马井堂第二十一章代数方程复习

1数学八下第21章：代数方程-知识点1、解含字母系数的一元一次方程的一般步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1。

2、解含字母系数的方程“ax=b ”时，需要分类讨论 ，分三种情况：①若a ≠0 ，则x=b/a ；②若a=0 ，b=0 ，则x 可以取一切实数 ；③若a=0 ，b ≠0 ，则x 无解 。

3、一元二次方程的一般解法有：① 开平方 法，② 因式分解 法（主要指提取公因式、平方差公式、完全平方公式和十字相乘），③ 配方 法，④ 公式 法。

（当△ ＞0 时，有 两个不相等 的实数根，x=a acb b 242-±- ；当△ ＝0 时，有两个相等 的实数根，x= a b2- ；△ ＜0 时， 无 实数根）。

4、解含字母系数的方程“ax 2+bx+c=0”时，如果已指明 是一元二次 方程或明确有两个 实数根，则必有a ≠0 。

如果没有说明 是几次方程，则应对 a 进行讨论：①若a =0 ，则转化为解方程bx+c=0；②若a ≠0，则继续讨论判别式△ 的符号。

★特别地，对于方程（b 2+2）x 2=1，因二次项系数b 2+2具有非负性 时，所以不需要对系数进行讨论。

5、二项方程：形如ax n +b=0 （a ≠0，b ≠0，n 是正整数）只含两项的一元n 次方程，其中一项含未知数，另一项是非零的常数项 。

解法：①变形为x n =a b -，②当n 是奇数时，x=n 1b ）（a - ；当n 是偶数时，如果ab ＜0，则x=±n 1b ）（a -，如果ab ＞0，则方程没有实数根 。

6、双二次方程：形如ax 4+bx 2+c=0（a ≠0），只含有偶数次项的一元四次方程。

解方程的思想是降次 ，通常采用换元 法或因式分解 法。

比如：x 4-3x 2-10=0。

①换元法：设 x ²=y ，则 y 2-3y-10=0 ，解出y 之后 回代 到x ²=y 即可解出x 。

代数方程知识点总结
一、代数方程基础知识
1. 代数方程的定义：代数方程是一个数学表达式，其中包含一个或多个未知数，通过等号连接左右两边。

2. 代数方程的解：使等号成立的未知数的值称为代数方程的解。

3. 代数方程的解法：通过一定的数学方法找到代数方程的解的过程称为代数方程的解法。

二、一元一次方程
1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且该未知数的次数为1的代数方程称为一元一次方程。

2. 一元一次方程的标准形式：ax + b = 0 (a ≠0)
3. 一元一次方程的解法：通过移项和合并同类项，将一元一次方程化为标准形式，然后求解未知数的值。

三、一元二次方程
1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的代数方程称为一元二次方程。

2. 一元二次方程的标准形式：ax^2 + bx + c = 0 (a ≠0)
3. 一元二次方程的解法：通过因式分解、配方方法和公式法等方法求解一元二次方程的解。

