第十二章全等三角形知识点及单元测试题解析

第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30,DE=4,BC=10，则AC的长是()A.5B.6C.7D.89.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①DE=DF；②BC=2DB；③AD⊥BC；④AB=3BF；⑤S△ADB=2S△BDF；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.5m2 B.2m2 C.5m2 D.4m22二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，∠B与∠D互补，AB=AD，∠BAD=x°0<x<180，∠ACB=y°，数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y与x之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x+y=135，AC=10，求四边形ABCD的面积．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠DFE=90°，OC平分∠AOB，点F在OC上，∠DFE的两边分别与OA，OB交于点D，E．当FE⊥OB，FD⊥OA时，则FD与FE的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F作两条相互垂直的射线FM，FN，分别交OA，OB于点M，N，判断FM与FN的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD，如图③所示，∠DAB=∠DCB=90°，AC是∠DAB的平分线，AB= 50m，AD=30m，直接写出该空地的面积．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；若△ABC≌△DEF，∠A的对应角为∠D，所以∠A=∠D，故④说法正确；说法正确的有③④，共2个．故选：B．【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；B选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选B．3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．【详解】∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB=2cm，BC=BD=5cm，∴CE=BC-BE=3cm，故选：C．4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°，在△ABO和△DCO中，∠ABO=∠DCOBO=OC=CO∠BOA=∠COD，∴△ABO≌△DCO ASA∴证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，故选：B．5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D【答案】B【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL是解题的关键．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠A=∠D，∵AC=DF，A、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF；B、添加AE=DB，能判定△ABC≌△DEF；C、添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF；D、添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF；故选：B．6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键．根据全等三角形的判定分别证明△AOP≌△BOP(SAS)，Rt△P AE≌Rt△PBF HL，△OEP≌△OFP (AAS)，即可得到答案．【详解】解：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP(SAS)；∴AP=BP，∵OP平分∠MON，PE⊥OM,PF⊥ON∴PE=PF，∵PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，∴Rt△P AE≌Rt△PBF HL；∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，又∵∠OEP=∠OFP=90°,OP=OP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴图中全等三角形有3对故选C．7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点【答案】B【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，故选：B8.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于点E ，S △ABC =30,DE =4,BC =10，则AC 的长是()A.5B.6C.7D.8【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D 作DF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质可得DE =DF =4，再由S △ABC =S △DBC +S △DAC ，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DE =4，∴DE =DF =4，∵S △ABC =S △DBC +S △DAC ，S △ABC =30，BC =10，∴30=12DE ×BC +12DF ×AC ，∴30=12×4×10+12×4×AC ，∴AC =5，故选：A ．9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列五个结论：①DE =DF ；②BC =2DB ；③AD ⊥BC ；④AB =3BF ；⑤S △ADB =2S △BDF ；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD= BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BC=2DB，故②，③正确，符合题意；在△CDE和△BDF中，∠ACB=∠CBF CD=BD∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF ASA，∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确，符合题意；∵AE=2BF，∴AC=3BF=AB，故④正确，符合题意；∵BD=CD，∴S△ADB=S△ACD，∵AE=2BF，∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误，不符合题意；故选：A．10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.52m2 B.2m2 C.5m2 D.4m2【答案】A【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，证明△CDA≌△AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m，CF=DE=AD+AE=m+2m=3m，再根据=S四边形DEFE-S△ACD×2-S△BCF求解即可【详解】解：过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠CDA=∠AEB=90°，如图，∵a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，∴BF⊥直线c，CD=2m,BE=BF=m,∵∠CAB=90°,∠CDA=90°∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEBAC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2m,AD=BE=m，∴CF=DE=AD+AE=m+2m=3m∴△ABC的面积=S四边形DEFE -S△ACD×2-S△BCF=3m×2m-12×2m×m×2-12×3m×m=52m2故选：A二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．