高三数学模拟试题

安徽省临泉第一中学2023届高三下学期模拟考试（三模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题四、解答题(1)求A ∠的大小；(2)22AB =，点D 在BC(1)求证：平面PAE ⊥平面PBC (2)判断在线段AP 上是否存在点在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由21．已知双曲线C ：(22221y x a b -=参考答案：故选：C.6．A【分析】画出图分析，将可.取BC ，BD 中点E 取BE 的中点O ，则故AB AD +的最大值为故选：A.【详解】2与球O 的截面图如图所示，设球，则母线长为3r ，由已知得228πr =，22π4S r =+244则(1)(2)(3)f f f ++++ 20221()(1)(2)(3)i f i f f f ==++∑2022()(2)(3)g i f f =+++∑【详解】如图所示，设PQ 的中点为B ，过P 、Q 、B 分别作由题意可知，抛物线C ：24x y =的焦点为4PM PF PM PA +=+≥，即最小值为点共线时等号成立，故A 正确；11对于B ，四面体11ABB C 的外接球，即为正三棱台设外接球半径为r ， 由1263OO =2211113=+==OC OO O C OC ，可知球心即为故3r OC ==，所以外接球表面积对于C ，如图2，1OO ⊥平面ABCα截棱台所得截面为长方形1MNC B 对于D ，棱台111ABC A B C -体积V =1113262432AMN A B C V -=⨯=，AMN V -故选：ABC.12．ABD所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.16．332/332【分析】作圆M 关于y 轴对称的圆，根据对称性，把问题转化为转化为在半径为则NF OB ⊥，又NB NO =，所以由对称性可得OE OA =，1sin 2ABO S OA OB AOB =⨯⨯∠ 所以2ABO EBO EFO S S S == ，（2）选①：由上可知，在πsin sin 6AB BDADB =∠，所以sin（2）取BE的中点O，连接OP.由（1）知PE⊥平面PBC，故PE22．(1)答案见解析；(2)①()e 1,++∞；②证明见解析【分析】（1）先求()f x '，设()g x 数的单调性的关系求其单调区间；。

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A {}01242<--∈x x Z x ,{}R x x e y y B ∈=,sin ，求B A （）{}2,1,0,1,2.--A {}21.<<-x x B {}2,1,0,1.-C {}12.-≤≥x x x D ，2、化简=++-3)]60sin 60)(cos 2321[( i i （）1.-A 1.B iC .iD -.3、在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DC BD =，点E 在AC 边上，且AC AE 54=，连接DE ，若AC n AB m DE +=，则=+n m （）51.-A 54.B 54.-C 51.D 4、日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度。

其表达式为NR σ=,其中R 的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为xy 75.56.81470-+=，其中y 为就餐人数（本窗口），x 为餐品新鲜度（R ），则当2000,2==σN 时，y 近似等于（）（已知675.51023.46.8--⨯≈）470.A 471.B 423.C 432.D 5、素数对)2,(+p p 称为孪生素数，将素数17拆分成n 个互不相等的素数之和，其中任选2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（）51.A 31.B 41.C 21.D 6、设)2023.0sin(,20232024ln ,2023120231===c b e a ，则（）ba c A >>.cb a B >>.ca b C >>.ab c D >>.7、已知空间四边形ABCD ，BC DB AC BC AB ⊥==,，且6,4==BD BC ，面ABC 与面BCD 夹角正弦值为1，则空间四边形ABCD 外接球与内切球的表面积之比为（）363301172.+A 365301172.+B 363172301.+C 365172301.+D 8、已知函数3)ln )(1()(++-+=x x a xe x f x ，对于[)+∞∈∀,0x ，4)(≥x f 恒成立，则满足题意的a 的取值集合为（）{}0.A {}1,0.B {}1,0,1.-C {}1.D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学模拟试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 求下列数列的通项公式：数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案：B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9，点P(1, 2)，求点P到圆心的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x，求导数y'。

A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案：A6. 已知等差数列的第5项为15，第8项为25，求公差d。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A9. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。

A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

A. 0B. 3C. 6D. 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f''(x)的值。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。

1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

高三数学模拟试题及答案一、选择题1. 已知集合A={x | x² - 1 = 0}，则A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 若a > 0，b < 0，则a与b的和的符号为（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定答案：D3. 设函数f(x) = √(x²-2x+1)，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 在△ABC中，角A = 60°，边AC = 5cm，边BC = 4cm，则边AB 的长度为（）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm答案：C5. 某商店对现金支付的商品提供10%的折扣，小明购买了一件原价500元的商品，他需要支付多少元？（）A. 45元B. 50元C. 450元D. 500元答案：C二、计算题1. 已知函数f(x) = |x - 3| + 2，求f(5)的值。

解：当x = 5时，f(x) = |5 - 3| + 2 = 4答案：42. 解方程：3x + 5 = 2(x - 1) + 7解：展开得：3x + 5 = 2x - 2 + 7移项得：3x + 5 = 2x + 5化简得：x = 0答案：03. 已知函数f(x) = x² - 4x + 5，求f(3)的值。

解：当x = 3时，f(x) = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2答案：24. 某商品在经过两次10%的折扣后，售价为270元，求其原价。

解：设原价为x元，则经过第一次折扣后为0.9x元，经过第二次折扣后为0.9 × 0.9x元。

根据题意，0.9 × 0.9x = 270，解方程得：x = 300答案：300三、应用题1. 一辆自行车上午以每小时20公里的速度向南骑行，下午以每小时15公里的速度向北骑行。

如果来回共耗时8小时，求行程的总长度。

一、单选题二、多选题1. 函数（，，）的部分图象如图所示，将f （x）的图象向右平移个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（）A．B．C．D．2. 已知，，且，则的值是（ ）A ．4B ．1C．D．3.在平行四边形中，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递增，并且，则m 的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 如图，棱长为1的正方体中，P 为内一点（包括边界），且线段的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段长度的最小值是（）A．B．C．D．8. 中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：）.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车声强是高速列车声强的（ ）A ．倍B ．倍C ．倍D ．倍9. 已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数（ ）A ．是奇函数B ．图象关于直线对称C ．在上是减函数D ．在上的值域为北京市海淀区2023届高三高考数学模拟试题北京市海淀区2023届高三高考数学模拟试题三、填空题四、解答题10. 设函数，则（ ）A ．是奇函数B．当时，有最小值2C ．在区间上单调递减D．有两个极值点11. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为的中点，直线交于点，则（ ）A．点在直线上B．是的中点C．D ．轴12.已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的值可能是（ ）A．B．C．D．13. 双曲线的左顶点为，是双曲线的渐近线与圆的一个交点，过作圆的切线交轴于，若的斜率为，则双曲线的离心率为___________.14. 已知正三棱柱的各条棱长均为，圆柱的底面直径和高均为，若它们的体积相等，则的值为___________.15. 已知双曲线的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，点P 在C上，且，则满足条件的一个e 的值为__________．16. 四边形是菱形,是矩形，平面平面，,，是的中点.（1）证明:平面；（2）求二面角的余弦值.17. 如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，且为边长为4的等边三角形，，，D 为PA的中点．(1)求证：；(2)求点D 到平面PBC 的距离．18.若是公差不为0的等差数列的前n 项和，且成等比数列.（1）求数列的公比.（2）若，求的通项公式.19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.（1）证明：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.20. 已知定义域为的函数是奇函数.（1）求，的值；（2）在（1）的条件下，解不等式.21. 某高中组织学生参加线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从参与答题的男生､女生中分别随机抽取20名学生的得分情况（满分100分），得到如下统计图：性别男生女生合计成绩80分以上80分以下合计202040(1)学校对得分80分以上的学生，颁发“知识达人”荣誉称号.根据直方图补全2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关.(2)从成绩在的学生中，按分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人，求恰有1人成绩在的概率.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