四、分式方程
1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的代数方程称为分式方程。

2. 分式方程的解法：通过去分母、换元和消元等方法求解分式方程的解。

五、二元一次方程组
1. 二元一次方程组的定义：包含两个未知数，且每个未知数的次数都为1的代数方程组称为二元一次方程组。

2. 二元一次方程组的解法：通过消元法和代入法等方法求解二元一次方程组的解。

六、其他类型的代数方程
1. 高次代数方程：含有未知数的高次方的代数方程，可以通过因式分解、配方方法和公式法等方法求解。

2. 多元高次方程组：包含多个未知数的高次方的代数方程组，可以通过消元法和代入法等方法求解。

第21章 代数方程章节考点分类复习导学案【考点1】整式方程例题1（松江2018期中6）二项方程511602x -=的实数根是 . 【变式1】 （杨浦2019期中11）关于x 的方程：2210x kx +-=是二项方程，k= . 【变式2】（静安2018期末10）如果关于x 的方程bx 2＝2有实数解，那么b 的取值范围是 ． 【变式3】（浦东四署2019期中1）下列方程中，是二项方程的是（ ） A.224x y +=； B.20x =； C.22x x -=； D.320x +=. 【变式4】（崇明2018期中16）方程510x +=的解是 .【变式5】（嘉定2019期末10）二项方程32540x +=在实数范围内的解是 . 【变式6】（浦东四署2019期中8）方程41208x -=的根是 .【变式7】（浦东四署2019期末7）方程4232x =的根是 . 【变式8】（静安2019期末9）方程3640x -=的根是 . 例题2（崇明2018期中12）关于x 的方程21a x x +=的解是 .【变式1】（松江2019期中19）解关于x 的方程：(5)1a x x -=+.【变式2】（浦东一署2018期中1）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）【变式3】 (奉贤2018期末3)已知一元二次方程x 2-2x -m =0有两个实数根，那么m 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【变式4】（松江2018期中4）关于x 的方程6ax =-有解的条件是 . 【变式5】.（浦东四署2019期中10）如果关于x 的方程(23)3m x +=有解，则m 的取值范围是 .【变式6】 （浦东2018期末8）当k =______时，方程kx +4=3-2x 无解．【变式7】（青浦2018期末10）关于x 的方程ax ﹣2x ﹣5＝0（a ≠2）的解是 ． 【变式8】.（金山2018期中22）解关于x 的方程：2222(1)ax x a -=+≠.【考点2】分式方程例题1（长宁2019期末4）若关于x 分式方程＝有增根，则m ＝ ．【变式1】.（金山2018期中14）如果分式方程133x k x x -=--有增根，那么k 的值是 . 【变式2】 （杨浦2019期中10）若方程111ax x +=-有增根，则a 的值为 . 例题2（浦东四署2019期末20）解方程：214124x x -=--.【变式1】（闵行2018期末19）解分式方程：22161242x x x x +-=--+.【变式2】（金山2018期中20）解方程：2211233x x x x +=+-+.【变式3】.（松江2018期中21）解方程：2231211x x x x-=---.【变式4】. （黄浦2018期中19）解方程：12111x x =--+．【变式5】.（浦东四署2019期中20）解方程：12111x x =--+.【变式6】. （杨浦2019期中20）解方程：48322-=-+x x x【变式7】（松江2019期中21）解分式方程：22116224x x x x +-=-+-.【变式8】（青浦2018期末19）解方程：2654111x x x x x +-=--+.【变式9】.（崇明2018期中24）517311x y x yx y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩.例题3（浦东四署2019期末12）解分式方程22141x xx x--=-时，设21xyx=-，则原方程化为关于y的整式方程是 .【变式1】．（普陀2018期末3）用换元法解方程2231512x xx x-+=-时，如果设21xyx=-，则原方程可化为（）A．152yy+=； B．22520y y-+=C．26520y y++=； D.1532yy+=.【变式2】.（崇明2018期中15）用换元法解方程1230x x++-=时，如果设1xy+=，那【变式3】（松江2018期中8）用换元法解方程2231712x x x x -+=--时，如果设21x y x-=，那么原方程可化为关于y 的整式方程，这个整式方程是 .【变式4】（杨浦2019期中7）已知方程212212=---x x x x 若设21x y x-=,则原方程可化为关于y 的整式方程 .【变式5】 (长宁2018期末11)用换元法解方程15132x x x x -+=-，若设1xy x =-，则原方程可以化为关于y 的整式方程是______．【变式6】 (奉贤2018期末10)用换元法解方程22321121x x x x +-=+时，如果设221x y x =+，那么原方程化成以“y ”为元的方程是______【变式7】（嘉定2019期末11）用换元法解方程22111x x x x --=-时，如果设21xy x =-，那么所得到的关于y 的整式方程为 . 【考点3】无理方程例题1.（金山2018期中2）下列方程中，无理方程是（ ）1-= B.1x +=110=. 【变式1】（金山2019期末2）下列方程221411,401-===-=-x x x 中，无理方程的个数是（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4． 【变式2】（松江2018期中15）下列关于x 的方程中，有实数根的是（ ）0=； B.320x +=； C.111x x x =--；30=.0x =； D.11222x x x +=+--. 【变式4】（静安2019期末4）下列关于x 的方程中，有实数解的为（ ）0=；0=； C.(0x -；3x -. 【变式5】（浦东四署2018期中4）下列方程中, 有实数根的是（ ）30=； （B ）222-=-x x x ； （C ）4230x +=； （D ）01322=++x x ． 【变式6】（闵行2018期末3）下列方程没有实数根的是（ ）A.320x +=；B.2220x x ++=；1x =-； D.2011x x x -=--. 例题2（金山2019期末10-110+=x 的解是_________________【变式1】 （松江2019期中130=的解是_____________.【变式2】（静安2018期末110=的解是 ．【变式3】 （黄浦2018期中13）请将方程(0x -=的解写在后面的横线上：______例题3（松江2018期中20）解方程：3x =.【变式1】.（浦东四署2019期中73=的根是 . 【变式2】 （浦东2018期末6）方程=x 的解是x =______．=.【变式4】（崇明2018期中22）4xx=．【变式5】（普陀2018期末203=-【变式6】（嘉定2019期末19x=.例题4 7【变式2】 （杨浦2019期中21）解方程：1152+-=-x x【考点4】二元二次方程组例题1.（松江2018期中16）下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A.12x y x y +=⎧⎨-=⎩；B.22231310xy x y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩； C.21x y xy -=⎧⎨=⎩； D.313x y xy y x ⎧+=⎨=-⎩.