2020年天津市二中高一数学期中试卷(PDF版不含答案)

天津市部分区2020－－2021学年度第一学期期中练习高一数学一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合}{1,2,3A =，}{21,B y y x x A ==-∈，则 A B =（ ） A.}{1,3 B.}{1,2C.}{2,3 D.}{1,2,3 2. 下列函数中是奇函数的为（ ） A.()21f x x =+ B.()2f x x x=+C.()2f x x x =+D.()21f x x =+ 3. 设x R ∈,则“}{20x x x ∈-≥”是“}{02x x x ∈≤≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 一元二次不等式20x px q ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则p q +=（ ）A.16-B.13-C. 0D.1 5. 命题“2,320x R x x ∃∈++≤”的否定是（ ） A. 2,320x R x x ∀∈++≥ B.2,320x R x x ∃∉++≤ C.2,320x R x x ∀∈++≤ D.2,320x R x x ∃∈++> 6. 下列函数中，在区间(),-∞+∞上是增函数的是（ ）A. ()32f x x =--B.()1f x x =-C.()1f x x x=+ D.()3f x x =7. 下列不等式中成立的是（ ）A. 220a b ac bc >>⇒>B.110a b a b<<⇒< C.220a b a ab b <<⇒<< D.220a b a b >>⇒> 8. 函数()1211y x x x =+>-的最小值是（ ）A.4B.2C.2D. 9. 已知函数(){(4),0,(4),0,x x x x x x f x +≥-≤=若()5f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,1- B.[]5,5- C.(,1][1,)-∞-+∞ D.(,5][5,)-∞-+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分10. 已知全集}{1,2,3,4,5,6U =，集合}{2,3,5A =，}{1,3,4,6B =， 则U A C B =11. 函数y =的定义域为 12. 函数22,[0,2]y x x x =-∈的值域为13. 已知函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()3f = 14. 二次函数()231f x x mx =-+在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m 的取值范围是15. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()2+1f x x x =-，则()()1f f -＝三、解答题：本大题共5小题，共60分。

2020-2021学年天津市第二南开学校高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5}，集合M ={0,3，5}，N ={1,4，5}，则集合M ∪(∁U N)=( )A. {5}B. {0,3}C. {0,2，3，5}D. {0,1，3，4，5}2. 设a ∈R ，则“a ≥2”是“a 2−3a +2≥0”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3. 设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则￢p 为( )A. ∀n ∈N ，n 2>2nB. ∃n ∈N ，n 2≤2nC. ∀n ∈N ，n 2≤2nD. ∃n ∈N ，n 2=2n4. 下列函数中，与函数y =x +1是同一个函数的是( )A. y =(√x +1)2B. y =√x 33+1C. y =x 2x+1D. y =√x 2+15. 已知函数y =f(x +1)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]6. 已知函数f(x)在[−5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(−4)<f(−2)，则下列不等式一定成立的是( )A. f(−1)<f(3)B. f(2)<f(3)C. f(−3)<f(5)D. f(0)>f(1)7. 已知函数f(x)是定义在区间[−a,a](a >0)上的奇函数，若g(x)=f(x)+2019，则g(x)的最大值与最小值之和为( )A. 0B. 1C. 2019D. 40388. 已知f(x)是定义域(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 若函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1]二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 函数y =−x 2+4x +3，x ∈[0,3]的单调递增区间是______．11. 已知a ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a 2019+b 2019=______． 12. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2+1，则f(−2)+f(0)=______． 13. 函数y =3x+1x−2的值域为______ ．14. 若对任意x >0，xx 2+3x+1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ．15. 已知f(x)={12x +1,x ≤0−(x −1)2,x >0，使f(x)≥−1成立的x 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）16. 根据定义证明函数f(x)=x +4x 在(2,+∞)上单调递增．17. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x x 2+2；(2)f(x)=√1+x +√1−x ．18. 根据所给条件，分别求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x +1)=x 2−2x ，求f(x)的解析式；(2)若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=−x 2+2x −2，求函数f(x)的解析式．19.已知函数f(x)=x2+2ax−1．(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(3)若f(x)在(−∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围．20.设函数f(x)=x+a，x∈[0,+∞)x+1(1)当a=2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U={0,1，2，3，4，5}，集合M={0,3，5}，N={l,4，5}，∴∁U N={0,2，3}，则M∪(∁U N)={0,2，3，5}．故选C由全集U以及N，求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：由a2−3a+2≥0，得a≤1或a≥2．