安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题理 含答案

安徽省江淮十校2021届高三数学第一次联考试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足3zi i =-+，则虛部是（ ） A ．3iB ．3i -C ．3D ．-32．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则三个数()3log 13a f =-，2π2cos 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.62c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y x -+≥⎧⎪++≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+（ ）A ．既有最大值也有最小值B ．有最大值，但无最小值C ．有最小值，但无最大值D ．既无最大值也无最小值4．已知函数37()e e x xx f x -=+在[-6，6]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C ．总体中对方式二满意的学生约为300人D ．样本中对方式一满意的学生为24人6．已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．9π782-B ．9π784-C ．78π-D ．9π452-7．若6(1)2x x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为（ ）A ．±3B ．±2C ．3D ．28．已知三个不同的平面α、β、γ，两条不同的直线m 、n ，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ⊥，//m α，n β⊥是m n ⊥的充分条件 B ．γ与α，β所成的锐二面角相等是//αβ的充要条件 C ．αβ⊥，m α⊥，n β⊥是m n ⊥的充分条件D ．α内距离为d 的两条平行线在β内的射影仍是距离为d 的两条平行线是//αβ的充要条件9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律。

安徽省江淮十校2021届高三第一次联考一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

在中国历史语境中，什么是“天下”？人们多倾向于从政治层面为其定性，如邢义田所言：“天下观是指人们对这个世界政治秩序的概念。

”但是，当中国人以美学视野规划他的生存境域时，天下不仅是空间性的，也是时间性的。

时间为人的世界经验植入了运动和过程，它的价值则在于为主观经验建构的天下秩序增添了变量，使其由井然有序的状态，变化为活泼生动的状态。

中国传统天下观念从河洛中原出发，相关时间观念的形成也必然受这一区域的土壤以及气候和物候条件影响。

在传统农业社会，中国人对时间的认识起于对土地生命特质的体认。

这是一种农业时间，即“农时”或“农历”，与农业生产有关的自然物候乃至天象变化成为时间的标识。

同时，这种时间观念起于河洛中原，然后不断向外扩大它的描述疆域，直至成为一种与中国人的天下观齐平的概念。

这种时间观念之所以是审美的，一个根本原因是它并非来自自然界先天的给予，而是来自人后天的感性经验。

更具体地讲，在传统中国，时间不过是处于世界一隅的黄河中游的乡土经验，居住在这里的人们虽然因自认为居于天下中心而赋予它普遍价值，但它毕竟受到了特定生产方式和地理区域的限定，是人基于区域性经验的主观建构。

它得以成立的美学理由要远远大于科学的理由。

在传统中国，时间的审美化是天下观念审美化的重要组成部分，它使被“天下”一词规划的世界呈现出活态化的审美特征。

首先，在这一地带，中国早期农事活动对土地生命特质的发现，为中国人的自然审美提供了一个奠基形式。

以此为基点，从大地上的植被到天空的飞鸟，再到遥远天际的斗转星移，形成了一个连续性的时空放大模式。

在这一界域之内，既潜隐于泥土又四散洋溢的自然生命感，使人栖息的世界成为一个气韵生动、大化流行的审美世界。

其次，自然生命总是在运动中表现为过程，并通过大地上的花开花落、草木枯荣使时间获得感性表征，这种自然性的时间运动被中国人规划为四季、十二月、二十四节气等，从而为人的农事活动建立规律。

绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足3zi i =-+，则虛部是（ ）A ．3iB ．3i -C ．3D ．-32．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则三个数()3log 13a f =-，2π2cos 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.62c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>3．若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y x -+≥⎧⎪++≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+（ ）A ．既有最大值也有最小值B ．有最大值，但无最小值C ．有最小值，但无最大值D ．既无最大值也无最小值4．已知函数37()e ex x x f x -=+在[-6，6]的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C ．总体中对方式二满意的学生约为300人D ．样本中对方式一满意的学生为24人6．已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．9π782- B ．9π784- C ．78π-D ．9π452- 7．若6(1)2x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为（ ） A ．±3B ．±2C ．3D ．28．已知三个不同的平面α、β、γ，两条不同的直线m 、n ，则下列结论正确的是（ ）A ．αβ⊥，//m α，n β⊥是m n ⊥的充分条件B ．γ与α，β所成的锐二面角相等是//αβ的充要条件C ．αβ⊥，m α⊥，n β⊥是m n ⊥的充分条件D ．α内距离为d 的两条平行线在β内的射影仍是距离为d 的两条平行线是//αβ的充要条件9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律。

