2.3.1-2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示导学案

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．预习教材P94－97完成下面问题：知识点1平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．4．坐标表示：a＝(x，y)．5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．【预习评价】思考根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．答案a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)知识点2平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应a－b＝(x1－x2，y1－y2)坐标的差数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa ＝(λx ，λy )重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点 的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)【预习评价】已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝________． 解析 2a －b ＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)． 答案 (5,7)题型一 平面向量的坐标表示【例1】 如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3．∴C ⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，323，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，323． (2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－323． (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，323)＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332．∴点B 的坐标为(22－32，22＋332)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．【训练1】 已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析 MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.选A ．答案 A题型二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4， －2)，则BC →＝(－7，－4)，故选A ． 答案 A(2)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．解 因为AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， 所以AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．规律方法 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【训练2】 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求下列向量的坐标： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b ．解 (1)2a ＋3b ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).方向1 由相等的向量求参数的值【例3-1】 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3． 答案 －3方向2 向量运算与平面几何的综合应用【例3-2】 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．【训练3】 已知A (2,4)，B (－4,6)，若AC →＝32AB →，BD →＝43BA →，则CD →的坐标为________．解析 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则(x 1－2，y 1－4)＝32(－6,2)＝(－9,3)，则x 1＝－7，y 1＝7，(x 2＋4，y 2－6)＝43(6，－2)＝(8，－83)，∴x 2＝4，y 2＝103，则CD →＝(11，－113)．答案 (11，－113)课堂达标1．已知点A (－2,1)，B (3，－2)，则BA →的坐标是( ) A ．(－5,3) B ．(5，－3) C ．(－5，－3)D ．(5,3)解析 BA →＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)． 答案 A2．若AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,2)，则CB →等于( )A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－4,3)D ．(4，－3)解析 CB →＝AB →－AC →＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)． 答案 A3．已知平面向量a ＝(－2,0)，b ＝(－1，－1)，则12a －2b 等于( )A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－1,2)D ．(1，－2)解析 12a －2b ＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．答案 A4．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________.解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2． 答案 (0,2)5．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，其中O 为原点，求x ，y 的值．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.课堂小结1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．基础过关1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 答案 C2．已知AB →＝(5，－3)，C (－1,3)，CD →＝2AB →，则点D 坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3)D ．(9，－3)解析 设D (x ，y )，则(x ＋1，y －3)＝(10，－6)，∴x ＝9，y ＝－3，即点D 的坐标是(9，－3)．答案 D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.答案 D4．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →＝________(用坐标表示)． 解析 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案 (－1，－1)5．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为A B →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45． 答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 6．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．解 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4．7．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|． 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为(13，0)．当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为(13，0)或(－5,8)．能力提升8．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等， 故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)． 答案 C9．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)解析 ∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B ．答案 B10．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________(用a ，b 表示)．解析 设c ＝x a ＋y b ，即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，所以c ＝12a －32b ．答案 12a －32b11．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， 又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112．答案11212．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．(选做题)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →． (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23． 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13． 若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0， ∴－23<t <－13． (2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。

2012-2013学年第二学期高一年级数学学案第7周第2. 3.1-2. 3. 2课时平面向量基本定理、正交分解及坐标表示【学习目标】1.通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示3.了解向量的夹角与垂直的概念、向量的坐标表示的理解。

【学习重点】平面向量基本定理；【学习难点】平面向量基木定理的运用，向量的坐标表示的理解。

【知识整理】一、平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果云、石是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量N有且只有一对实数九I、入2,使a珂云+入2石1、云、石必须是 ________________ 的向量，叫做_____________ 02、基底不唯一，关键是不共线；3、基底给定时，分解形式唯一.4、入）=0 时 ________ ；入9=0 时________ ；入1=0、入9=0 时 _________________ o.二、向量的夹角：1.定义：__________________________________ 。

2.______________________________ 当& =0° 时，a b ___________ 当&=90° 吋，a b记做___________________________________3.当&=180。

时，才、云 ______________4.两非零向量的夹角的范围：________________三、正交分解八正交分解：把一个向量分解为 _____________________ 的向量，叫做把 (72)向量正交分解。

