我与数学史的点点滴滴
林开亮
2019年12月26日
1数学家传记对我的影响
也许是受司马迁《史记》的影响，我一直喜欢读人物传记，尤其是科学家传记。对我来说，在课堂之外，年少时对我帮助最大的，除了《数学传播》和《数学译林》这两份普及期刊，就属数学家传记和文集了。其中特别要提到的，有：
?E.T.Bell的《数学精英》[1]，
?王元的《华罗庚》[2]，
?王元与杨德庄主编的《华罗庚的数学生涯》[3]，
?张奠宙主编的《杨振宁文集》[4]，
?张奠宙、王善平主编的《陈省身文集》[5]
?张奠宙、王善平合著的《陈省身传》[6]，?张洪光主编的《陈省身文选》[7]，
?江才健的《规范与对称之美——杨振宁传》[8]，
?Hardy的《一个数学家的辩白》[10]，
?Halmos的自传《我要作数学家》[9]，
?Dyson的自传《宇宙波澜》[11]，
?吴文俊主编的《世界著名科学家传记.
数学家》[12]。
我在本科时接触到这些书，它们对我的影响慢慢发酵，到研究生期间才觉察出来。后来我有幸见到其中几位作者、译者乃至传主本人，而且几位前辈都对我非常提携鼓励，尤其是杨振宁先生、王元先生和去年过世的张奠宙教授(1933–2018)。
我的第一篇科学史文章是《弗里曼·戴森：科学家与作家的一生》[13]，在杨振宁先生的指导下完成，当时我还在首都师范大学攻读基础数学的博士学位。这是我读[4,8,11]的收获，是我最美妙的经历之一。我曾在首都师范大学图书馆的一次演讲《在阅读中成长》中分享过。这段经历给我最大的教益就是：一个人要有想法。我在电影《一代宗师》里找到了共鸣。
在某种意义上，我认为[13]是对自己能力的证明。用《一代宗师》里的话来说，迈入习武之人的第一阶段——见自己。正是透过这篇文章以及对我在数学方面的能力之进一步了解，
杨先生郑重建议我考虑以科学史和科学普及为业。我分析了自己的长短，听取了他的建议，博士毕业后完全投入其中。我不能说我做得很成功，但我乐此不疲，因为我一直在做我想做的事，而且不少读者给我很积极的反馈和鼓励，令我受益良多。
杨先生对我一直支持鼓励，并建议了不少题目。其中之一是对Dirac(杨的三大偶像之一)的研究。我的成果是(在母校天津大学做的)通俗报告Dirac的生平与工作概览，由于物理基础和直觉欠缺，感觉逊于对Dyson的研究。
对于我的专业——基础数学，我悟性不高，想法比较少。现在回看起来，最终能够拿到一个博士学位，多亏比较早的阶段（本科）对数学之美妙有了初步的体验。这要感谢王元院士的两本关于华罗庚的著作[2]与[3]。记得我当时是在南开大学的数学图书馆（位于陈省身数学研究所，这是数学世界的“藏经阁”）读到这两本书。以此为指引，我开始了解华罗庚先生的数学工作。最终我本、硕、博三个阶段的学位论文都与华罗庚的工作密切相关。例如，我的本科论文在研究生阶段进一步扩充以后，投稿到台湾《数学传播》，是我发表的第一篇数学阐述文章《华引理及其应用》[14]。可以说，正是华罗庚先生关于体的半自同构定理一直激励着我对数学之美的追求。而我最初，正是从王元院士的著作[2]中了解到这一漂亮结果的。请允许我分享一下那个精彩段落[2, p.150]：
据说华罗庚在证明他的体的半自
同构定理是这样的：Kaplansky对
这个问题久思而不能完全解决。他
已经得到的结果的证明亦颇繁难。
他曾对华罗庚说:“你能不能将我
的漂亮定理的证明加以化简呢？”
这句话使华罗庚颇不高兴，他心
想：我何必简化你的证明而不去完
全解决半自同构问题呢？这促使华
罗庚投身于这个问题的研究之中，
他最终解决了这个问题。他的证明
写出来还不到两页纸。芝加哥大学
邀请华罗庚去演讲体的半自同构
问题。通常演讲为一小时，可是这
次华罗庚将定理的证明过程都详
细讲了，总共还没用到一刻钟，真
是别开生面的演讲啊！
读博士期间，我又系统地整理了华罗庚先生在矩阵论方面的贡献，写成了数学史论文《华罗庚关于矩阵标准型工作的介绍》[15]。我第一次公开做报告（感谢严加安院士给我机会），是2014年8月在内蒙古师范大学举行的“第四届全国数学文化论坛学术会议”上介绍华罗庚的矩阵工作。将这一报告反复打磨后，我多次应邀在其他高校（上海交通大学、重庆大学、北京师范大学、暨南大学）报告过。最新的版本是：华罗庚的生平与工作概览。
在重庆大学的报告中，我详细介绍了华罗庚的半自同构定理。
其英文版曾在2017年8月于成都召开的“第四届近现代数学史与数学教育国际会议”上报告过，反响也不错(感谢曲安京教授给我机会)。国外的许多同行对华罗庚(Loo-Keng Hua)的生平与工作都有兴趣。
作为对华罗庚研究的延伸，当我通过普林斯顿高等研究院档案馆的材料认识到华罗庚其实是Hermann Weyl的门徒之后，我对他的弟子陆启铿也做了研究，写成陆启铿院士：华罗庚多复变学派承前启后的一代宗师一文。
关于张奠宙老师对我的影响，那就更大了。简而言之，他为我树立了一个模范。他的著作启示我，沿着他开创的道路走下去，前途非常光明。我在《在阅读中成长》中分享的第一个故事，就是讲我因为读《陈省身传》而与张奠宙、王善平两位老师结缘。演讲之后过了两年(2016年)，我有机会拜访了张奠宙老师。虽然我们最终只见了这一面，但他确实扮演了我的引路人的角色。
回想过去，非常惭愧之后的两年里，没有专程探望他老人家。我想他一定有许多想法，是准备与我分享的。在我心底，我把他当做老师，我想他也是把我当做学生的。张老师在数学、数学史与数学教育三个领域都有重要贡献，当他的学生自然压力山大。但毫无疑问，跟着这样的老师走，会开拓眼界（用《一代宗师》里的话来说，是习武之人的第二阶段——见天地）、茁壮成长。
张老师在近代科学史方面有诸多贡献，这里我只提一下他在科学家访谈方面的工作。张奠宙对杨振宁、陈省身、王浩等著名科学家都做
了访谈。其中最有影响的，当属他对杨振宁先生的访谈杨振宁和当代数学，深入浅出，英文版曾发表在Mathematical Intelligencer(《数学信使》)。凡做过访谈的人都知道，做出一个好的访谈非常不简单。张奠宙的这个访谈，为我们树立了一个标杆。它与Atiyah访谈、Serre 访谈一起作为访谈代表入选《数学信使》杂志文章精选集Mathematical Conversations(R. Wilson,J.Gray主编，Springer,2001)。
后来，我和上海交通大学的崔继峰博士(现在内蒙古工业大学任教)合作，对华东师范大学的刘治国教授做了一个访谈传奇数学家刘治国，就是受到张老师这个访谈的启发。
杨先生、元老和张老师我都亲见，对我影响极大；而Hardy,Halmos与Dyson,我只是读过他们的自传。他们文采飞扬，对数学的独到观点也深深影响了我，因此对他们每个人，我都有研究。我对Hardy与Halmos的研究成果，分别见：
?哈代(G.H.Hardy)的生平与工作概览(与陈见柯合作)
?林开亮，哈尔莫斯：我的怀念，收入《数学飞鸟》，“数学与人文”丛书第29辑，
丘成桐等主编，高等教育出版社。
2专题研究对我的启发
数学家传记是人物生平为主线展开。这对普及数学来说，是很吸引人的，但在专业人士看来，可能更像是His story而不是History。
因此有些数学家就特别鼓励专题研究。例如，1996年，陈省身先生在接受数学史工作者张友余教授访谈时就指出([16])：
什么东西发展都有一个历史的程
序，了解历史的变化是了解这门
科学的一个步骤。数学也是这样。
中国人应该搞具有中国特色的数
学，不要老跟着人家走。发展中国
数学，我觉得最关键的一点是如何
培养中国自己的高级数学人才，世
界一流水平的人才。总结20世纪，
了解这个世纪中国数学家成长的
道路，现代数学在中国发展成功的
经验，写数学家传是一个重要方面，
还可以选一些好的专题进行研究。
譬如：……不一定什么都写，典型
的专题研究会有好的借鉴作用。