江淮十校2025届高三第一次联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}1,,0,1,2,32xS x x T x=≥∈=−R ，则S T 等于（ ）A ．{}0,1B ．{}1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位．则“1a >”是“z >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a b c ==，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．已知b a = ，若a 与b的夹角为60°，则2a b − 在b 上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b −C ．32b −D ．32b 5．定义在R 上的函数()f x 满足()()2220f x f x ++=，且()2y f x =−为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 的图象关于1x =对称C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像关于3x =对称6．已知三棱锥P ABC −的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC AB BC =====，AC =，则球O 的表面积为（ ）A ．40π3B ．20πC ．27π4D ．21π27．已知函数()2ln f x x mx x =−+，若不等式()0f x >的解集中佮有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2ln23ln3,89++B ．3ln32ln2,94++C ．3ln32ln2,94++ D ．2ln23ln3,89++8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为P ．过点P 作直线与抛物线交于A B 、两点，其中点A 在点B 的右边．若120,AFP FAB ∠=°△p 等于（ ）A ．B ．1C ．2D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据12310x x x x 、、、、，满足：()12210i i x x i −−=≤≤，若去掉110x x 、后组成一组新数据，则新数据的方差为21B ．随机变量X 服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=，若()0.34P x a <=，则0.5a = C ．一组数据()(),1,2,3,4,5,6i i x y i =的线性回归方程为 23y x =+，若6130i i x ==∑，则6163i i y ==∑D ．对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 10．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中ππ22ϕ−<<，图象向右平移()*s s ∈N 个单位后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =在ππ,33−上单调递减，则下列说正确的是（ ）A ．1ω=±B ．π6x =−为()f x 图象的一条对称轴 C ．s 可以等于5D ．s 的最小值为211．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A B 、两点，其中点A 在第一象限．12AF F △的内心为11,I AI 与x 轴的交点为P ，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F △的内切圆2I 的半径为2r ，则下列说法正确的有（ ）A ．若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2B ．若12AF AF ⊥，且112BF AF a −=C ．若1,a b==，则12r r −的取值范围是(D ．若直线l 112AI I P =，则双曲线的离心率为54三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知2πcos2cos 4x x=−，则tan x =______． 13．现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第()1,2,3,4k k =个袋中有k 个红球，4k −个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为______．14．以min M 表示数集M 中最小的数．函数(){}()cos sin min cos ,2sin f x x x x x x =⋅+∈R 的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，已知在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2A aC b c=−．（1）求A 的值；（2）若24,c b M ==为边BC 上一点，且23BM MC =，求AM 的长． 16．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，12,2PDPC CB BA AD AD CB =====∥，90CPD ABC ∠=∠=°，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD 中点．（1）求证：PD ⊥平面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC ，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值． 17．（15分）椭圆22:14x E y +=的上顶点为P ，图222:(1)(0)C x y r r −+=>在椭圆E 内． （1）求r 的取值范围；（2）过点P 作圆C 的两条切线，切点为A B 、，切线PA 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．是否存在圆C ，使得直线MN 与之相切，若存在求出圆C 的方程，若不存在，说明理由． 18．（17分）南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站．第1站为双港站，第24站是瑶湖西站．如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车．假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车．在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游．他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同．若某天是张爸爸管理手机，则下一天有12的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有34的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机． （1）记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X ，求X 的分布列及期望．（2）在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系．张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点．大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方．只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找．大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为12．求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率． 19．（17分）在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法．若()f x 在包含0x 的某个开区间(),a b 中具有1n +阶导数，设()()n fx 表示()f x 的n 阶导数．则对(),x a b ∀∈有()()()()()()()()()()200000001!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+−+−++−′+′′ ．其中()()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=−+，ξ是位于0x 与x 之间的某个值，它称为n 阶泰勒余项．()()()()()()()()()200000001!2!!nnn f x f x f x P x f x x x x x x x n ′′′=+−+−++− 叫做()f x 在0x x =处的n 阶泰勒多项式．（1）求()ln 1x +在0x =处的1阶泰勒多项式()1P x 和2阶泰勒多项式()2P x ，并证明：当0x ≥时，()()()21ln 1P x x P x ≤+≤；（2）整数2024n ≥．定义数列220011111,,,122k k k k n n a b a a b b k n−−===+=+≥−．设e 为自然对数的底数．（ⅰ）求证：e n a <；（ⅱ）求证：e n b >．江淮十校2025届高三第一次联考数学参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 91011答案 B A D B C A C D ABD BD ABD 解析1．【答案】B 【解析】由12xx≥−得2202x x −≤−，得12x ≤<，则[){}1,2,1S S T = ． 2．【答案】A 【解析】因为23i 3i iaz a −==−，所以z =．令z >1a >或1a <−，故“1a >”是“z >”的充分不必要条件． 3．【答案】D【解析】ln4ln1022e c a =>=，而222(ln2ln5)4ln2ln544a b +⋅=>=，且0,0a b >>．故b a c <<．4．【答案】B【解析】由题意可知，()2222cos6042a b b a b a a −⋅=°−=− ．则2a b − 在b上的投影向量为：()212a b b b b b b−⋅×=−． 5．【答案】C【解析】由题意可知，()()()42f x f x f x +=−+=，则函数()f x 的周期为4．又()()()22f x f x f x −=+=−，即函数的图象关于2x =对称，也关于()1,0对称，若()f x 的图象关于1x =对称，或关于3x =对称，则它的周期为2，由A 可知，B 、D 错误． 对于C ，由()()22f x f x −=+，可知()()()4f x f x f x −=+=，故C 正确．6．【答案】A【解析】设ABC △的外接圆的半径为r，又sin ACB ∠2sin AB r ACB=∠，故r =． 记ABC △的外心为1O ，由PA PB PC ==可知，1PO ⊥面ABC，故1PO =由题意可得外接球的球心在1PO 上，设外接球的半径为R，故222R R −+=，2R = 故球O 的表面积为40π3S =． 7．【答案】C【解析】函数()2ln f x x mx x =−+，不等式()0f x >化为：ln 1xmx x−<．分别令()1h x mx =−，()ln x g x x=． ()21ln xg x x−′=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减． 而不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1，2．故()()()()2233h g h g < ≥ ，即ln2212ln3313m m−< −≥．故3ln32ln294m ++≤<8．【答案】D【解析】易知PFB AFx ∠=∠，故60,120AFx BFx ∠=°∠=°．故21cos60pAF p ==−°，21cos1203p pBF==−° 而60AFB ∠=°．故2FAB S p ==△p =．9．【答案】ABD ．【解析】对于A 选项，去掉110,x x 后的平均数为23911872988x x x x x ++++==+ ，方差为()()()222213191999218x x x x x x −−+−−++−−= 故A 选项正确；对于B 选项，由于随机变量X 服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P X σ>=， 则()( 1.5)0.34P X a P X <=>=，则0.5a =故B 选项正确；对于C 选项，因为6130ii x==∑，所以5x =，又因为回归方程为 23y x =+，所以25313y =×+=，所以6113678ii y==×=∑，故C 选项错误；对于D 选项，对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故2χ越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D 选项正确． 10．【答案】BD【解析】由图象可知，35π2π3π4632T =+=，故1ω=±．又图象过点5πππ,1,622ϕ −<< ，故π1,3ωϕ==−．所以()πsin 3f x x=−，故A 错误，B 正确． ()πsin 3g x x s =−− ，因为n 在ππ,33 − 上单调递减，故πππ2π332,ππ3π2π332s k k s k −−−≥+ ∈ −−≤+ Z ．解得3π7π2π2π,26k s k k −−≤≤−−∈Z ． 当2k =−时，5π17π26s ≤≤，而5π52>，故s 不可能等于5，故C 错误． 当1k =−时，π5π26s ≤≤，又*s ∈N ，故min 2s =，故D 正确． 11．【答案】ABD 【解析】对于A，b a =2e =．或者be a = 对于B ，设1AF x =，则221,2,2BF x AF x a BF x a ==−=+．故222(22)(2)x x a x a +−=+，解得3x a =．又222(2)4x x a c +−=，故e =对于C ，渐近线的斜率为设直线AB 的倾斜角为2θ，因为A B 、均在右支上，故602120θ°<<°． 如图所求，()1211tan tan tan tan r r c a θθθθ −=−−=−∈．对于D ，1211212122AI AF AF AF AF I P F P F P c+====，故124AF AF c +=，而122AF AF a −=．故122,2AF a c AF c a =+=−，由余弦定理可知()222(2)(2)422c a c a c c c a +=−++⋅−，故54e =． 12．【答案】1−或13． 【解析】()()2222π1cos2cos cos sin (cos sin )cos sin cos sin 42x x x x x x x x x x=−⇒−=+=+⋅−，当cos sin 0tan 1x x x +=⇒=−；当1cos sin 0tan 3x x x +≠⇒=．13．【答案】38． 【解析】设i A =“取出第i 个袋子”，1,2,3,4i B =⋅=“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球” 则124ΩA A A =⋅⋅⋅ ，且1234A A A A 、、、两两互斥． ()()14,44i i iP A P B A −==，所以()()()416i i i i P A B P A P B A −==， 所以，()()()()()12343213168P B P A B P A B P A B P A B ++=+++==．14．． 【解析】()()222cos sin cos cos 1sin cos sin cos sin 2222x x x x f x x x x x x ≤⋅+=⋅+=−⋅+．令cos sin ,cos sin 2222x x x xm n =−=+，则222m n +=．而()2223cos sin cos sin 2222xx x x f x m n ≤−⋅+=⋅令()()32g t t t =−⋅，其中[]20,2t n =∈，则由()23640g t t t =−>′，可知302t <<即()g t 在30,2上为增函数，在3,22上为减函数．故()327216g t g ≤=，即()f x ≤当且仅当2231sin 211sin 22sin cos n x m x x x =+==−=≥，即1sin ,cos 2x x ==时等号成立．故()f x15．【解析】（1）由题意知，cos sin cos 2sin sin A AC B C=−， 故()2cos sin sin cos cos sin sin sin A B A C A C A C B ⋅⋅+⋅+． 又sin 0B ≠，故1cos 2A =，而()0,πA ∈，则π3A =．（2）在ABC △中，222222cos a b c bc A b c bc =+−⋅=+−，故222cos 22b c a bcAC cb A AB +−⋅=⋅== ． 2355AB AC AM =+ ，故222224912496437||.252525c b AB AC c b bc AM ++⋅++×===故AM =16．【解析】（1）由题意：2,90,BC AB ABC AC ==∠=°∴=，同理CD =，又2224,,AD CD AC AD CD AC =∴+=∴⊥．而CD =，即PC PD ⊥又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD AC =⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面,PCD PD ⊂平面,PCD PD AC ∴⊥，又PC PD ⊥，且PC ⊂面,PCA AC ⊂面,,PCA PC AC C PD =∴⊥ 平面PCA ．（2）以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,,,C A D P，()(,,CD CP PA ∴ ，设(01)PQ PA λλ=<<，有)))11CQ CP PA λλλ=+−− ，取面PCD 的一个法向量()0,1,0m =故CQ = ．令(),,n x y z =是平面CDQ 的一个法向量，则00n CD n CQ ⋅=⋅=，即00x z =+= 令1y =，有()0,1,2n=−，则cos ,n m n m n m⋅〈〉==14分故平面PCD 与平面CDQ． 17．【解析】（1）设()00,T x y 为椭圆E 上任意一点，022x −≤≤，则()222200003||1224TC x y x x =−+=−+． 则22200min 3348222244333r x x<−+=×−+=．故0r <<． （2）由题意可知()0,1P ，设()()1122,,M x y N x y 、．因为1r <，故切线PM PN 、的斜率都存在． 又直线PM 的方程为1111y yx x −+，即为()11110y x x y x −−+=．直线PN 的方程为()22210y x x y x −−+=．r =，故()()()2222221111112111x x y y r x r y +−+−=+−．而()221141x y =−，故()()()()()22222111114112111r y x yy r y −−+−+−=−，又因为11y ≠．故()()2211233510x r y r +−+−=，同理()()2222233510x r y r +−+−=． 故直线MN 的方程为()()22231510x r y r +−+−=．若直线MN 与圆Cr =，令220,3t r=∈ ．故329434390t t t −+−=，即()()2193490t x x −−+=．故1t =，或t =．故存在满足条件的圆C ，其方程为22(1)x y −+ 【备注】本题还有其它方法，可以酌情给分 我们可以得到221,1PM PN PM PN k k k k r ⋅=+=−．然后设直线MN的方程为y kx m =+，得到53m =−，再通过相切解出r ．我们在得到221,1PM PN PM PN k k k k r ⋅=+=−后，也可以用PM PN k k 、表示出M N 、的坐标，再得到直线MN 的方程，得到它过定点50,3−，再设直线MN 为53y kx =−，通过相切解出r ． 18．【解析】（1）由题意可知，X 的取值为123、、．()3114P X == 1分当2X =时，张爸爸管理手机的情况分为：在第3天、第4天、第5天三种情况． 若张爸爸在第3天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为1131134242416p =××××=； 若张爸爸在第4天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为2113134244216p =××××=． ； 若张爸爸在第5天管理手机，不同的手机管理方法有2种，其概率为3111332244464p =××××=； 故()27264P X ==． 当3X =时，张爸爸管理手机的情况为：第3天和第5天．此时，不同的手机管理方法有4种． 故()1313934242416P X ==××××=． 故X 的分布列为则X 的期望为()16364E X =． （2）由题意可知，大张和小张有12的概率乘车的方向相同．当大张和小张都乘车寻找对方时，我们可以视为大张在第13站不乘车，在某个站点，小张以12的概率不乘车，以14的概率正向乘车两站，以14的概率反向乘车两站．现求小张在五步内，第一次回到起点的概率．若小张经过一步，第一次回到起点，相当于小第在第一步选择了停留，其概率为12p =． 若小张经过两步，第一次回到起点，其概率为2121148p C ==． 若小张经过三步，第一次回到起点，则小张只能在第2步时停留，其概率为2121112416p C=×=． 若小张经过四步，第一次回到起点，则小张有2种选择，每站都不停留；或者停留2次，且只能在第2步和第3步停留，其概率为4221111152242412832128p=×+××=+=若小张经过五步，第一次回到起点，则小张有2种选择，停留1次，且只能在第2步或第3步或第4步停留；停留3次，且只能在第2步、第3步、第4步停留，其概率为4321111317322242425664256p=×××+××=+=故满足条件的概率为111571932816128256256p =++++=． 19．【解析】（1）由题意可知，()()212,2x P x x P x x ==−． 令()()1ln 1,0f x x x x =+−≥则()11101f x x′=−≤+，故()1f x 在()0,+∞上递减，则()()1100f x f ≤=． 即()()1ln 1x P x +≤．令()()22ln 1,02x f x x x x =+−+≥．则()'211112011f x x x x x =−+=++−≥++，故()2f x 在()0,+∞上递增，则()()2200f x f ≥=，即()()2ln 1x P x +≥．（2）令11,22n n rs n=−． 由题意可知，111a r =+>，故2211a a r +>，一直下去有1,k a k ≥∈N ．故当2k ≥时，()21111110k k k k k k a a a a ra a r r −−−−−−=−+=−+≥>，即{}k a 为增数列，且当*k ∈N 时，1k a >．同理{}k b 为增数列，且当*k ∈N 时，1k b >．（ⅰ）由题意可知，()212ln ln 2ln ln 1k k k k r a a r a a +=+=++， 故1112121ln ln 1ln ln ln 12222222k k k k k k k k k k k k k a a r a r a ra a +++++ =+⋅+≤+<+ ⋅ ． 即11111001ln ln ln 1212222212n n n k k n k k k n k k r a a a r r −−+++== =−<<== −∑∑，则有ln 1n a <，即n a e <． （ⅱ）同（ⅰ），我们有1112121ln ln 11ln 122222k k k k k k k k k b b s s sb b +++++ −=⋅+<⋅< ，则对任意的11100ln ln 1,12222m m m k m k k m k k b b s m s ∗−−+=∈=−<=−⋅ ∑∑N ， 故()()21ln 21,1ms mm m b s b e−⋅<−⋅<<，即()2221111m smb e⋅−⋅≤<，对任意的m ∈N 成立． 而()222211112124121ln ln 111ln 1222222222k s k k k k k k k k k k k k b b s s s s s s s e b b b b −−⋅++++++−=⋅+>−≥−≥⋅− ⋅()11112313122112222222k k k k k k ss s s s s s s s +++++ ≥⋅−−⋅−=⋅−⋅+⋅=⋅−+故111112100ln ln ln 13133122222222n n n k k n k k k k n n k k b b b s s s s s s n s −−+++++===−>⋅−+=⋅−−⋅+− ∑∑ 故()()()()222331ln 21221222122nn nnn n n n b s n s s n s s n s −>−⋅−⋅⋅+−⋅=−⋅+⋅⋅+−+()()()()2231312211212211222n n n n s n n n s n n n=+⋅⋅+−+−−=+⋅⋅+−−−>．即n b e >．。