高三数学模拟试卷（满分150 分）一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1．已知全集 U={1,2,3,4,5} ，会集 M ＝{1,2,3} ， N ＝ {3,4,5} ，则 M ∩ ( e U N)＝（）A. {1,2}B.｛ 4,5｝C.｛ 3｝D.｛ 1,2,3,4,5｝ 2. 复数 z=i 2(1+i) 的虚部为（）A. 1B. iC.- 1D. -i3．正项数列 { a } 成等比， a +a =3， a +a =12,则 a +a 的值是（）n1 23445A. - 24B. 21C.24D. 484．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为 2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（）A.2 34B.3C.2 3 4 54 3 4 3+D.2735．双曲线以一正方形两极点为焦点，另两极点在双曲线上，则其离心率为（ ）A. 2 2B.2 +1C.2D. 1uuur uuur6． 在四边形 ABCD 中，“ AB =2 DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（）A. 充足不用要条件B. 必要不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件7．设 P 在 [0,5] 上随机地取值，求方程x 2+px+1=0 有实根的概率为（ ）A. 0.2B. 0.4C.0.5D.0.6y8． 已知函数 f(x)=Asin( ωx +φ)(x ∈ R, A>0, ω>0, |φ|<)5f(x)的解析式是（2的图象（部分）以下列图，则）A ．f(x)=5sin( x+)Ｂ． f(x)=5sin(6 x-)O256 66xＣ． f(x)=5sin(x+)Ｄ． f(x)=5sin(3x- )366－ 5二、填空题：（每题 5 分，共30 分）9. 直线 y=kx+1 与 A （ 1,0）， B （ 1,1）对应线段有公共点，则 k 的取值范围是 _______. 10．记 (2x1)n 的张开式中第 m 项的系数为 b m ，若 b 32b 4 ，则 n =__________.x311 ． 设 函 数 f ( x) xx 1x 1、 x 2、 x 3、 x 41 2的 四 个 零 点 分 别 为 ， 则f ( x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；12、设向量 a(1，2)， b (2，3) ，若向量a b 与向量 c (4， 7)共线，则x 111. lim______ .x 1x 23x 414. 对任意实数 x 、 y ，定义运算 x* y=ax+by+cxy ，其中a、 b、c 常数，等号右的运算是平时意的加、乘运算 .已知 2*1=3 ， 2*3=4 ，且有一个非零数m，使得任意数x，都有 x* m=2x， m=.三、解答：r r15．（本 10分）已知向量 a =(sin(+x), 3 cosx)，b =(sin x,cosx),f(x)=⑴求 f( x)的最小正周期和增区；2⑵若是三角形 ABC 中，足 f(A)=3，求角 A 的．216．（本 10 分）如：直三棱柱（棱⊥底面）ABC — A 1B1C1中，∠ ACB =90°， AA 1=AC=1 ， BC= 2，CD ⊥ AB, 垂足 D.C1⑴求： BC∥平面 AB 1C1;A1⑵求点 B 1到面 A 1CD 的距离 .PCA D r r a ·b .B 1B17．（本 10 分）旅游公司 4 个旅游供应 5 条旅游路，每个旅游任其中一条.（ 1）求 4 个旅游互不一样样的路共有多少种方法;（2）求恰有 2 条路被中的概率 ;（3）求甲路旅游数的数学希望.18.（本 10 分）数列 { a n} 足 a1+2a2 +22a3+⋯+2n-1a n=4 n.⑴求通a n；⑵求数列 { a n} 的前 n 和S n.19．（本 12 分）已知函数f(x)=alnx+bx,且 f(1)= - 1， f′(1)=0 ，⑴求 f(x)；⑵求 f(x)的最大；⑶若 x>0,y>0, 明： ln x+lny≤xy x y 3.220．（本 14 分） F 1, F 2 分 C :x2y 21(a b 0) 的左、右两个焦点，若 Ca 2b 2上的点 A(1,3124.)到 F ， F 两点的距离之和等于2⑴写出 C 的方程和焦点坐 ；⑵ 点 P （ 1，1）的直 与 交于两点 D 、 E ，若 DP=PE ，求直 DE 的方程 ;4⑶ 点 Q （ 1，0）的直 与 交于两点 M 、N ，若△ OMN 面 获取最大，求直 MN 的方程 .21. （本 14 分） 任意正 数 a 1、 a 2、 ⋯ 、an ；求1/a 1+2/(a 1 +a 2)+⋯ +n/(a 1+a 2+⋯ +a n )<2 (1/a 1+1/a 2+⋯ +1/a n )9 高三数学模 答案一、 :. ACCD BAD A二、填空 ：本 主要考 基 知 和基本运算．每小 4 分，共 16 分 .9.[-1,0] 10.5 11.19 12. 2 13.1 14. 35三、解答 ：15．本 考 向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性 ，要修业生能运用所学知 解决 ．解：⑴ f(x)= sin xcosx+3 + 3 cos2x = sin(2x+ )+ 3⋯⋯⋯2 23 2 T=π， 2 k π - ≤ 2x+≤ 2 k π +， k ∈ Z,232最小正周期 π， 增区[ k π -5, k π + ], k ∈ Z.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1212⑵由 sin(2A+ )=0 , <2A+ <7 ,⋯⋯⋯⋯⋯33 或533∴ 2A+ =π或 2π，∴ A=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33616．、本 主要考 空 、 面的地址关系，考 空 距离角的 算，考 空 想象能力和推理、 能力， 同 也可考 学生灵便利用 形， 建立空 直角坐 系， 借助向量工具解决 的能力． ⑴ 明：直三棱柱ABC — A 1B 1C 1 中， BC ∥ B 1C 1,又 BC 平面 A B 1C 1，B 1C 1 平面 A B 1C 1，∴ B 1C 1∥平面 A B 1C 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵（解法一）∵ CD ⊥ AB 且平面 ABB 1A 1⊥平面 AB C,C 11 1 1∴ CD ⊥平面 ABBA ，∴ CD ⊥AD 且 CD ⊥A D ,∴∠ A DA 是二面角 A 1— CD —A 的平面角，1A 1B 1在 Rt △ ABC,AC=1,BC= 2 ,PC∴ AB= 3 , 又 CD ⊥ AB ，∴ AC 2=AD × ABADB∴ AD=3， AA1131=1，∴∠ DA 1B 1=∠ A DA=60 °，∠ A 1 B 1A=30°，∴ A B 1 ⊥A D又 CD ⊥ A 1D ，∴ AB 1⊥平面 A 1CD ， A 1D ∩ AB 1=P, ∴ B 1P 所求点 B 1 到面 A 1CD 的距离 . B P=A 1 B 1cos ∠ A 1 B 1A= 33cos30 =° .12即点 B 1 到面 A 1 CD 的距离 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 × 3 1 z （ 2）（解法二） 由 V B 1- A 1CD =V C - A 1B 1D =C 132×6 = 2，而 cos ∠ A 1 CD= 2 × 6 = 3 ,AB13 6 2 3 31△A 1CD1 ×2 ×6 ×6 =2,B 1 到平面CS=3 332A ByA 1CD 距离 h, 1×22, 得 h= 3所求 .Dx h=33 6 2⑶（解法三）分 以CA 、CB 、CC 1 所在直 x 、y 、z 建立空 直角坐 系（如 ）A （ 1，0， 0）， A 1（ 1， 0， 1），C （0， 0， 0）， C 1（ 0， 0， 1），B （0，2 ， 0）， B 1（ 0， 2 ， 1），uuurr∴ D （ 2 ， 2， 0） CB =（ 0， 2 ， 1）， 平面 A 1CD 的法向量 n =（ x ， y ， z ），3 31r uuur3n CD2x2y 0rruuur，取 n=（ 1， -2 ， - 1）n CA 1 x z 0r uuur点 B 1 到面 A 1CD 的距离d= n CB 13r⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n217．本 主要考 排列，典型的失散型随机 量的概率 算和失散型随机 量分布列及希望等基 知 和基本运算能力．解：（ 1） 4 个旅游 互不一样样的 路共有：A 54=120 种方法； ⋯（2）恰有两条 路被 中的概率 ：P 2 C 52 (2 42) 28=54⋯125（3） 甲 路旅游 数ξ， ξ～ B(4, 1)14⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5∴希望 E ξ=np=4×=5 5答 : （ 1） 路共有120 种，（2）恰有两条 路被 中的概率 0.224, （ 3）所求希望 0.8 个数 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18．本 主要考 数列的基 知 ，考 分 的数学思想，考 考生 合 用所学知 造性解决 的能力．解：（ 1） a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n - 1a n =4n ，∴ a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n a n+1=4n+1，相减得 2n a n+1=3× 4n , ∴ a n+1=3× 2n ,4(n1) 又 n=1 a 1=4，∴ 上 a n =2n 1所求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3(n 2)⑵ n ≥2 ， S n=4+3(2 n- 2), 又 n=1 S 1=4 也建立， ∴ S n =3× 2 n - 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．本 主要考 函数、 数的基本知 、函数性 的 理以及不等式的 合 ，同 考 考生用函数放 的方法 明不等式的能力．解：⑴由 b= f(1)= - 1, f ′(1)= a+b=0, ∴ a=1, ∴f(x)=ln x- x 所求； ⋯⋯⋯⋯⋯⑵∵ x>0,f ′(x)=1- 1=1x ,xxx 0<x<1x=1 x>1 f (′x) +0 - f(x)↗极大↘∴ f (x)在 x=1 获取极大 - 1，即所求最大 - 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⑶由⑵得 lnx ≤x- 1 恒建立， ∴ln x+ln y=ln xy+ ln x ln y ≤ xy 1 + x 1 y 1 = xy x y 3建立⋯⋯⋯22 22220．本 考 解析几何的基本思想和方法，求曲 方程及曲 性 理的方法要求考生能正确分析 ， 找 好的解 方向， 同 兼 考 算理和 推理的能力， 要求 代数式合理演 ，正确解析最 ．解：⑴ C 的焦点在 x 上，由 上的点A 到 F 1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a= 4，即 a=2 .；3134 1.得 b 2=1，于是 c 2=3 ；又点 A(1,) 在 上，因此222b 2因此 C 的方程x 2y 2 1,焦点 F 1 ( 3,0), F 2 ( 3,0). ，⋯⋯⋯4⑵∵ P 在 内，∴直DE 与 订交，∴ D( x 1,y 1),E(x 2,y 2)，代入 C 的方程得x 12+4y 12- 4=0, x 22+4y 22- 4=0,相减得 2(x 1- x 2 )+4× 2× 1 (y 1- y 2)=0 , ∴斜率 k=-11 4∴ DE 方程 y- 1= - 1(x-), 即 4x+4y=5; ⋯⋯⋯4(Ⅲ )直 MN 不与 y 垂直，∴MN 方程 my=x- 1，代入 C 的方程得（ m 2+4) y 2+2my- 3=0,M( x 1,y 1 ),N( x 2 ,y 2), y 1+y 2=-2m 3 ,且△ >0 建立 .m 2 4, y 1y 2=-m 2 4又 S △ OMN = 1|y 1- y 2|= 1 ×4m212(m 24) = 2 m23， t=m 2 3 ≥ 3 ,2 2m 2 4m 24S△OMN =2,(t+1t1tt ) ′=1 - t-2>0t≥ 3 恒建立，∴t=3t+1获取最小， S△OMN最大，t此 m=0, ∴ MN 方程 x=1⋯⋯⋯⋯⋯。

