以称为“理想函数”的有__________个．参考答案：215. 直线与直线的距离是________．参考答案：由直线，可化为，则直线和直线之间的距离．16. 若，则y的最小值为．参考答案：4由题意得，所以，当且仅当，即时等号成立.17. 设正数a，b满足，则a=_____；b=_____．参考答案：1【分析】根据基本不等式求解.【详解】当且仅当且即时，“=”成立.所以.【点睛】本题考查基本不等式.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}，则∁U A =( )A. φB. {x|x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|x ≥0}2. 下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )A.B.C.D.3. 若点M 在△ABC 的边AB 上，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2CA⃗⃗⃗⃗⃗ −2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 函数f (x )=(12)x−x +2的零点所在的一个区间是( )A. (2,3)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)5. 在圆0中，长度为√2的弦AB 不经过圆心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 12B. √22C. 1D. √26. 不等式−2x −1<3的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)7. 函数 f(x)=|x|+1的图象是 ( )A.B.C.D.8. 在△ABC 中，5sinAcosA +1=0，则sinA −cosA 的值为( )A. −√357B. √357C. −√355D. √3559. 已知函数f(x)=sin x ·|sin x|，给出下列结论：①f(x)是周期函数；②f(x)是奇函数；③[− π 2, π 2]是函数f(x)的一个单调递增区间；④若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=kπ(k ∈Z)；⑤不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|的解集为则正确结论的序号是( )A. ①②④B. ①②③④C. ②③D. ①②③⑤10. 已知函数f(x)=mx 2+mx −1.若对于任意的x ∈[1,4]，f(x)<5−m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,27)B. (−∞,1)C. (1,5)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 圆的半径是12，弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于___________． 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则ω=______，φ=_____．13. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________．14. 设函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ≥1，则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是_________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，则x 的值为 ．16. 若sin(α−π)=35，α为第四象限角，则tanα= ______ ． 17. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．19. 已知向量a ⃗ =(λ,1)，b ⃗ =(λ+2,1)，若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则实数λ= ______ ．20. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像与直线y =2两相邻交点之间的距离为π，且图像关于x =π3对称. (1)求y =f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥√3的x 取值范围.21. 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4CD ．(1)试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB =3，AD =2，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．22. 已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}； ∴∁U A ={x|0≤x <1}． 故选：C ．进行补集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集的定义及运算．2.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性及函数图象的应用，属于基础题．根据函数图象关于原点对称的是奇函数、函数图象关于y 轴对称的是偶函数即可判断，注意判断函数的定义域是否关于原点对称．解：选项A 中的函数图象关于原点或y 轴均不对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B 中的函数图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数，选项C ，D 中的函数图象所表示的函数定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除． 故选B ．3.答案：D解析：【分析】如图，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查向量的加减法运算法则，属于中档题．【解答】解：如图，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查函数的零点的判定定理的应用，首先得出函数的单调性，根据函数零点的存在定理判断即可．解：易知函数f(x)=(12)x−x +2为单调递减函数，∵f(2)=(12)2−2+2=14>0，f(3)=(12)3−3+2=−78<0， ∴f(x)的零点所在的区间是(2,3)， 故选A ．5.答案：C解析：解：取AB 的中点为C ，由圆的性质可得OC ⊥AB ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(√22)2+0 =1 故选：C取AB 的中点为C ，可得OC ⊥AB ，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的加减运算，同时考查转化的思想，属基础题．6.答案：C解析：解：不等式−2x−1<3，可得x>−2．不等式−2x−1<3的解集为(−2,+∞)．故选：C．直接利用不等式化简求解即可．本题考查一次不等式的解法，考查计算能力．7.答案：D解析：本题主要考查根据函数的解析式判断函数的图象特征，属于基础题．由函数f(x)的解析式可得，当x=0时，函数f(x)取得最小值，结合所给的选项可得结论．解：由于函数f(x)=|x|+1，故当x=0时，函数f(x)取得最小值．结合所给的选项，只有D满足条件，故选D．8.答案：D解析：此题考查学生灵活运用二倍角正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题，应注意判断所求式子的符号，先利用二倍角的正弦函数公式把已知条件化简得到2sin A cosA的值，并根据其值得到A的范围，进而得到sinA−cosA的符号，然后把所求的式子平方后，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将2sin A cosA的值代入即可求出值，根据sinA−cosA的符号，开方即可得到sinA−cosA的值．