应用随机过程复习资料

应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。

1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。

符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。

本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。

其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。

3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。

条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。

二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。

因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。

同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。

1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。

因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。

2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。

若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。

兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

随机过程理论与应用随机过程是一种随机变量的演化过程，它在许多领域中有着广泛的应用。

随机过程理论是概率论中的一个重要分支，主要研究随机过程的性质和应用。

在这篇文章中，我们将介绍随机过程理论的基本概念和一些应用。

一、基本概念1、随机过程的定义随机过程是指一族随机变量，其中每一个随机变量代表了系统在不同时间下的状态。

换句话说，随机过程是由时间和随机变量组成的二元组 $(t,X_t)$，其中 $X_t$ 是在时刻 $t$ 系统的状态。

2、随机过程的分类随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。

在离散时间的随机过程中，时间变量只能取离散的值，例如整数；而在连续时间的随机过程中，时间变量可以取任意实数值。

此外，随机过程还可以分为有限维和无限维两类。

在有限维的随机过程中，时间轴上只需要考虑一个固定时间段内的状态，而在无限维的随机过程中，时间轴上需要考虑整个时间段内的状态。

3、随机过程的性质随机过程具有随机性，其性质可以用下列概念来描述：（1）均值函数均值函数是随机过程在每个时刻 $t$ 的期望值。

如果均值函数是常数，在自然界中体现为此随机过程是稳定的。

（2）自协方差函数自协方差函数是随机过程 $X_t$ 和 $X_s$ 之间的关系函数，其中 $s$ 和 $t$ 是不同的时间。

当所有 $s$ 取值时，它是随机变量$X_t$ 的均值函数。

（3）二阶矩函数二阶矩函数是随机过程中方差的一部分。

它用来衡量随机变量在时间轴上的波动特性。

（4）功率谱密度函数功率谱密度函数是一种描述随机过程在不同频率下的能量分布的函数。

它在许多领域中有着广泛的应用，如通信、信号处理等。

二、应用1、通信随机过程在通信领域中有着广泛的应用。

在无线通信中，随机过程被用于描述信道的特性。

具体来说，它可以用来描述信道损耗、多径效应等因素。

2、金融随机过程在金融中也有着广泛的应用。

例如，在期权定价模型中，随机过程被用于描述股票价格的演变。

它可以用来计算期权价格，从而为金融市场的决策者提供依据。

1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。

每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。

求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。

2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。

若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。

（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。