河南省濮阳市2024届高三下学期数学模拟试题（三）一、单选题1．已知复数z 满足()132z i i +=+，则复数z 的虚部为 A ．12i -B ．12iC ．12D ．12-2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．1C ．14D ．183．某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A．92B ．C ．D ．24．已知向量2a =r ，b r 在a r方向上的投影向量为3a -r ，则a b ⋅=r r （ ）A ．12B ．12-C ．6D ．6-5．某班派遣,,,,A B C D E 五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且,A B 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ） A ．18B ．24C ．36D ．486．如图，将绘有函数()()πsin 0,0π3f x M x M ϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭部分图像的纸片沿x 轴折成直二面角，此时,A B ϕ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．若函数()221e e x xf x x ax a +=+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,0e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．310,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭C ．31,0e e ⎛⎫⎪-⎝⎭ D ．210,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．点M 是椭圆()222210+=>>x y a b a b上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于,P Q 两点，若PQM V 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．()2 B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题9．对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ） A ．数据1,2,3,4,5,6,8,9,11的第75百分位数是6B ．若事件,M N 的概率满足()()()()0,1,0,1P M P N ∈∈，则()()||1P N M P N M +=C ．由两个分类变量,X Y 的成对样本数据计算得到211.612χ=，依据0.001α=的独立性检验()0.00110.828x =，可判断,X Y 独立D ．若一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的对应样本点都在直线47y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为1-10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点,P M ，使得二面角--M DC P 大小为5π6B ．存在点,P M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C ．当P 为棱1CC 的中点且PM =MD ．当M 为1A D 的中点时，四棱锥M ABCD -外接球的表面积为32π311．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意,x y ∈R 都满足()()()2f x f x y f y -=+-，且()1f x +为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()24148n f n ==∑三、填空题12．若{}{}2|01|20x x x x x m -+>=∅I ≤≤，则实数m 的取值范围为．13．已知数列{}n a 的通项公式为{}12,n n n a n b -=+的通项公式为13n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =，n S 的最小值为．14．设00a b >>，，记M 为13b a a b+，，三个数中最大的数，则M 的最小值．四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设,,a b c 满足条件222b c bc a +-=和12c b = (1)求角A 和tan B ； (2)求()cos 2A B +．16．如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，(1)求证：1AA ⊥平面11BCC B ；(2)求直线AB 和平面1ACB 所成角的正弦值．17．黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数()1e 1s x x f x -=-（0,1,x s s >>为常数）密切相关，请解决下列问题：(1)当2s =时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当2s >时，证明()f x 有唯一极值点．18．已知双曲线()221222:10,0,,x y C a b F F a b-=>>分别是C 的左、右焦点．若C 的离心率2e =，且点()4,6在C 上． (1)求C 的方程；(2)若过点2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点，与抛物线216y x =交于,P Q 两点，试问是否存在常数λ，使得1AB PQλ-为定值？若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由．19．现有一种不断分裂的X 细胞，每个时间周期T 内分裂一次，一个X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的X 细胞，每次分裂后原X 细胞消失．设每次分裂成一个新X 细胞的概率为p ，分裂成两个新X 细胞的概率为1p -；新细胞在下一个周期T 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的X 细胞，在第一个周期T 中开始分裂，其中1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)设2T 结束后，X 细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (2)设()*N nT n ∈结束后，X 细胞数量为m 的概率为()m P n ．（ⅰ）求()2P n ； （ⅱ）证明：()36481P n <．。

一、单选题二、多选题1.已知函数为奇函数，则（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．12. 在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF 为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h 是刍甍的高，即点F 到平面ABCD 的距离.若底面ABCD 是边长为4的正方形，且平面ABCD ，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（）A．B．C．D．3. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．4.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 下列说法正确的有（ ）个①已知一组数据的方差为，则的方差也为.②对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.③已知随机变量服从正态分布，若，则.④已知随机变量服从二项分布，若，则.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6. 已知，，，则下列判断正确的是（ ）A．B．C．D．7.已知，则A．B．C．D．8. 已知为第二象限角，且，则的值为（ ）A．B．C．D．9. 关于变量x ，y 的个样本点，，…，及其线性回归方程：，下列说法正确的有（ ）A ．相关系数的绝对值越小，则表示x ，y 的线性相关程度越弱B．线性回归方程中的是变量x ，y 正相关的充要条件C ．线性回归方程中的是变量x ，y 负相关的充分不必要条件D ．若，，则点一定在回归直线上10.已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题三、填空题四、解答题A．双曲线的渐近线方程为B ．直线的倾斜角为C ．圆的面积等于D ．与的面积之比为11.已知数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论多小），总存在正整数，使得时，恒有成立，就称数列收敛于（极限为），即数列为收敛数列.下列结论正确的是（ ）A．数列是一个收敛数列B ．若数列为收敛数列，则，使得，都有C ．若数列和为收敛数列，而数列一定为收敛数列D ．若数列和为收敛数列，则数列不一定为收敛数列12.已知点，和在椭圆：上，则（ ）A．的焦点为B ．的离心率为C ．直线的斜率小于1D ．的面积最大值为313. 已知偶函数在单调递减，且，若，则的取值范围是____.14. 函数在点处的切线方程为________．15. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是__________．16. 已知数列是等差数列，，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.17. 已知函数，，其中是自然对数的底数．（1）若函数有两个不同的极值点、，求实数的取值范围；（2）当时，求使不等式对一切实数恒成立的最大正整数．18. 随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚，“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连.为了更好的普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组：，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：分数人数815253022(1)若测试成绩不低于60分为合格，否则为不合格，为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s ，绘计算得，若，则这次培训中不合格的学生需要参加第二次讲座；否则，不需要参加第二次讲座，试问不合格学生是否参加第二次讲座；(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，否则为不优秀.（i）若在样本中利用分层抽样从成绩在的学生中抽取11人，再从这11人中随机抽取4人担任讲座助理，设成绩优秀的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）视频率为概率，若从所有参加讲座的大学生中随机抽取3人，设成绩优秀的人数为Y ，求Y的数学期望，并比较与大小.19. 已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.20. 某市教育局为指导学生适应高中的学习和生活、选择适合自己的高考科目，定期举办高中生生涯规划讲座.市教科院为了了解高中生喜欢高中生生涯规划讲座是否与性别相关，在该市随机抽取100名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢高中生生涯规划讲座不喜欢高中生生涯规划讲座合计男生10女生20合计已知从这100名学生中随机抽取到喜欢高中生生涯规划讲座的学生的概率为0.7．（1）判断是否有99%的把握认为喜欢高中生生涯规划讲座与性别有关？（2）从上述不喜欢高中生生涯规划讲座的学生中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．附：．0.0500.0100. 0050.0013. 8416.6357. 87910.82821. 已知函数（1）求的最大值；（2）当时，证明：；（3）证明：.（参考数据：自然对数的底数）。

数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将XX、XX号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：球的表面积为： 2S4R,其中R为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i是虚数单位，复数2i1i的实部为A．2B．2C．1D．12.设全集UR，集合 2Mx|ylg(x1)，Nx|0x2，则N(e U M)A．x|2x1B．x|0x1C．x|1x1D．x|x13.下列函数中周期为且为偶函数的是A．ysin(2x)B.ycos(2x)C.ysin(x)D．ycos(x)22224.设S n是等差数列a n的前n项和，a12,a53a3,则S9A．90B．54C．54D．725.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若lm,ln,且m,n,则lB．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则//正视图左视图-1-俯视图C．若m,mn，则n//D．若m//n,n，则m6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A．16B．14C．12D． 87.已知抛物线错误！未找到引用源。