.... ] 如图，在直角坐标系内，我们分别取与兀轴、y轴方向相同的两个J- i单位向量八丿•作为基底.任作一个向量Q,由平面向量基本定理知，有可一----------------- 且只有一对实数兀、y,使得a = xi + >7我们把 ________________ 叫做向量Q的坐标，记作其中兀叫做万在上的坐标，y叫做万在 _____________ 上的坐标，说明:用厅，b 表示AM, MB , MC 和MZ)探究二、如图,1. 对于Q ,有且仅有一对实数(兀,刃与之对应；2. 相等的向量的坐标 ________ ;3. z = ( , ), j — ( , ), 6 = (0,0)；4. 从原点引出的向量鬲的坐标(兀,y)就是 _________________________【问题探究】 探究一、如图平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M,【巩固练习】1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平 面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中 的向量，其中正确的说法是()A.①②B.②③C.①③D.①②③ 2.已知向量° = -2e 2 9 b =2e x +e 2，其中弓、勺不共线，则Q + b 与c =6e, -2e 2 的关系() A.不共线 〃•共线 C.相等 D.无法确定【课后作业】 己知G 为ABC 的重心，设AB = a, AC = b f 试用a 、b 表示向量AG. 用基底i, j 分别表示向量a 、b 、。

§2.3.1平面向量基本定理一．知识点梳理1. 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .2.对定理的解释：①1e ，2e 两个向量必须是不能共线的，也就说这两个向量不平行②在平面内，不管什么向量都可以表示成一个实数乘以一个向量与另一个实数 乘以另外一个向量再求和。

3.基底的概念：不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

4.向量的夹角：两个非零向量a,b,做 =a, =b,则 叫做向量a 与b 的夹角。

说明：找两个向量的夹角时，必须将两个向量的起点放在一起。

5.向量的垂直：当两个向量的夹角为直角的时候，就称这两个向量垂直。

记做：a ⊥b二.例题讲解例1.如图，OA ，OB 不共线,AP =t AB (t ∈R),试用OA ,OB 表示OP .解：∵AP =t AB ∴OP =OA +AP =OA + t AB=OA + t(OB -OA )=OA + t OB -t OA =(1-t)OA + t OB .例2.设两个不共线的向量e 1、e 2,若向量a =2e 1-3e 2,向量b =2e 1+3e 2,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d =λa +μb 与向量c 共线？分析：要使d 与c 共线,则存在实数k 使d =k c ，如果能够找到这个实数，那么就存在，找不到就不存在。

解:因为d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2,要使d 与c 共线,则存在实数k 使d =kc,即(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2=2k e 1-9k e 2. 由2λ+2μ=2k 及3μ-3λ=-9k 得λ=-2μ.故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d 与c 共线.OAOBAOB θ∠=例3. 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB ,CD =31CA +λCB ,则λ等于( ) A.32 B.31 C.-31 D.-32分析：因为CD =31CA +λCB , 形式与平面向量基本定理类 C似，所以可以考虑使用平面向量基本定理，结合向量的加法， 减法的三角形法则一同考虑。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学分析在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j。

于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。

这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。

教学目标1、知识与技能：（1）理解平面向量的正交分解的概念；（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念；（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。

2、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点: 平面向量的坐标的理解。

授课类型：新授课教具：课件教学过程：一、导入新课回忆：平面向量基本定理（利用课件动态演示平移过程，充分反应平面向量基本定理的实质，更好地为学生掌握这节课必备的知识做好准备）即:平面内的任意向量a，都可以用两个不共线向量1e，2e唯一表示。

物理问题：如图，在光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G。

现在将重力G分解成两个力，下滑力F1，它的方向如何？木块对斜面的压力F2，它的方向又如何呢？那么这三个力有什么关系呢？请问F1与F2有何位置关系？G=F1+F2F1⊥F2（用课件动态做出三个力，展示力学中力的分解，从而引入本节课的第一个知识点：平面向量的正交分解）二、新课讲解：知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.练习1：如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i 的夹角是30°，|a|=6，怎样用向量i、j表示向量a呢？（用课件将向量a进行分解，让学生更好地掌握平面向量的正交分解，为讲解向量的坐标打下基础）在平面上，如果我们选取互相垂直的两个向量作为基底，会给我们的问题带来很方便。