即由a≥2可得a2−3a+2≥0，反之不一定成立．故“a≥2”是“a2−3a+2≥0”的充分非必要条件．故选：A．求解一元二次不等式，再结合充分必要条件的判定得答案．本题考查充分必要条件的判定，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结论．【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题，命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p：∀n∈N，n2≤2n，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断是同一函数．【解答】解：对于A，函数y=(√x+1)2=x+1的定义域为{x|x≥−1}，和y=x+1(∈R)的定义域不同，不是同一函数；3+1=x+1的定义域为R，和y=x+1的定义域相同，对应法则对于B，函数y=√x3也相同，是同一函数；+1=x+1的定义域为{x|x≠0}，和y=x+1的定义域不同，不对于C，函数y=x2x是同一函数；对于D，函数y=√x2+1=|x|+1的定义域为R，和y=x+1的对应法则不相同，不是同一函数．故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数y=f(x)的定义域为[a,b]，求解y=f[g(x)]的定义域，只要让g(x)∈[a,b]，求解x即可．根据题目给出的函数y=f(x+1)定义域，求出函数y=f(x)的定义域，然后由2x−1在f(x)的定义域内求解x即可得到函数y=f(2x−1)定义域．【解答】解：∵函数y=f(x+1)定义域为[−2,3]，∴x∈[−2,3]，则x+1∈[−1,4]，即函数f(x)的定义域为[−1,4]，再由−1≤2x−1≤4，得：0≤x≤5，2].∴函数y=f(2x−1)的定义域为[0,52故选：A．6.【答案】D【解析】解：由题意可得，函数f(x)在[−5,0]上也是单调函数，再根据f(−4)<f(−2)，可得函数f(x)在[−5,0]上是单调增函数，故函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，故f(0)>f(1)，故选：D．由条件判断函数在[0,5]上是单调减函数，可得f(0)>f(1)，从而得出结论．本题主要考查偶函数的单调性规律，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在区间[−a,a](a>0)上的奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，若g(x)=f(x)+2019，则g(x)的图象关于点(0,2019)对称，即f(x)+f(−x)=2019×2=4038，则g(x)的最大值与最小值之和为4038，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f(x)的图象关于原点对称，即可得g(x)的图象关于点(0,2019)对称，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题可先由函数奇偶性得到函数解析式满足的条件，再化简原不等式，利用函数单调性得到自变量的大小关系，解不等式，得到本题结论．本题考查了函数的奇偶性、单调性和定义域，本题难度不大，属于基础题．【解答】∵f(x)是定义域(−1,1)的奇函数，∴−1<x<1，f(−x)=−f(x)．∵f(x)是减函数，∴f(m−2)+f(2m−3)>0可转化为f(m−2)>−f(2m−3)，∴f(m −2)>f(−2m +3)， ∴{−1<m −2<1−1<2m −3<1m −2<−2m +3， ∴1<m <53..故选A ．9.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=2|x −a|+3={2x −2a +3,x ≥a−2x +2a +3,x <a ，∵函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调， ∴a >1．∴a 的取值范围是(1,+∞)． 故选：B ．求出函数f(x)={2x −2a +3,x ≥a−2x +2a +3,x <a ，由函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调，能求出a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查单调性等基础知识，是基础题．10.【答案】[0,2]【解析】解：根据二次函数的性质可知，y =−x 2+4x +3的开口向下，对称轴x =2， 所以x ∈[0,3]的单调递增区间[0,2]． 故答案为：[0,2]由已知结合二次函数的性质即可直接求解．本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．11.【答案】−1【解析】解：∵{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}， ∴b =0，∴{a,0，1}={a 2，a ，0}， 则1=a 2，解得，a =−1或a =1(舍去)．则a2019+b2019=−1．故答案为：−1．由题意，a≠0，则b=0，代入化简求出a，可求a2019+b2019．本题考查了集合内元素的特征，互异性与无序性，是基础题．12.【答案】−5【解析】【分析】本题考查了奇函数的定义，函数的概念，是一道典型的计算题，属于基础题．本题利用奇函数的定义，和函数解析式求解函数值．【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(0)=0，f(−2)=−f(2)，又∵当x>0时，f(x)=x2+1，∴f(−2)+f(0)=−f(2)+f(0)=−4−1+0=−5，故答案为：−5．13.【答案】{y∈R|y≠3}【解析】分离常数法：解：化简函数y=3x+1x−2=3(x−2)+7x−2=3+7x−2∵7x−2≠0∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}反函数法：解：化简函数：y=3x+1x−2⇔y(x−2)=3x+1⇔x(y−3)=1+2y⇔x=1+2yy−3分式中分母不等于0，∴y≠3所以：{y ∈R|y ≠3} 故答案为：{y ∈R|y ≠3}当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题型．此题属于基础题．14.【答案】[15,+∞)【解析】 【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，不等式恒成立问题，属于中档题． 根据x +1x ≥2，代入x x 2+3x+1中求得x x 2+3x+1的最大值为15，进而a 的范围可得． 【解答】 解：∵x >0，∴x +1x ≥2(当且仅当x =1时取等号)，∴xx 2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15，当且仅当x =1时取等号， 即xx 2+3x+1的最大值为15，因为对任意x >0，xx 2+3x+1≤a 恒成立， 所以a ≥15， 故答案为[15,+∞)．15.【答案】[−4,2]【解析】解：∵f(x)≥−1， ∴{x ≤012x +1≥−1或{x >0−(x −1)2≥−1∴−4≤x ≤0或0<x ≤2， 即−4≤x ≤2．∴使f(x)≥−1成立的x 的取值范围是[−4,2]， 故答案为：[−4,2]．此是一分段函数型不等式，解此类不等式应在不同的区间上分类求解，最后再求它们的并集．