【答案】130°/130度【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明△ADC≌△ABE AAS得出∠ADC=∠ABE，根据邻补角即可求解．【详解】解：∵在△ADC和△ABE中，∠C=∠E∠A=∠AAD=AB，∴△ADC≌△ABE AAS，∴∠ADC=∠ABE，∵∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-50°=130°，∴∠ABE=130°．故答案为：130°．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．【答案】105【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．根据全等的性质求出∠D=∠D ，利用四边形的内角和公式求出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD≌四边形A B C D ．∴∠D=∠D ，∵∠D =105°，∴∠D=105°，∵∠B=90°,∠C=60°，∴∠A=360°-90°-60°-105°=105°，故答案为：105．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．【答案】∠BAD=∠CAE【分析】在△ABE与△ACD中，已知AE=AD，∠AED=∠ADE，即已知一角及角的一边对应相等，根据“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【详解】解：可添加一个条件：∠BAD=∠CAE，使△ABD≌△ACE．理由：在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE∠AED=∠ADEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(AAS)．故答案为∠BAD=∠CAE14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．【答案】12【分析】根据平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，证明△ADC≌△C DA ，得到AD=C D，则S△C DC =12S△ACC，再推出S△ABC=S△ACC=24，则S△C DC=12S△ACC=12．【详解】解：由平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，∴∠DCA=∠DA C ，∠DAC=∠DC A ，∴△ADC≌△C DA ASA，∴AD=C D，∴S△C DC =12S△ACC，∵BC=CC ，△ABC的面积为24，∴S△ABC=S△ACC=24，∴S△C DC =12S△ACC=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．【答案】52°/52度【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．【详解】解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG,NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-66°=114°，∴∠MBC+∠MCB=23∠ABC+∠ACB=76°，在△BMC中，∠BMC=180°-∠MBC+∠MCB=180°-76°=104°∴∠BMN=12∠BMC=52°．故答案为：52°．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】3或7或10【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．【详解】解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∠CAB=∠DBE=90°，∵ED=CB，当E在线段AB上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3tcm，∴BE=AB-AE=15-3tcm，∴15-3t=6，∴t=3；若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∴AE=0，∴t=0(舍去)，当E在线段AB延长线上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+6=21(cm)，∴t=7，若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm)，∴t=10，∴当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：3或7或10．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由∠1=∠2可得∠EAD=∠BAC，再根据条件AB=AE，∠C=∠D，可利用AAS证明△ABC≌△AED AAS，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∠C=∠D∠BAC=∠EADAB=AE，∴△ABC≌△AED AAS，∴BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BC∥AD，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△CDA．(1)利用SAS证明△ABC≌△CDA即可；(2)由△ABC≌△CDA，得∠BCA=∠CAD，进而可以判断BC与AD的位置关系．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，在△ABC与△CDA中，AB=CD∠BAC=∠ACDAC=CA，∴△ABC≌△CDA SAS；(2)解：BC∥AD，理由如下：∵△ABC≌△CDA，∴∠BCA=∠CAD，∴BC∥AD．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．【答案】(1)4；△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF(2)证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．(1)结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；(2)先证明△AME≌△CNF SSS，即可证明∠MAE=∠NCF．【详解】(1)解：有4对全等三角形，分别为：△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF，理由如下：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS；(2)证明：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS，∴∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．【答案】(1)详见解析(2)125°【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．(1)根据平行线求出∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再说明∠B=∠CDE，最后结合AC=CE运用AAS即可证明结论；(2)根据全等三角形性质得出∠A=∠E=55°，进而根据平角定义即可解答．