【变式1】 （黄浦2018期中3）下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ）A.02x y x y +=⎧⎨-=⎩；B.123224x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩；C.21x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩； D.324x xy =⎧⎨=⎩.【变式2】 （杨浦2019期中16）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）A ．⎩⎨⎧=-+=2232x xy x y B.⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+102122y x x y xy c.⎩⎨⎧-=-=+135y x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=53132y x x y例题2 （杨浦2019期中9）将方程组：22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪ 转化成两个二元一次方程组分别是【变式1】．（浦东四署2018期中11）将二元二次方程2221x xy y -+=化为二个二元一次方程为 ．【变式2】（普陀2018期末9）把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是 和 ．例题3（青浦2018期末20）解方程组：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩.【变式1】 (奉贤2018期末19)解方程组：2242x y x y xy-=⎧⎨-=⎩.【变式2】（崇明2018期中23）2223230x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【变式3】（松江2018期中23）解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②.【变式4】.（浦东一署2018期中23）解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩.【变式5】.（浦东四署2019期中22）解方程组：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩.【变式6】 （松江2019期中22）解方程组：12x y ⎨+=⎩②.【变式7】（普陀2018期末21）解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【变式8】（静安2018期末20）解方程组：2222320344x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②.【变式9】.（嘉定2019期末20）解方程组2220x xy y ⎨--=⎩②【变式10】（长宁2019期末20）解方程组：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩．例题4. （黄浦2018期中5）方程组222x y x y k⎧-=⎨-=⎩有实数解，则k 的取值范围是（ ）A.3k ≥；B.3k =；C.3k <；D.3k ≤.【变式1】（金山2018期中3）下列方程中，有实数解的是（ ）A.111x x x =--；B.220x +=；10=； D.220x y +=.【考点5】应用题例题5（金山2018期中24）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树. 由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？【变式1】（静安2018期末4）某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程（）A.500500215x x-=+； B.500500215x x-=+； C.500500215x x-=-； D.500500215x x-=-.【变式2】（松江2018期中11）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，依题意可列方程： .【变式3】（松江2018期中12）某花木园，计划在园中载96棵桂花树，开工后每天比计划多种2棵，结果提前4天完成任务. 设实际每天载x棵桂花树，则可列出方程为 .【变式4】（浦东四署2018期中14）李强同学借了一本书共280页，要在两周的借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.求他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则可列方程为________________【变式5】（青浦2018期末16）某学校准备用2400元购买一批学习用品，已知甲种学习用品单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？若设乙种学习用品的单价为x元，那么根据题意可列方程．【变式6】（静安2018期末13）某厂去年1月份的产值为144万元，3月份下降到100万元，求这两个月平均每月产值降低的百分率．如果设平均每月产值降低的百分率是x，那么列出的方程是．【变式7】.（松江2018期中25）迎新晚会需要气球3000个，八一班同学自愿承担吹气球的工作. 后来，有10名同学因排练节目没有参加吹气球，这样，其他同学平均每人吹的气球比原计划多15个，问这个班有多少名同学？【变式8】（黄浦2018期中23）某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要720面彩旗，后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前2天完成生产任务，该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产36面彩旗．请问该厂实际每天生产多少面彩旗？提示：本题可以设该厂实际每天生产x面彩旗，（直接设元），也可设实际完成生产任务需要x天（间接设元），也可以同时设两个未知数列方程组，其中有些方法的运算量较小，请同学们在比较中体会．【变式9】（浦东四署2018期中24）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？【变式10】（松江2019期中24）小王开车从甲地到乙地，去时走A线路，全程约100千米，返回时走B路线，全程约60千米.小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟.若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度.【变式11】（普陀2018期末23）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？【变式12】 (奉贤2018期末22)中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间．【变式13】.（嘉定2019期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的效野公园. 已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园. 问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？【变式14】（长宁2019期末23）小王开车从甲地到乙地，去时走A线路，全程约100千米，返回时走B线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度．。