的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，错误！未找到引用源。

湖北省黄冈市高三数学模拟考试试题（三）2002.6说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =3sin(32π+x )的周期、振幅依次是 A.4π，3 B.4π，-3 C.π，3 D.π，-3 2.A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为A.2x -y -1=0B.x +y -5=0C.2x +y -7=0D.2y -x -4=03.已知集合A ={1，2，3}，B ={-1，0，1}，满足条件f (3)=f (1)+f (2)的映射f :A →B 的个数是A.2B.4C.6D.7 4.若直线a ⊥b ，且a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 A.b ⊂α B.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能5.函数y =|tg x |·cos x (0≤x ＜23π，且x ≠2π)的图象是6.(理)在极坐标系中，圆锥曲线ρsin 2θ=4cos θ绕极点逆时针旋转2π所得曲线的极坐标方程是A.ρcos 2θ=4sin θB.ρcos 2θ=-4sin θC.ρcos 2θ=8sin θD.ρsin 2θ=-4cos θ(文)直线x +7y =10把圆x 2+y 2=4分成两段弧，则这两段弧长之差的绝对值为A.πB.32π C. 2πD.2π 7.已知奇函数f (x )，g (x )，f (x )＞0的解集为（a 2，b )，g (x )＞0的解集为（2,22ba )，则f (x )g (x )＞0的解集是A.（2,22ba ) B.(-b 2，-a 2) C.(a 2，),2()22a bb --⋃ D.(2,22ba )∪(-b 2，-a 2) 8.等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=16，a 1+a 2+…+a 6=14，S n =a 1+a 2+…+a n ，则n n S ∞→lim =A.3128 B.9128C.128D.329.已知圆柱的上下两底面圆都在球面上，底面一条直径的两个端点间的球面距离是球大圆周长的41，圆柱的母线长为l ，则这个球的半径长为 A.22l B.l C.2 l D.2l10.已知双曲线192522=-y x 的左支上有一点M 到右焦点F 1的距离为18，N 是MF 1的中点，O 为坐标原点，则|ON |等于A.4B.2C.1D.32 11.函数f 1(x )=x x f x f x x f x +=+=-=-1)(,1,1)(,1432的图象分别是点集C 1，C 2，C 3，C 4，这些图象关于直线x =0的对称曲线分别是点集D 1，D 2，D 3，D 4，现给出下列四个命题：①D 1⊆D 2;②D 1∪D 3=D 2∪D 4;③D 4⊆D 3;④D 1∩D 3=D 2∩D 4.其中，正确命题的序号是A.①，③B.①，②C.③，④D.②，④ 12.（理）设n 满足C 0n +C 1n +2C 2n +…+n C nn ＜450的最大自然数，则n 等于 A.4 B.5 C.7 D.6（文）设S= C 0n +C 1n +2C 2n +…+n C nn ，则S 等于A.n ·2n -1B.n ·2n -1-1 C.n 2n -1+1 D.n 2n第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填写在题中横线上） 13.某邮局现只有邮票0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费恰为7.50元，则至少要购买_______张邮票.14.抛物线的准线为y 轴，焦点运动的轨迹为y 2-4x 2+8y =0(y ≠0)，则其顶点运动的轨迹方程为_______.15.关于复数z =cosπααα2,0(,2sin2∈+i ］有下列命题：①若z =z ，则α=2π;②将复数z 在复平面内对应的向量OP 逆时针旋转90°得到向量OQ ，则OQ 对应的复数是-si nπααα2,0(,2cos 2∈+i ］;③复数z 在复平面内对应的轨迹是单位圆； ④复数z 2的辐角主值是α.其中，正确命题的序号是_______. （把你认为正确的命题的序号都填上）.16.如图，在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，选出两条棱和两条面的对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面的对角线AB 1，那么另外三条线段可以是_______（只需写出一种情况即可）.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知函数f (x)=2a cos 2x +b sin x cos x ，且f (0)=2，f (2321)3+=π. (Ⅰ)求f (x )的最大值与最小值.(Ⅱ)若α-β≠k π，k ∈Z ，且f (α)=f (β)，求tan(α+β)的值. 18.（本小题满分12分） 已知数列{a n }为等差数列，公差为d ，{b n }为等比数列，公式为q ，且d =q =2，b 3+1=a 10=5，设c n =a n b n .(Ⅰ)求数列{c n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n }的前n 项和为S n ，求nnn S nb ∞→lim的值.19.（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，AC =AD =CD =DE =2，AB =1，F 为CE 的中点.（Ⅰ）求证：BF ⊥平面CDE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积；（Ⅲ）(理）求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小.20.（本小题满分12分）某商场以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售.销售有淡季与旺季之分.标价越高，购买人数越少.我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现：①购买人数是羊毛衫标价的一次函数； ②旺季的最高价格是淡季最高价格的23倍； ③旺季商场以140元/件价格销售时，商场能获取最大利润.问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？ 21.（本小题满分12分）如图，A ，B 是两个定点，且|AB |=2，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 点到直线k 的距离为3.（Ⅰ）求证：点P 到点B 的距离与点P 到直线k 的距离之比为定值；（Ⅱ）（理）若P 点到A ，B 两点的距离之积为m ，当m 取最大值时，求P 点的坐标；（Ⅲ）若|PA |-|PB |=1，求cos APB 的值. 22.（本小题满分14分）定义在（-1，1）上的函数f (x )满足：（Ⅰ)对任意x ，y ∈(-1，1)都有f (x )+f (y)=f (xyyx ++1);(Ⅱ)当x ∈(-1，0)时，有f (x )＞0. (Ⅰ)判定f (x )在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由. （Ⅱ）判定f (x )在(-1，0)上的单调性，并给出证明.（Ⅲ）(理）求证：).)(21()131()111()51(2N n f n n f f f ∈>+++++（文）求证：).)(21()11()131(2N n n f n f n n f ∈+-+=++湖北省黄冈市高三数学模拟考试试题（三）答案一、1.A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.(理)A (文)B 7.C 8.B 9.A 10.A 11.D 12.C二、13.8 14.y 2-16x 2+8y =0(y ≠0) 15.①②16.BC 1，CD ，A 1D 1或CC 1，BD ，A 1D 1或BC ，C 1D 1，A 1D 或BC ，DD 1，A 1C 1(任选填一种) 三、17.解：(Ⅰ)由f (0)=2a =2,∴a =1,f (,23214321)3+=+=b a π∴b =2 ∴f (x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2x +cos2x +1=1)42sin(2++πx∴f (x )最大值为2+1，最小值为1-2.6分(Ⅱ)若f (α)=f (β),则sin(2α+4π)=sin(2β+4π), ∴2α+4π=2k π+2β+4π或2α+4π=2k π+π-(2β+4π),即α-β=k π(舍去)或α+β=k π+4π,k ∈Z ,∴tan(α+β)=tan(k π+4π)=1. 12分 18.解：(Ⅰ)由已知，有⎩⎨⎧=⨯+=+⋅.592,512121a b 解得b 1=1,a 1=-13. 2分从而a n =-13+(n -1)·2=2n -15,b n =1×2n -1=2n -1, c n =a n b n =(2n -15)2n -1 5分(Ⅱ)∵S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n , ①∴aS n =a 1b 2+a 2b 3+…+a n -1b n +a n b n +1. ②7分①-②得(1-q )S n =a 1b 1+d (b 2+b 3+…+b n )-a n b n +1=a 1b 1+d ·qq b n ---1)1(12-a n b n +1=-13+2·21)21(21---n -(2n -15)·2n =-［(2n -17)·2n +17］,∴S n =(2n -17)·2n+17.10分∴)12.(412172)172(1lim172)172(2lim lim 11分=⋅+⋅-=+⋅-⋅=∴-∞→-∞→∞→n n n n n nn n n n n n S nb 19.解：(Ⅰ)取CD 中点G ，连AG ，FG ，则有FG AB DE 21.∴AG BF ,又△ACD 为正三角形，∴AG ⊥CD ，又DE ⊥平面ACD ， ∴FG ⊥平面ACD .∴FG ⊥AG .∴AG ⊥平面CDE ∴BF ⊥平面CED .4分 (Ⅱ)V ABCDE =V B —ACD +V B —CDE =.32233233222131243312=⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅BF AB (Ⅲ)由(1)知AB 21DE,延长DA ，EB 交于P ，连P C ，则可证得A ，B 分别为PD ，PE 中点，∴PC ∥BF ∥AG ，∴PC ⊥平面CDE ，∴∠DCE 为平面BCE 和平面ACD 所成二面角的平面角，又∠DCE =45°,即所成锐二面角为45°.12分20.解：设羊毛衫出售价格为x 元/件，购买人数为y 人，最高价格为x 0,则存在 a ,b 使y =ax +b .由条件知：a ＜0且0=ax 0+b∴x 0=-ab.因此y =a (x -x 0)=-a (x 0-x ),商场利润s =y (x -100)=-a (x 0-x )(x -100)≤-a (2020)2100()2100+-=++-x a x x x∥ = ∥ = ∥ = ∥ =当且仅当x 0-x =x -100,即x =50+2x 时“=”成立. 6分 因此商场定价x =50+2x 时能获最大利润，设旺、淡季的最高价格分别为a ,b .淡季能获最大利润的价格为c ，则140=50+2a,a =180, 9分 ∴b =32a =120.∴c=50+2b=110(元/件)12分 21.(Ⅰ)证明：以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，则点A ，B 的坐标分别为(-1，0)，(1，0).∵l 为MB 的垂直平分线，∴|PM |=|PB |，|PA |+|PB |=|PA |+|PM |=|MA |=4.∴P 点的轨迹是以A ，B 为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为.13422=+y x 根据椭圆的定义可知，点P 到点B 的距离与点P 到直线k :x =4(恰为椭圆的右准线)的距离之比为离心率e =21.4分 (Ⅱ)解：m =|PA |·|PB |≤(2)2PBPA +=4,当且仅当|PA |=|PB |时，m 最大，这时P 点的坐标为(0，3)或(0，-3).8分(Ⅲ)解：由|PA |-|PB |=1及|PA |+|PB |=4，得 |PA |=25，|PB |=23. 又|AB |=2，所以△APB 为直角三角形，∠ABP =90°.故cos APB =53=PAPB . 22.解：(Ⅰ)x ,y ∈(-1,1).f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),令x =y =0,得f (0)=0.令y =-x ,得f (x )+f (-x )=f (0)=0, ∴f (-x )=-f (x )∴f (x )在(-1，1)上是奇函数.4分 (Ⅱ)设-1＜x 1＜x 2＜0,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (21211x x x x --),∵x 1-x 2＜0,1-x 1x 2＞0, ∴-1＜21211x x x x --＜0.x ∈(-1,0)时f (x )＞0∴f (x 1)-f (x 2)＞0,从而f (x )在(-1，0)上是单调减函数. 8分(Ⅲ)(理)∵f (1312++n n )。

