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2n1
1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1； 2、 xy ( x m) y my 0.( m 为自然数 )
y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0 v的一阶方程
降阶法
解得 v 1 e , P( x)dx
y2 1
u
1
e
P(
x )dx
dx
y2 1
y2 y1
1
e
P ( x )dx
dx,
y2 1
齐次方程通解为
刘维尔公式
y y1(C1 C2
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
n0
an2
an n
, 2
n 0,1,2,
a2
a0 2
,
a3
a1 3
,
a4
a0 8
,
a5
a1 , 15
a2k
a0 k! 2k
,
a2k1
a1 , (2k 1)!!
原方程的通解
k 1,2,3,
y
a0
n0
x2n 2n n!
a1
n0
x (2n
(2.1)
只要令 y z
y dz dz dy z dz dx dy dx dy
于是方程(2.1)可降低一阶, G( y, z, z dz ) 0 dy
含参数 隐式方
程
例2 求解方程 y y 0
例3 求解方程 yy ( y)2 0
(3)恰当导数方程.
回顾：上几次课内容
➢ 几类一阶方程的解法
本节要解决的问题：
➢ 在以往知识的基础上，研究另外几类高阶 方程的解法
$1.7 几种可降阶的高阶方程
/Implicit First-Order ODE
可降阶的一些方程类型
(1)方程不显含y,或更一般地,方程不显含
y, y,L , y(k1) . 即
F ( x, y(k) , y(k1) ,L , y(n) ) 0
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0 将 P( x),Q( x)展开为 x 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an xn ,
n0
则 y nan x n1 ,
(5)
设y1是方程(5)的一个非零特解，
令 y2 u( x) y1 代入(5)式, 得
y1u (2 y1 P( x) y1 )u ( y1 P( x) y1 Q( x) y1 )u 0,
即 y1u (2 y1 P( x) y1 )u 0, 令v u, 则有 y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0,
再经k次积分便得方程(1)的通解为:
y ( x, c1, c2 ,L , cn )
例1
求方程
d5y dx5
1 x
d4y dx4
0 的解.
解：
令
z
d4y dx4
,则有
dz dx
z x
0,
其通解为
z Cx. 从而
d4y dx 4
Cx。积分四次，得到原方程的通解
y C1 x5 C2 x3 C3 x2 C4 x C5
1 y12
e
P
(
x
)dx
dx
).
(6)
例3 已知 x sin t 是方程 x 2 x x 0 的解,
t
t
试求方程的通解.
解 这里 p(t) 2 ,由公式(7)可得 t
x
sin t
t
(c1
c2
t2 sin2
t
1 t2
dt )
sin t t (c1 c2 cot t)
F( x, y, y, y,L , y(n) ) 0
(3)
如果方程 的左端恰为某一函数 ( x)( x, y, y, y,L , y(n1) )对x的导数，即（3）可化为
d（x）( x, y, y, y,L , y(n1) ) 0 dx
则（3）称为恰当导数方程。
降低一阶： ( x, y, y, y,L , y(n1) ) C
设 y1, y2 ,L , yk是方程(4)的k个线性无关解, 若令 y yku( x) 则方程可降低 1 阶,做类似的变换,可将方 程(4)降低k阶.
特别地, 对一个二阶微分方程, 只要知道其一个 特解, 就可将其化成一个一阶微分方程,
考虑二阶微分方程
y P( x) y Q( x) y 0
2、 y
C1e x
C2
m k0
xk k!
.
二、1、 y 1 1 x 1 x2 1 x3 9 x4 ； 2 4 8 16 32
2、 x a(1 1 t 2 2 t 4 9 55 t 8 . 2! 4! 6! 8!
作业 : P183 1(4),(6); 2(2); 6.
1 t (c1 sin t c2 cos t).
作业： P.49 ( 2 ) （4 ）
4.3.2、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为 x的幂级数,
那么在 R x R内原方程必有形如
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y
y2
ห้องสมุดไป่ตู้x3
,
y x0
1； 2
2、
d2 dt
x
2
x cos t
0
,
x t0
a
,
dx dt
t0
0.
练习题答案
x2
一、1、 y Ce 2 [1 x
1
x3
1 3
x 2n1
]；
1 3 5 (2n 1)
若令 y(k) z,则方程降为关于 z 的n k阶方程
F ( x, z(k) , z(k1) ,L , z(n) ) 0
(1.1)
如果能求得方程(1.1)的通解
z ( x, c1 , c2 ,L , cnk ),
即
y(k ) ( x, c1 , c2 ,L , cnk ),
(2) 不显含自变量 x 的方程
F ( y, y,L , y(n) ) 0
(2)
只要令 y z, 并把 y 看成是新的自变量,则方程
(2)可降低一阶. y z(?)
dz
d n1z
G( y, z, dy
,L
, dyn1 )
0
以二阶方程为例
F( y, y, y) 0
再设法求解该方程。
例3 求解方程 yy ( y)2 0 解： 原方程可化为 d ( yy) 0,故有
dx yy=C1 即 ydy=C1dx 积分后即得通积分
y2 =C1 x+C2
拓展
(4) 齐次线性微分方程
(4) 齐次线性微分方程
dny
d n1 y
dxn a1( x) dxn1 L an ( x) y 0 (4)
(1)
(2) 不显含自变量 x 的方程.
F ( y, y, y,L , y(n) ) 0
(2)
(3)恰当导数方程.
F ( x, y, y, y,L , y(n) ) 0
(3)
(4)知道k个线性无关特解的齐次线性微分方程.
(1) 形如F ( x, y(k) , y(k1) ,L , y(n) ) 0的方程