2.3.1 平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教材分析本节内容是数学必修4 第二章第三节的第一课，平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段. 掌握了平面向量基本定理及坐标表示，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点.另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、向量的坐标表示．教学目标1.了解平面向量的基本定理及其意义，理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示.2.经历平面向量基本定理的形成探究过程，掌握正交分解下向量的坐标表示，认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁.3.通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力.重点: 正交分解下向量的坐标表示.难点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示.知识点：平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示的理解.能力点：转化思想的理解与应用.教育点：通过介绍平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示.，给学生渗透转化思想的应用.几何问题代数化的理解与应用.自主探究点：平面向量基本定理的理解与广泛应用.考试点：向量的运算代数化，将数与形紧密地结合起来，这样几何问题就转化为学生熟知的数量运算.拓展点：转化思想的应用理解．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、复习引入1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）0λ>时λa与a方向相同；0λ<时λa 与a方向相反；0λ=时λa =02．运算定律结合律：λ(μ a)=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ (a+b)=λa+λb3. 向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.问题1：向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？4.G ，下滑力为F 1，木块 5..力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知．【设计说明】学生探究回答．二、探究新知探究一：平面向量基本定理思考1：给定平面内任意两个向量e 1，e 2，如何求作向量3e 1＋2e 2和e 1－2e 2？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．【设计说明】教师引导大家回答演示．思考2能否在OA 、OB思考3OA,OB,OC不共线，能否在直线M P COB 上分别找一点M 、N ，使 OM ON OC ？【设计意图】从两个角度让学生感知体会任意向量可以在给定的方向上分解．【设计说明】教师引导同学回答并演示．思考4：若上述向量e 1，e 2，a 都为定向量，且e 1，e 2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？思考5：若向量a 与e 1或e 2共线，a 还能用λ1e 1＋λ2e 2表示吗？【设计意图】体会感知唯一性及普遍性． 【设计说明】师生互动探究，由浅入深，逐步引出主题． 思考6：根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？若e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.【设计意图】培养学生归纳总结规律与特点，并能做到言简意赅．【设计说明】教师引导，大家各抒己见，找同学发言．思考7：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？【设计意图】进一步探究几个关键点：(1) 我们把不共线向量e 1 ,e 2叫做表示这一平面内所有向量的a=λ1e 1+0e 2 a1e 1 e 2 aa =0e 1+λ2e 2一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1,e2的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1 ,λ2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．．【设计说明】注意引导鼓励大家去发现，大家可能探究不是很全面，可以小组讨论．探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作 a， b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？应用．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，体会这样给问题研究带来的方便．【设计说明】引导大家自主探究．思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x 叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？OA=a，则OA= (x，y)【“有效能算”的思想．【设计说明】充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.．三、理解新知平面向量基本定理几个关键点：(1) 我们把不共线向量e1 ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1,e2的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1 ,λ2是被a ,e1 ,e2唯一确定的数量．平面向量坐标表示给解决问题带来的一些方便，几何问题代数化，注意体会其中的思想与方法．【设计意图】进一步理解平面向量基本定理及其坐标表示．【设计说明】组织学生进行思考、交流，得到结论．四、运用新知例1 ：如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.a，b，c，d 并求解：由图可知a=AA AA2i+3j12所以a=（2，3）.同理，b=-2i+3j=（-2，3）;c=-2i-3j=（-2，-3）;d=2i-3j=（2，-3）.【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．五、课堂小结1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°.3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.教师总结:平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点，告诉我们同一平面内任意向量都可以表示成两个不共线的向量的线性组合，注意理解体会．体会平面向量坐标表示给问题解决带来的方便，体会其中转化的思想。