江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

一、单选题1.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为A．B．C．D．2. 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10.5,14.5) 2 [14.5,18.5) 4 [18.5,22.5) 9　[22.5,26.5) 18[26.5,30.5) 11 [30.5,34.5) 12 [34.5,38.5) 8 [38.5,42.5) 2根据样本的频率分布估计，数据落在[30.5,42.5)内的概率约是( )A．B．C．D．3.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124. 已知椭圆：与双曲线：（，）有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（ ）A．B．C．D．5.半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（ ）A．B．C．D．6. 天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度.星体的视星等，绝对星等，距地球的距离有关系式（为常数）.若甲星体视星等为，绝对星等为，距地球距离；乙星体视星等为，绝对星等为，距地球距离，则（ ）A．B．C．D．7. 华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．”所以研究函数时往往要作图，那么函数的部分图象可能是（ ）A．B．C．D．8. 已知函数对任意，都有，以下关于的命题，正确的是（ ）A ．函数在区间上单调递增B ．直线是函数图像的一条对称轴C ．点是函数图像的一个对称中心D ．将函数图像向右平移个单位，可得到的图像河南省安阳市2023届高三三模拟理科数学试题(1)河南省安阳市2023届高三三模拟理科数学试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）A ．当时，函数在处的切线方程为B ．当时，函数在上单调递减C ．若函数在上恰有一个极值，则D ．当时，，满足10.如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（）A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个B ．满足的格点共有3个C．存在格点，，使得D ．满足的格点共有4个11.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）A．B ．在单调递增C．的图象关于对称D ．在上的最大值是112.已知等比数列的公比为q ，前4项的和为，且，，成等差数列，则q 的值可能为（ ）A．B ．1C ．2D ．313. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9544，至少要测量___________次.14. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为P ，与另一条渐近线交于点.若，则该双曲线的离心率为_______.15. 已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[40,60)内的频数为_____.16. 已知函数（为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：．17. 某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取，.18. 已知函数，（且）.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.19. 在锐角中，角所对的边分别是，且．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．20. 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望．21. 某海产品经销商调查发现，该海产品每售出吨可获利万元，每积压吨则亏损万元.根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.（1）请补齐上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；（2）今年该经销商欲进货吨，以（单位：吨，）表示今年的年需求量，以（单位：万元）表示今年销售的利润，试将表示为的函数解析式；并求今年的年利润不少于万元的概率.。

高三数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，各题答案必需答在机读卡上。

1．已知集合M={x |x －a =0}，N={x |ax －1=0}，若M N=N ，则实数a 的值是（D ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－12．已知集合A B R ==，映射:f A B →满足 2()2f x x x =-+，若对于实数k B ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ D ）A ． 1k ≥B ．1k ≤C ．1k <D ．1k > 3．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（ C ）A ．⎩⎨⎧≥+--≥0221y x y B ．⎩⎨⎧≤+--≥0221y x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x4．已知F F 12，是双曲线1222=-y x 的左右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则PF QF PQ 11+-的值为（ A ） A. 42 B. 8C. 22D. 随α大小变化5．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ D ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．过点M （－2，4）作圆C ：25)1()2(22=-+-y x 的切线l ，l 1：023=++a y ax 与l 平行，则l 1与l 间的距离是（ A ）A.512 B.528 C.58 D.52 7．已知函数y =f （x ）是偶函数，y =g （x ）是奇函数，它们的定义域为［－π，π］，且它们在x ∈［0，π］上的图象如下图所示，则不等式)()(x g x f ＞0的解集为（D ）A.（－3π，0）∪（3π，π）B.（－π，－3π）∪（3π，π） C.（－4π，0）∪（4π，π） D.（－π，－3π）∪（0，3π） 8．把函数y =cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（ B ） A ．y=2sin 2x B ．y=－2sin 2xC ．y=2cos （x +4π） D ．y=2cos （2x +4π） 9．在区间［－4，－1］上，函数f （x ）=－x 2+px +q 与函数g （x ）=x +x4同时取相同最大值，那么函数f （x ）在区间［－4，－1］上的最小值为CA.－10B.－5C.－8D.－3210．函数y =x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1,3],则点（a ，b ）的轨迹是图中的 （ A ） A ．线段AB 和线段ADB ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD11．若抛物线y =2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y =x +m 对称，且x 1·x 2=－21,则实数m 的值为 B A.21 B.23 C.25 D.2 12.定义运算a*b 为：a*b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a 则关于x 的函数f (x )=x 21*的取值范围是（ C ）A ．(]1,∞- B.（0，1） C. (]1,0 D.[1，+∞]第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）各题答案必需填写在答题卡上（只填结果，不写过程）。