陈省身先生这里着重强调的，是中国近现代数学史的专题研究，尤其是对人才培养富有借鉴意义的那一部分。我以为，陈先生这里所想的，用《一代宗师》里的话来说，是习武之人可以达到的最高阶段——见众生。
习武之人有三个阶段
认真听取陈先生意见而开展近现代数学史专题研究的三个代表，是张友余教授和郭金海教授。他们搜集了相当丰富的史料，做了许多专
题研究，并出版了著作[17]与[19]。遵循陈省身先生的建议，张友余教授与王辉教授合作，编辑了《20世纪前半叶中国数学家论文集萃》[18]。正如张奠宙对杨振宁的访谈为我们树立了科学家访谈的标杆，袁向东与郭金海对徐利治的访谈[20]，为我们树立了科学家口述史的标杆。
甚至更早，袁向东教授就开始做数学家访谈，如1991年的王元教授访谈、1994年(与丁石孙、张祖贵合作)的段学复教授访谈。袁向东教授还与郭金海教授合作，完成对丁石孙教授的访谈《有话可说：丁石孙访谈录》[21]。
此外，王元院士和冯克勤教授也分别出版了数学史专题研究著作[22]和[23]。与张、郭教授不同，他们本身就是数学家，并且在相应领域都有杰出贡献(甚至创造过历史)，因此其作品更侧重数学思想的传播普及，对相关领域感兴趣的学生会从中受益良多。
王元院士、冯克勤教授、张友余教授、袁向东教授、郭金海教授的这些著作，是近代数学史专题研究的代表作。
至于我本人，由于学识所限，专题研究工作不多。主要有三个，都是与他人合作完成：
?国际数学家大会120年(与王兢合作)
?平方和问题简史(与陈见柯合作)
?从费尔马多边形数猜想到华罗庚的渐近华林数猜想(与郑豪合作)
其中第三项工作是关于堆垒数论的历史综述，曾得到王元院士的特别肯定。由于这篇文章
与张友余、钱永红老师的一篇文章同时刊登在《数学文化》上，我才注意到张友余老师。如果我早一点结识张友余老师，我跟王兢合作的第一篇文章可以写得更丰富，因为张友余老师对这个主题搜集了相当多的史料。
说实话，我对自己的数学史研究工作是不满意的。因为我本来想师法波士顿大学数学系的Thomas Hawkins教授，可是我没能做出像他那样气势恢宏的工作。下边是他的一本代表作The Mathematics of Frobenius in Context。
3新手要不要搞数学史研究?
对于那些想了解数学史研究的读者，我要特别推荐大家去读王元院士2000年的一篇短文[24]。开头一段已经让你眼前一亮：
我对数学史是很感兴趣的,但搞数
学史很不容易。有一次,在数学天
元基金的会议上,有一个数学家,
还是一个有名的数学家,他说,数
学家在退休以后,可以搞一点数学
史。他这句话一说出口,马上就感
到自己失言了,他就补充说,当然
我不是说搞不了数学了再去搞数
学史。其实他的心里还是那么想
的。这里面有一个误区。很多人以
为数学史很容易,搞不了数学了才
去搞数学史。其实不然。我认为数
学史非常难,数学好,才能搞数学
史,在数学的专业研究上有成就,
数学史才能深入。
作为补充，我还想特别指出，要做好数学史，不仅要数学好，还要善于挖掘、收集、使用史料。在后一方面的能力培养，绝非朝夕之功。我曾天真地以为，自己有一定的数学功底，做近代数学史不会很难。结果发现，是自己想得太简单了(too naive)！
比如，要过的第一关，就是语言关。数学家兼数学史家A.Weil[25]曾特别强调：“做任何历史研究，都必须对原始资料的语言有足够的掌握，一个基本且合理的原则是，只要原件存在，翻译永远不能代替原件。”这就意味着，对近代数学史的深入研究，中英文远远不够。
谈到Weil，我想起杨振宁先生讲的一个故事。这对那些考虑是否要做数学史的朋友，也许有些启迪。
Weil喜欢批评人。我记得普林斯
顿大学有一个数学家，为数论领域
的先驱Fermat写了一个传。结果
Weil写了一个review(书评)。他在
书评说，要想写一个关于Fermat
的人，必须要懂数学，必须要懂古
文字，还忘了一个第三个条件。他
说这位先生这三个条件没有一个
能符合。这个非常惨，因为那个人
那个时候大概还没有获得终身职
位，这一出来以后他就完蛋了。
经查证，杨先生提到的这个人叫Michael Sean Mahoney，是科学史家而不是数学家，在普林斯顿大学历史系工作。他所写的书叫The Mathematical Career of Pierre de Fermat,1601–1665,1973年由普林斯顿大学出版。据原书评[26],Weil一共提到七个必要条件如下：
?(a)Ordinary accuracy.(本原质朴的准确性)
?(b)The ability to express simple ideas in plain English.(用平常语言表达简单
思想的能力)
?(c)Some knowledge of French.(懂法文)
?(d)Some knowledge of Latin.(懂拉丁文)?(e)Some historical sense.(有历史感)
?(f)Some familiarity with the work of Fermat’s contemporaries and of his suc-
cessors.(熟悉Fermat的同辈人和后继者
的工作)
?(g)Knowledge and sensitivity to mathe-matics.(对数学了解并且敏感)
可以想见，Mahoney被Weil批评得体无完肤是何种感觉！后来,Mahoney在1994年出版了修订版，其中多次引用了Weil本人的数论史著作[27]。毫无疑问，他从Weil的批评与著作中受益良多。
类似地，我也从读者的批评指正中受益良多，杨振宁先生、王元院士、张友余教授都给我提过中肯的意见。最重要的一点，是提醒我写历史要严谨，要有理有据。
我曾经也给一些数学史学者指出问题(如混淆Laplace与Lagrange)，大多数人都表示感激。不过有的似乎很不领情，甚至搬出整个门派来压我。这就让我感觉有点变味了，我一度都不愿搭理Ta(现在没问题)。后来我有机会见到那一派的掌门，人家根本就没有那种泰山压顶咄咄逼人的感觉，而且对后辈们非常提携。我想，一个人的学识跟气量应该是正相关的。
4前辈们曾关注的几个问题
在科学史中，有许多值得研究的课题。我想特别介绍几个由前辈们提出的问题，供有志于献身科学史的朋友参考：
?宋元时代中国数学发展得那么快，是否有外国的影响，例如阿拉伯人的影响？
秦九韶在他的《数书九章》序中自己说
得到“异人传授”，这句话有什么意思？
中国数学家之间有无来往？当时是否有
讲数学的学院？(陈省身建议)
?清华大学数学系早期培养人才的经验(同上)
?留法学生对中国数学发展的贡献(同上)
?Feynman与Schwinger之比较研究(杨振宁建议)
?对钟开莱的研究(同上)
?对周炜良的研究(同上，徐克舰也有此建议)
?对抗战前清华大学与其它国立大学招生入学考试数学命题的比较研究(何炳棣
建议)
?对陈省身的深入研究(王元建议)
?对丘成桐的研究(同上)
?对Taniyama–Shimura猜想提出之研究(张益唐建议)
5在教学与服务中传播数学史
我们已经看到，真正研究数学史其实很不容易。不过好在大部分人只需要了解而不必去研究。正如数学家要将好的数学工作普及出去那样，我们也要将好的数学史工作传播出去。
就我个人而言，吴文俊先生对中国古代数学史的深刻认识(参见[28])令我醍醐灌顶、耳目一新。因此，我多次在科普文章与通俗报告中特别介绍。
?中国古代数学只有一个关键字，你知道吗？?读吴文俊口述自传——《走自己的路》?从《射雕英雄传》到《九章算术注》特别想说明的是第三个通俗报告。由于吴文俊先生对刘徽、秦九韶的推崇，我深入学习了他们在方程术、求一术方面的贡献，并将它们进一步发挥到线性代数与微分方程的课堂教学与课外延伸中。例如，我用现代术语将刘徽的方程术(用行列变换解线性方程组的算法)概括如下(略有发挥)：
定理(刘徽,方程术).设A 是实数域R 上的m ×n 矩阵,b 是n 维列向量.考虑解线性方程组
Ax =b.