应⽤随机过程复习资料1 [()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- 由于(0)0X =故()[()][()(0)]X m t E X t E X t X t λ==-=2()[()][()(0)]X t D X t D X t X t σλ==-=2222(,)[()()]{()[()()()]}[()(0)][()()][()][()(0)][()()][()]{[()]}()()(1)X R s t E X s X t E X s X t X s X s E X s X X t X s E X s E X s X E X t X s D X s E X s s t s s s st s s t λλλλλλλλ==-+=--+=--++=-++=+=+(,)(,)()()X X X X B s t R s t m s m t s λ=-=()()[]exp{(1)}iuX t iu X g u E e t e λ==-2 定理3.2 设{(),0}X t t ≥是具有参数λ的泊松分布，{,1}n T n ≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T 是独⽴同分布的均值为1λ的指数分布Proof:注意到1{}T t >发⽣当且仅当泊松过程在区间[0,]t 内没有事件发⽣，因⽽1{}{()0}t P T t P X t e λ->=== 即111(){}1{}1tT F t P T t P T t e λ-=≤=->=-所以1T 是服从均值为1λ的指数分布.利⽤泊松过程的独⽴、平稳增量性质，有21{|}{()()0}{()(0)0}tP T t T s P X t s X s P X t X eλ->==+-==-==即222(){}1{}1tT F t P T t P T t e λ-=≤=->=-对任意的1n ≥和121,,,...,0n t s s s -≥有21111{|,...,}{()(0)0}t n n P T t T s T s P X t X e λ--->===-==即(){}1n tT n F t P T t eλ-=≤=-所以对任⼀n T 其分布是均值为1λ的指数分布.所以1,0(){}0,0n t T n e t F t P T t t λ-?-≥=≤=?概率密度为,0T et f t t λλ-?≥=?3 设在[0,]t 内事件A 已经发⽣n 次,0s t <<,对于0k n <<,求{()|()}P X s k X t n ==解:利⽤条件概率及泊松分布得{(),()}{()|()}{()}{(),()()}{()}1kn kk n P X s k X t n P X s k X t n P X t n P X s k X t X s n k P X t n s s C t t -=======-=-===- ? ???这是⼀个参数为n 和st的⼆项分布 4 对有s t <有11(){,()1}{|()1}{()1}{()1,()()0}{()1}{()1}{()()0}{()1}s t s s P W s X t P W s X t P X t P X s X t X s P X t P X s P X t X s P X t se e s se t λλλλλ----≤=≤====-====-=====即分布函数为1|()10,0(),01,W X t s F s s t s t s t ==≤分布密度为1|()11,0()0,W X t t s tf s =≤其它5 设()1()N t kk X t Y（1）{(),0}X t t ≥是独⽴增量过程；（2）()X t 是特征函数()()exp{[()1]}X t Y g u t g u λ=-,其中()Y g u 是随机变量1Y 的特征函数; λ是事件的到达率;3)若21()E Y <∞,则1[()][]E X t tE Y λ=,21[()][]D X t tE Y λ= Proof:1)令010...m t t t ≤<<<, 则1()1()1()()k k N t k k i i N t X t X t Y --=+-=∑,1,2,...,k m = 故()X t …2)因为 ()()()01()[][|()]{()}()[exp()|()]!exp{[()1]}iuX t iuX t X t n n ntk n k Y g u E eE eN t n P N t n t E iu Y N t n en t g u λλλ∞=∞-=========-∑∑∑3)由条件期望的性质[()]{[()|()]}E X t E E X t N t =及假设知()11[()|()][|()]()N t ii E X t N t n E Y N t n nE Y =====∑所以11[()]{[()|()]}[()]()()E X t E E X t N t E N t E Y tE Y λ===类似地1[()|()]()[]D X t N t N t D Y =,2111[()]{()[]}{()()}()D X t E N t D Y D N t E Y tE Y λ=+=6 设脉冲到达计数器的规律是到达率为λ的泊松过程,记录每个脉冲的概率为p ,记录不同脉冲的概率是相互独⽴的.l 令()X t 表⽰已被记录的脉冲数. (1) 求{()},0,1,2,...P X t k k == (2) ()X t 是否为泊松过程.则()1()N t ii X t ξ==∑根据复合泊松过程的定义知()X t 为泊松过程，且1()()EX t EN t E t p pt ξλλ=== 故()X t 强度为p λ,(){()}! kptpt P X t k e k λλ-==,0,1,...k =7 设{,}n X n T ∈为马尔科夫链,则对任意整数0,n ≥0l n ≤<和,i j I ∈,n 步转移概率()n ij p 具有下列性质：(1) ()()()n l n l ij ik kjk Ip pp -∈=∑; (2) 112111()......n n n ij ik k k k j k Ik I p pp p --∈∈=∑∑(3) ()(1)n n P PP-=(4) ()n nP P =Proof:1）利⽤全概率公式及马尔科夫性，有()()()()(){,}{|}{}()()n m m n ij m n m m n l l l n l kj ik ik kjP X i X j p P X j X i P X i p m l p m p p ++--∈∈========+=∑∑2)在(1)中令11,l k k ==，得111()(1)n n ij ik k jk Ip pp -∈=∑ 这是⼀个递推公式，故可推得到112111()......n n n ij ik k k k j k Ik Ip p p p --∈∈=∑∑3）在(1)中令1l =,利⽤矩阵乘法可证 4）由(3),利⽤归纳法可证8 判别马⽒性、齐次性1）马⽒性定义: 110011{|,,...,}n n n n P X i X i X i X i ++====11{|}n n n n P X i X i ++===2)111111111111{,,...,}{|}{|}...