本题考点是分段函数，是考查解分段函数型的不等式，此类题的求解应根据函数的特点分段求解，最后再求各段上符合条件的集合的并集．16.【答案】证明：任取2<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2=(x 1−x 2)+4(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(1−4x 1x 2)=(x 1−x 2)x 1x 2−4x 1x 2<0，∴f(x 1)<f(x 2)，故f(x)=x +4x 在(2,+∞)上单调递增【解析】先设2<x 1<x 2，然后根据作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断． 本题主要考查了函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于基础试题．17.【答案】解：(1)f(x)=xx 2+2，其定义域为R ，有f(−x)=−xx 2+2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，(2)f(x)=√1+x +√1−x ，有{1+x ≥01−x ≥0，则有−1≤x ≤1，即函数的定义域为[−1,1]，关于原点对称，f(−x)=√1−x +√1+x =f(x)， 则f(x)是偶函数．【解析】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题． (1)分析可知函数的定义域为R ，结合f(−x)与f(x)的关系判断函数的奇偶性; (2)由函数的解析式可知x 满足{1+x ≥01−x ≥0，求解科的函数的定义域，根据f(−x)与f(x)的关系判断函数的奇偶性．18.【答案】解：(1)令x +1=t ，则x =t −1，∴f(t)=(t −1)2−2(t −1)=t 2−4t −1，∴f(x)=x 2−4x −1；(2)∵f(x)是奇函数∴f(−x)=−f(x)对任意的x 都成立，∴f(0)=0，当x <0时，f(x)=−x 2+2x −2，∴设x >0，则−x <0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)−2=−x 2−2x −2=−f(x)， ∴x >0时，f(x)=x 2+2x +2，∴f(x)={x 2+2x +2,x >00,x =0−x 2+2x −2,x <0．【解析】(1)利用换元法即可求出函数的解析式．(2)设x >0时，−x <0，利用f(x)=−f(−x)可求f(x)．本题考查了函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．19.【答案】(12分)解：(1)由题可知，f(1)=1+2a −1=2，即a =1，此时函数f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2≥−2，故当x =−1时，函数f(x)min =−2．(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x ∈R ，都有f(−x)=(−x)2+2a(−x)−1=f(x)=x 2+2ax −1，即4ax =0，故a =0．(3)函数f(x)=x 2+2ax −1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数， ∴4≤−a ，即a ≤−4，故实数a 的取值范围为(−∞,−4]．【解析】(1)由f(1)=2，解得a =1，此时函数f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2，由此可得函数f(x)的最小值．(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，由此求得实数a 的值．(3)由于函数f(x)=x 2+2ax −1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，可得4≤−a ，由此求得实数a 的取值范围本题主要考查二次函数的性质应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1，当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f(x)min=2√2−1．(2)当0<a<1时，任取0≤x1<x2，f(x1)−f(x2)=(x1−x2)[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0<a<1，(x1+1)(x2+1)>1，∴1−a(x1+1)(x2+1)>0，∵x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在[0,+∞)上为增函数，∴f(x)min=f(0)=a．【解析】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．(1)当a=2时，将函数f(x)变形，然后利用基本不等式即可求出函数f(x)的最小值；(2)先任取0≤x1<x2，然后作差f(x1)−f(x2)，判定其符号即可判定函数f(x)在[0,+∞)上的单调性，从而求出函数的最小值．。

2020-2021天津市高一数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，4．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．16．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 8．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数9．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 11．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 15．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．16．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.18．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 19．已知312ab +=a b =__________. 20．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 三、解答题21．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤>（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.22．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．23．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 24．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求AB ，()RC A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.25．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000． 