安徽省江淮十校2021届高三8月联考数学理试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份．总分值150分，时刻120分钟．2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每一个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，那么A B =（ ）A.（1，2）B.[1，2]C.[ 1，2）D.（1，2 ]2. 已知i 是虚数单位，a R ∈，那么“1a =”是“2()2a i i +=”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分没必要要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也没必要要条件3. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，那么实数=a （ ） A. 2B.26C.25D. 1 4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i 的值为 A ．3B ．4C ．5D ．65. 已知直线()()12:120,:2130l a x ay l ax a y -+-=+++=，若12l l ⊥,那么a 的值为 A ．0B ．2-C ．2-或0D ．0或26. 设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<总成立．那么实数a 的取值范围是( ) A ．0a >B ．12a >C ．14a >D ．012a a ><-或7. 设357log 6,log 10,log 14a b c ===，那么 （ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ． c b a >>第4题图8. 已知直线:0l Ax By C ++=（220A B +≠不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，假设1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++<++，那么直线l ( )A ．与直线12P P 不相交B ．与线段21P P 的延长线相交C ．与线段12P P 的延长线相交D ．与线段12P P 相交 9. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如下图,那么该几何体的体积是（ ） A ．108cm 3 B ．100 cm 3C ．92cmD ．84cm 310. 在面积为6的Rt△ABC 中，90C ︒∠=,AB 在AC 上的投影为3，P 为线段AB 上的动点，且知足 ,||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.11. 假设将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，那么ϕ的最小正值是 12.概念在R 上的奇函数()f x 知足(4)()f x f x +=，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，那么_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f 13.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若51020,,a a a 三项成等比数列，那么此等比数列的公 比为 .14. 已知变量x ，y 知足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，假设目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，那么a 的取值范围为_____．15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 别离为棱1DD ，AB 上的点．以下说法正确的选项是__________.（填上所有正确命题的序号） ①1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；第15题图第9题图xyABC O③1B EF △在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ④当,E F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当,E F 为中点时，平面1B EF 与棱AD 交于点P ，那么23AP =． 三、解答题：本大题共6小题，计75分.解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤.把答案填在答题卡的相应位置.16. 如图，点A ,B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB .（Ⅰ）假设点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点B 的横坐标； （Ⅱ）求BC 的取值范围.17.（本小题12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平常成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组第四组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，方图的一[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率散布直部份，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.（Ⅰ）请在图中补全频率散布直方图；（Ⅱ）假设B 大学决定在成绩高的第4，5组顶用 分层抽样的方式抽取6名学生，而且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同窗被分在同一个小组的概率. 18.（本小题12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A 、B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2.（Ⅰ）求证：EA EC ⊥（Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF=1， 求三棱锥E-ADF 的体积.19.（本小题12分）已知数列{}n a 知足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， （Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．20. （本小题13分）如图，已知圆22:1O x y +=与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于点C ，M 是圆O 上任意一点（除去圆O 与坐标轴的交点）.直线AM 与BC 交于点P ，CM 交x轴于点N ，设直线PM 、PN 的斜率别离为m 、n ， （Ⅰ）试求点M 、N 坐标（可用m 、n 表示） （Ⅱ）求证：2m n -为定值.21. （本小题14分）设关于x 的方程210x mx --=有两个实根,()αβαβ<，函数22()1x mf x x -=+. （Ⅰ）求证：不论m 取何值，总有()1f αα=；（Ⅱ）判定()f x 在区间(,)αβ的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若,λμ均为正实数，证明：|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++.安徽省江淮十校教育研究会2021年高二联考 数学（理科）答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.1. D2.A3. D4. B5. C6. B7. A8. B9. B 10. C. 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分 11.4π 12. 516 13. 2 14. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15. ②③④⑤三、解答题:本大题共6小题，计75分.解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤 16. （I ）由三角函数概念知， 34cos ,sin .55αα== ………………………（2分） ,3COB πα∠=+343cos()cos cos sin sin .33310πππααα-∴+=-=………（5分） 因此点B 的横坐标34310-. ………………………（6分） （II ）222cos()3BCπα=-+， ………………………（9分)02πα<<，5336πππα∴<+<， 31cos()(,)322πα∴+∈-，2(1,23)BC ∴∈+， 621,2BC ⎛⎫+∴∈ ⎪⎝⎭. …………………（12分）17.（本小题12分）（Ⅰ）由图象可知第五组为:0.02530030⨯⨯=人， 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列,因此第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人,45人,60人,75人,90人. 那么绘制的频率散布直方图如右图所示.………….6分（Ⅱ）第四组中抽取人数：660490⨯=人，第五组中抽取人数：630290⨯=人，因此两组共6人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情形，情形一：12,B B 在同一小组：123412(,,),(,,)A A A A B B ；124312(,,),(,,)A A A A B B ；134212(,,),(,,)A A A A B B ；234112(,,),(,,)A A A A B B ，共有4种可能结果，情形二：12,B B 不在同一小组：112234(,,),(,,)B A A B A A ；113224(,,),(,,)B A A B A A ；114223(,,),(,,)B A A B A A ；123214(,,),(,,)B A A B A A ；124213(,,),(,,)B A A B A A ；134212(,,),(,,)B A A B A A ，共有6种可能结果，两种情形总共10种可能结果，因此两人被分在一组的概率为42105=. ….12分 另解：两人被分在一组的概率为1433632225C P C C A ==.（此法亦可相应给分）18.（本小题12分） (Ⅰ)证明：矩形ABCD ⊥面ABE ， CB ⊂面ABCD且CB ⊥AB∴CB ⊥面ABE ，从而AE ⊥BC ①………3.分又在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠= 即AE ⊥BE ②由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥， ……………………….…6分 (Ⅱ)AB//CD, ∴ AB//面DCE.又面DCE面ABE=EF,∴AB//EF在等腰梯形ABEF 中，EF=1，AF=1，120AFE ∠=，………………….…9分∴13sin12024S EF AF =⨯⨯⨯=，11133E ADFD AEF AEF AD VV S --∆==⨯⨯==. …………………12分 19.（本小题12分）解：（Ⅰ）由1123(2)n n n a a a n +-=-≥得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥， 则1{}n n a a +-是以211a a -=为首项，以12为公比的等比数列 .... ……… .........4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：211()2n n n a a ---=，累加可得214()2n n a -=-.........................8分则123n n a m a m +-<-即为：2114()22134()2n n m m ----<--，显然4m ≥时无解，那么易求得123,,11 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩..................................................12分 注：假设由123nn a m a m +-<-取得()()132n n a m a m +-<-即1n m a ->亦即3142n m -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，从而得出结果*4312,,1112m m m m n n n n N ≥===⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===∈⎩⎩⎩⎩，或可酌情给分. 20. （本小题13分）解：（I ） 直线AM 的方程为：(1)(0,1)y m x m =+≠±与 22:1O x y +=联立得22212(,)11m mM m m -++………………………………………………………………….3分 由22212(0,1),(,),(,0)11m m C M N x m m -++三点共线，得出1(,0)1mN m+-……………......…6分 （Ⅱ）.将直线BC 的直线方程1x y +=与(1)(0,1)y m x m =+≠±联立得12(,)11m m P m m-++…………………………………………………………………...8分 故有22202(1)1111(1)(1)211PN mm m m m n k m m m m m m---+====-+--+-+-………………………….11分 即：21m n -=………………………………………………………………………….13分 21. （本小题14分）解: (Ⅰ)∵,αβ是方程210x mx --=的两个根， ∴,1m αβαβ+==-，∴2222()1()1()m f αααβαβααααβααβα--+-====+-- ，∴()1f αα=……………………………………………………… （4分）（Ⅱ）∵222222(1)2()()()(1)(1)x mx x x f x x x αβ----'=-=-++， 当(,)x αβ∈时，()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上单调递增．（此处用概念证明亦可）…（8分）（Ⅲ）∵()0λαμβμβααλμλμ+--=>++，同理可证：λαμβαβλμ+<<+∴由（Ⅱ）可知：()()()f f f λαμβαβλμ+<<+，()()()f f f μαλβαβλμ+<<+，∴|()()||()()|f f f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++， ……………………………（12分）由（Ⅰ）可知，1()f αα=，1()f ββ=，1αβ=-，∴11|()()|||||||f f βααβαβαβαβ--=-==-， ∴|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++．……………………………………（14分）。