我们有以下算法.构造行列增广矩阵[A b I n 0
],并对其前m 行与前n 列做行列变换,使得A 化成等价标准型,即求出矩阵m ×m 可逆矩阵P 与n ×n 可逆矩阵Q ,使得[P 00I n ][A b I n 0][Q 001
]=[P AQ P b Q 0],其中
P AQ =diag [1,...,1 r
,0,...,0].为A 的等价标准型.记
P b =[β1,...,βn ]T ,
Q =[ξ1,...,ξn ].
则我们有下述结论:
(i)Ax=b有解当且仅当
βr+1=···=βn=0; (ii)并且此时方程Ax=b的通解为
x=β1ξ1+···+βrξr
Ax=b的特解+k1ξr+1+···+k n?rξn
Ax=0的通解
其中k1,...,k n?r为任意实数.
将实数域R替换为整数环Z，稍加变化，我们就得到求解丢番图线性方程组的解法，这是英国数学家H.J.Smith于1861年提出的(参见这里)；进一步，将整数环Z替换为一元多项式环C[x]，我们就得到常系数微分方程组的类似解法，这一观察似乎首先由Bourbaki 指出。围绕线性方程组，我们从公元1世纪左右的《九章算术》，一直讲到了20世纪的Bourbaki学派！这就是以历史的眼光来欣赏数学的魅力！
至于秦九韶的求一术，它其实是方程术的一个变形。在下面的文章中，我们以它为基础，对求常系数线性微分方程特解的算子法给出了一个新的处理。
林开亮、王兢，求解常系数线性微分方程和代数方程的代数方法1
吴文俊先生非常推崇的另一个数学家是朱世杰，他在高阶等差数列的求和与四元术方面均有造诣。遗憾的是，我目前只了解他在高阶等差数列求和方面的贡献；参见[29]以及
林开亮，从《射雕英雄传》到《四元玉鉴》1有人在留言中质疑我们抄袭,对此回应如下:对我而言,用求一术来理解算子法水到渠成；我只好奇为何其他人没有提出。
像刘徽、秦九韶的这些贡献，可在线性代数、初等数论的课堂提到，而朱世杰关于高阶等差数列求和的成果，也可以向中学生和大一学生普及。
当然，要传播数学史，我们的眼光不必限于中国，也不必限于古代。与大学数学基本内容相关的数学史，可以参见Bourbaki的《数学史原本》[30]，其中许多篇章就出自他们的精神领袖Weil。因为该书尚无中译本，我们这里分享一下目录。
1.数学基础;逻辑;集合论(Foundations of
Mathematics;Logic;Set Theory)
2.记号;组合分析(Notation;Combinato-
rial Analysis)
3.代数的演化(The Evolution of Algebra)
4.线性代数和多重线性代数(Linear Alge-
bra and Multilinear Algebra)
5.多项式与域(Polynomials and Commu-
tative Fields)
6.可除性;有序域(Divisibility;Ordered
Fields)
7.交换代数;代数数论(Commutative Al-
gebra.Algebraic Number Theory)
8.非交换代数(Non Commutative Alge-
bra)
9.二次型;初等几何(Quadratic Forms;El-
ementary Geometry)
10.拓扑空间(Topological Spaces)
11.一致空间(Uniform Spaces)
12.实数(Real Numbers)
13.指数与对数(Exponentials and Logarithm
14.n维空间(n Dimensional Spaces)
15.复数;角的度量(Complex Numbers;Mea-
surement of Angles)
16.度量空间(Metric Spaces)
17.微积分(Infinitesimal Calculus)
18.渐近展开(Asymptotic Expansions)
19.伽玛函数(The Gamma Function)
20.函数空间(Function Spaces)
21.拓扑向量空间(Topological Vector Spaces)
22.局部紧空间的积分(Integration in Lo-
cally Compact Spaces)
23.哈尔测度.卷积(Haar Measure.Convo-
lution)
24.非局部紧空间的积分(Integration in Non
Locally Compact Spaces)
25.李群和李代数(Lie Groups and Lie Al-
gebras)
26.反射生成的群;根系(Groups Generated
by Reflections;Root Systems)
与中小学数学基本内容相关的数学史，国内尚无权威的著作，这是一个值得努力的方向。在这方面，也许我们可以借鉴V.J.Katz的《数学史通论》[31]。
由于时间仓促，教材中的错误在所难免，恳请广大使用者批评指正.——******出版社我曾见过某一版高中数学教材，居然将秦九韶的《数书九章》误印为《数学九章》；更有甚者，在介绍算法的章节，居然只字不提《九章算术》中介绍求两个整数的最大公约数的更相减损术(只是在习题中提到了辗转相除法)，反而是教学生通过素因子分解来求最大公约数。从对数学的认识上讲，编者根本就没弄清楚算法(algorithm)是什么，因为至今都没有找到大数分解的有效算法；而求最大公约数的更相减损术，只要求学生会做减法，是连小学生都可以教会的。从数学史的角度讲，编者对中国古代数学缺乏基本的了解。但凡读
过一点中国古代数学史的人都应该清楚，中
国古代数学最大的特征就是构造性和机械化，即算法化，体现于一个字：“术”。“术”即算法，更相减损术就是最简单的代表，见这里。
科学史家程贞一在接受访谈时，曾回忆起自己念中学(上海徐汇中学)时的经历(参见[32])：
另一件印象比较深刻的事，是上初
中时[1946年左右]，我对中国古代
数学萌发了一些兴趣。记得那时我
们在念代数，教科书是《范氏大代
数》。那时一直困惑我的一个问题
是：为什么我们的数学教科书上没
有一个来自中国文明的定理和成
就？有一天,我鼓足勇气去请教教
数学课的刘老师。刘老师对这个意
外的问题似乎有点不耐烦,用权威
的口吻说:“我们教的就是西方数
学。如果你想学中国数学定理的话,
应该去念《九章算术》。”这是在我
教育中第一次听到这个书名,但是
那时我对刘老师的回答并不怎么
满意。可是又说不清到底为什么不
满意。
这件事对我的影响比较大,引起我
对古代中华文明科技成就的好奇
心,促进我翻阅了一些古代书籍。
在徐汇中学时,我就知道徐光启帮
助利利玛窦(Matteo Ricci,1552–
1610)翻译《几何原本》之事。记
得徐汇中学的大厅挂有徐光启和
利玛窦画像的油画。后来在中国科
学院自然科学史研究所收藏的文
物中见到一幅同样的油画。
20世纪50年代,我在美国上大学
时一直念念不忘对中华古代数学
和科技的兴趣。大学二年级写课业
报告时,当年刘老师回答不满意的
理由,突然涌现在我的脑海:数学
定理和科学原理是不分民族、文化
和国界的!事实上,后来我发现,代
数不仅出现于中华文明并远早于
西方,而且现存最早分析解二次方
程式的记载,出现在赵爽注《周髀
算经》中。为什么我们中学代数教
科书中没有包括中华文明的成就?