{|}n n n n n n n n n n n n n n P X i X i X i P X i X i P X i X i P X i X i ++--++--==========9 设{,0}n X n ≥为马尔科夫链，试证(1) 1100{,...,|,...}n n n m n m n n P X i X i X i X i ++++====11{,...,|}n n n m n m n n P X i X i X i ++++====(2)002211{,...,,...,|}n n n n n m n m n n P X i X i X i X i X i ++++++=====00112211{,...|}{,...,|}n n n n n n n m n m n n P X i X i X i P X i X i X i ++++++++=======proof: (1)110000110011{,...,|,...}{,...,,...,}{,...}{,...,}{}{,...,|}n n n m n m n n n n n n n m n m n n n n n m n m n n n n n m n m n n P X i X i X i X i P X i X i X i X i P X i X i P X i X i P X i P X i X i X i ++++++++++++++===================(2)利⽤条件概率类似可得,,,222i i i p p p i I +===∈考察状态0 可知000000(1)(2)(3)11111111,,22242228p p p ==?==??=有00()12n n p =故0001111,22n n n n f n µ∞∞-=====<∞∑∑可见0为正常返，由于00(1)102f =>，所以它是⾮周期的，因⽽是遍历的，对于其它状态由定理4.9，因0i ?故i 也是遍历的11 设{1,2,...6}I =转移矩阵为00100000000100001013130130010*******12P =?试分解此链并指出各状态的常返性及周期性. 解：有题可知1111(3)()1,0,3n f f n ==≠所以11()113n n nfµ∞===∑可见1为正常返状态且周期等于3.含1的基本常返闭集为1{:1}{1,3,5}C k k =→=µ=,其周期为1,含6的基本常返闭集为2{:6}{2,6}C k k =→=可见2是遍历的. 由于(1)()44441,0,13n f f n ==≠故4⾮常返，周期为1，于是I 可分解为12{4}{1,3,5}{2,6}I D C C == 12 设不可分马⽒链的状态空间为{1,2,...6}C =,转移矩阵为0120120130010101000000100001000000140340P ??=?可知各状态的周期3d =.固定状态1i =令(3)01,(31)11,(32)21,{:00}{1,4,6}{:00}{3,5}{:00}{2}n j n jn jG j n p G j n p G j n p++=≥>==≥>==≥>=对某有对某有对某有故012{1,4,6}{3,5}{2}C G G G == 13 设马尔科夫链具有状态空间{0,1,...}I =,转移概率11,,(0)ii i ii i ii i p p p r p q i +-===≥,其中,0i i p q >1i i i p r q ++=.称这种马尔科夫链为⽣灭链,是不可约的，记0101...1,,1...j j jp p a a j q q -==≥试证此马⽒链存在平稳分布的充要条件为=<∞∑Proof:由题可知000111111,11j j j j j j j j j j r q p r q j p r q πππππππ--++?=+? =++≥??++=?于是有递推关系110011110j j j j j j j j q p q p q p ππππππ++---=-=-??解得11,0j j j j p j q ππ--=≥所以110001...j j j j jp p a q q ππππ--==== 对j 求和得001jj j j a ππ∞∞====∑∑由此可知平稳分存在的充要条件是jj a∞=<∞∑此时001,,1jj a j aπππ∞===≥∑14 设马⽒链的转移概率矩阵为(1) 12121323 (2) 112233000p q p q q p计算()()1112,,1,2,3n n f f n =解：(1) (1)(2)(3)(1)(2)(3)111111121213111111,,;,,269248f f f f f f ====== (2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)2111111112312112111311,0,;,,f p f f q q q f q f p q f p q ====== 15 设马⽒链的转移矩阵为1112010.........00......000.....................q p P q p =??