18版高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算导学案D梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.知识点二平面向量的坐标表示思考1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?答案a＝23i＋2j.思考2 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？答案对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A 点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关.思考3 设向量BC→＝(1，1)，O为坐标原点，若将向量BC→平移到OA→，则OA→的坐标是多少？A点坐标是多少？答案向量OA→的坐标为OA→＝(1，1)，A点坐标为A(1，1).梳理(1)平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三平面向量的坐标运算思考设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？答案a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.梳理设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB→＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.类型一平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→＝b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量BA→的坐标；(3)求点B的坐标.解(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×22＝22，AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝2 2.∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， 即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332. (2)BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332. (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，332)＝⎝⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量AB→，AC→，BC→，BD→的坐标.解如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，∴C(1，3)，D(12，32)，∴AB→＝(2，0)，AC→＝(1，3)，BC→＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD→＝(12－2，32－0)＝(－32，32).类型二平面向量的坐标运算例2 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标.解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c ＝(1，8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M (0，20).又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N (9，2)，∴MN →＝(9，－18).反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练2 已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b . 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).(2)a －3b ＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).(3)12a －13b ＝12(－1，2)－13(2，1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. 类型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10).若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R)，试求λ为何值时：(1)点P 在第一、三象限的角平分线上；(2)点P 在第三象限内.解 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB →＋λAC →＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ).∵AP →＝AB →＋λAC →，∴⎩⎨⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎨⎧ x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若点P 在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12. (2)若点P 在第三象限内，则⎩⎨⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.∴当λ＝12时，点P 在第一、三象限角平分线上； 当λ<－1时，点P 在第三象限内.反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.跟踪训练3 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________.答案 －3解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎨⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧ m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.1.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b 等于( )A.(7，3)B.(7，7)C.(1，7)D.(1，3)答案 A2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫4，－12 C.(－8，1)D.(8，1)答案 A 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8，1)，∴12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12. 3.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－12 C.(3，2)D.(1，3)答案 A解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4，3)， AD →＝(x ，y －2)，由BC →＝2AD →，得⎩⎨⎧ 4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝72，∴D (2，72). 4.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC →等于( )A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)答案 A解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝xa ＋yb (x ，y ∈R)，则x ＋y ＝________.答案19 7解析建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a＝(1，2)，b＝(2，－3)，c＝(3，4).∵c＝xa＋yb，∴⎩⎨⎧3＝x＋2y，4＝2x－3y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝177，y＝27.因此x＋y＝197.1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时AB→＝(x B－x A，y B－y A).3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.课时作业一、选择题1.已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是( )A.(－4，2)B.(－4，－2)C.(4，2)D.(4，－2)答案 D解析 3b －a ＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2)，故选D.2.已知a －12b ＝(1，2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A.(－2，－2)B.(2，2)C.(－2，2)D.(2，－2) 答案 D3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，c ＝(3，4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A.－2，1B.1，－2C.2，－1D.－1，2 答案 D解析 由⎩⎨⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4， 解得⎩⎨⎧ λ1＝－1，λ2＝2.4.在▱ABCD 中，已知AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC ，BD 相交于点O ，则CO →的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12×(－2，3)－12×(3，7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5，故选B.5.如果将OA →＝(32，12)绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →的坐标是( ) A.(－12，32)B.(32，－12)C.(－1，3)D.(－32，12)答案 D解析因为OA→＝(32，12)所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB→所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为(－32，12)，故OB→的坐标是(－32，12)，故选D.6.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c等于( )A.(－23，－12)B.(23，12)C.(7，0)D.(－7，0)答案 A解析∵a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，且3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12).7.已知M (－2，7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM →，则P 点的坐标为( ) A.(－14，16) B.(22，－11) C.(6，1) D.(2，4)答案 D 二、填空题8.已知e 1＝(1，2)，e 2＝(－2，3)，a ＝(－1，2)，则以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R)的形式为____________.答案 a ＝17e 1＋47e 2解析 设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R)， 则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，由⎩⎨⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝17，λ2＝47.所以a ＝17e 1＋47e 2.9.已知平面上三点A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)，则12AC →－14BC →的坐标是________.答案 (－3，6)10.已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.答案 112解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)， BD →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)， 又∵2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴由⎩⎨⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.11.已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，则MN→的坐标为________.答案(9，－18)解析CM→＝3(1，8)＝(3，24)，CN→＝2(6，3)＝(12，6)，MN→＝CN→－CM→＝(12，6)－(3，24)＝(9，－18).12.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA→|＝6，∠xOA＝150°，向量OA→的坐标为________. 答案(－33，3)13.已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.设OC→＝λOA→＋OB→(λ∈R)，则λ＝________.答案2 3解析过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.三、解答题14.已知a ＝(2，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(1，2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p . 解 p ＝2a ＋3b ＋c＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2)＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13). 设p ＝xa ＋yb ，则有⎩⎨⎧2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝197，y ＝247.∴p ＝197a ＋247b .四、探究与拓展15.已知点A (－1，2)，B (2，8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标. 解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3，6)＝(1，2)，(－1－x 2，2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1，2)，则有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2，0)， ∴CD →＝(－2，－4).。