程贞一先生抛出的这个问题，值得我们数学史工作者和数学教育工作者认真思考和严肃对待！不止是中国古代数学成就，20世纪科学家的杰出成就，都应该在适当的地方进入中学数学教材。比如，讲三角形内角和等于180度，就可以带一句，陈省身在1943年对此经典结果做了深远推广。再如，讲到对称，就可以提到杨振宁将对称原理应用于物理，提出“对称支配相互作用”的基本观念。所谓“念念不忘，必有回响”，首先要点燃读者的兴趣，激发他们的热情，他们才有可能念念不忘而终有回响。
浅谈数学史与小学数学教学的融合 发表时间：2019-01-08T10:10:35.950Z 来源：《素质教育》2019年2月总第298期作者：艾园 [导读] 数学史能够体现数学知识的发展历程，更是众多数学家留给现人的宝贵文化。 陕西省延安职业技术学院附属小学716000 摘要：数学史能够体现数学知识的发展历程，更是众多数学家留给现人的宝贵文化。在小学数学教学中，讲解一定的数学史有利于学生提升自身综合素质。将数学史融入小学数学教育中，既符合新课改的教学要求，更顺应时代的发展趋势。 关键词：小学数学数学史融合 在社会高速发展的今天，教育对于国家发展的影响至关重要，社会各界对教育的关注度逐步提高。伴随着新课程改革的推进，小学数学教育也在积极地进行变革，广大数学教师不断提出新的教学方法和教学思路。在小学数学教学中融入数学史能够提升小学生的数学能力，促进学生全面发展。数学教师应重视数学史对于学科教育的重要意义。 本文将主要阐述基于小学数学融入数学史的教育价值，进而提出基于小学数学教育融入数学史的具体途径和实践对策。 一、小学数学教学中渗透数学史的价值 1.德育价值。学者骆祖英指出数学史具有德育教育价值。（1）学习数学史，可培养热爱祖国的情感。我国在14世纪以前曾是数学大国，取得了举世公认的成就，近现代也涌现出了华罗庚、陈景润、陈省身等多位世界著名的数学大师。因此，了解数学史，能够激发学生的民族自豪感，同时也能通过了解本民族的数学文化史延伸到国际数学。 （2）学习数学史，可熏陶小学生的人格精神。这些对学生来说可产生长远的影响。现代社会中，缺少学生学习模仿的榜样，但是人心又不能缺少精神崇拜。如果数学史能将崇拜对象提供给学生，会大大丰富他们的精神世界。 2.智育价值。数学史有助于学生更加透彻、深入地理解知识。小学生通常是直观表面地看待问题，而新课标要求培养学生深入性、抽象性地看待问题。而数学史，以知识根源为基点，帮助学生经历了知识发展的全过程，比起传统教学，不只是知识本身，而是从产生知识的背景——时代、人物、生活、原因、过程，帮助学生从不同的角度，立体地、深入地看待数学知识。 3.美育价值。数学，探索的是自然之美。随着社会的进步，人们越来越多地挖掘出数学史的美学价值。在当今数字化时代，数学是必备的素质。但是传统的数学教学只注重书本知识，忽视了学生的真实体验，冰冷的数字、繁琐的运算、怪异的符号是大多数人对数学的印象。这让我们忽视了数学之美。从生物学的角度看，审美是人的需要。儿童的好奇心强烈，通过数学史教学引入审美，能将儿童的好奇心调动起来，激发他们的审美需求，让他们去经历一个发现创造的过程，构建他们的审美体验。 二、数学史与小学数学教学融合的途径 1.渗透数学史，展示新奇方法。新课标理念强调教师在教学过程中不仅要重视过程与方法，而且要重视学生的情感与态度。只有这样，学生才会对学习产生浓厚的兴趣。如果机械地按照“概念——定义——定理——解题”的认知程序进行数学教学，则必然无法调动学生的学习兴趣。如果适当地融入一些与教学内容紧密相关的历史上的数学方法，无疑会激发起学生的数学学习兴趣。 2.穿插数学史，拓展数学内容。教师是课程资源的开发者，在新课程理念下，不能再“教教材”，而应该树立“用教材教”的理念。教师在准备上课内容时，可以通过多种方式去收集数学史资料，不仅要收集关于书本上的资料，也可以根据书上的内容收集一些数学史的资料。在这个过程中，教师对书本上的知识了解得更加透彻。提前准备好一些教学过程中涉及到的数学史，只有这样，教师在上课时才能熟练、流畅、全面地向学生进行数学史内容的穿插讲解，从而达到事半功倍的教学效果。 3.渗透数学史，呈现原生态知识。数学伴随着人类实践活动的发展而发展，历经数千年，从无到有、从简到繁，逐步成为分类完善、知识齐全的完整学科。数学发展的历史长河为人类积累了宝贵的科学文化，教师有责任帮助学生了解数学历史的发展，通过呈现原生态的知识让学生汲取数学文化的养分，感知数学的源与流，认同数学的价值。 4.开展有关数学史的专题活动。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”要让学生真正在数学学习中渗透数学史，除了教师的介绍和引入外，还应让他们亲自去搜集、讨论，在实践中加深对数学史知识的认识，并强化积累。所以，数学教师还可以将数学的古典问题融入到课后作业和扩展活动当中，使数学史真正渗透到小学数学教学的方方面面，巩固教学成果。 5.调整数学史在教学中所占比例。数学教师在借助数学史辅助教学时，应当合理调节数学史所占的教学内容比重，避免出现本末倒置的现象。教师在挑选数学史内容时，应当对其进行筛选分类。与教学内容关联性较少的史料内容可作为开拓学生视野，比如讲述知识点的演变过程；阐述规律推理的内容则作为突破知识点的讲解内容；关于知识点背景相关的史料故事则作为课前引导使用。总而言之，数学史作为辅助教学内容，不能代替教材内容，教师应合理运用数学史内容开展教学。 参考文献 [1]花沐露浅谈数学史融入小学数学教学的方略[J].教育研究与评论（课堂观察），2017，（3）。 [2]陈佳丽浅析数学史对小学数学课堂教学效率的影响[J].考试周刊，2017，（56）。 [3]侯菁利用数学史提升小学数学教学效率的有效策略研究[J].读与写：上、下旬，2015，（24）。
浅谈数学史与初中数学课堂教学的结合 万州桥亭中学秦毅 内容摘要： 为了适应现代教育的需要，在现今的教育与教学过程中穿插一些数学史的有关轶闻趣事，能够激发学生对相关内容产生好奇心，活跃课堂气氛，调动学生学习数学的积极性。学习数学史，不仅是广大学生学好数学的有力帮助，而且是也是我们中学数学教师提高自身素养、更好的搞好教学工作所必需的。我们广大教师不仅要明白数学史的重要性，最根本的是要研究如何将数学史融合到教学当中，努力探索出一条新型的教学模式，以提高学生的数学能力和综合素质。 关键词: 数学数学史 一、引言 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学史是研究数学科学发生发展及其规律的学科，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 数学史研究已具有很长的历史，如何在数学教育中运用数学史的知识，充分发挥数学史的作用和价值则是当前数学教育改革面临的一个重要课题。1998年4月20日至26日，由国际数学教育委员会(ICMI)发起，在法国马赛附近的Luminy镇举行了题为“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会。张奠宙
教授在《重视“科学史”在科学教育中的应用》一文中指出：在数学教育中，特别是中小学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。目前数学史在数学教育中的应用已经进入系统的研究阶段，并在一些国家和地区进行实践性的操作。我国的数学史研究，乃至科学史研究，已经拥有相当规模的队伍。但是，我们的研究似乎还没有注意到如何运用于教学过程，发挥它的应有效益。 现阶段，在一定程度上，我国中小学数学教育在世界上也算是一流的，也正因为如此，我国的数学才会取得举世瞩目的成就，涌现了一大批优秀的数学家。在中学数学教学中，使学生深刻理解数学基础知识、牢固掌握数学基本技能、提高学生运算能力、思维能力和空间想象能力等方面，我们都有非常成功的经验，也取得了相当多的成绩。近年来，我国数学教育界在提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力方面也极其重视，并且以探索出了许多成功经验。我国学生在国际数学奥林匹克竞赛中连年取得佳绩、在国际水平测试中名列前茅，这些都是我国数学教育水平高的有力证据，我国数学教育水平高的另一个证据是，在第三次国际数学和科学研究的测试中，深受中国传统文化影响的亚洲参加国的测试成绩遥遥领先于其他国家。因此，中国中小学数学教育的高水平成绩绝不是偶然的，是有厚重的历史积淀的，是几代、十几代数学教育工作者辛勤劳动、共同的结晶，是应该充分肯定的。但是对于现行教育体制中存在的问题，我们也是应该予以正视的。就在我们的教育界为上述的成就感到欢欣鼓舞时，社会上也存在着另外一种不同的声音“现行中小学数学课程处于一种十分尴尬的局面。一方面，我们现行的中小学数学内容一些学生学不好，学不了，成为数学学习上的失败者；另一方面，很多有价值的内容我们的学生没有机会接触，特别表现在数学思考方法、 2