求它的平稳分布. 解：110011101...1,1,...1j j j kjj k k p p j pq q q πππ--∞==+=16 证明泊松过程{(),0}X t t ≥为连续时间齐次马⽒链 Proof:先证泊松过程具有马⽒性,再证齐次性,由泊松过程的定义知{(),0}X t t ≥识独⽴增量过程,且(0)0X =对任意110...n t t +<<<有111111111111{()|(),...,()}{()()|()(0),...,()()}{()()}n n n n n n n n n n n n n n n n P X t i X t i X t i P X t X t i i X t X i X t X t i i P X t X t i i ++++--++====-=--=-=-=-=-⼜因为1111{()|(),...,()}n n n n P X t i X t i X t i ++===1111{()()|()(0)}{()()}n n n n n n n n n n P X t X t i i X t X i P X t X t i i ++++=-=--==-=-所以111111{()|(),...,()}{()|()}n n n n n n n n P X t i X t i X t i P X t i X t i ++++=====即泊松过程是⼀个连续时间马⽒链；再证齐次性,当j i ≥时,由泊松过程定义,得{()|()}(){()()}()!j i tP X s t j X s i t P X s t X s j i ej i λλ--+===+-=-=- 当j i <时,由于过程的增量只取⾮负整数,故(,)0ij p s t =,所以(),(,)()()!0,j it ij ij t ej i p s t p t j i j i λλ--?≥?==-??即转移概率只与t 有关,泊松过程具有齐次性17 求poisson 过程的Q 及π解：poisson 过程(),0()()!0,j i tij t e j i p t j i λλ--?-≥?=-其它(1) 0,(0)lim (0)lim 1,0,tij j i p p e j i j i λ-?(2)由性质知()p t 关于t ⼀致连续lim ()t p t π→∞=（存在）(3) (0)limp IQ t,()!1()lim ,1()lim ()!0,1,ij ijij tj i t t j i tp t I q te t e t j i j i t e j i t e t t j i j i j i λλλλλλλλλ-------=-==? ?-?=??==+??=??-?>+由Q Q ππθ==得0...00...00...............Q λλλλλλ-??-?=-??-??,0π=18 M/M/s 排队系统.假设顾客按照参数为λ的泊松过程来到⼀个有s 个服务员的服务站,即相继到达顾客的时间间隔是均值为1λ的独⽴指数随机变量,每⼀个顾客⼀来到,如果有服务员空闲,则直接进⾏服务,否则此顾客加⼊排队⾏列.当⼀个服务员结束对⼀位顾客的服务时,顾客就离开服务系统,排队中的下⼀个顾客进⼊服务.假定相继的服务时间是独⽴的指数随机变量,均值为1µ.如果我们以()X t 记时刻t 系统中的⼈数,则{(),0}X t t ≥是⽣灭过程,1,n n n ss n s µµµ=≤≤??>?，,0n n λλ=≥ M/M/s 排队系统中M 表⽰马⽒过程,s 代表有s 个服务员.特别,在M/M/s 排队系统中,,n n λλµµ===,于是若1λµ<,则1()1,01()nnn n n n λµλλπλµµµ∞=??==-≥ ? ?????+∑ 要平稳分布存在, λ必须⼩于µ.λµ=的情况类似随机游动,它是常零返的,从⽽没有极限概率19 某修理店只有⼀个服务员,顾客按强度为4⼈每⼩时poisson 过程到达,服务员对每位顾客服务的时间是常数10的指数分布,问(1)修理店空闲的概率0β;(2)等候服务的顾客平均数解：(1) 010.6λβµ=-=； (2) 010101... 1.5n n L n λµβββλµ∞=-==++==∑20 讨论随机过程()X t Y =的各态历经性,其中Y 是⽅差不为零的随即变量.解：易知()X t Y =是平稳过程,事实上[()][]()X E X t E Y m ==常数，22(,)[][]()X X R t t E Y D Y m t τ-==+与⽆关但此过程不具有各态历经性，因为1()12TTT X t i mYdt Y T-→∞<>=??=?,Y 是⾮常数，不等于[()]E X t .所以()X t Y =的均值不具有各态历经性.类似可证其相关函数也不具有各态历经性.21 设随机过程()sin()cos()X t A t B t λλ=+，其中A B 、是均值为零、⽅差为2σ相互独⽴的正态随机变量.试问： (1) ()X t 的均值是否各态历经的？(2) ()X t 的均⽅值2[()]E X t 是否各态历经的？(3)若sin cos A B φφ=，,φ是π（0,2）上服从均匀分布的随机变量,此时2[()]E X t 是否各态历经的？