2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}220|A x x x =-<，集合{}210|2x B x -=-≤，则A B ⋃=（）A ．{}|02x x <<B ．{}2|0x x <≤C ．{}|2x x <D ．{}2|x x ≤【正确答案】D【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合,A B ,由集合的并运算即可求解.【详解】由于22021022202x x x x ---≤⇒≤⇒-≤⇒≤所以{}|02A x x =<<，{}|2B x x =≤，所以{}|2A B x x ⋃=≤.故选：D.2．已知复数1z ，2z ，“21z z >”是“211z z >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.【详解】若21z z >，可得复数1z ，2z 都为实数，当120z z <<时，211z z <，充分性不成立；反之，若211z z >取复数11i z =+，222i z =+，满足2121z z =>，但此时复数1z ，2z 均为虚数，不能比较大小，必要性不成立，所以“21z z >”是“211z z >”的既不充分也不必要条件；故选：D.3．若函数923log ,14()1,123x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪++⎩，则523f f ⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎣⎛ ⎝⎦⎭⎥⎫（）A ．517B ．175C ．417D ．174【正确答案】C【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.【详解】由于5231>，所以5522935313log 34442f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故5211431217134f f f ⎡⎤⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+⎪⎭+⎛⎫ ⎝=，故选C.4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在[]50,100内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（）A ．70.2B ．72.6C ．75.4D ．82.2【正确答案】C【分析】根据题意，由频率之和为1，可得m 的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由条件可得()0.0040.0540.0120.010101m ++++⨯=，则0.020m =，故得分的平均数为.()0.004550.020650.054750.012850.010951075.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故选：C5．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为2222221x y z a b c++=（0,z ≥，,,0a b c >，且a ，b ，c 不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为2(0)m m π>的圆，给出下列结论：①a b =；②c m =；③2ac m =；④若ac m >，则1c >，其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据已知得a b m ==，结合题设判断各项正误即可.【详解】在2222221x y z a b c ++=中，令0z =可得该建筑室内地面对应的曲线方程为22221x y a b+=，由室内地面是面积为2πm (0)m >的圆，故a b =，①对；且22ππa m =，则a b m ==，又,,a b c 不全相等，故c m ≠，②错；若2ac m =，则2mc m =，可得c m =，与,,a b c 不全相等矛盾，③错；若ac m >，则0mc m >>，故1c >，④对.故选：B.6．已知α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，则tan α=（）A ．24B 33C 3D ．22【正确答案】A【分析】根据α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，利用二倍角公式整理得26sin sin 10αα--=，求得sin α，再利用基本关系求解.【详解】∵α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，∴()2312sin sin 2αα-+=，∴26sin sin 10αα--=，解得1sin 3α=-或1sin 2α=(舍去)，∴22cos 1sin 3αα=--=-，∴2tan 4α=，故选：A.7．直线:40l ax by +-=与圆22:4O x y +=相切，则22(3)(4)a b -+-的最大值为（）A ．16B ．25C ．49D ．81【正确答案】C【分析】利用圆与直线的位置关系得出,a b 的方程，根据方程分析利用22(3)(4)a b -+-表示的几何意义求解即可.【详解】由直线l 与圆O 相切可得：圆心()0,0O 到直线l 的距离等于圆的半径，2=，故224a b +=，即点(,)a b 在圆O 上，22(3)(4)a b -+-的几何意义为圆上的点(,)a b 与点(3,4)之间距离的平方，由224a b +=圆心为()0,0，因为22344+>，所以点(3,4)在圆224a b +=外，所以点(,)a b 到点(3,4)的距离的最大值为圆心到(3,4)的距离与圆半径之和，即27d r +=，所以22(3)(4)a b -+-的最大值为2749=.故选：C.8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A ，B ，C 三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（）A ．144种B ．162种C ．216种D ．288种【正确答案】A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有24C 种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有211342231C C C A 2方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有224222C C A 种分法，分给3名同学中的2名同学，有23A 种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有14C 种分法，共有2221423422C C A C A ⋅种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有222113214242233422C C 1C C C A A C 1442A +⋅=种.故选：A.二、多选题9．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π2，若12()()2f x f x =-，则（）A ．()f x 关于直线1x x =对称B ．()f x 关于点2(,0)x 对称C ．12x x +的最大值为π2D ．12x x +的最小值为π8【正确答案】AD【分析】根据辅助角公式化简()f x ，利用周期的公式求解4ω=，进而根据12()()2f x f x =-可判断12,x x x x ==为()f x 的对称轴，即可判断AB,利用对称中心可求解DC.【详解】由π()sin cos cos )4f x x x x ω=+=+的最小正周期为π2可得2ππ2ω=，即4ω=，故π())4f x x =+，由12()()2f x f x =-可得1()f x ，2()f x 分别为()f x 的最大值和最小值，故()f x 关于直线1x x =对称，不关于点2(,0)x 对称，故A 正确，B 错误；由()π4πZ 4x k k +=∈可得()1πZ 416x kx k =-∈，故()f x 的对称中心()1ππ,0Z 416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则121π1π2ππ,Z 41628x x n n n +=-=-∈，当0n =时，12x x +取得最小值π8，没有最大值，故C 错误，D 正确.故选：AD10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为2，过C 上点P 的直线l 与C 的渐近线分别交于点A ，B ，且点P 为AB 的中点，则下列正确的是（）A ．若(,)P m n 且直线l 的斜率存在，直线l 的方程为21mynx a -=B ．若(2,1)P ，直线l 的斜率为1C．若离心率e =2OAB S=△D ．若直线l 的斜率不存在，2AB =【正确答案】BCD【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A ，利用A 选项的求解可判断B ，利用离心率可得渐近线方程，进而联立直线AB 与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C ，根据顶点和渐近线方程可求解D.【详解】由题意1b =，双曲线222:1x C y a-=.对于A ，若(,)P m n ，则2221m n a-=，即2222m a n a -=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则221120x y a -=，222220x y a -=，利用点差法可得121222212122()2ABy y x x m m k x x a y y a n a n-+===-+=，所以直线l 的方程为y n -=2()mx m a n-，即2222a ny a n mx m -=-，所以22222mx a ny m a n a -=-=，即21mxny a -=，故A 错误；对于B ，若(2,1)P ，可得222211a -=,则a =l 的斜率为22121m a n ==⨯，即B 正确；对于C，若离心率222,2c e c a b a==+，可得2a =.则双曲线22:14x C y -=，其渐近线方程为2xy =±，设11(,)2x A x ，22(,2xB x -，直线()()121112:22x x x AB y x x x x +=-+-，令121220,x xy x x x ==+，则121221122212221OAB x x x x x x S x x +=+=△，由A 知AB 方程为14mxny -=，联立方程142mxny x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得142x m n =-，同理可得242x m n =+，所以1211442222OAB S x x m n m n ==⨯-+△2288244m n ===-，故C 正确；对于D ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 过双曲线的顶点，所以(,0)P a ±，双曲线的渐近线方程为1y x a=±，当x a =±时，代入渐近线方程易得A ，B 两点的纵坐标为1±，所以2AB =，故D 正确；故选：BCD.11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，点P ，Q ，M 分别为11A D ，11C D ，BC 的中点，下列结论正确的有（）A ．//AC 平面PQMB ．该四棱柱有外接球，则四边形ABCD 为正方形C ．BC 与平面PQM 不可能垂直D ．BD QM⊥【正确答案】ABC【分析】根据线线平行即可判断A ，利用外接圆的对角互补，则可判断B ，利用反证法，结合线面垂直的性质定理可判断C,D.【详解】对A ，连接11AC ，由点P ，Q ，分别为11A D ，11C D 可得11//ACPQ ，11111////.AA BB CC AA BB CC == ，所以四边形11A ACC 为平行四边形，则11//AC AC ，故//AC PQ ，AC ⊄平面PQM ,PQ ⊂平面PQM ,则//AC 平面PQM ，即A 正确；对B ，若四棱柱有外接球，则四边形ABCD 有外接圆，则ABCD 对角互补，则ABCD 为正方形，即B 正确；对C ，若BC ⊥平面PQM ，PQ ⊂平面PQM ,则BC PQ ⊥，由//PQ AC 可得BC AC ⊥，与条件矛盾，故BC 与平面PQM 不可能垂直，即C 正确；对D ，取CD 的中点N ，连接MN ，QN ，则//MN BD ，1//QN CC ,1CC ⊥ 平面ABCD ，QN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂ 平面ABCD ，QN MN ∴⊥，90QNM ∴∠=︒，则90QMN ∠<︒，故BD 与QM 不垂直，即D 错误.故选：ABC.12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线2x =对称，当[0,2]x ∈时，2()f x x =，若方程()4log (5)(0,1)a f x x a a >=+≠在[]4,6-上恰有5个实数解，则（）A ．()f x 的周期为4B ．()f x 在[]8,10上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,2D ．711a <<【正确答案】AD【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A 、B ，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C ，画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象，数形结合，即可判断D.【详解】由()f x 的图象关于2x =对称可得(4)()f x f x +=-，再由()f x 为偶函数可得()()f x f x -=，故()(4)f x f x =+，即()f x 的周期为4，即A 正确；当[0,2]x ∈时，由2()f x x =，可得()f x 在[0,2]上单调递增，故()f x 在[]8,10上单调递增，即B 错误；又(0)0f =，(2)4f =，故()f x 的值域为[]0,4，即C 错误；在同一坐标系下画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象如图所示.由图可知，要使()y f x =与()4log (5)b g x x =+在[]4,6-上恰有5个不同交点，只需()()24641g g a ⎧<⎪>⎨⎪>⎩，即log 71log 1111a a a <⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得711a <<，即a 的取值范围为()7,11，故D 正确.故选：AD三、填空题13．已知O 为ABC 的外心，若2OA =，且75BAC ∠=︒，则OB OC ⋅=__________.【正确答案】23-【分析】由平面向量数量积公式进行求解.【详解】由圆的性质可得2150BOC BAC ∠=∠=︒，2OA OB OC ===，故cos 22cos15023OB OC OB OC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯︒= 故23-14．若函数4()ln 42mxf x x-=-的图象关于原点对称，则实数m 的值为__________.【正确答案】2-【分析】根据奇函数的性质根据()()f x f x -=-，即可求解.【详解】依题意，()()f x f x -=-，即44ln ln 4242mx mxx x-+=-+,所以442424mx x x mx +-=+-，解得2m =±，当2m =时，42()ln42xf x x-=-，定义域{}2x x ≠不关于原点对称，故舍去，当2m =-时，42()ln 42xf x x+=-，定义域为{}22x x -<<，符合要求，故2m =-，故2-15．