高中数学教学中的数学史教育 1新课标有关数学史教育的要求 在以前的数学课程改革中,尽管也取得了一些成就,但是也存在好多弊端。比如只注重知识的传授,为应试教育而提高学生的解题能力,从而使学生慢慢的对数学失去了兴趣,感觉数学就是单纯的公式计算或证明,有的甚至对数学产生了畏惧。在进行应试教育的同时,忽略了学生的各方面的素质和能力的发展。针对这一问题,教育部进行了新一轮的课程改革,要让人们知道到作为教育组成部分的数学教育,并不是枯燥的,在提高学生的解题能力的同时也要发展和完善人们的能力和素质。新课程的改革主旨就是提高学生的数学素养和整体素质,以满足个人的发展和社会进步的需要。在新课程的理念下,作为数学文化的载体——数学史充当了一个重要的教育角色,在《普通高中数学课程标准》的课程基本理念中要求要体现数学的文化价值,提出“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用,逐步形成正确的数学观。”新课程标准在《内容标准》的必修内容的要求中也多次提到渗透数学史教育,例如在函数的教学中,要求通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用;在算法初步中,要求通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献等等。并把数学史选讲作为一个选修课内容的一个系列。其实,在新的数学教材中有很丰富的数学史料,通过这些知识的学习,可以让学生了解数学的发展历程,认识到数学家对真理的热爱和追求,加深对数学的理解,感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。进而培养学生正确的人生观、世界观、价值观，也增强学生对实际问题勇于探索的意识,培养他们的艰苦学习和创新的精神。 2数学史在数学教育中的作用 2.1更好的理解数学,树立正确的数学观数学本身是一个历史的概念,数学知识是随着人类知识的丰富而不断的深入变化的,要真正的理解数学就要弄清数学的起源、发展。通过数学史的学习学生能知道定理和概念的由来,以便更好的理解和学习数学知识。著名数学家外尔认为:“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果,我们就不可能理解近50年来数学的目标。”对于一些抽象概念的理解,只有给学生讲清楚其来龙去脉才能加深他们对知识的理解和记忆。例如无理数是由于度量问题而产生的,它的发现导致几何学在一定时期内独立于算术发展;对极大、极小问题、曲线长等问题的研究,直接促使牛顿、莱布尼茨发明微积分。微积分产生后,出现了许多分支,如常微分方程、偏微分方程。在讲解这些数学知识形成的过程中,也使学生开阔了视野,让他们认识到数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,体验数学活动充满着探索和创造的乐趣,感受数学的严谨性和结论的确定性,使他们感到数学并不是一门枯燥的学科,而是一门生动有趣的学科。从而形成正确的数学观。 2.2激发学生学习兴趣,培养学生创新精神在学习过程中“兴趣”是最好的老师,是学
数学文化作业答案(全正确答案) 1数学的研究对象是()a，物质b，物质运动c，自然d，以上不是两个学科。只有成功地应用()我们才能成熟数学 3 学习的主题不是物质或物质运动的科学。数学素养对文科学生来说并不重要。正确答案是:× 5。一般来说，数学素养意味着理性思考、仔细思考、验证、简洁、清晰和准确的表达正确答案:√ 6 一个不识字的人可以活，但不会数数的人也可以活正确答案:×7数学文化中的文化指狭隘的文化正确答案:×8 我国第一次提出数学文化是哪一年？数学文化一词最早出现在:1990年0 10年数学文化这门课程被评为XXXX 国家精品课程正确答案:“数学文化”中的× 11文化是指广义的文化正确答案:ì 12以下不是数学文化课。学生获得的是:b，提高数学能力13 以下不是数学文化的侠义意义: A，数学思想b，数学精神c，数学方法d，数学教育 14 数学是一门与其他自然学科处于同一水平的科学正确答案:×15 不同的自然科学可以用于数学研究正确答案:√ 16数学文化中的文化定义更倾向于广义解释。()正确答案:× 17数学文化的研究对象是人正确答案:√ 18“大学生素质与文化教育”一词是什么时候提出来的d，是什么时候第一次建立32 个“大学生素质与文化教育国家基地”c2 0 世纪90 年代，1 XXXX 1999 年的数学素养不包括() A，从数学的角度看问题b，控制问题的因素c，以及理性思维d。
解 决问题的逻辑能力 2 数学素养不是与生俱来的，而是在学习和实践中培养出来的正确答案:√ 3数学训练可以提高一个人的 A，推理能力b，抽象能力c，分析和创造能力d，所有这些都是正确的4企业招聘员工的问题和数学推理往往与正确答案有关:√ 5以下哪一项不是通过学习数学文化获得的？ A、理解思想b、激发兴趣c、学习方法d、解决问题方法6 一个人的数学素养水平决定了一个人工作的有效性。正确答案:√ 7数学不仅是一些知识，还是一种素质(素养)正确答案√ 8 该专业的“数学素养”是什么？()b，2: 9以下不是数学文化课的指导思想:c，数学能力10能用数学方法解决现实生活中的问题正确答案√ 11数学文化是一门以简单的数学知识为载体，讲述数学思想、精神、方法和观点的课程正确答案:ì 12目前，社会不重视数学素养正确答案:× 13数学素养是指排除数学知识后剩下的东西正确答案√ 14数学专业不含()C，热力学统计 15数学语言特征不含A，清晰B，严谨C，规范D，杂16数学重要性体现在几个层面C，317数学文化课教学方法不含 A，启发式教学B，讨论式教学C，研究式教学D，实验式教学18 数学不仅是一种重要的工具，也是一种思维方式正确答案:√1 9 数学
初中数学教学中融入数学史的意义与建议 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学教学中融入数学史的意义与建议 郑小瑞 摘要：数学史是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科，它研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，探索前人的数学思想，借以指导数学的进展，并预见数学的未来。我国数学家吴文俊说过: “数学教育和数学史是分不开的。”学习一些数学知识，可以使同学们了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，这对开阔视野，启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处。 关键词：数学史数学教学 一、引言 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学史是研究数学科学发生发展及其规律的学科，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 数学史研究已具有很长的历史，如何在数学教育中运用数学史的知识，充分发挥数学史的作用和价值则是当前数学教育改革面临的一个重要课题。1998年4月20日至26日，由国际数学教育委员会(ICMI)发起，在法国马赛附近的Luminy镇举行了题为“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会。张奠宙教授在《重视“科学史”在科学教育中的应用》一文中指出：在数学教育中，特别是中小学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。目前数学史在数学教育中的应用已经进入系统的研究阶段，并在一些国家和地区进行实践性的操作。我国的数学史研究，乃至科学史研究，已经拥有相当规模的队伍。但是，我们的研究似乎还没有注意到如何运用于教学过程，发挥它的应有效益。 现阶段，在一定程度上，我国中小学数学教育在世界上也算是一流的，也正