解：(1) [()]=sin()cos()=0E X t EA t EB t λλ+()1()21=12cos()2sin()=1TTT T T T X t i mX t dtTi mB t dt T t i m B tλλλ-→∞→∞→∞<>=由于2(0,)B N σ ,故22222sin()sin ()lim 0lim 0T T t t E B EB t tλλλλ→∞→∞-== 即sin()t B tλλ均⽅收敛于0,故()X t 的均值是各态历经的 (2)222222[()][sin ()cos ()2sin()cos()]E X t E A t B t AB t t λλλλσ=++= 2222221()1()2sin 21()24T TT T X t i m X t dtT A B T i m B A Tλλ-→∞→∞<>=??+=+??-?类似(1)可证得22sin 21()04T T i mB A Tλλ→∞-=，故 222A B X t +<>=⼜2(0,)A N σ ,故222(1)A χσ,22()2A D σ=,242DA σ=222222222411[()]()2211[()]()024E A B EA EB D A B DA DB σσ+=+=+=+=≠因此()X t 的均⽅值2[()]E X t ⾮各态历经.(3) 将A B 、代于(2)中得222()[()]X t E X t σ<>== 故2[()]E X t 是各态历经的22 赌徒输光问题两赌徒甲、⼄进⾏⼀系列赌博.赌徒甲有a 元,赌徒⼄有b 元,每赌⼀局输者赢着⼀元钱,没有和局,直到两个⼈中有⼀个输光为⽌.设在每⼀局中,甲赢的概率为p,输的概率为q=1-p ，求甲输光的概率.解：设i u 表⽰甲从状态i 出发转移到0的概率,由于0和c 是吸收状态,故01,0c u u ==由全概率公式11i i i u pu qu +-=+,1,2,...,1i c =-由于1p q +=即有差分⽅程11(),1,2,...,1i i i i u u r u u i c +--=-=- 其中qr p=,其边界条件为01,0c u u ==Case1 当1r p q ===时，有 11i i i i u u u u +--=-解得1,1,2,...,1i i u i c c=-=- 令i a =求得甲输光的概率为1a a b u c a b=-=+ 故在p q =时赌本⼩的输光的可能性⼤同样⼄输光的概率为b a u a b =+ 由于1a b u u +=故必有⼀⼈要输光，赌博迟早要结束 Case2p q ≠时111()(1)1k cc c k i i i kr r u u r u u u r --=--=-=--∑ 令0k =由于0c u =故111(1)1cr u r-=--即11(1)1c r u r --=-所以,1,2,...11k ck cr r u k c r-==-- 令k a =得甲输光的概率1a ca cr r u r -=- 同样⼄输光的概率为1b cb cr r u r -=-由于1a b u u +=p q ≠时也必有⼀⼈要输光。

应用随机过程试题及答案一．概念简答题（每题5 分，共40 分）1. 写出卡尔曼滤波的算法公式2. 写出ARMA（p,q）模型的定义3. 简述Poisson 过程的随机分流定理4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念5. 简述Markov 状态分解定理6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分）1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) ,2 k kk X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X是相互独立的。

试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。

2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y}4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。

试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t，协方差1 2 ( , ) X C t t。

B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为P= 0 ，求其相应的极限分布。

6．设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P= 1 1 0 0 2 2 10 0 0 1 ，试画出状态传递图，对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。

B 卷（共9 页）第5 页河北科技大学2010——2011 学年第一学期《应用随机过程》试卷（B）答案一．概念简答题（每题5 分，共40 分）1. 写出卡尔曼滤波的算法公式答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) (1)P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2) X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…(5) 2．写出ARMA（p,q）模型的定义答: 自回归移动平均ARMA(p,q) 模型为1 1 2 2 1 1 2 2 t tt p t p t t q t q X XXX ?其中，p 和q 是模型的自回归阶数和移动平均阶数；, ? ? 是不为0 的待定系数；t ?是独立的误差项；t X 是平稳、正态、零均值的时间序列。