【详解】(1)证明∶∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠CDE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE AAS．(2)解：∵∠A=55°，∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠ECD=55°，∴∠BCD=180°-∠ECD=180°-55°=125°．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．【答案】(1)∠ACE=37°(2)证明见解析(3)15【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．(1)根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=37°，然后根据∠ACE=∠ACD-∠ECH即可解答；(2)如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；(3)根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．【详解】(1)解：∵∠ACB=106°，∴∠ACD=180°-106°=74°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=53°，∴∠ECH=90°-53°=37°，∴∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37°．(2)证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE =∠ECH =37°，∴CE 平分∠ACD ，∴EN =EH ，∴EM =EN ，∴AE 平分∠CAF ．(3)解：∵AC +CD =16，S △ACD =24，EM =EN =EH ，∴S △ACD =S △ACE +S △CED =12AC ⋅EN +12CD ⋅EH =12(AC +CD )⋅EM =24，即12×16⋅EM =24，解得EM =3，∵AB =10，∴S △ABE =12AB ⋅EM =15．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD 与∠BCD 互补，∠B 与∠D 互补，AB =AD ，∠BAD =x °0<x <180 ，∠ACB =y °，数学兴趣小组在探究y 与x 的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y 757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y 与x 之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x +y =135，AC =10，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)60，100，15；(2)y =90-12x ，理由见详解；(3)S 四边形ABCD =50【分析】(1)观察表格发现：x 每增加10，y 减小5，由此即可得出α、β、θ的值．(2)根据表格猜想：y =90-12x ．延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，则可得△ABE ≌△ADE ，进而可得AE =AC ，∠EAB =∠CAD ，则可得∠EAC =x °．在△AEC 中，根据三角形内角和定理即可得出y 于x 之间的关系式．(3)延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ．由(2)得△ABE ≌△ADE ，则S △ABE =S △ADE ，进而可得S 四边形ABCD =S △AEC ．由x +y =135，y =90-12x 可得x =90，y =45．则可得∠EAC =90°，∠AEC =∠ACE =45°，进而可得AE =AC =10，可得S △AEC 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)观察表格发现：x每增加10，y减小5，∴α=65-5=60，β=80+2×10=100，θ=40-3×5=15．故答案为：60，100，15，x．(2)根据表格猜想：y=90-12证明：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，则∠ABC+∠ABE=180°，又∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABE=∠D，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴AE=AC，∠EAB=∠CAD，∴∠E=∠ACB=y°，∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=x°．在△AEC中，∠EAC+∠E+∠ACE=180°，∴x°+2y°=180°，y=90-1x．2(3)如图，延长CB到E，使BE=DC，连接AE．由(2)得△ABE≌△ADE，∴S△ABE=S△ADE，=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△AEC，∴S四边形ABCD∵x+y=135，y=90-1x，2x=135，∴x+90-12解得x=90，y=45，∴∠EAC=90°，∠AEC=∠ACE=45°，∴AE=AC=10，×10×10=50，∴S△AEC=12∴S=50．四边形ABCD【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB =∠DFE =90°，OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，∠DFE 的两边分别与OA ，OB 交于点D ，E ．当FE ⊥OB ，FD ⊥OA 时，则FD 与FE 的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F 作两条相互垂直的射线FM ，FN ，分别交OA ，OB 于点M ，N ，判断FM 与FN 的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD ，如图③所示，∠DAB =∠DCB =90°，AC 是∠DAB 的平分线，AB =50m ，AD =30m ，直接写出该空地的面积．【答案】(1)FD =FE ；(2)FM =FN ，理由见详解；(3)1600m 2【分析】(1)根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得FD =FE ；(2)先根据四边形内角和等于360°可得∠DFE =90°，由∠DFE =∠FMN =90°可得∠DFM =∠EFN ，再根据ASA 证明△DFM ≌△EFN ，则可得FM =FN ；(3)过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点．由(2)得△CFD ≌△CEB ，则可得FD =EB ，S △CFD =S △CEB ，进而可得S 四边形ABCD =S 四边形AECF ．证明△ACF ≌△ACE (，则可得AF =AE ，由AE =AB -BE 、AF =AD +DF 可求得BE 的长，进而可得AF 、AE 的长，由此可得S 四边形AECF 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)解：∵OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，且FE ⊥OB ，FD ⊥OA ，∴FD =FE ．(2)解：FD =FE ，理由如下：∵FD ⊥OA ，FE ⊥OB ，∴∠FDO =∠FEO =∠FEN =90°，∵四边形DOEF 中，∠FDO =∠FEO =∠AOB =90°，∴∠DFE =360°-∠FDO -∠FEO -∠AOB =90°，∴∠DMF +∠MFE =90°，又∵FM ⊥FN ，∴∠FMN =90°，∴∠DFM =∠EFN ，在△DFM 和△EFN 中，∠FDM =∠FENFD =FE ∠DFM =∠EFN，∴△DFM ≌△EFN (ASA )，∴FM =FN ．