数学史融入高中数学课堂教学的应用研究 摘要：近年来，越来越多的教师已意识到数学史的重要性，体会到数学史在高中数学课堂教学中的价值。教师经过教学实践经验的积累和理论的提升，从数学史融入高中数学课堂教学的现状及存在问题、应用优势、应用原则和应用方法方面进行简单阐述，使课堂教学更加生动、更具感染力，达到有效教学的目的。 关键词：高中数学数学史作用和价值原则方法 数学是人类知识文化的重要组成部分，是人类认识社会进步的产物，也是推动社会向前发展的原动力。所以，在高中数学课堂教学中，教师应引导学生认识数学的发展历史，帮助学生理解数学知识，掌握知识前后的逻辑关系，领悟其中蕴含的数学思想、数学思维和数学方法。最终学生对数学产生浓厚的学习兴趣，初步理解社会发展和数学学科之间的紧密关系。因此，数学史融入高中数学课堂教学是非常必要的。 一、数学史融入高中数学课堂教学的现状及存在问题 许多教师虽然已经意识到数学史对高中数学教学的重 要性，但却没能很好地加以应用，没能发挥数学史在高中数学课堂教学中的作用。首先，高考试卷不考查相应的数学史
内容；其次，教师不能透彻地理解在教学中融入数学史的目的和方法；再次，教师拥有的数学史资源相对较少；最后，教师不能恰当、灵活地应用数学史相关内容进行有效教学。另外，学生学习数学的主要目的是获取高分，忽略了数学史对培养自身数学思维和学习方法的重要性。可见，目前在高中阶段，数学史融入数学课堂教学不容乐观，收效甚微。 二、数学史融入高中数学课堂教学的作用和价值 1.激发学生学习高中数学的主动性 在高中数学课堂教学中适当穿插一些与教学内容相关 的数学史知识，可以为课堂增添色彩，激起学生的好奇心。教师可以选择恰当的数学史内容，创设适合教学的最佳情境，快速揭开课堂教学序幕，通过生动的数学史知识使学生大脑处于兴奋状态，激发学生学习数学的兴趣，把学生带入教学预设的知识系统里，使学生自然而然地获取相应的数学知识。 2.培养学生的数学文化和人文素养 在高中数学课堂教学中渗透数学史，教师能够创新教学方法，营造良好的课堂文化氛围，向学生传播数学文化，提升学生的人文素养。例如，在讲解“对数”内容时，教师可介绍对数的发明者苏格兰数学家约翰?奈皮尔编制对数表的 历程，促进学生形成正确的人生观和价值观，并使之终身受用。 3.培养学生在高中数学课堂中创新思维
1.导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么? 因为中世纪时期是欧洲最为混乱的时期,也是其经济、政治、文化、军事等全面停滞发展的时期,当时的欧洲居民生活在水深火热之中,所以被称为黑暗时期. 1、政治的黑暗、政权的分散：自罗马帝国衰亡后,中欧、西欧被来自东欧的日耳曼民族统治,日耳曼民族又有很多种族,因此相互征伐不断,如法兰克帝国、神圣罗马帝国、英格兰王国、教皇国等等,这些国家相互征伐、动乱不已,而且中世纪时期虽然是欧洲的封建时期,但却不集权、不统一,类似分封制的封建制度导致封建国家缺乏强有力的基础,例如神圣罗马帝国、皇帝仅仅是一个称号而已.而封建地主又对百姓盘剥,加之战乱不断、瘟疫横行,民不聊生. 2、宗教的干涉：这一时期的基督教对各国的干扰极强,甚至对政权的建立、稳定都十分重要.宗教严格的控制文化教育、人们的生活：一方面他们严格要求中下层教士及普通百姓,另一方面,上层教士又和封建势力相勾结,腐败没落,压榨百姓和人民,中世纪的宗教裁判所又有极大的权力,可以处死他们所认为的异端分子,由于思想、科学被严格控制,这一时期的欧洲思想、文化、科学鲜有成就. 3、经济的没落,由于盘剥严重、科技落后,这一时期的经济几乎没有发展,没有进步就代表了落后； 4、瘟疫盛行：宗教的干涉,科技的落后,医学的不发达,导致瘟疫的盛行,540年~590年查士丁尼瘟疫导致东地中海约2500万人死亡；1346
年到1350的鼠疫导致欧洲约2500万人死亡,灾难极大地打击的了欧洲的经济、政治甚至人口的发展. 简而言之,这一时期的欧洲百姓生活在一种暗无天日,毫无希望的生活里,所以被称为黑暗时期. 2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作？ 答：罗马人博伊西斯（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学著作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博伊西斯本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。 7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。 培根是英格兰人（贵族），曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识感兴趣，号称“万能博士”。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应为不惧权威）。他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的。培根认为：“寻找和发
初中数学教学中融入数学史的意义与建议 郑小瑞 摘要：数学史是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科，它研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，探索前人的数学思想，借以指导数学的进展，并预见数学的未来。我国数学家吴文俊说过: “数学教育和数学史是分不开的。”学习一些数学知识，可以使同学们了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，这对开阔视野，启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处。 关键词：数学史数学教学 一、引言 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学史是研究数学科学发生发展及其规律的学科，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 数学史研究已具有很长的历史，如何在数学教育中运用数学史的知识，充分发挥数学史的作用和价值则是当前数学教育改革面临的一个重要课题。1998年4月20日至26日，由国际数学教育委员会(ICMI)发起，在法国马赛附近的Luminy 镇举行了题为“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会。张奠宙教授在《重视“科学史”在科学教育中的应用》一文中指出：在数学教育中，特别是中小学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。目前数学史在数学教育中的应用已经进入系统的研究阶段，并在一些国家和地区进行实践性的操作。我国的数学史研究，乃至科学史研究，已经拥有相当规模的队伍。但是，我们的研究似乎还没有注意到如何运用于教学过程，发挥它的应有效益。 现阶段，在一定程度上，我国中小学数学教育在世界上也算是一流的，也正因为如此，我国的数学才会取得举世瞩目的成就，涌现了一大批优秀的数学家。在中学数学教学中，使学生深刻理解数学基础知识、牢固掌握数学基本技能、提高学生运算能力、思维能力和空间想象能力等方面，我们都有非常成功的经验，也取
黄金分割 （浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙 在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其 中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。（如图1） 世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他发现: 在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比， 那么这一比值就等于…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们 从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。如正五边形中， Kheops (公元前Q C P 图1