，解：5sinAcosA+1=0，则sinAcosA=−15可知，，则．故选D ．9.答案：D解析：本题考查三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式，属于较难题． 解题时依据三角函数的三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式逐一验证即可求解．解：对于①，∵f (x +2π)=f (x )，∴f(x)=sin x ·|sin x|为周期函数，①正确；对于②∵f (−x )=−f (x )，∴f (x )为奇函数，②正确； 对于③，当x ∈[0,π2]时，在区间[0,π2]单调递增，又f(x)为奇函数且过原点，∴[−π2,π2]是函数f(x)的一个增区间，③正确；对于④，由②③可画出函数f(x)在[−π2,π2]的图象， ∵f(π2+x)=f (π2−x)，∴f(x)的图象关于直线x =π2对称， 可画出函数f(x)在区间[π2,3π2]上的图象，即得到函数f(x)在[−π2,3π2]上的图象，即一个周期的图象，在[−π2,3π2]上的对称中心为(0,0),(π,0)，∴在整个定义域上的对称中心为(kπ,0)(k ∈Z )．即若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=2kπ(k ∈Z)，④不正确；对于⑤，先求不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|在一个周期内的解集.取区间[0,2π]，∵sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|⇔f (2πx )>f (2πx +π2),{2πx >π42πx +π2<7π4, 在整个定义域上{2πx >π4+2kπ2πx +π2<7π4+2kπ(k ∈Z), 解得k +18<x <k +58,k ∈Z ，⑤正确．综上可知，正确结论的序号为①②③⑤． 故选D ．10.答案：A解析：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题． 利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,4]上的最小值，即可求m 的取值范围． 解：由题意，f(x)<5−m ，可得m(x 2+x +1)<6． ∵当x ∈[1,4]时，x 2+x +1∈[3,21]， ∴不等式f(x)<5−m 等价于m <6x 2+x+1．∵当x =4时，y =x 2+x +1取得最大值21，则6x 2+x+1的最小值为621=27， ∴若要不等式m <6x 2+x+1恒成立， 则必须m <27，因此，实数m 的取值范围为(−∞,27). 故选A ．11.答案：38解析：本题考查扇形面积公式，是基础的计算题． 直接利用扇形的面积公式得答案． 解：由r =12，圆心角的弧度数α=3，得 扇形面积S =12αr 2=12×3×(12)2=38．故答案为38．12.答案：2；π6 解析：解：由图象可得，解得ω=2， 故， 把点(0,1)代入可得， 解得故答案为：2；π6由图象可得，可得ω，把点(0,1)代入解析式可得φ值本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，属中档题．13.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果． 解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14，所以log 2a b =log 2214=14． 故答案为14． 14.答案：解析： 本题考查函数定义域与值域，分段函数，函数的单调性与单调区间，属于基础题，先由f(f(a))=2f(a)，根据分段函数式判断f(a)≥1，再由分段函数的单调性和每一段的值域可知3a −1≥1，解得即可．解：∵函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ⩾1， ∴f(f(a))=2f(a)，得f(a)≥1，又∵x <1，f(x)=3x −1，单调递增，且f(x)<2，x ≥1，f(x)=2x ，单调递增，且f(x)≥2，∴由f(a)≥1，得3a −1≥1，解得a ≥23，∴a 的取值范围是． 故答案为．15.答案：52解析：本题考查任意角的三角函数定义，由余弦的定义即可求解．解： 因为角α终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，所以cosα=x r =22=−513，解得x =52．故答案为52．16.答案：−34解析：解：sin(α−π)=35，α为第四象限角，sin(α−π)=−sinα=35，∴sinα=−35，cosα=√1−sin 2α=45． tanα=sinαcosα=−34．故答案为：−34．利用诱导公式求出sinα，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可．本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，基本知识的考查． 17.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4．故答案为：4．由已知结合向量减法的三角形法则化简求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量减法的三角形法则，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，故A =(0,1)，所以∁R A =(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀．综上所述，实数m 的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，求出A =(0,1)，由此能求出∁R A .(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀.由此能求出实数m 的取值范围．19.答案：−1解析：解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 化为a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴λ(λ+2)+1=0，解得λ=−1．故答案为：−1．由|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，利用数量积的运算性质可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，再利用数量积的坐标运算即可得出．本题考查了数量积的运算性质、数量积的坐标运算，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知可得， ， ∴， 又的图象关于 对称， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 所以(2)由(1)可得， ∴， 由得 ， 的单调递增区间为， ． ∵， ∴， ∴， ∴解析：本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．(1)利用周期公式，结合最高点的坐标，求出相应的参数，即可求出函数的解析式；(2)利用平移变换求出g(x)的解析式，可得g ( x ) 的单调递增区间，再利用正弦函数的性质，即可解不等式。