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计武山一中【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容 1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。

本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】知识与技能：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)=，j(0,1)=，0(0,0)=3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

重点：平面向量坐标表示的定义突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想. 难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】 一、知识再现、学习准备平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 λ11e +λ22e 。

(1)我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是由 a , 唯一确定的数量。

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算1.知识与技能(1)理解平面向量的坐标概念.(2)掌握平面向量的坐标运算.2.过程与方法通过对平面向量的正交分解方法的探究过程,培养学生的发现问题、解决问题的能力,通过对平面向量的坐标表示,培养学生数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对本节的学习和运用实践,培养学生的探索精神和应用意识,学会用数学的方式解决问题、认识世界.重点:平面向量的坐标运算.难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.【例】已知向量u=(x,y)和v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标;(3)对于任意向量a,b及常数λ,μ,证明:f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.分析:按照v=f(u)进行向量的运算和证明.(1)解:由题意知,当a=(1,1)时,f(a)=(1,2×1-1)=(1,1).当b=(1,0)时,f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(2)解:设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),푦=4, 푥=3,则{2푦-푥=5,解得{푦=4,即c=(3,4).(3)证明:设任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则λa+μb=(λx1+μx2,λy1+μy2),所以f(λa+μb)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2)).又f(a)=(y1,2y1-x1),f(b)=(y2,2y2-x2),所以λf(a)+μf(b)=λ(y1,2y1-x1)+μ(y2,2y2-x2)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2))=f(λa+μb).所以f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.1变式训练已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设퐴퐵=a,퐵퐶=b,퐶퐴=c,且퐶푀=3c,퐶푁=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=m b+n c的实数m,n;(3)求M,N的坐标及푀푁的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵m b+n c=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),∴{-6푚+푛=5,-3푚+8푛=-5, 푚=-1,解得{푛=-1.(3)∵퐶푀=푂푀―푂퐶=3c,∴푂푀=3c+푂퐶=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又퐶푁=푂푁―푂퐶=-2b,∴푂푁=-2b+푂퐶=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).∴N(9,2).∴푀푁=(9,-18).2。

第二章 平面向量2.3.2平面向量正交分解及坐标表示一、学习目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2.了解向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系【重点、难点】正确理解平面向量坐标的概念、平面向量坐标运算及其应用。

二、学习过程1．平面向量的坐标表示(1)正交分解：把一个向量分解为两个_________的向量.（2）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得x y =+a i j …………○1 我们把),(y x 叫做 ，记作(,)x y =a …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做 与．a 相等的向量的坐标也．．．．．．．．．为．),(y x .特别地，i = , j = , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA =a ，则点A 的位置由a 唯一确定.设OA x y =+i j ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 平面向量的正交分解及坐标表示【典型例题】已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，43OA =∠xOA=60°，求向量OA 的坐标.【变式拓展】（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P 的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2，1）时,求 OP 的坐标三、学习总结点A(x ，y)的坐标(x ，y)表示点A 在平面直角坐标系中的位置，而向量a =(x ，y)的坐标(x ，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x ，y)既可以表示点，也可以表示向量，因此在叙述时应指明点(x ，y)或向量(x ，y).四、随堂检测1.已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角.求点B 和点D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标.2.设Ox 、Oy 是平面内相交成060角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 下的坐标。

平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例一.案例要解决的教学困惑：在高中数学教材中，很多知识，若是学生记住结论，学生就能够解决一系列的数学题目。

关于这种知识的教学一直困扰我好久。

究竟是简单地让学生记住一个公式，一个结论，或是纯粹地仿照技术，仍是要让学生通过不断的试探、探讨、实践，试探总结出公式和结论呢？新的《一般数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不该只限于对概念、结论和技术的经历、仿照和同意，独立试探、自主探讨、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。