莱奥纳多·达·芬奇 相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。 文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则) 1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2 15 的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个 正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是 一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种 “和谐”的感觉。 后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。这一命名一直延用至今。 欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商
《数学史论约》复习题参考及答案本科 一、填空（22分） 1、数学史的研究对象是（数学这门学科产生、发展的历史），既要研究其历史进程，还要研究其（一般规律）； 2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（数学学科自身的研究对象、内容结构、知识领域的演进）来分期，其一是根据（数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁）来分期； 3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（解析几何）、（微积分）、（射影几何）、（概率论）、（数论）； 4、18世纪数学的发展以（微积分的深入发展）为主线； 5、整数458 用古埃及记数法可以表示为（）。 6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（契形文字泥板），而莱因特纸草书和莫斯科纸草 书是研究古代（埃及数学）的主要历史资料； 7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（古典）时期和（亚历山大里亚）时期； 8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（费马）创立了解析 几何，牛顿和（莱布尼茨）创立了微积分，（笛沙格）和帕斯卡创立了射影几何， （帕斯卡）和费马创立了概率论，费马创立了数论； 9、19世纪数学发展的特征是（创造）精神和（严格）精神都高度发扬； 10、整数458 用巴比伦的记数法可以表示为（）。 11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（数学内在学科因素促使其发展）， 其一是外史，即（数学外在的似乎因素影响其发展）； 12、19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明： （1）分析基础严密化和（复变函数论创立）， （2）（非欧几里得几何学问世）和射影几何的完善， （3）群论和（非交换代数诞生）； 13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化， 数学发展整体化，（电子计算机）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（研究）的 社会化协作，（新理论）的导向； 14、《九章算术》的内容分九章，全书共（246）问，魏晋时期的数学家（刘徽）曾为它作注； 15、整数458 用玛雅记数法可以表示为（）。 16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史，既要研究其（历史进程），还要研究其（一般规律）； 17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、（毕达哥拉斯学派）、（厄利亚学派）、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和（亚里士多德学派）； 18、阿拉伯数学家（阿尔-花拉子模）在他的著作（《代数学》）中，系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法； 19、19世纪数学发展的特点，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）（分析基础严密化）和复变函数论的创立；（2）非欧几里得几何学问世和（射影几何的完善）；（3）在代数学领域（群论）与非交换代数的诞生。 20、整数458 用古印度记数法可以表示为（）。 二、选择题 1、数学史的研究对象是（C）；
1. 简述数学史的定义及数学史课程的内容。 答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系。数学史课程的功能可以概括成以下四部分: （1）掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识,更好的从整体上把握数学。 （2) 复习已有知识:按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。 （３) 了解新的知识：通过学习数学各学科的发展，了解没有学过的学科的内容。 (4) 受到思想教育:通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质,陶冶数学情操。 2．简述数学内涵的历史发展。 答:数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段。 A数学是量的科学:公元前４世纪。 Ｂ数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学;19世纪。 C 数学研究各种量之间的关系与联系：２０世纪50年代。 Ｄ数学是作为模式的科学:２0世纪8０年代。 1.简述河谷文明及其数学。 答:历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明”,因为这些国家是在河流的入海口建立的。尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明;印度河和恒河孕育了印度文明。埃及、美索不达米亚的数学产生较早,纪元前已经衰微,而印度、中国的数学崛起较晚，却延续至中世纪。 ２. 简述纸草书与泥板文书中的数学。 答: 古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸存至今，被称为纸草书。莱茵德纸草书(现存于伦敦大英博物馆）中有８4个数学题目；莫斯科纸草书(现存于俄国普希金精细艺术博物馆）中有25个数学题目；还有其他纸草书。 纸草书中的数学知识包括:(1)算术,包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；（2)几何,包括面积、体积计算和四棱台体积公式。 美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今,被称之为泥板文书。出土50万块其中数学文献300块。 泥板文书中的数学包括：（1）记数，包括偰形文、６0制、位值原理;（2)程序化算法，包括??１.414２13；(３)数表；(4)x2–pｘ–q＝0 ,x3＝a,X3+Ｘ2=a (5) 几何,测量、面积、体积公式、相似形、勾股数值。代数学。 1．简述几何三大问题及历史发展。 答：用圆规和没有刻度的直尺完成作图(称为尺规作图）； （１）画圆为方:作一个与给定圆面积相等的正方形; (２)倍立方体：求作一个正方体，使其体积等于已知正方体体积的两倍; （3)三等分角:分任意角为三等份角。 历史发展：从古代希腊开始，人们对三大问题做了不断的探索但没有解决;直到1９世纪人们才能用代数学等的知识彻底解决了;彻底解决证明是不可能的，有的人不了解历史有时仍然盲目的研究它。 2．简述欧几里得的几何《原本》。 答:欧几里德集古代希腊论证数学之大成，写成第一部典范的数学著作几何《原本》。 前六卷相当于几何内容。第1卷首先用23个定义给出了点、钱、面、圆以及平行线等原始概念,接着提出了5个公社和5个公理,第２卷主要讨论几何代数，第3卷是与圆有关的一些问题,包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理,第４卷在引入了圆的内接和外切圆形的概念以后,讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题,第５卷讨论了有关量的比例理论，第6卷主要是将激励理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等。第7、8、9卷主要研究初等数论。第10卷讨论无理数。后３卷是立体几何的内容.