浙江省宁波市高一上学期期末考试（数学）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22道题. 试卷满分150分，考试时间1，本次考试不得使用计算器. 请考生将所有题目都做在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、0300-化为弧度是A. π34-B. π35-C. π47-D. π67-2、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42tan 2πx y 的定义域是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠∈Z k k x R x x ,4|ππ且 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,832|ππ且 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,43|ππ且 D .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,82|ππ且 3、点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动34π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,23C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,21D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23 4、如图1所示，在ABC ∆中，点D 是边AB 的中点，则向量=A. BC BA +21B. BC BA -21C. --21D. +-215、在ABC ∆中，若()()0=+⋅-，则ABC ∆一定是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形6、若角α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则角2α是ACB图1A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7、已知)3,0(),0,3(B A ，O 为坐标原点，点C 在第一象限内，且︒=∠60AOC ，设)(R OB OA OC ∈+=λλ，则λ等于A. 33B.3 C. 31D. 38、已知1010)2sin(,552sin-=-=βαα，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∈2,0,,0πβπα，则β等于 A. 34π B. 3π C. 4π D. 6π9、在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足=++4，则PBC ∆ 与PAB ∆的面积之比是A. 31B. 21C. 43D. 3210、若函数1cos )6sin(2)(44+++++=xx xx x x f π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值与最小值分别为M 与N ，则有A ．2=-N MB ．2=+N MC ．4=-N MD ．4=+N M第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11、设扇形的半径长为cm 4，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是▲ . 12、已知)1,1(),1,1(),0,1(-===c b a ，满足b a c μλ+=， 其中R ∈μλ,，则λ= ▲ .13、函数x x f 2cos )(=的对称轴方程为 ▲ . 14、向量b a ,12==，()34-=+⋅b a a ，则向量b a ,的夹角大小为 ▲ .15、函数x x x f -=sin 3)(的零点个数为 ▲ .16、在长方形ABCD 中，设c b a ===,,2=，+- ▲ .17、已知函数)(x f y =满足)()(x f x f -=π，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时， x x x f sin )(+=，设)3(),2(),1(f c f b f a ===，将c b a ,,按从小到大的顺序排列，依次是 ▲ . (请用“<”联结)三、解答题 (本大题５小题，共7２分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 18、（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，)4,3(),2,1(---B A ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求⋅； （Ⅱ）若点P 在直线AB 上，且求,⊥的坐标．19、（本小题满分14分）已知314tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα． （Ⅰ）求αtan 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---απαπαπα23sin 2sin )sin(sin 222的值． 本题满分14分）如图2，在ABC ∆中，060,3,8=∠==BAC AC AB ，以点A 为圆心，2=r 为半径作一个圆，设PQ 为圆A 的一条直径．（Ⅰ）请用,表示, 用,表示； （Ⅱ）记θ=∠BAP ，求CQ BP ⋅的最大值． 21、（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，C B A ,,三点满足3231+=．（Ⅰ）求证：C B A ,,的值；（Ⅱ）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+2,2),cos ,cos 1(),cos ,1(ππx x x B x A ，且函数m x f -+⋅=)322()(的最小值为21，求实数m 的值．22、（本小题满分15分） 已知函数)0,0)(cos()sin(3)(><<+-+=ωϕϕωϕωπx x x f ，（Ⅰ）若函数)(x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为2π，且它的图象过)1,0(点，求函数)(x f y =的表达式；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的函数)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =的单调递增区间；（Ⅲ）若()f x 的图象在)(1001,R a a a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈上至少出现一个最高点或最低点，则正整数ω的最小值为多少？参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） BBCDA CDCBD二、填空题（每小题4分，共28分）11、21 12、2- 13、)(2Z k k x ∈=π 14、π6515、3 16、 4 17、b a c << 三、解答题：本大题５小题，共7２分 18、解：（Ⅰ）5)4()2()3(1=-⨯-+-⨯=⋅ ………… 5分（Ⅱ）设),(n m P AB P 与上在∴, 共线 )2,4(= )2,1(n m ---= 0)1(2)2(4=----⋅∴m n即052=+-m n ① ………… 9 分 又AB OP ⊥ 0)2,4(),(=--⋅∴n m∴02=+n m ② ………… 12 分 由①②解得2,1-==n m 即)2,1(-= ……………… 14分 19、解：（Ⅰ）∵31tan 11tan )4tan(=-+=+ααπα∴21tan -=α ………… 6 分（Ⅱ）原式＝αααα22cos cos sin sin 2+-=22222sin sin cos cos sin cos αααααα-++=1tan 1tan tan 222++-ααα5812112121222=+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= ………… 14分：（Ⅰ）-=， ………… 2分--= ………… 4分（Ⅱ）,600=∠BAC θ=∠BAP ，,600θ+=∠∴CAP2,3,8===AP AC AB()()AC AP AB AP CQ BP ---=⋅∴()θθcos 1660cos 680++-= ………… 10分=8cos 13sin 33++θθ()8sin 14++=ϕθ ………… 