函数33()sincos sin cos 2222x x x xf x =-的最小值为__________.【正确答案】14-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sin cos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故14-四、双空题16．如图，在三棱锥A BCD -中，AB CD ⊥，AD BC ⊥，且3BD AC =，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为__________，AC 与EF 所成角的余弦值为__________.【正确答案】90︒10【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.【详解】取AB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//FG AC ，//EG BD ，故EFG ∠或其补角为异面直线AC 与EF 所成的角，过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO ，则AO CD ⊥，又AB CD ⊥，且AB AO A = ，故CD ⊥平面AOB ，故BO CD ⊥，同理可得DO BC ⊥，即O 为BCD △的垂心，故BD CO ⊥，又AO BD ⊥，AO CO O = ，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，故BD ⊥平面AOC ，故AC BD ⊥，即AC 与BD 所成角为90︒；所以90EGF ∠=︒，由3BD AC =可得3EG FG =，故cos FG EFG EF ∠==即异面直线AC 与EF故①90︒，②10.五、解答题17．已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，2a 是1a ，4a 的等比中项，1278S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知1213n a n n b a --=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)n a n=(2)(1)31nn T n =-⨯+【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，即可得结果；（2）由（1）可得：1(21)3n n b n -=-⨯，利用错位相减法求和.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为2a 是1a ，4a 的等比中项，则2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，且0d ≠，整理得1d a =①，又因为121121211782dS a =+⨯⨯=，整理得163339a d +=②由①②解得，11a =，1d =，所以()11n a n n =+-=.（2）由（1）知，()11213213n n n n b a n ---=⨯=-⨯，则021133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，可得12313133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得0123121323232323(21)3n nn T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯16(13)1(21)313n n n --=+--⨯-(22)32n n =-⨯-，所以(1)31nn T n =-⨯+.18．为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占13，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为12.(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列22⨯列联表；支持养宠物不支持养宠物合计男职工女职工合计450(2)依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.828【正确答案】(1)表格见解析(2)不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关【分析】（1）运用对立事件列方程求出男职工支持养宠物的概率p ，再求出男职工中支持养宠物的人数；（2）根据卡方公式求解.【详解】（1）从男职工中随机选取1人，设支持养宠物的概率为p ，则2人中至少有一名支持养宠物是都不支持养宠物的对立事件，∴111(1)(1)32p ---=，解得14p =，则男职工中支持养宠物的人数为1300745⨯=，22⨯列联表如下：支持养宠物不支持养宠物合计男职工75225300女职工50100150合计125325450（2）零假设为：0H ：性别与态度无关联；由于22450(7510022550) 3.462 3.841125325300150χ<⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关；综上，男职工中支持养宠物的人数为75；不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关.19．在ABC 中，4AB =，AC =点D 为BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使3AE DE =.(1)若1DE =，求BAC ∠的余弦值；(2)若π4ABC ∠=，求线段BE 的长.【正确答案】(1)4-2【分析】（1）设BD DC x ==，由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=结合余弦定理求解即可求出x =ABC 中，由余弦定理即可求出答案.（2）在ABC 中，由余弦定理求出BC =ABD △中，由余弦定理求出AD =，连接BE ，在ABE 中，由余弦定理即可求出线段BE 的长.【详解】（1）因为1DE =，3AE DE =，所以2AD =，因为πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，设BD DC x ==，则222222022BD AD AB CD AD AC BD AD CD AD+-+-+=⋅⋅，即224164802222x x x x +-+-+=⋅⋅⋅⋅，解得x =2BC BD ==在ABC 中，由余弦定理知，222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，所以2816242BC BC =+-⋅⋅⋅，化简得280BC -+=，解得BC =因为D 是BC 的中点，所以12BD BC ==在ABD △中，由余弦定理知，2222cos AD AB BD AB BD ABC =+-⋅⋅∠16224102=+-⨯=，所以AD =，因为3AE DE =，所以32AE AD ==在ABD △中，由余弦定理知，222cos2AB AD BD BAE AB AD +-∠=⋅连接BE ，在ABE 中，由余弦定理知，2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅∠=351624222⎛⎫+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BE =20．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，若PAC △为等边三角形，ABC 为等腰直角三角形，且AC BC =，点E 为AC 的中点，点D 在线段AB 上，且4AB AD =.(1)证明：AB ⊥平面PDE ；(2)求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析4【分析】（1）作出辅助线，得到DE AB ⊥，由三线合一得到PE AC ⊥，从而得到线面垂直，面面垂直，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标线，利用空间向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取AB 的中点G ，由AC BC =可得CG AB ⊥，由4AB AD =可得D 为AG 的中点，由E 为AC 的中点可得DE 为ACG 的中位线，∴DE CG ∥，∴DE AB ⊥，∵E 为AC 的中点，PA PC =，∴PE AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，PE 在面PAC 内，∴PE ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴PE AB ⊥，又PE DE E = ，且PE DE ⊂，平面PDE ，∴AB ⊥平面PDE .（2）以C 为原点，CA 、CB 为x 、y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，设4PA =.则(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C，P ，则(2,0,PA =- ，()4,4,0AB =-，∴1(1,1,4PD PA AD PA AB =+=+=-，(2,4,PB =--，(2,0,PC =--，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由24020n PB x y z n PC x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，解得0y =，令x =1z =-，故1)n =-，由（1）可知(4,4,0)AB =-为平面PDE 的一个法向量，∴cos,4ABAB nA nBn=⋅=-⋅，又平面PDE与平面PBC21．已知抛物线2:2(0)C x py p=>的焦点为F，直线:(1)2(0)l y k x k=>--与C交于A，B 两点，当3k=时，28AF BF+=.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线:(1)2m y k x=---与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线AM，直线BN及y 轴围成的三角形为等腰三角形.【正确答案】(1)24x y=(2)证明见解析【分析】（1）根据直线抛物线方程的联立以及抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线方程的联立以及坐标关系即可求解.【详解】（1）当3k=时，直线:3(1)235l y x x=--=-，与22x py=联立消去y，整理可得26100x px p-+=，由0∆>得236400p p->，即109p>.设11(,)A x y，22(,)B x y，可得126x x p+=，所以()12123101810y y x x p +=+-=-，由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，根据抛物线的定义可得12p AF y =+，22p BF y =+，所以121810191028AF BF y y p p p p +=++=-+=-=，解得2p =，满足0∆>，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）直线():12(0)l y k x k =-->与24x y =联立可得24480x kx k -++=，由0∆>得21616320k k -->，即2k >或1k <-（舍）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=；直线:(1)2m y k x =---与24x y =联立消去y ，整理可得24480x kx k +-+=，由0∆>得21616320k k +->，即1k >或2k <-（舍），故2k >，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344x x k +=-；因为2231313131314()4AMy y x x x xk x x x x --+===--，同理424BN x x k +=，所以123404AMBN x x x xk k ++++==，所以由直线AM ，直线BN 及y 轴围成的三角形为等腰三角形.22．已知函数()()2ln 2R f x ax x x x a =--∈.(1)若4a =，求()f x '的极值；(2)若函数()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，且21x ex >，求证.12ln ln 3a x x +>【正确答案】(1)极大值为4ln 22-，无极小值(2)证明见解析【分析】（1）对()f x 求导，判断()f x '的单调性，即可求出()f x '的极值；（2）根据极值点的概念整理原不等式可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-即112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，构建新函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，求导，利用导数证明()2t ϕ>即可.【详解】（1）2()ln 2f x ax x x x =--的定义域为(0,)+∞，当4a =时，()4ln 22f x x x '=-+，设()4ln 22g x x x =-+，则442()2xg x x x-'=-=，由()0g x =可得2x =，当02x <<时，()0g x '>，当2x >时，()0g x '<，∴()f x '在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，∴()f x '的极大值为(2)4ln 22f '=-，无极小值；（2）由()20f x x +=可得2 ln 0ax x x -=，即1ln xa x=.设ln ()(0)xh x x x=>，则21ln ()x h x x -'=.由()0h x '=可得e x =，当(0,e)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.∴()h x 有极大值1(e)eh =，当01x <<时，()0h x <，当1x >时，()0h x >.要使()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，需有110ea <<，即e a >.∵1212ln ln 1x x a x x ==，由比例的性质可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，即()21211221ln ln x x x x x x x x =+-，故121212122211111ln()ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++==--，设21x t x =，由21e 0x x >>可得t e >，设函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，则212ln ()(1)t t t t t ϕ--'=-，设1()2ln s t t t t =--，则22211()110s t t t t ⎛⎫'=-+=-> ⎪⎝⎭，∴()s t 在(e,)+∞上单调递增，故1()(e)e 20es t s >=-->，故()0t ϕ'>，∴()t ϕ在(e,)+∞上单调递增，故e 12()(e)12e 1e 1t ϕϕ+>==+>--，∴212e x x >，故312e ax x >，故312ln()ln e ax x >，即12ln ln 3a x x +>.关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出1212ln ln 1x x a x x ==，建立关系112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.。