《在小学数学教学中渗透数学史的探索》课题开题论证报告 大丰市第三小学姚霞 一、研究的现实背景 1、时代发展的需要 这学期，我们学校在语文和英语两门学科开展了双语教学，即增加了这两门学科的课外阅读。随着时代的发展，任何一门学科都要从课内走向课外，数学作为小学阶段一门很重要的学科，也非常有必要增加一些有关的课外知识拓宽学生的知识面。 2、实施有效教学、提高教学质量的需要 数学是人类文化的重要组成部分，是一门积累性很强的学科，它的许多重要理论都是在继承和发展原有理论的基础上发展起来的。我们在讲授数学知识时，如果不仅能让学生“知其然”，而且能让学生“知其所以然”，一定会受到事半功倍的效果。 相对于语文学科而言，数学学科比较抽象、枯燥，有些学生对数学课提不起兴趣。如果在数学课堂上渗透一些数学史，讲一些古今中外数学家的故事，一定能提高学生学习数学的兴趣，同时能激发学生对数学精神的追求，提高学生的数学文化修养。 3、促进教师的专业成长。 教师专业成长是新课程改革的重点之一。在研究课题的过程中，教师自身通过对数学史的收集，专业素养一定会得到大幅度提升。 二、课题研究的理论意义 有关数学史的知识到中学才会接触得比较多，在小学教材中编排得很少，但我认为在小学数学教学中根据教学内容多渗透些数学史很有必要。本课题研究的目的是为小学一线教师在教学中渗透哪些数学史知识、以及如何根据教学内容有机渗透提供理论参考。填补这方面研究的空白。 三、课题的实践价值 课题研究的目的是探索在数学教学中渗透数学史的教学策略，为一线老师提供一些现实案例。并通过在研究过程中一些案例的评析，揭示在渗透数学史时需遵循的适时、适度和适合性原则，以及一些需要注意的问题。从而为此类教学提供实践依据。 四、国内外研究现状分析 近几年来已有一些老师在这方面有所研究，但多数研究范围是针对初高中，而在小学涉足此内容研究的老师为数不多，大多以论文出现，如《在小学教学中渗透数学史的意义》、《论数学史在教学中的必要性及作用》、《小学数学教学中数学史的应用误区及时间对策研究》、《在小学教学中渗透数学史的实践探索》等。本课题的创新之处在于，它对一个众多教师习以为常却又甚少研究的课题给予了充分的关注，从有关数学史的收集，在教学中渗透数学史的价值，以及如何在教学中适时、适度的渗透数学史作出详实的探索和分析。对于引导更多数学老师将数学史引进小学数学课堂，更好地发挥数学史的育人价值，提高学生的数学
《数学文化与数学史》复习 Lecture 0 为什么要开设数学史 1.介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L. Da Vinci, 1452～1519）和19 世纪英国业 余数学家伯里加尔（H. Perigal, 1801～1898）证明勾股定理的方法。 达·芬奇 H. Perigal的水车翼轮法 2.谈谈你对数学史教育价值的认识。 一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题 对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考, 促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。 对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。 Lecture 2 古代数学（I）：埃及 3.Rhind 纸草书问题79 是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。
124 房屋 猫老鼠麦穗容积总数 7 49 343 24011680719607 2801 56021120419607 ()5749343230116807 717493432301 72801 19607 S =++++=++++=?= () ()() 21 221 1 11n n n n n n n n S a aq aq aq a q a aq aq aq a qS a q S aq a aq S q q ----=++++=++++=+=+--?=≠-L L 4. “埃及几何学中的珍宝”是什么？ 正四棱台体积公式： Lecture 3 古代数学（II ）：美索不达米亚 3. 研究古巴比伦时期的泥版 BM 15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题？ 5 古代巴比伦人是如何求平方根近似值的？ 1211322, 1212a a a a a a a a a ??=+ ????? =+ ???L L 设第一个近似值为则第二个近似值为； 第三个近似值为； 2 3 11 2 11;3021121;301;2521;30121;251;24,51,1021;25245110 1 1.4142155 606060?? += ????? += ????? += ??? + ++=设第一个近似值为， 则第二个近似值为；第三个近似值为；第四个近似值为。 7. 美国哥伦比亚大学收藏的 Plimpton 322 号巴比伦泥版的内容是什么？ 泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）：
数学史与数学教育 一、数学史有它的教育价值： 普及数学史是新课程改革的基本旨趣；学史能够给数学课堂教学添色增彩；中小学教材渗透着丰富有趣的数学史；数学史是认识数学知识本质的催化剂；数学史本身蕴含着当下教材基本知识。 二、数学发展的几个阶段 目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期： （一、）萌芽数学时期（公元前600年以前）； （二、）常量数学时期（前600年至17世纪中叶）； （三、）变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；（四、）近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；（五、）现代数学时期（20世纪40年代以来）。 第一阶段有一下两项重要成果：计数制度的产生和使用（如图1）。测量和 图1 作图（如图2赵爽对勾股定理证明方法，图文结合）。
图2 第二阶段是常量数学时期（初等），那个时期数学发展的两条主线： 1.中国初等数学的辉煌成就、 2.灿烂的古希腊数学。 其中中国初等数学的辉煌成就有三次发展高潮：（1）两汉时期；（2）魏晋南北朝时期；（3）宋元时期。 领先的成就有： 1、计算技术的创用 2、加、减、乘（九九表）、除；分数、小数、近似计算 3、更相减损术、比例算法、盈不足术 4、刘徽的“割圆术”，祖冲之的“圆周率”，祖暅原理，算经十书 宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。贾宪三角（杨辉三角）；秦九韶《数书九章》之“正负开方术”、“大衍求一术”；朱世杰之《算学启蒙》、《四元玉鉴》的“招差术”、“垛积术”；李冶是的“天元术” 第三时期变量数学时期主要有：几何学的变革；微积分的创立与
发展；多分支的形成：集合论、抽象代数、复变函数等，这几个重要成果。 几何学的变革时期代表人物有费尔玛、高斯、笛卡尔等。笛卡尔在实际上建立起了历史上第一个倾斜坐标系，把几何和代数达到了完美的统一。 微积分虽然不是牛顿与莱布尼兹发现创造的，但却是他俩大体完成的。牛顿改变了以往从“和的极限”到“定积分”的老路，开创了从导数到不定积分到定积分的新路。清楚得表明了他对微分和积分互逆关系的认识。莱布尼兹认识到求积依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限窄小的矩形之和。更重要的是他认识的求和（积分）与求差（微分）运算的可逆性。 数学方法：（1）化归的方法、（2）变换的方法、（3）类比的方法、（4）归纳的方法、（5）合情推理的方法、（6）反证法、（7）数形结合的方法、（8）分类讨论的方法、（9）运筹的方法。 数学观点：（1）近似的观点、（2）抽象的观点、（3）一一对应的观点、（4）对称的观点、（5）多样性和统一性的观点、（6）“变中有不变”的观点、（7）偶然性与必然性的观点、（8）运算与结构的观点、（9）博弈的观点、（10）关系、等价关系、序关系、相关关系、比例关系、函数关系的观点 数学思想：（1）“命题需要证明,证明依靠逻辑”的思想、（2）量化的思想、（3）数学建模的思想、（4）最优化的思想、（5）公理化的思想、（6）数学机械化的思想、（7）数据处理与数理统计的
数学史与高中数学整合的理论依据 国外对数学史在数学教育中的功能的研究比国内早，而且比较详细、全面；针对数学史应用到数学教学中的研究也较早出现，主要是从数学史中挖掘对数学教育有用的资源，数学史作为一种教学工具。概括来讲，主要应用以下几个方面：数学史中的数学家的故事、数学史中问题、数学概念的产生过程，数学史上使用的方法和思想。然而，这方面的研究主要是“为数学史的使用作为一种数学教学工具辩护，理论方面的讨论的论文数量远超过对教学资源和上课的实践的论文数量。”[2](Gulikers&Blom,2001) 比较典型的实践方面的例子是，由Frank Swetz，John fauvel等主编的《向大师学习》[3]，此书中介绍了一些学者如何在数学教学中使用数学史的资料。还有John fauve和Jan van Maanen主编的《数学教育中的历史》，此书是HPM 的研究成果的整理，在此书中也介绍了一些实践方面的研究案例。然而，这些研究相对于整个数学课程来说似乎是相互孤立的，仅仅提供一些分散的实践案例。为此，Gulikers&Blom（2001）提到今后的研究目标是将数学史的研究结果转化为资源教材，以及为教师写一些关于如何使用这些教材的指导。 国内研究简述 近几年来，开始浮现将数学史运用到数学教学中的要求和呼吁，左太政(1997)研究发现教师如何在数学教学中透过数学史来启迪学生的视野及引发思考，大多数学生皆能提升学习兴趣而引起学习动机，对学生学习数学有实质上的帮助。谢丰瑞与郑芳枝(2001)的研究提到数学史中描述了数学的建构发展。浙江省路桥中学承担了张维忠教授主持的国家级课题《文化传统与数学教育现代化》的子课题《数学史与数学教育现代化》。他们的研究都比较宏观地提出了数学史教育问题，对于课堂教学与教师的专业发展提出了宝贵的建议。虽然，我国的数学史研究，已经拥有相当规模的队伍。但是，我们的研究似乎还没有注意到如何将数学史运用于教学过程，发挥它的应有效益，另外，几乎没有针对具体的高中