13分（其中3143cos ,1413sin ==ϕϕ）∴当1)sin(=+ϕθ时，⋅的最大值为22． ………… 14分21、解：（Ⅰ）∵3231+= ∴31=又因为,有公共点B ， ∴C B A ,,三点共线 ………… 4分∵CB AC 2==32 ………… 6分（Ⅱ） ∵),cos ,cos 1(),cos ,1(x x B x A +∴)cos ,cos 1(32)cos ,1(313231x x x OB OA OC ++=+=)cos ,cos 321(x x += ………… 8 分 ∴x x 2cos cos 321++=⋅xcos =∴1cos 2cos )322()(2++=-+⋅=x m x m x f ………10分设t x =cos ∵],2,2[ππ-∈x ∴]1,0[∈t∴2221)(12m m t mt t y -++=++=当0<-m 即0>m 时，当0=t 有211min ≠=y当10≤-≤m 即01≤≤-m 时，当m t -=有2112min =-=m y∴22-=m当1>-m 即1-<m 时，当1=t 有2122min =+=m y ∴43-=m （舍去）综上得22-=m ． Ks5u ………… 15分22、解：（Ⅰ）)cos()sin(3)(ϕωϕω+-+=x x x f＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x ＝)6sin(2πϕω-+x ………… 3分 由题意得222πωπ⨯=，所以2=　ω 所以)62sin(2)(πϕ-+=x x f又因为)(x f y =的图象过点)1,0(，∴21)6sin(=-πϕ又∵πϕ<<0 ∴3πϕ=∴)62sin(2)(π+=x x f ………… 6分（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移6π个单位后，得到)62sin(2π-=x y 的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin 2πx y 的图象.即⎪⎭⎫ ⎝⎛-==621sin 2)(πx x g ………… 9分令2262122πππππ+≤-≤-k x k , 则 344324ππππ+≤≤-k x k∴)(x g 的单调递增区间为)(344,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．………12分（Ⅲ）若()f x 的图象在)(1001,R a a a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈上至少出现一个最高点或最低点，则1001<ωπ，即πω100>，又ω为正整数，∴315min =ω．………15分。

2019-2020学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U Z =,{}2,2A x Z x x =∈≤-≥或,则U A =ð( ) A ．{}22x x -≤≤ B ．{}22x x -<<C ．{}2,?1,0,1,2-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】根据补集的概念和运算，求得U A ð. 【详解】根据补集的概念和运算可知U A =ð{}{}|221,0,1x Z x ∈-<<=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B ，属于基础题. 2．下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在()0,∞+上单调递增的是( ) A ．ln y x = B ．3y x =C ．1y x=D ．1y x x=+【答案】B【解析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项. 【详解】对于A 选项，ln y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于B 选项，3y x =为奇函数，且在()0,∞+上递增，符合题意.对于C 选项，1y x=是奇函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意. 对于D 选项，1y x x=+是奇函数，且在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．在ABC V 中,点M 、N 分别在边BC 、CA 上,若2BC BM =u u u r u u u u r ,3CA CN =u u u r u u u r,则MN =u u u u r( )A ．1126AB AC -+u u u r u u u r B ．1126AB AC -u u ur u u u rC ．1162AB AC -u u ur u u u rD ．1162AB AC +u u ur u u u r【解析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得MN u u u u r的表达式. 【详解】依题意()2132MN AN AM AC AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 1126AB AC =-+u u ur u u u r . 故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题. 4．函数()()2 2.178283x f x e e x =+-≈的零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】利用零点存在性定理，判断出函数()f x 零点所在区间. 【详解】依题意()()()201,130,2220f f e f e ==->=+-<，当2x >时，()0f x <，根据零点存在性定理可知，()f x 零点所在区间是()1,2. 故选：B 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5．如图,在圆C 中弦AB 的长度为6,则AC AB ⋅=u u u r u u u r( )A ．6B ．12C ．18D ．无法确定【解析】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得AC AB ⋅u u u r u u u r【详解】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.所以1cos 2AC A AD AB ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r，所以21cos 182AC AB AC A AB AB ⋅=⋅⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题. 6．不等式tan 30x ≥的解集为( ) A ．,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭,k Z ∈B ．,2232k k ππππ++⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈C ．,3k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ D ．23,k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ 【答案】A【解析】解正切型三角不等式求得不等式的解集. 【详解】 依题意tan 3x ≥ππππ32k x k +≤<+，故原不等式的解集为,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭.k Z ∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7．函数()2222x x f x x x --=++-大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项. 【详解】依题意函数()f x 的定义域为R ，且()()2222x xf x x x f x --=-++-=-，所以函数为R上的奇函数，由此排除A,B,C 三个选项. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题. 8．已知角A 是ABC V 的内角,若sin 2cos 1A A -=-,则下列式子正确的是( ) A ．2sin cos 2A A -= B ．2sin cos 2A A +=- C ．3tan 4A = D ．12sin cos 25A A =-【答案】C【解析】结合sin 2cos 1A A -=-与22sin cos 1A A +=，求得sin ,cos A A ，由此判断出正确选项. 【详解】由于sin 2cos 1A A -=-，则sin 2cos 10,cos 0A A A =->>，所以A 为锐角，由22sin 2cos 1sin cos 1A A A A -=-⎧⎨+=⎩，即22sin 2cos 1sin cos 1A A A A =-⎧⎨+=⎩，解得34sin ,cos 55A A ==.所以22sin cos 5A A -=，2sin cos 2A A +=，sin 3tan cos 4A A A ==，12sin cos 25A A =.C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9．设函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∈,则下列结论错误的是( )A ．设1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >B ．对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=C ．对任意x ∈R ,都有()03f x f x π⎛⎫⎪⎭+ -⎝-=D ．对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】A 选项利用函数的单调性进行判断.B 选项利用函数的周期性进行判断.CD 选项通过计算证明等式是否正确. 【详解】 A ，由π02π3x ≤+≤解得ππ63x -≤≤，所以()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >，故A 选项正确.B ，函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫⎪⎝⎭=+∈的最小正周期为2ππ2=，所以对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=，故B 选项正确. C ，当0x =时，()()ππππ0cos cos 2cos 1033333f x f x f f π⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-+==≠ ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C选项错误. D ，πcos 2cos 2366x f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--， 6f x π⎛--⎫ ⎪⎝⎭()ππcos 2cos 2cos 263x x x ⎡⎤⎛⎫=--+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10．已知a R ∈,函数()2f x ax x =-,若存在[]0,1t ∈,使得()()22f t f t +-≤成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．[]0,1 B ．(],1-∞C ．0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】化简不等式()()22f t f t +-≤，分离常数a ，根据t 的取值范围，求得a 的取值范围. 【详解】()()()()()22222442f t f t a t t at t at a ⎡⎤+-=+-+--=+-⎣⎦Q∴原命题等价于存在[]0,1t ∈,使得4422at a +-≤成立,即存在[]0,1t ∈,使得11a t ≤+成立，即max11a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭,因此1a ≤. 故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.二、填空题11．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________. 【答案】2 1【解析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积. 【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为2，由扇形的面积公式得221121122S r α=⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0>ω,ϕπ<）的部分图象如图所示,则ω=________,ϕ=________.【答案】2312π【解析】首先根据图像求得函数()f x 的周期，进而求得ω的值，再由点5π,28⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ的值.【详解】根据图像可知，11π5π3π4884T =-=，所以3πT =，即()2π3π0ωω=>，解得23ω=.所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则5π25π5π2sin 2sin 283812f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5πsin 112ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于ϕπ<，所以5πππ,12212ϕϕ+==.故答案为：(1). 23(2). 12π【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题. 13．若231log log 2a b ==,则ab =________,6log ab =________. 612【解析】将对数式化为指数式，求得,a b 的值，进而求得ab 的值以及6log ab 的值. 【详解】由231log log 2a b ==得11222,3a b ==，所以()11112222232366ab =⨯=⨯==12661log log 62ab ==. 故答案为：(1). 6 (2).12【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14．设函数()()()22log 1,312,3x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩,则()f x 的单调递增区间为________,()f x 的值域为________.【答案】[)1,+∞ [)2,-+∞.【解析】画出()f x 的图像，根据图像求得()f x 的单调递增区间和值域. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，()f x 的值域为[)2,-+∞.故答案为：(1). [)1,+∞ (2). [)2,-+∞【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以x 轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线y x =对称.若α的终边经过点()1,2P ,则sin sin αβ+=________.【答案】5【解析】由α终边上一点的坐标，求得sin α，根据对称性求得β终边上一点的坐标，由此求得sin β，进而求得sin sin αβ+. 【详解】由于α的终边经过点()1,2P ，所以sin 5α==.点P 关于直线y x =对称点为()2,1，所以sin 5β==，所以sin sin 5αβ+=.【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于y x =对称点的坐标的特点，属于基础题. 16．