2021届安徽省江淮十校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合1|,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}2|40B x x =-≤，若A B P ⋂=，则集合P 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合A 、B ，得出集合P ，确定集合P 的元素个数，利用子集个数公式可得出集合P 的子集个数. 【详解】当0x >时，12y x x =+≥=；当0x <时，()()112y x x x x ⎡⎤=+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦. 所以，集合{}22A y y y =≤-≥或.集合{}{}24022B x x x x =-≤=-≤≤，{}2,2P AB ∴==-，集合P 有两个元素，因此，集合P 的子集个数为224=，故选：B. 【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题.2．复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ） A ．7 B ．49 C ．9 D ．81【答案】B【解析】设z x yi =+，由342z i ++=可得出()()22344x y +++=，22z z x y ⋅=+，利用数形结合思想求出z z ⋅的最大值. 【详解】设z x yi =+，则()()34342z i x y i ++=+++==，()()22344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点距离的平方，原点到圆心的距离为5=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 ∵,,a b c 为正数，∴当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立， 若222a b c +>，则()222+->a b ab c ，即()2222+>+>a b c ab c ，>a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于中档题. 4．已知向量a 、b 均为非零向量，()2a b a -⊥，a b =，则a 、b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】设a 、b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥，得出()20a a b ⋅-=，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出cos θ的值，结合θ的取值范围得出θ的值. 【详解】设a 、b 的夹角为θ，()2a b a -⊥且a b =，()222222cos 0a a b a a b a a θ⋅-=-⋅=-=，解得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 、b 的夹角为3π，故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知ln x π=，13y e -=，13log z π=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】C【解析】利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数ln y x =在其定义域上是增函数，则ln ln 1x e π=>=，指数函数xy e =在R 上为增函数，则10301e e -<<=，即01y <<，对数函数13log y x =在其定义域上是减函数，则1133log log 10π<=，即0z <.因此，z y x <<，故选：C. 【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+D ．()23323ππ-+【答案】A【解析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积， 即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选：A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.7．如图，在正方体111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．． 【答案】C【解析】利用直线与平面平行的判定定理可判断出A 选项中命题的正误；利用反证法判断出B 选项中命题的正误；利用线面角的定义判断出C 选项中命题的正误；利用三棱锥体积来判断出D 选项命题的正误. 【详解】对于A 选项，//AD BC ，AD ⊄平面CBF ，BC ⊂平面CBF ，//AD ∴平面CBF ，又AD ⊂平面11ADD A ，所以，A 选项中的命题错误；对于B 选项，反设平面ABCD 内存在直线a 满足a ⊥平面CBF ，a ⊂平面ABCD ，由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF ⊥平面ABCD ，事实上，平面CBF 与平面ABCD 不垂直，假设不存在，所以，B 选项中的命题错误；对于C 选项，由于F 到平面ABCD 的距离d 不变且FC 变小，设直线FC 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin dFCθ=，可知θ在逐渐变大，C 选项中的命题正确； 对于D 选项，由于点F 到平面ABCD 的距离不变，BCD ∆的面积不变，则三棱锥F BCD -的体积不变，即三棱锥D BCF -的体积不变，在点F 的运动过程中，BCF ∆的面积不变，由等体积法可知，点D 到平面BCF 的距离不变，D 选项中的命题正确.故选：C. 【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面距离等命题的判断，判断时要从这些知识点的定义出发来理解，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%【答案】A【解析】求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】363637374440434443409x ++++++++==,2161699160916910099s ++++++++==103s =,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,33⎛⎫⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于505609≈，故选A.【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1(++...+)x x x x n=． 样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-， 标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-9．将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图象，下列关于()f x 的叙述正确的是（ ）A ．最大值为1，且关于3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．周期为π，关于直线2x π=对称C ．在,68ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 【答案】C【解析】根据图象变换求出函数()y f x =的解析式，然后结合正弦型函数的基本性质对各选项的正误进行判断. 【详解】将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，得到函数cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()sin 2f x x =的图象. 对于A 选项，函数()sin 2f x x =的最大值为1，由于33sin 142f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭，该函数的图象不关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 选项错误； 对于B 选项，函数()sin 2f x x =的最小正周期为22T ππ==，且sin 02f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则该函数的图象不关于直线2x π=对称，B 选项错误；对于C 选项，当68x ππ-<<时，234x ππ-<<，则函数()sin 2f x x =在,68ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且该函数为奇函数，C 选项正确； 对于D 选项，当04x π<<时，022x π<<，则函数()sin 2f x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数，D 选项错误.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，解题时要根据图象的变换写出变换后的函数解析式，并结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.10．对任意实数x ，恒有10x e ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x ()12x x <，则下列结论正确的为（ ） A ．122x x += B ．121=x xC ．122x x = D ．12xx e =【答案】B【解析】先由10x e ax --≥可得出1a =，再由()1ln 10x x x ---=，得出1ln 1x x x +=-，由题意得出1111ln 1x x x +=-和111111ln 11x x x +=-，由此得出211x x =，由此可得出正确选项.【详解】构造函数()1xf x e ax =--，则()00f =，由题意得出()()0f x f ≥，则()()min 0f x f =.且()xf x e a '=-.①当0a -≥时，即当0a ≤时，对任意的x ∈R ，()0f x '>，函数()y f x =在R 上单调递增，此时，函数()y f x =没有最小值；②当0a -<时，即当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =. 当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =在ln x a =处取得极小值，亦即最小值，即()()min ln f x f a =，ln 0a ∴=，得1a =.由题意可知，关于x 的方程()1ln 10x x x ---=有两个实根，即1ln 1x x x +=-有两个实数根. 方程1ln 1x x x +=-的其中一个实根为1x ，则1111ln 1x x x +=-，1111111ln 11x x x x x ++∴-=-=--， 即111111ln 11x x x +=-，又方程1ln 1x x x +=-的另一个实根为2x ，211x x ∴=，因此，121=x x ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了方程两根之间的关系，解题时要充分利用对数的运算性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ）ABC ．2D【答案】B【解析】设直线1l 的方程为b y x a =，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用AM BM k k e ⋅=，可得出21e e -=，解出即可. 【详解】设直线1l 的方程为by x a=，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()1212AMb x x a k x x +=-，()12121212MB b b b x x x x a a a k x x x x -+-==--+，22AM BM b k k e a ∴⋅==， 即21e e -=，即210e e --=，1e >，解得12e =，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分利用公式222221c b e a a==+可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.12．在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为（ ） A ．53π B ．43π C ．πD ．2π【答案】A【解析】设()201AB x x =<<，可知当四面体ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB，计算出CE DE ==求出四面体ABCD 的体积31133V x x =-，利用导数求出V 的最大值以及对应的x 的值，再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出结果. 【详解】如下图，取AB 的中点E ，连接CE 、DE ，设()201AB x x =<<，则21CE DE x ==-，当四面体ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB ， 四面体ABCD 的体积为22311112113233V x x x x x =⨯⨯⨯-⨯-=-，213V x '=-. 令0V '=，得33x =，当303x <<时，0V '>；当313x <<时，0V '<.所以，函数31133V x x =-在33x =处取得极大值，亦即最大值.此时，2613CE x =-=，6sin 3CE BAC AC ∠==，设ABC ∆和ABD ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理得62sin BC r BAC ==∠，6r ∴=. 设ABC ∆、ABD ∆的外接圆圆心分别为M 、N ，外接球的球心为点O ，如下图所示：在Rt BCE ∆中，6BM r ==， 四边形OMEN 是正方形，且边长为6ME BE BM =-=， 所以，四面体ABCD 的外接球半径2222665+=41212R BM OM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，该四面体的外接球表面积为25544123OBπππ⋅=⨯=，故选：A.【点睛】本题考查四面体体积的最值，同时也考查了四面体外接球表面积的计算，要充分分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题13．已知实数x、y满足21020xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为____________.【答案】32【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+经过可行域时在x轴上取最小值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案.【详解】作出不等式组21020xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立210xx y-=⎧⎨-=⎩，得12x y==，可得点11,22A⎛⎫⎪⎝⎭，平移直线2z x y=+，当直线2z x y=+经过可行域的顶点11,22A⎛⎫⎪⎝⎭时，该直线在x轴上的截距最小，此时z取最小值，即min1132222z=⨯+=，故答案为：32.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，通常利用平移直线在坐标轴上截距的最值来寻找最优解来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．已知()()512x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含2x 项的系数是______. 【答案】30-【解析】先将1x =代入二项式得出二项式的值为展开式各项系数和，可求出1a =-，然后将二项式变形为()()()()5551212121x x x x x +-=-+-，写出二项展开式的通项，令x 的指数为2，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出2x 项的系数. 【详解】由题意可知，()()512x x a ++的展开式中各项系数和为()()()551121222a a +⨯+=+=， 解得1a =-，()()()()()()5555121212121x x a x x x x x ++=+-=-+-， 二项展开式的通项为()()()()()5556555212121kkr r k k rk k k xC x C x C x ----⋅⋅-+⋅⋅-=⋅⋅-⋅+()55521r rr r C x --⋅⋅-⋅，令6252k r -=⎧⎨-=⎩，得43k r =⎧⎨=⎩，因此，展开式中含2x 项的系数为()()434132552121104030C C ⋅⋅-+⋅⋅-=-=-，故答案为：30-. 【点睛】本题考查二项式展开式各项系数和的概念，同时也考查了二项式中指定项的系数，解题时要充分利用展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题. 15．关于x 的方程sin 2cos 0x x a ++=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有解，则实数a 的取值范围是_______.【答案】)1⎡-⎣【解析】将问题转化为方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有解，可得出实数a -的取值范围即为函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域，利用辅助角公式求出函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域，即可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意可得sin 2cos a x x -=+，则关于x 的方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有解. 构造函数()sin 2cos f x x x =+，其中0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，ϕ为锐角，且cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 由于02x π<<，则2x πϕϕϕ<+<+，所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,22ππϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()max f x =()02f =，12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为(，1a ∴<-≤解得1a ≤<-，因此，实数a 的取值范围是)1⎡-⎣，故答案为：)1⎡-⎣.