”“教师不仅是知识的教授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者。

”本案例确实是为了针对解决如此的困惑而展开的教学试探。

二.教材分析：【教材中所处位置】：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。

中学数学教材新增向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。

而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。

（强调向量应用意识）【课时安排】：节平面向量的大体定理及坐标表示要紧四部份内容1.平面向量的坐标表示，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。

考虑到学生的同意能力，本教学设计将内容2，3安排为一个课时。

【教学目标】1.知识目标：①使学生明白得平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的进程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；②把握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法那么，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

2.能力目标：①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现进程，激发学生的探讨精神，增强学生知识的应用意识；②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一样到特殊的归纳能力。

平面向量的基本定理及其坐标表示考纲要求1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定 理解决简单问题．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情分析1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档. 教学过程基础梳理一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理：如果e 21与e 是同一平面内的两个（ ）向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e21与e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝xi ＋yj ，把有序数对 （ ） 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ （ ） ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设向量OA ＝xi ＋yj ，则向量OA 的坐标(x ，y)就是 的坐标，即向量OA ＝(x ，y)，则A 点坐标为 ( ) ，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝ ( ， ) a －b ＝( ， ) λa ＝ ( ， )．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB ＝( ， )， | AB |＝ .三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔双基自测1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③2．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－23．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35 D.⎝⎛⎭⎫45，－35 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝ma ＋nb ，则nm＝________.1．平面向量基本定理的理解(1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底．(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的．(3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算． 2．共线向量充要条件的应用技巧两个向量共线的充要条件在解题中应用非常广泛：已知坐标，判定平行；已知平行，可求参数．但要注意与共线向量定理结合应用，如果求与一个已知向量共线的向量时，用后者更简单．典例分析考点一 平面向量基本定理[例1] (2012·南京模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012·舟山模拟)如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设OP ＝m OP1＋n op2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0[冲关锦囊]用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二、平面向量的坐标运算 [例2] (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( ) A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(－3，－5)D ．(－2，－4)[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．[冲关锦囊]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算． 2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.考点三、平面向量共线的坐标表示 [例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )A.14B.12 C ．1D ．2[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 4．(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量 a ＝(1,2)，若AB ∥a ，则实数y 的值为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8[冲关锦囊]向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是：a ∥b(b ≠0)⇔a ＝λb ，或x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未知数的值．一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．23．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．(2012·东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)， 则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD＝k BC (k ∈R)， 由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。

《平面向量的正交分解与坐标表示》导学案一、学习目标1、理解平面向量的正交分解的概念。

2、掌握平面向量的坐标表示。

3、能通过平面向量的坐标进行向量的加、减、数乘运算。

二、学习重难点1、重点（1）平面向量的正交分解。

（2）平面向量的坐标表示。

（3）平面向量的坐标运算。

2、难点（1）对平面向量正交分解的理解。

（2）向量坐标与点坐标的关系。

三、知识回顾1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的表示方法：（1）几何表示：用有向线段表示。

（2）字母表示：用小写字母 a，b，c 等表示，或用有向线段的起点和终点字母表示，如\（＼overrightarrow{AB}＼）。

四、新课导入在物理学中，我们经常会遇到力的分解问题。

比如，一个斜面上的物体受到的重力可以分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的两个分力。

类似地，在数学中，平面向量也可以进行分解。

那么，如何对平面向量进行分解呢？这就引出了我们今天要学习的内容——平面向量的正交分解与坐标表示。

五、知识讲解1、平面向量的正交分解（1）定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。

（2）正交分解的意义：正交分解是向量分解中一种特殊且重要的分解方式，它使得向量的表示和运算更加简洁和方便。

例如，对于向量\（＼overrightarrow{a}＼），我们可以将其正交分解为\（＼overrightarrow{a} ＝ x\overrightarrow{i} ＋ y\overrightarrow{j}＼），其中\（＼overrightarrow{i}＼），＼（＼overrightarrow{j}＼）分别是 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，x，y 分别是向量\（＼overrightarrow{a}＼）在 x 轴和 y 轴上的投影。

2、平面向量的坐标表示（1）在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量\（＼overrightarrow{i}＼），＼（＼overrightarrow{j}＼）作为基底。