已知α为第四象限角,化简=________.【答案】2cos α【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式. 【详解】依题意α为第四象限角，所以=+=+1sin 1sin 1sin 1sin 2cos cos cos cos αααααααα+-++-=+==.故答案为：2cos α【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．非零平面向量a r ,b r,满足2b =r ,且()b b a b a ⋅-=-r r rr r ,则a r 的最小值________.【答案】3【解析】首先求得b r与()b a -r r 的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得a r 的最小值.【详解】2b =r Q ,()b b a b a ⋅-=-r r r r r ,设b r 与()b a -r r 的夹角为θ,因此()1cos 2b b a b a b θ⋅-==-⋅r r r r r r即b r 与()b a -r r 的夹角为3π（如图）,ar 的终点在射线BA 上,因此a r 的最小值为3sin 23b θ⋅=⨯=r . 故答案为：3【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题18．已知集合{}51A x m x m =-<<-,函数()()2lg 6f x x x =-++,记()f x 的定义域为B .(Ⅰ)当2m =时,求A B U ,A B I ; (Ⅱ)若A B ⋂≠∅,求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) {}33A B x x ⋃=-<<,{}21A B x x ⋂=-<<; (Ⅱ) 18m -<< 【解析】（I ）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合B ，由此求得A B U ,A B I .（II ）根据A B ⋂≠∅列不等式组，解不等式组求得实数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当2m =时,得{}31A x x =-<<,由260x x -++>,得{}23B x x =-<<, 于是{}33A B x x ⋃=-<<, {}21A B x x ⋂=-<<;（Ⅱ）若A B ⋂≠∅,则1253m m ->-⎧⎨-<⎩, 得18m -<<.【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19．已知a r ,b r ,c r 是同一平面内的三个向量,且()1,2a =-r .(Ⅰ)若5c =r ,且//c a r r ,求c r 的坐标;(Ⅱ)若3b =r ,且3a b +r r 与3a b -r r 垂直,求向量a r 与b r 夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ) c =-r ,或(c =r ; (Ⅱ) 【解析】（I ）利用c a λ=r r 设出c r 的坐标，根据5c =r 列方程，由此求得c r 的坐标.（II ）根据3a b +r r 与3a b -r r 垂直，则()()330a b a b +⋅-=r r r r ，化简后求得32a b ⋅=r r ，利用向量夹角公式，计算出向量a r 与b r 夹角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）设()2,a c λλλ==-r r5c =r Q,5=,即λ=故c =-r ,或(c =r ; （Ⅱ）()()33a b a b +⊥-r r r r Q ,()()330a b a b ∴+⋅-=r r r r 即223830a a b b +⋅-=r r r r ,代入整理得32a b ⋅=r rcos 10a b a bθ⋅==⋅r r r r , ∴向量a r 与b r【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20．已知函数()()sin 033x f x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=-<<,满足06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 62k ω=+,k Z ∈.单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ (Ⅱ) ()1,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（I ）利用06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合03ω<<，求得ω的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调递增区间.（II ）根据图象变换的知识求得()g x 的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因为()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以63k ωπππ-=,k Z ∈ 因此62k ω=+,k Z ∈又03ω<<,2ω=,因为()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以222232k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈即51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈ 因此函数()f x 的单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因此()ππsin sin 4312y g x x x π⎛⎫==+-=⎛⎫ ⎪⎝-⎪⎝⎭⎭ ， 又344,x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,,21233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以()31,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,90DAB ∠=︒,2AB =,1CD =,P 是线段AD 上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当3AD =时,(i )求AC AB ⋅u u u r u u u r 的值;(ⅱ)若54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,求AP u u u r 的值; (Ⅱ)求2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【答案】(Ⅰ) （i ）2 （ⅱ）3AP =u u u r (Ⅱ) 最小值为5 【解析】建立平面直角坐标系.（I ）当3AD =时，（i ）利用向量数量积的坐标运算，求得AC AB ⋅u u u r u u u r. （ii ）设AP t =u u u r 得出P 点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合54PB PC ⋅=u u u r u u u r ，求得t ，也即求得AP u u u r的值.