【点睛】本题考查三角函数的零点问题，解题时可以利用参变量分离法转化为函数的值域问题，充分利用辅助角公式和正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中中等题.16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）. 【答案】1λλ+【解析】设直线AB 的方程为1y kx =+，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程，列出韦达定理，结合2AF FB λ=得出点A 的横坐标，然后利用导数求出抛物线C 在点A 处的切线方程，并求出点M 的坐标，最后利用两点间的距离公式求出MF 的长度. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--，()22,1FB x y =-，2AF FB λ=，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及到切线方程以及两点间的距离公式的应用，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()6121n S n n n =++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析.【解析】（1）令1n =，由11a S =求出11a =，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-求出n a 的表达式，再对11a =是否满足n a 的表达式进行验证，由此得出数列{}n a 的通项公式； （2）将数列{}n b 的通项公式裂项为11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，并利用裂项法求出n T ，即可证明出12nT <成立. 【详解】（1）当1n =时，11661236a S ==⨯⨯=，可得11a =；当2n ≥时，由()()6121n S n n n =++可得()()16121n S n n n -=--，上述两式相减得()()()()261211216n a n n n n n n =++---=⎡⎤⎣⎦，2n a n =.11a =适合2n a n =，因此，对任意的n *∈N ，2n a n =；（2）()()21111114141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭，111111111111123235221212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. 【点睛】本题考查由前n 项和公式求数列通项，同时也考查了利用裂项法求和，在由前n 项和公式求数列通项时，利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来进行计算，考查计算能力，属于中等题.18．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222sin sin 3sin A B C -=，sin 3A =，且0BA AC ⋅>. （1）求sin sin BC； （2）若2a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3；（2）3. 【解析】（1）由0BA AC ⋅>可得出cos 0A <，利用同角三角函数的平方关系可求出cos A 的值，利用正弦定理边角互化思想得出2223a b c -=，再利用余弦定理可得出b c的值，从而可得出sin sin BC的值；（2）由（1）得出3b c =，利用余弦定理可求出b 、c 的值，再利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】 （1）()cos cos 0BA AC BA AC A cb A π⋅=⋅-=->，cos 0A ∴<.由同角三角函数的平方关系得22221cos 1sin 133A A ⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 222sin sin 3sin A B C -=，由正弦定理可得2223a b c -=.由余弦定理得2222231cos 223b c a c c c A bc bc b +--===-=-，3b c ∴=，由正弦定理边角互化思想得sin 3sin B bC c==； （2）由（1）可知3b c =，由余弦定理得2222222cos 10212a b c bc A c c c =+-=+=，2211123c a ∴==，则3c =，3b =， 由三角形面积公式可知，ABC ∆的面积为113222sin 322ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式的应用，要根据三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，同时也考查充分利用边角互化思想的应用，简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =.（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若点E 为DB 中点，求二面角D AE C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（242. 【解析】（1）先证明出ABD CBD ∆≅∆，可得出AD CD =，可得出90ADC ∠=，然后取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，并设OA OD a ==，利用勾股定理证明出OD OB ⊥，由等腰三角形三线合一得出OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出OD ⊥平面ABC ，再利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面ACD ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，计算出平面ADE 和ACE 的法向量，利用空间向量法求出二面角D AE C --的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案. 【详解】 （1）ABC ∆是等边三角形，AB BC ∴=，又ABD CBD ∠=∠，BD BD =，ABD CBD ∴∆≅∆，AD CD ∴=，ACD ∆为直角三角形，所以90ADC ∠=，取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，则OD AC ⊥，OA OD =.设OA OD a ==，则tan 603OB OA a =⋅=，又2BD AB AC a ===，222BD OB OD ∴=+，OB OD ∴⊥，又OB AC O =，OD ∴⊥平面ABC ，OD ⊂平面ACD ，因此，平面ACD ⊥平面ABC ；（2）由题设及（1）可知OA 、OB 、OD 两两垂直，以点O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()1,0,0A 、()B、()1,0,0C -、()0,0,1D ，E为BD 的中点，则12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ()1,0,1AD ∴=-，()2,0,0AC=-，11,22AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得0102x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 得3z xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令x1y =，z =所以，平面ADE的一个法向量为(31,n =,.同理可得，平面ACE 的一个法向量为(0,m =-，cos ,2m n m n m n⋅∴===⨯⋅所以，二面角D AE C --的正弦值为2742177⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，在利用空间向量计算二面角时，关键就是要建立合适的空间直角坐标系，并计算出平面的法向量，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图，已知()1,0A -、()10B ,，Q 、G 分别为ABC △的外心，重心，//QG AB .（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）是否存在过()0,1P 的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足2MP PN =，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.【答案】（1）()22103y x xy +=≠；（2）不存在. 【解析】（1）设点()(),0C x y xy ≠，利用重心的坐标公式得出点G 的坐标为,33x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出点0,3y Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由QA QC =可得出点C 的轨迹E 的方程；（2）由题意得出直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线L 的方程与曲线E 的方程联立，并列出韦达定理，由2MP PN =，可得出122x x =-代入韦达定理求出k 的值，即可得出直线L 的方程，此时，直线L 过点()1,0-或()1,0，从而说明直线L 不存在. 【详解】（1）设点()(),0C x y xy ≠，则点,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于//QG AB ，则点0,3y Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由QA QC =，可得出2224199y y x +=+，化简得2213y x +=.因此，轨迹E 的方程为()22103y x xy +=≠；（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.假设存在直线:1L y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y .将直线L 的方程与曲线E 的方程联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()223220k x kx ++-=，由韦达定理得12223k x x k +=-+，12223x x k =-+. ()11,1MP x y =--，()22,1PN x y =-，2MP PN =，122x x ∴-=，得122x x =-，即122x x =-，()()22221222212432233x x k k k x x k k +⎛⎫+=⋅-=- ⎪+⎝⎭+， 另一方面()2212122122112223x x x x k x x x x k +=++=-=-+，得21k =，解得1k =±. 则直线L 过点()1,0-或()1,0，因此，直线L 不存在. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21．已知函数()21cos 14f x x x =+-. （1）证明：()0f x ≤，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （2）判断()y f x =的零点个数，并给出证明过程. 【答案】（1）证明见解析；（2）三个零点，证明见解析.【解析】（1）由函数()y f x =是偶函数，只需利用导数证明函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值()max 0f x ≤即可；（2）由（1）得出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，然后利用函数值符号得出该函数在区间[)3,+∞上无零点，利用导数分析函数的单调性，并分析极值的符号，结合零点存在定理得出该函数在区间,32π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，由偶函数的性质得出该函数在区间,2π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上也只有一个零点，从而得出函数()y f x =有三个零点. 【详解】 （1）()21cos 14f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则该函数为偶函数， 只需证()max 0f x ≤，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()1sin 2f x x x '=-+，()1cos 2f x x ''∴=-. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()0f x ''=，得3x π=. 当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ''≤，此时，函数()y f x '=单调递减； 当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ''≥，此时，函数()y f x '=单调递增. ()00f '=，1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，此时，函数()y f x =单调递减，则()()00f x f ≤=， 因此，对任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()0f x ≤； （2）三个零点，证明如下：由（1）可知，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =有一个零点0x =.当[)3,x ∈+∞时，()9cos 104f x x ≥-+>，此时，函数()y f x =无零点； 当,32x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1sin 2f x x x '=-，()1cos 02f x x ''=->.此时，函数()y f x '=单调递增，1024f ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()33sin 302f '=->. 由零点存在定理可知，存在0,32x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=.当0,2x x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减； 当()0,3x x ∈时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增.210216f ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()002f x f π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，()53cos304f =+>.由零点存在定理知，函数()y f x =在区间0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，在区间()0,3x 上有且只有一个零点，即函数()y f x =在区间,32π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点. 由于函数()y f x =为偶函数，所以，函数()y f x =在(],3-∞-上无零点，在3,2π⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.综上所述，函数()y f x =有三个零点. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，以及利用导数研究函数的零点个数问题，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 22．棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤；（3）求99P 、100P 的值.【答案】（1）分布列见解析，随机变量X 的数学期望为92；（2）证明见解析； （3）9910021132P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量X 在相应取值时的概率，可列出随机变量X 的分布列，由此计算出随机变量X 的数学期望； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，也可以由第()1n -站跳2站得到，由此得出111122n n n P P P +-=+，并在该等式两边同时减去n P ，可得出所证等式成立； （3）结合（1）、（2）可得1112n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，从而可求出99P 和100P 的值. 【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6.()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为13319345688882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ，也可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -，所以，111122n n n P P P +-=+.等式两边同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；（3）由（2）可得01P =，112P =，210113224P P P =+=. 由（2）可知，数列{}1n n P P +-是首项为2114P P -=，公比为12-的等比数列， 111111422n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫∴-=⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()23999912132999811112222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭98100111421211123212⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，又9999989911=22P P ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，则989921132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.。