金华十校2024年4月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}220B x x x =-<，则A B = （）A.{}0B.{}1C.{}1,2 D.{}1,2,3【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式求解{}02B x x =<<，即可由交集求解.【详解】{}{}22002B x x x x x =-<=<<，故A B = {}1，故选：B2.i2i =+（）A.12i 55+ B.12i 55-C.12i 33+ D.12i 33-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，故选：A3.设()0,πα∈，条件1:sin 2p α=，条件:cos 2q α=，则p 是q 的（）A.充分不要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．【详解】由于()0,πα∈，若1sin 2α=，则cos 2α==±，充分性不成立，若cos 2α=，则1sin 2α==，必要性成立，故p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．4.设直线2:20l x y a --=，圆()()22:121C x y -+-=，则l 与圆C （）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C 【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线l 的距离，与半径比较即可判断求解．【详解】圆22:(1)(2)1C x y -+-=的圆心为(1,2)C ，半径1r =，则圆心C 到直线l 的距离221d r ===，故直线l 与圆C 相离．故选：C ．5.等差数列{}n a 的首项为正数，公差为d ，n S 为{}n a 的前n 项和，若23a =，且2S ，13S S +，5S 成等比数列，则d =（）A.1B.2C.92D.2或92【答案】B 【解析】【分析】由等比中项的性质得到()22513S S S S =+，结合求和公式得到13d a =-或12d a =，再由23a =，10a >计算可得.【详解】因为2S ，13S S +，5S 成等比数列，所以()22513S S S S =+，即()()()2111510243d a d a d a ++=+，即()()11320a d a d +-=，所以13d a =-或12d a =，又23a =，10a >，当13d a =-，则11133a d a a +=-=，解得132=-a （舍去），当12d a =，则11123a d a a +=+=，解得11a =，则2d =.故选：B6.在ABC △中，sin 7B =，120C =︒，2BC =，则ABC △的面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式求出sin A ，再由正弦定理求出b ，代入面积公式即可得解.【详解】由题意，()312121sin sin 60sin 60cos cos 60sin 22714A B B B =︒-=︒-︒=⨯⨯，由正弦定理，sin sin a bA B =，即2sin 74sin 2114a Bb A⨯===，所以11sin 24222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△故选：D7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）A.72种B.48种C.36种D.24种【答案】A 【解析】【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成22A 组，然后分给剩余2个不同学校有22A 种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有1234C C 种不同的方法，剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有22A 种，这2组分配到2个不同学校有22A 种不同分法，所以由分步乘法计数原理知，共有12223422C C A A 362272⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=种不同的分法.故选：A8.已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（）A.12B.13 C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出cos cos αβ，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．【详解】由1cos()3αβ-=得1cos cos sin sin 3αβαβ+=，又1sin sin 12αβ=-，所以5cos cos 12αβ=，所以[][]22cos ()()cos ()()1cos 21cos 2cos 2cos 2cos sin 2222αβαβαβαβαβαβαβ++-++--+-+-=-==cos()cos()αβαβ=+-(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )αβαβαβαβ=-+5151111(()12121212236=+⨯-=⨯=．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50350KW h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为i s （1i =，2，L ，6），则（）A.x 的值为0.0044B.这100户居民该月用电量的中位数为175C.用电量落在区间[)150,350内的户数为75D.这100户居民该月的平均用电量为61(5025)ii i s =+∑【答案】AD 【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A ，根据中位数的计算即可求解B ，根据频率即可求解C ，根据平均数的计算即可判断D.【详解】对于A ，由频率分布直方图的性质可知，(0.00240.00360.00600.00240.0012)501x +++++⨯=，解得0.0044x =，故A 正确；对于B ，因为(0.00240.0036)500.30.5+⨯=<，(0.00240.00360.0060)500.60.5++⨯=>，所以中位数落在区间[150,200)内，设其为m ，则0.3(150)0.0060.5m +-⨯=，解得183m ≈，故B 错误；对于C ，用电量落在区间[150，350)内的户数为(0.00600.00440.00240.0012)5010070+++⨯⨯=，故C 错误；对于D ，这100户居民该月的平均用电量为61261(5025)(50225)(50625)(5025)ii s s s i s=++⨯+++⨯+=+∑ ，故D 正确.故选：AD ．10.已知01a b <<<，1m n >>，则（）A.a bb a > B.n mm n >C .log log b m na > D.log log ab n m>【答案】ACD 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】对于A ，因为01a b <<<,所以指数函数x y b =在R 上单调递减，且a b <，所以a b b b >，因为幂函数b y x =在(0,)+∞上单调递增，且a b <，所以b b a b <，所以a b b a >，故A 正确，对于B ，取5m =，2n =，则2552<，故B 错误；对于C ，因为对数函数log b y x =在(0,)+∞上单调递减，log m y x =在(0,)+∞上单调递增，所以log log 1b b a b >=，log log 1m m n m <=，所以log log b m a n >，故C 正确；对于D ，因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，所以ln ln 0a b <<，ln 0m >，则ln ln log log ln ln a b m mm m a b=>=，因为对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，所以log log log a a b n m m >>，故D 正确．故选：ACD ．11.在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE △从起始到结束的翻折过程中，（）A.存在某位置，使得1DE A C ⊥B.存在某位置，使得1CE A D ⊥C.MB 的长为定值D.MB 与CD 所成角的正切值的最小值为12【答案】BCD 【解析】【分析】当1A C DE ⊥时，可得出DE ⊥平面1A OC ，得出OC DE ⊥推出矛盾判断A ，当1OA ⊥平面BCDE时可判断B ，根据等角定理及余弦定理判断C ，建系利用向量法判断D.【详解】如图，设DE 的中点O ，连接,OC OA ，则1OA DE ⊥，若1A C DE ⊥，由111A O A C A = ，11,AO AC ⊂平面1A OC ，可得DE ⊥平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ，则可证出OC DE ⊥，显然矛盾()CD CE ≠，故A 错误；因为CE DE ⊥，所以当1OA ⊥平面BCDE ，由CE ⊂平面BCDE 可得1O A CE ⊥，由1O A DE O = ，1,O A DE ⊂平面1A DE ，即可得CE ⊥平面1A DE ，再由1A D ⊂平面1A DE ，则有1CE A D ⊥，故B 正确；取CD 中点N ，1//MN A D ，112MN A D =，//BN ED ，且1,MNB A DE ∠∠方向相同，所以1MNB A DE ∠=∠为定值，所以BM =C 正确；不妨设AB =，以,OE ON 分别为,x y 轴，如图建立空间直角坐标系，设1A ON θ∠=，则()10,cos ,sin A θθ，()()1cos sin 2,1,0,1,2,0,,1,,(1,0,0)222B C M D θθ⎛⎫+-⎪⎝⎭，()2,2,0DC =，3cos sin ,,,2222BM BM θθ-⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，设MB 与CD 所成角为ϕ，则cos 5DC BM DC BMϕ⋅==≤⋅ ，即MB 与CD 所成最小角的余弦值为5，此时1tan 2ϕ=，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可考虑向量法计算后得解.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a ，b满足|2|a b -=，则a 与b 的夹角为________．【答案】3π（或写成60︒）【解析】【分析】将等式|2|a b -=两边平方即可.【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=，所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2a b 〈〉=r r ，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.13.已知函数()2,0,ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若()f x 在点()()1,1f 处的切线与点()()00,x f x 处的切线互相垂直，则0x =______．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.【详解】当0x >时，1()0f x x'=>，所以(1)1f '=，且点()()00,x f x 不在ln y x =上，否则切线不垂直，故00x ≤，当0x <时，()2f x x '=，所以00()2f x x '=，由切线垂直可知，0211x ⨯=-，解得012x =-.故答案为：12-14.设椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的焦距，它们的离心率分别为1e ，2e ，椭圆1C 的焦点为1F ，2F ，1C ，2C 在第一象限的交点为P ，若点P 在直线y x =上，且1290F PF ∠=︒，则221211e e +的值为______．【答案】2【解析】【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，先根据题意得出点P 的坐标()0c >，再将点P 分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，则2222221122,a b c a b c +=-=，又1290F PF ∠=︒，所以121||||2OP F F c ==，又点P 在第一象限，且在直线y x =上，所以22,22P c c ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，又点P 在椭圆上，所以22221122221c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22222112c c a a c +=-，整理得422411240a a c c -+=，即22211112410e e ⎛⎫⋅-⋅+= ⎪⎝⎭，解得2114242e ±±==，因为101e <<，所以21122e =，同理可得点P 在双曲线上，所以22222222221c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即22222222c a c a c -=-，解得2122e -=，所以22121122222e e +-+=+=.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．（1）记两次点数之和等于7为事件A ，第一次点数是奇数为事件B ，证明：事件A ，B 是独立事件；（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X 的分布列和期望．【答案】（1）证明见解析（2）分布列见解析；152【解析】【分析】（1）根据古典概型分别计算(),(),()P A P B P AB ，由()P AB ，()()P A P B 的关系证明；（2）根据n 次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.【小问1详解】因为两次点数之和等于7有以下基本事件：()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6个，所以()61366P A ==，又()12P B =．而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是()()()163452,,,,,共3个，所以()313612P AB ==，故()()()P AB P A P B =，所以事件A ，B 是独立事件．【小问2详解】设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X ，则X 可取6，9，12，15，()30311256C 16216P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21311759C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()223151512C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331115C 6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以分布列为：X691215P12521675216152161216所以()12575151156912152162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.设()sin cos cos f x x x a x =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若1a =，求()f x 的值域；（2）若()f x 存在极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0,4⎡⎢⎣⎦（2）()1,-+∞【解析】【分析】（1）求导，得()()()sin 12sin 1f x x x =-+-'，即可根据π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断导数的正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，（2）将问题转化为()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即可分离参数得12sin sin a x x=-，利用换元法，结合函数单调性即可求解.【小问1详解】若1a =，()πsin cos cos 0,2f x x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，()()()222cos sin sin 2sin sin 1sin 12sin 1f x x x x x x x x =--=--+=-+-'当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >-<，则()0f x '>，()f x 单调递增；当ππ,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >->，则()0f x '<，()f x 单调递减又π3364f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()01f =，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()0,4f x ⎡∈⎢⎣⎦，即()f x 的值域为0,4⎡⎢⎣⎦【小问2详解】()222cos sin sin 12sin sin f x x x a x x a x =--=--'．()f x 存在极值点，则()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即12sin sin a x x =-有解．令sin t x =，则12a tt =-在()0,1t ∈上有解．因为函数12y t t=-在区间()0,1上单调递减，所以()1,a ∞∈-+，经检验符合题意．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．（1）求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【小问1详解】分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB AO ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．【小问2详解】因为三棱柱111ABC A B C -的体积为1263AO =，以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EB 为y 轴正方向，过点E 且与1OA 平行的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)()()1,0,1,0,0,1,0,,0,33AB C A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11AA B B 的法向量1n，因为()1,,0,33AB AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭．则1110033AB n y AA n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，可得)1n = ，又11,1,33AC AA AC ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为θ，所以111111sin cos ,3n AC n AC n AC θ⋅====.18.设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x -是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：BP BQ =：（3）记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析（3）10x ±+=【解析】【分析】（1）根据准线方程可得p ，即可求解；（2）设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交求出,P Q 坐标，转化为求0P Q y y +=即可得证；（3）由（2）可得2S PQ =，再由112S MN d =，根据122S S =可得t ，即可得解.【小问1详解】因为=1x -为抛物线的准线，所以12p=，即24p =，故抛物线C 的方程为24y x=【小问2详解】如图，设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty -+=，则()2Δ1610t =->，且121244y y ty y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x --=--，令=1x -得()1121,1y n P n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤----+=-+-=-+⎢⎥----⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty --+--=--⋅-，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t --++-=-=-=-++-，故BP BQ =.【小问3详解】由（2）可得：()()122122222y n y n S PQ ty ty --==-=--1112222S MN d nt ==⨯-，由122S S =，得：212t-=，解得t =，所以直线l 的方程为10x ±+=．【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出,P Q 点的坐标（含参数），第二个关键点在于将BP BQ =转化为,P Q 关于x 对称，即0P Q y y +=.19.设p 为素数，对任意的非负整数n ，记0101kk n a p a p a p =++⋅⋅⋅+，()012p k W n a a a a =+++⋅⋅⋅+，其中{}()0,1,2,,10i a p i k ∈⋅⋅⋅-≤≤，如果非负整数n 满足()p W n 能被p 整除，则称n 对p “协调”．（1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；（2）判断并证明在2p n ，21p n +，22p n +，…，()221p n p +-这2p 个数中，有多少个数对p “协调”；（3）计算前2p 个对p “协调”的非负整数之和．【答案】（1）194，196对3“协调”，195对3不“协调”（2）有且仅有一个数对p “协调”，证明见解析（3）522p p -【解析】【分析】（1）根据n 对p “协调”的定义，即可计算()()()333194,195,196W W W ，即可求解，（2）根据n 对p “协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可根据引理求证．（3）将()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数，根据引理证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可求解.【小问1详解】因为012341942313031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3194210126W =++++=，012341950323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3195020125W =++++=，012341961323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3196120126W =++++=，所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”.【小问2详解】先证引理：对于任意的非负整数t ，在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设012012kk pt b p b p b p b p =++++ ，由于pt 是p 的倍数，所以00b =，所以01212k k pt j jp b p b p b p +=++++ ，即pt j +对于0p 这一项的系数为()01j j p ≤≤-，所以()()()1201p k W pt j b b b j j p +=++++≤≤- ，根据整除原理可知，在()()01p W pt j j p +≤≤-中有且仅有一个数能被p 整除，所以在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．接下来把以上2p 个数进行分组，分成以下p 组（每组p 个数）：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p “协调”，所以共有p 个数对p “协调”．【小问3详解】继续考虑()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p “协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设某一列第一个数为()201,01p n t n p t p +≤≤-≤≤-，则20120p n t tp p np +=++，所以()2p W p n t n t +=+，同理当01s p ≤≤-时，()2p W p n sp t n s t ++=++，所以当01s p ≤≤-时，集合{}201p n sp t s p ++≤≤-中的p 个数中有且只有1个数对p “协调”．注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p ，所以p个数对p “协调”的数之和为：()()()()232112112112p n p p p p np p p ⋅++++-++++-⋅=+- ，进一步，前2p 个对p “协调”的非负整数之和为：()()()22152323011112222p n p p p p p p np p p p -=---⎡⎤=-=⋅+=⎢⎥⎣⎦∑【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义所给的关系式的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将定义可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。