（II ）设()1,C c 、()0,P t ，而()2,0B ，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得2PB PC +u u u r u u u r 的表达式，由此求得2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【详解】 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当3AD =时,（i ）2AB =Q ,()2,0AB ∴=u u u r ,(3AC =u u u r 因此21032AC AB ⋅=⋅+=u u u r u u u r ; （ⅱ）设AP t =u u u r ,即点P 坐标为()0,t ,则()2,PB t =-u u u r ,()3PC t =u u u r , ())2235213324PB PC t t t t t ⎛⋅=⋅+-⋅=+=+ ⎝⎭u u u r u u u r 当32t =时,54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,即3AP =u u u r （Ⅱ）设()1,C c 、()0,P t ,又()2,0B则()()()222,15,,3PB PC t c t c t +=-+-=-u u u r u u u r ,()222535PB PC c t ∴+=+-≥u u u r u u u r ,当3t c =时取到等号, 因此2PB PC +u u u r u u u r 的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22．设函数()()2a x f ax x =-+,其中a R ∈.(Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的零点;(Ⅱ)若对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（I ）当1a =时，将()f x 表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得()f x 的零点.（II ）方法一：当0a ≥时，求得()f x 表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及()1f x ≥-列不等式，解不等式求得a 的值.当0a <时，分成105a -<<和15a ≤-两种情况进行分类讨论，结合函数()f x 的单调区间和最值列不等式（组），由此求得a 的取值范围.方法二：利用()f x 在区间[],1a a +端点的函数值不小于1-列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的a 的取值范围，恒有()1f x ≥-.【详解】（Ⅰ）当1a =时,()2231,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨--->⎩,（i ）当0x ≤时,令()0f x =,即2310x x ---=,解得32x -±=; （ⅱ）当0x >时,令()0f x =,即210x x ---=,此方程∆<0,无实数解.由（i ）（ⅱ）,得()f x 的零点为32--,32-+ （Ⅱ）方法1.（i ）当0a ≥时, 对于[],1x a a ∈+,得()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝, 显然函数()f x 在[],1a a +上递减,要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 11f x f a =+≥-,即23311a a --≥--,得10a -≤≤,又0a ≥,所以0a =符合题意.（ⅱ）当0a <时,()2222,03,0x ax a x f x x ax a x ⎧---≤=⎨--->⎩ 22223,02435,024a a x x a a x x ⎧⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++> ⎪⎪⎝⎭⎩ 由3022a a ->->,知函数()f x 在32,a ⎛-∞-⎤ ⎥⎝⎦上递增,在,32a -+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减.以下对a 再进行分类1︒当312a a -<+,即105a -<<时, 函数()f x 在2,3a a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上递增,在31,2a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上递减. 此时()()(){}min min ,1f x f a f a =+, 只需()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥⎪⎩解得330a a ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩,即03a -≤≤ 又105a -<<,所以105a -<<符合题意. 2︒当312a a -≥+,即15a ≤-时, 函数()f x 在[],1a a +上递增.要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 1f x f a =≥-,即2231a a ≥--,得33a -≤≤, 又15a ≤-所以135a -≤≤-符合题意.由（i ）（ⅱ）,得实数a的取值范围是0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方法2.因为对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,所以()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩,解得0a ≤≤. 下面证明,当0,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-, （i ）当0a x ≤≤时,()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝递增, 故()()231f x f a a ≥=--≥成立; （ⅱ）当01x a ≤≤+时,()223f x a x ax =---, ()221115515124f a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=---=-++≥-,()21013f a =-≥->-, 故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立.由此,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。

宁波市2020届高三上学期期末考试数学试卷一、选择题1.已知会合，（）.则A. B. C. D.【答案】B【分析】【剖析】解出绝对值不等式获得会合，利用并集定义直接求解．【详解】∵会合，，B．∴，应选【点睛】此题主要考察并集的求法，考察并集定义、不等式性质等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．2.已知平面，直线知足，则“”是“”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充足必需条件D.既不充足也不用要条件【答案】A【分析】【剖析】依据线面平行的定义和性质以及充足条件和必需条件的定义进行判断即可．【详解】∵，，∴当时，成立，即充足性成立，当时，不必定成立，即必需性不可立，则“”是“”的充足不用要条件，应选：A．【点睛】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，依据线面平行的定义和性质是解决此题的重点，是基础题．3.已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数（）既是周期函数又是奇函数A.既是周期函数又是偶函数不是周期函数可是奇函数不是周期函数可是偶函数【答案】B【分析】【剖析】利用导数的定义及周期函数的定义能够证明周期函数的导数还是周期函数，利用奇函数的观点及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数．【详解】若是周期函数，设其周期为，．则所以周期函数的导数还是周期函数；若是奇函数，则，所以，即，所以奇函数的导数是偶函数，应选B．【点睛】此题主要考察了导数的基本观点，考察了函数的周期性与函数的奇偶性，是基础的观点题.4.设，则（）.A.-4B.-8C.-12D.-16【答案】C【分析】【剖析】依据，是睁开式中的系数，利用二项睁开式的通项公式，求得结果．的系数，【详解】，是睁开式中C．