26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若AB B =，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.6．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.7．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 8．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .9．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 12．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴= 10 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.15．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值 16．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3 【解析】 【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可. 【详解】 13212233333a b a b aa b a+-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4 【解析】 【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-.作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令()210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x-++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．三、解答题21．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,322{42,22a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122xax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ． 22．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}， ∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.23．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ . 【解析】 【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴, 综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心. 24．(1) {|25}A B x x =≤< (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭25．（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：128x y +=+（2）函数模型②更合适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。

高一数学期中考试试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”2．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2∶3∶5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1003．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()240m m i +->，则222m i i +=-（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-4．已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，||2a b -=，则||a b +等于（ ）A ．1BCD 5．已知复数201811i zi i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i - 6．已知z C ∈，|2|1z -=，则|25|z i ++的最大值和最小值分别是（ ）A 1+1B ．3和1C ．D 和37．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A ．15B ．25C ．825D ．9258．在ABC △中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=（ ）A ．14-B ．14C ．13-D ．13 9．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC △的面积是（ ）A B C D ．10．已知O 为ABC △的中心，3570OA OB OC ++=，则ACB ∠的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______．12．设向量(,1)a m =，(1,2)b =，且222||||||a b a b +=+，则m =________．13．已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m =_______．14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2a =，3c =，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=_________．15．平面上三个力1F ，2F ，3F 作用于一点且处于平衡状态，已知11F N =，2F =，1F 与2F 的夹角为45°，则3F 的大小为________N ．16．如图所示，ABC △中，直线PQ 与边AB ，BC 及AC 的延长线分别交于点,,P M Q ，3BM MC =，AP t AB =，AQ s AC =，则13t s+=_________．三、解答题（本大题共4小题，共46分）17．在ABC △中，7a =，8b =，1cos 7B =-． （1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．18．已知()22sin ,cos a x x =，(3cos ,2)b x =，()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50,70)的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．20．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(,sin sin )m a b A C =+-，向量(,sin sin )n c A B =-，且m n ∥．（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D ，且AD =，求2a c +的最大值．。