江淮十校2021届高三第一次联考数学（文科）2020．8命审单位：滁州中学 命审人：孙韩玉 李伟建注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合2{12},1⎧⎫=+<=<⎨⎬⎩⎭A x xB xx ，则()⋂=R A B （ ） A ．[0,1) B ．(3,1)- C ．[1,2] D ．(0,2] 2．已知复数512=+-z i i，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3i B ．3-i C ．3 D ．3-3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“01<<q ”是“10+-<n n a a ”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A ，B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθ B ．2sin2=d l θθ C ．cos2=d lθθ D ．2cos2=d lθθ5．已知抛物线22(0)=>y px p 的焦点与椭圆22154+=+-x y m m 的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）A ．1=-xB ．1=xC ．3=-xD ．3=x6．某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法等距抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．20 7．函数2ln ||=-y x x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．要得到函数2cos 26⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x π的图象，只需将函数2cos 2=-y x x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位10．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120︒∠=∠=∠=APB APC BPC 时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是（ ）A．2 B．2 C1 D111．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．，,tan ≠=a c B ABC的面积为2||-b a c 的最小值为（ ）A． B． C． D．12．在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为1的等边三角形，2===PA PB PC ，则三棱锥-P ABC 外接到的表面积为（ ） A ．4π B ．5π C．6D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()13log ,3()3,3≥⎧⎪=⎨⎪<⎩xx x f x f x 则(1)=f _____．14．已知2=x 是函数()2()2=-+x f x xe a x x 的一个极值点，则实数=a _____．15．设数列{}n a 满足()()111,111+=+-=n n a a a ，则数列{}1+n n a a 的前2020项和为______．16．已知点P 是双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b上任意一个点，若点P 到双曲线两条渐近线的距离乘积等于23b ，则双曲线的离心率为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 满足112,2+==+n n a a a n ，设1=++n n b a n ． （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．（12分）2019年12月份至今，新冠肺炎的爆发引起全球关注．新冠肺炎的感染病原体为新型冠状病毒，其传染性强，可通过呼吸道飞沫进行传播，传染后容易引起发热、干咳、乏力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期，为研究潜伏期与患者年龄的关系，一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下列联表：（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者的年龄有关？（2）佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎，N95、R95、P95是三种不同材质的口罩，已知某药店现有N95、R05、P95口罩的个数分别为54个，36个，18个，某质检部门按分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查，再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比，求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率．附：22()()()()()-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．19．（12分）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知222()=+-S b c a ，其中S 为ABC的面积． （1）求cos A ；（2）若cos cos 2+=b C c B ，求ABC 周长的最大值．20．（12分）如图，正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，2=AB ，侧棱1AA 上有且仅有一点E 使得1⊥BE EC ．（1）求1AA 的长；（2）若平面1BED 与1CC 交于点F ，求几何体1ABED F 的体积． 21．（12分）已知函数cos 2()⎛⎫- ⎪⎝⎭=x f x xπ． （1）证明：()f x 在区间(0,)π上单调递减；（2）试比较1311,sin ,sin 232π的大小关系，并按从大到小的顺序进行排列． 22．（12分）已知动点(,)P x y 到(0,1)F 的距离比它到x 轴的距离大1，记P 得轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）直线l 与曲线(0)Γy相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，过A 、B 分别作曲线(0)Γy 的切线相交于点N ，直线NA 、NB 分别与x 轴相交于C 、D ．是否存在实数λ，使得对于任意的直线l ，都有+=MC MD MN λ成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．江淮十校2021届高三第一次联考文数试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案：A解析：{31}=-<<P x x ，{0=<B x x 或2}>x ，故答案选A ． 2．答案：D解析：13=+z i ，则13=-z i ，故答案选D ． 3．答案：D解析：由等比数列的通项公式11-=n n a a q ，可知{}n a 的单调性由首项和公比决定，故选D ． 4．答案：B解析：设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2cos2sin22-==r r d πθθ，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=d lθθ，故答案选B ．5．答案：C 解析：(5)(4)9+--=m m ，∴椭圆右焦点坐标为(3,0)，故抛物线的准线方程为3=-x6．答案：C解析：由题意组距为4，设第一组抽到的编号为x ，则抽到的编号之和为(4)(8)(12)(16)50++++++++=x x x x x ，解得2=x ，故最大编号为18．7．答案：A解析：令2()ln ||=-f x x x ，定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞且2()ln ||()-=-=f x x x f x ，故函数2ln ||=-y x x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ：当0>x 时，2ln =-y x x ，则12'=-y x x ，当0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，2120,ln '=->=-y x y x x x 单调递增，排除C 选A ．8．答案：D解析：输入的,a b 分别为8，2，1=n ， 第一次执行循环体后12,4==a b ，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后2,18,8===n ab ，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后3,27,16===n a b ，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后814,,322===n a b ，不满足退出循环的条件， 第五次执行循环体后2435,,644===n a b ，满足退出循环的条件，故输出的5=n ． 9．答案：B解析：2cos22sin 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭y x x x π，故只需向左平移4π个单位就可得到2sin 22cos 236⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ππ，故答案选B ．10．答案：D解析：设(,),(1,0),(0,1)===a x y b c ， 则2||||||(1)-+++-=-a b a b a c x即为点(,)P x y 到(1,0),(1,0)-A B 和(0,1)C 三个点的距离之和，则ABC 为等腰直角三角形，由费马点的性质不难得到，当点P的坐标为0,3⎛⎝⎭时，距离之和最小为11⎛++-=+⎝⎭D．11．答案：C解析：tan =B1cos3∴=B，sin3=B，又1sin2==S ac B，6∴=ac，由余弦定理可得2222222cos4()8=+-=+-=-+b ac ac B a c a c，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a ca ca c a c a c8||||-=-a ca c等号成立．12．答案：B解析：由勾股定理可得PBA和PCA是两个全等的直角三角形，且有公共的斜边PA，所以PA的中点即为三棱锥外接球的球心，外接球的半径22==PAR，故三棱锥-P ABC外接球的表面积为245⨯=⎝⎭ππ二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案：1-14．答案：22e解析：()()(1)(22)(1)2'=+-+=+-x xf x x e a x x e a，(2)0'∴=f，则22=ea，经检验当22=ea时，2=x是函数()2()2=-+xf x xe a x x的一个极值点．15．答案：20202021解析：()()1111111++++-=-+-=n n n n n na a a a a a，11++∴-=n n n na a a a1111+∴-=n na a，111(1)1∴=+-⨯=nn na a，1111(1)1+∴==-++n na an n n n{}1+∴n na a的前2020项和为1111112020112232020202120212021-+-++-=-=16解析：设()00,P x y，则2200221-=x ya b即22222200-=bx a y a b双曲线两条渐近线的方程为0±=bx ay，则点P到两条渐近线的距离乘积为2222222002223-===+b xa y ab ba b c，故==cea三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解析：（1）由条件得，()1221+++=++n na n a n，即12+=n nb b3分又因为11114=++=b a，所以数列{}nb是以4为首项，2为公比的等比数列．5分（2）由（1）可知142-=⨯nnb，所以1421-=⨯--nna n，7分故()22412(1)3241222+⨯-+⨯+=--=---nnnn n n nS n10分18．解析：（1）22200(65455535)252.0833.8411001001208012⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯K3分故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．5分（2）由题意，N95、R95、P95口罩分别抽取的个数分别为3个、2个、1个，记3个N95口罩为123,,a a a，2个R95口罩为12,b b，1个P95口罩为1c，抽取的全部结果为：()12,a a，()13,a a，()11,a b，()12,a b，()11,a c，()23,a a，()21,a b，()22,a b，()21,a c，()31,a b()32,a b，()31,a c，()12,b b，()11,b c，()21,b c共15种8分至少一个是N95口罩的有()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()31,a b ，()32,a b ，()31,a c ，共12种 10分所以至少一个是N95口罩的概率为124155==p 12分 19．解析：（1）222()=+-S b c a22212sin 22cos 22∴⨯=+-+=+bc A b c a bc bc A bcsin 2cos 2∴=+A A ① 3分又22sin cos 1+=A A ②由①②解得3cos 5=-A 或cos 1=-A （舍） 6分 （2）设∆ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理得cos cos 2sin cos 2sin cos +=+b C c B R B C R C B2sin()2sin 2=+===R B C R A a 9分由余弦定理得2222cos =+-ab c bc A 即22645=++b c bc2244()44552+⎛⎫∴+=+≤+ ⎪⎝⎭b c b c bc ，当且仅当=b c 时等号成立∴+≤b c ∴ABC2 12分20．解析：（1）11⊥B C 平面11A B BA ，11∴⊥B C BE ，又1⊥BE EC ，且1111⋂=B C EC C ，∴⊥BE 平面11EB C ，1∴⊥BE EB 3分∴在平面11A B BA 内，E 的轨迹是以1B B 为直径的圆，又在棱1AA 存在唯一的点E ，∴以1B B 为直径的圆与棱1AA 相切 5分122∴==B BAB ，114∴==B B AA 6分（2）由（1）可知E 为1AA 的中点，过B 作1ED 的平行线交1CC 于点F ，则平面1BED F 即为平面1BED ，故F 即为平面1BED 与1CC 的交点，且由对称性可知F 为1CC 的中点 8分平行四边形1BED F 的面积是三角形1BED 的面积的2倍，11122---∴==A BED F A BED D ABE V V V 10分111118222223323∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABE S D A 12分21．解析：（1）sin ()=x f x x ，2cos sin ()'-∴=x x xf x x， 2分 令()cos sin =-g x x x x ，则()sin '=-g x x x ，当(0,)∈x π时，()0'<g x ，故()g x 在(0,)π上单调递减， 4分 所以()(0)0<=g x g ，即()0'<f x 在(0,)π上恒成立，故()f x 在区间(0,)π上单调递减． 6分（2）由（1）可知()f x 在区间(0,)π上单调递减，则1132⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f 即11sinsin 321132>，所以311sin sin 232>8分又因为122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f π即1sinsin22122>ππ，所以11sin 2>π， 11分综上：这三个数的大小关系为：3111sin sin 232>>π12分 22．解析：（1||1=+y ，两边平方得22|2|=+x y y故曲线Γ的方程为24,00,0≥⎧=⎨<⎩y y x y 5分（2）当0≥y 时，曲线Γ为24=x y ．设直线l 的方程为=+y kx b ，211,4⎛⎫ ⎪⎝⎭x A x ，222,4⎛⎫ ⎪⎝⎭x B x ，由24=+⎧⎨=⎩y kx b x y得2440--=x kx b ，则12124,4+==-x x k x x b 6分 又由24=x y 得2'=xy ，故 直线NA 的方程为()211142-=-x x y x x ① 直线NB 的方程为()222242-=-x x y x x ② 由①②解得1222+==x x x k ，124==-x xy b ，所以(2,)-N k b 9分 ①中令0=y得12=x x ，所以1,02⎛⎫⎪⎝⎭x C ，同理可得2,02⎛⎫⎪⎝⎭x D 又因为(0,)M b ，所以12,2(2,2)2+⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭x x MC MD b k b ， 10分又因为(2,2)=-MN k b ，所以+=MC MD MN ，故1=λ因此存在实数1=λ，使得对任意的直线l ，都有+=MC MD MN λ成立． 12分。