∴，应选【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项睁开式的通项公式，属于中档题．5.对于的不等式组表示的平面地区内存在点，知足，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】【剖析】作出不等式组对应的平面地区如图，要使平面地区内存在点，知足，则只要点在直线的下方即可．【详解】作出不等式组对应的平面地区如图：若平面地区内存在点，知足，则说明直线与地区有交点，即点位于直线的下方即可，则点在地区，即，得，即实数的取值范围是，应选C．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形联合判断出点在直线的下方是解决此题的重点，属于中档题.6.某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】【剖析】依据已知可得几何体是一个四分之一，与三棱柱的合体，分求出它的体，相加可得答案．【解】依据已知可得几何体是一个四分之一，与三棱柱的合体，四分之一的底面半径1，高1，故体：，三棱柱的底面是两直角分1和2的直角三角形，高1，故体：，故合体的体，故D．【点睛】本考的知点是由三求体和表面，依据三判断出几何体的形状是解答的关，属于中档.7.数列足，数列的前2020和（）.A.B.C.D.【答案】A【分析】【剖析】算数列的前几，合数列的乞降方法：裂相消乞降，即可获得所乞降．【解】数列足，，可得，，⋯，A．可得数列的前2020和，故【点睛】本考数列的乞降方法：裂相消乞降，考运算能力，属于中档．8.已知是失散型随机量，以下的是()A.B.C. D.【答案】D【分析】【剖析】利用概率、数学希望、方差的性质直接求解．【详解】在A中，，故A正确；在B中，由数学希望的性质得在C中，由方差的性质得在D中，，故B正确；，故C正确；，故D错误．应选D.【点睛】此题考察命题真假的判断，考察概率、数学希望、方差的性质等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．9.已知椭圆为坐标原点且的离心率的取值范围为，则椭圆长轴长的取值范围是（，直线）交椭圆于点A. B. C. D.【答案】C【分析】【剖析】依据题意，联立直线与椭圆的方程，依据韦达定理和斜率的数目积得率公式可得，化简变形即可得答案．【详解】联立方程得设，，则，由，得，∴，化简得，∴，化简得，∵，∴，，，再依据离心∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为，应选C．【点睛】此题考察椭圆的几何性质，波及直线与椭圆的地点关系，注意充足利用根与系数的关系进行剖析，属于中档题10.在空间直角坐标系中，为坐标原点，知足，则以下结论中不正确的选项是（）A.的最小值为-6B.的最大值为10C.最大值为D.最小值为1【答案】B【分析】【剖析】依据题意可设，依据数目积的定义可得，可判断A，B；通过化简，联合三角函数的有界性可得最大值，可得最小值，综合得选项.【详解】依据题意可设；则；当时，；当时，.另一方面，当时能够取到最大值，进一步变形上式，令，则，当时取等号，即最小值为1，综上可得，选B.【点睛】此题考察命题真假的判断，考察向量的数目积、向量的模、三角函数的性质等基础知识，考察运算求解能力，考察化归与转变思想，利用三角换元以及三角函数的有界性是解题的重点，有必定难度．二、填空题11.设为虚数单位，给定复数，则的虚部为___；模为___【答案】(1).-1 (2).【分析】【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，则的虚部为，模为，故答案为.【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，考察了复数模的求法，是基础题．12.已知实数且若，则____；若，则实数的取值范围是___【答案】(1).(2).【分析】【剖析】由实数且，，求出，由此能求出的值；由，当时，；当时，无解，由此能求出的取值范围．【详解】∵实数且，，∴，∴，∴，∵，∴当时，；当时，无解，综上的取值范围是．故答案为，．【点睛】此题考察代数式化简求值，考察实数的取值范围的求法，考察对数性质、运算法例等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．13.将函数的图像的每一个点横坐标缩短为本来的一半，再向左平移个单位长度获得的图像，则_____；若函数在区间上单一递加，则实数的取值范围是___【答案】(1).(2).【分析】【剖析】利用函数的图象变换规律求得的分析式，再利用正弦函数的单一性求得实数的取值范围．【详解】将函数的图象的每一个点横坐标缩短为本来的一半，可得的图象；再向左平移个单位长度获得的图象．若函数在区间上单一递加，则，求得，则实数的取值范围是，故答案为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的单一性，属于中档题，平移过程中需注意先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（）个单位，原由是相位变换和周期变换都是针对x而言的．14.在中，为边中点，经过中点的直线交线段于点，若，则_____；该直线将原三角形分红的两部分，即三角形与四边形面积之比的最小值是___【答案】(1).4 (2).【分析】【剖析】由向量共线定理可知，而后依据，可分别用，表示，，依据与共线，联合向量共线定理可求，由，联合及基本不等式可求的最大值，从而可求三角形与四边形面积之比的最小值．【详解】∵ABC中，D为BC边的中点，E为AD的中点，∴，∵，∴，∴，同理∵与共线，∴存在实数，使（），即，∴，解得，，∴；∵，∵，∴，当且仅当时取等号，此时有最小值，则有M，N分别为AB，AC的中点，获得最小值，故答案为4，．【点睛】此题考察了向量三角形法例、平面向量基本定理、三角形法例、方程思想，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．15.设等差数列的前14项和，已知均为正整数，则公差____.【答案】-1【分析】【剖析】由已知可求出公差，从而，由，均为正整数，，得，由此推导出，，从而能求出公差．【详解】等差数列的前14项和，∴，∴，∴，∵，∵均为正整数，，∴，逐个代入，得，，由，解得.故答案为．【点睛】此题主要考察等差数列的公差的求法，考察等差数列的性质等基础知识，考察运算求解能力，属于中档题．阴历戊戌年马上结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张愿望卡，设计了一个与此愿望卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将愿望卡放入，则事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”的概率为___【答案】【分析】【剖析】基本领件总数，事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”包括的基本领件个数，由此能求失事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”的概率．【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张愿望卡，设计了一个与此愿望卡对应的漂流瓶．现每人随机的选择一个漂流瓶将愿望卡放入，基本领件总数，事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”包括的基本领件个数，∴事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”的概率为，故答案为．【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．17.已知不等式对随意正整数均成立，则实数的取值范围___【答案】【分析】【剖析】第一利用变换思想把分式不等式变换为整式不等式，进一步利用赋值法和会合法求出实数的范围．【详解】由，得：，记.则或；或；或；或；当时，或.所求范围为.【点睛】此题考察的知识重点：分式不等式的解法及应用，数列的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转变能力，属于中档题．三、解答题。