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合2{12},1A x x B x x ⎧⎫=+<=<⎨⎬⎩⎭，则()RA B =（ ）A ．[0,1)B ．(3,1)-C ．[1,2]D ．(0,2]答案：A解：先化简集合,A B ,再求()RA B 得解.解：由题得{31}A x x =-<<，{0B x x =<或2}x >， 所以{|02}RB x x =≤≤，所以()RA B =[0,1).故选：A 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法和集合的交集补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知复数512z i i=+-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3i B ．3i -C ．3D ．3-答案：D解：利用复数的四则运算计算出z ，可求其共轭复数后可得所求的虚部. 解：()551213i z i i +=+=+，故13z i =-，其虚部为3-. 故选：D ． 点评：本题考查复数的四则运算、共轭复数的求法以及虚部的求法，注意(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题属于基础题.3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“01q <<”是“10n n a a +-<”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：D解：由于111111(1)n n n n n a a a q a q a q q --+-=-=-，可得其正负由1,a q 决定，从而可得结论 解：解：因为111111(1)n n n n n a a a q a q a q q --+-=-=-而当01q <<时，10n n a a +-<不一定成立， 当10n n a a +-<时，不一定有01q <<，所以“01q <<”是“10n n a a +-<”的既不充分也不必要条件 故选：D ． 点评：此题考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的单调性的判断，属于基础题 4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A 、B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ答案：B解：由三角函数定义得r 、2θ、d 三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可. 解：设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2sin 2r d θ=，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=d lθθ 故选：B . 点评：本题主要考查扇形弧长公式.5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22154+=+-x y m m 的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1x =C ．3x =-D ．3x =答案：C解：先求出椭圆的右焦点，从而可求抛物线的准线方程. 解：(5)(4)9+--=m m ，∴椭圆右焦点坐标为(3,0)，故抛物线的准线方程为3x =-，故选：C. 点评：本题考查抛物线的几何性质，一般地，如果抛物线的方程为22y px =，则抛物线的焦点的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，本题属于基础题.6．某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法等距抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20答案：C解：由系统抽样的原理可知，抽到的编号构成等差数列，公差为组距4，根据编号和为50列出方程即可求解. 解：由题意组距为4，设第一组抽到的编号为x ，则抽到的编号之和为(4)(8)(12)(16)50++++++++=x x x x x ，解得2x =，故最大编号为18．故选：C 点评：本题考查系统抽样方法的应用，属于简单题. 7．函数2ln y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A解：先验证函数是否满足奇偶性，由f (－x )＝ln|－x |－(－x )2＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数f （x ）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案． 解：令f (x )＝y ＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|－x |－(－x )2＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝－2x ，当x ∈时，y ′＝－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C ，A 项满足. 点评：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．8．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的a ，b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：D解：根据程序框图，求出每次循环后的,,a b n 的值，直到满足判断框里面的条件就退出循环，得到结果. 解：输入的a ，b 分别为8，2，1n =，第一次执行循环体后12a =，4b =，不满足退出循环的条件， 第二次执行循环体后2n =，18a =，8b =，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后3n =，27a =，16b =，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后4n =，812a =，32b =，不满足退出循环的条件， 第五次执行循环体后5n =，2434a =，64b =，满足退出循环的条件， 故输出的5n =. 故选：D. 点评：本题考查了直到型循环结构，属于基础题. 9．要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数32cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 答案：B解：根据三角函数图象变换的知识确定正确选项. 解：2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故只需向左平移4π个单位就可得到2sin 22sin 22cos 246626y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B 点评：本小题主要考查三角函数图象变换，考查辅助角公式、诱导公式，属于中档题. 10．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ︒∠=∠=∠=时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是（ ）A ．2B ．2+C 1D 1答案：D解：由题意设设(,),(1,0),(0,1)===a x y b c ，则2||||||(1)-+++-=-a b a b a c x 点(,)P x y 到(1,0),(1,0)-A B 和(0,1)C 三个点的距离之和，再由费马点的性质求出点P 的坐标，从而可得结果 解：设(,),(1,0),(0,1)===a x y b c ，则2||||||(1)-+++-=-a b a b a c x即为点(,)P x y 到(1,0),(1,0)-A B 和(0,1)C 三个点的距离之和，则ABC 为等腰直角三角形，由费马点的性质可知点P 满足120APB APC BPC ︒∠=∠=∠=时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，因为(1,0),(1,0)-A B ，(0,1)C ，所以P 的坐标为⎛ ⎝⎭。

数学（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知集合{}21|,|,12xA y y xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫====>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）1.|02A y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ {}.|01B y y << 1.|12C y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.D ∅2、已知正数b a ,满足：三数b a ,1,的倒数成等差数列，则b a +的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、21D 、4 3、已知4log ,4.0,22.022.0===c b a ，则（ ）A 、c b a >>B 、a c b >>C 、c a b >>D 、b c a >> 4、已知锐角α且α5的终边上有一点)130cos ),50(sin(0-P ，则α的值为（ ） A 、08 B 、044 C 、026 D 、040 5、已知向量,2=-，则)(+的值为（ ）A 、-1B 、2C 、0D 、1 6、下列说法中正确的是（ ）A 、若命题p 为：对R x ∈∀有02>x ，则R x p ∈∀⌝:使02≤x ；B 、若命题p 为：011>-x ，则011:≤-⌝x p ； C 、若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；D 、方程02=++a x ax 有唯一解的充要条件是：21±=a7、已知锐角βα,满足： 51cos sin =-ββ，3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα,的大小关系是（ ）A 、βα<B 、αβ<C 、βαπ<<4D 、αβπ<<48、已知ABC c b a ∆分别是,,三个内角A ，B ，C 所对的边，若0=⋅⎪⎫ ⎛BC 且ABC∆的面积4222b c a S ABC-+=∆，则三角形ABC ∆的形状是（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、等腰直角三角形D 、有一个为030的等腰三角形 9、已知函数)(x f 满足： )1()1(-+x f x f 和都是偶函数，当)1,1[-∈x 时||,1|log |)(2-=x x f ，则下列说法错误的是（ ）A 、函数)(x f 在区间[3，4]上单调递减；B 、函数)(x f 没有对称中心；C 、方程)0()(≥=k k x f 在]4,2[-∈x 上一定有偶数个解；D 、函数)(x f 存在极值点0x ，且0)(0'=x f ；10、某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x （正常情况1000≤≤x ，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分）计算当月绩效工资y 元。