(3)解：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点，由(2)得△CFD≌△CEB，∴FD=EB，S△CFD=S△CEB，∴S四边形ABCD =S四边形AECF，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠CAB，又∵∠CFB=∠CEA=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE(AAS)，∴AF=AE，又∵AE=AB-BE,AF=AD+DF，∴AB-BE=AD+DF，∴50-BE=30+BE，解得BE=10，∴AF=AE=40，∴S四边形AECF=40×40=1600m2，∴S四边形ABCD=1600m2，答：该空地的面积为1600m2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)补全图形见解析，∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．(1)先证明△DOE≌△COF(SAS)，得∠PEC=∠PFD，再证△CPE≌△DPF(AAS)，得PE=PF，然后证△OPE≌△OPF(SSS)，得∠POE=∠POF，即可得出结论；(2)先证明△OCF≌△ODE(ASA)，可得OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，分两种情况进行求解即可．【详解】解：(1)∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，∴△OPE≌△OPF(SSS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴射线OP平分∠AOB；(2)∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=∠ODE=90°，∴∠COF=∠DOE，OC=OD，∴△OCF≌△ODE(ASA)，∴OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)补全图形如下，过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∵OP是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∠PMC=∠PND=90°，当PC=PD1时，在Rt△PMC和Rt△PND1中，PC=PD1，PM=PN∴Rt△PMC≌Rt△PND1(HL)，∴∠PCO=∠PD1O；当PC=PD2时，同理得Rt△PMC≌Rt△PND2HL，∴∠PCM=∠PD2N；∵∠PD2N+∠PD2O=180°，∴∠PCO+∠PD2O=180°，综上所述，∠PCO与∠PDO的数量关系为∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°；25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．【答案】(1)见解析；(2)50；(3)①见解析；63【分析】(1)证明△ABC≌△DAE AAS，即可得证；(2)同(1)法得到△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，分割法求出图形面积即可；(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，易证△AFB≌△DP A，△AFC ≌△EQA，得到DP=AF，EQ=AF，再证明△DPG≌△EQG AAS，即可得出结论；②根据全等三角形的性质，求出AG的长，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥CA，DE⊥AE，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ACB=∠DEA∠ABC=∠DAEBA=AD∴△ABC≌△DAE AAS，∴BC=AE．(2)由模型呈现可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，则S实线围成的图形=12×4+6×3+6+4+3-12×3×6-12×3×6-12×3×4-12×3×4=50．(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q．图3由【模型呈现】可知，△AFB≌△DP A，△AFC≌△EQA，∴DP=AF，EQ=AF∴DP=EQ，∵DP⊥AG，EQ⊥AG∴∠DPG=∠EQG=90°，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ∴△DPG≌△EQG AAS，∴DG=GE．②由①可知，BF=AP，FC=AQ，∴BC=BF+FC=AP+AQ，∵BC=21，∴AP+AQ=21，∴AP+AP+PG+GQ=21，由①△DPG≌△EQG得∴PG=GQ，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AP+PG=10.5，∴AG=10.5，∴S△ADG=1×10.5×12=63．2。

八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结归纳单选题1、如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4B．5C．6D．7答案：A分析：根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．∵OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，∴D到OB的距离等于5，∴DF≥5故DF的长度不可能为4，故选A．小提示：本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键．2、下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形答案：B分析：根据全等图形的定义进行判断即可．解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．3、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D分析：证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF=AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正确；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BC与AG所交的对顶角相等，∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正确；过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，故③正确，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正确．故选：D．小提示：本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4、如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°答案：C分析：根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD =∠EBD =12∠ABC =35°2，∠AFB =∠EFB =90°，推出AB =BE ，根据等腰三角形的性质得到AF =EF ，求得AD =ED ，得到∠DAF =∠DEF ，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 解：∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =35°2，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF ，∴AB =BE ，AE ⊥BD ，∴BD 是AE 的垂直平分线，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ，∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ．小提示：本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5、如图，△ABC ≌△DEF ，若∠A =80°,∠F =30°，则∠B 的度数是（ ）A．80°B．70°C．65°D．60°答案：B分析：由△ABC≌△DEF根据全等三角形的性质可得∠C=∠F=30°，再利用三角形内角和进行求解即可．∵△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F，∵∠F=30°，∴∠C=30°，∵∠A=80°,∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°−∠A−∠C=70°，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．6、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．8、已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72∘B．60∘C．58∘D．50∘答案：D分析：根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．∵图中的两个三角形全等，∠α为a和c的夹角又∵第一个三角形中a和c的夹角为50°∴∠α=50°故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键．9、下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④答案：B分析：根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B．小提示：此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( ) 10、如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13A．4B．3C．2D．1答案：C分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=8，DC=1AD，3∴CD=8×1=2，1+3∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，即点D到AB的距离为2，故选C．小提示：本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.填空题11、如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．答案：13分析：过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠MAC，∵CE⊥AD，CM⊥AB，∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，在Rt△AEC和Rt△AMC中，AC=AC，CE=CM，∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），∴AE＝AM＝4cm，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠MBC，在△EDC和△MBC中，{∠DEC=∠CMB∠EDC=∠MBCCE=CM，∴△EDC≌△MBC（AAS），∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），所以答案是：13．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键．12、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上．答案：对应顶点对应边对应角对应顶点分析：根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空．解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．所以答案是：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点．小提示：此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容．13、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP=_____．答案：12cm或6cm##6cm或12cm分析：当AP＝12cm或6cm时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①当AP＝6cm＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中∵{AB=PQ，BC=AP∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP＝12cm＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中{AB=PQ，AC=AP∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），所以答案是：12cm或6cm．小提示：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．14、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．答案：（-7，3）分析：先作辅助线AD ⊥OC 、BE ⊥OC ，通过导角证明∠CAD =∠BCE ，再证明△ADC ≌△CEB ， 得到AD 的长度(A 的纵坐标长度)、DC 长度(加上OC 得到A 横坐标长度)，根据A 点所在象限的符号，确定A 点坐标． 如图，过点A 作AD ⊥OC 于点D ，过点B 作BE ⊥OC 于点E∵ 点C 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(1，5)∴ OC =2，OE =1，BE =5∵∠ACB =90°∴∠ACD +∠CAD =90°，∠ACD +∠BCE =90°∴∠CAD =∠BCE在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠BEC =90°∠CAD =∠BCE AC =BC∴△ADC ≌△CEB(AAS)∴DC =BE =5,AD =CE =1+2=3∴OD =2+5=7∴ A 点的坐标是(-7，3) ．小提示：本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．15、如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．答案：225°分析：首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．解：如图所示：在△ABC和△AEF中，{AB=AE∠B=∠E=90°BC=EF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠5=∠BCA，∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，在Rt△ABD和Rt△AEH中，{AB=AEAD=AH∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），∴∠4=∠BDA，∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，∵∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．所以答案是：225°．小提示：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．解答题16、（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并∠EAF=12证明．答案：（1）EF=BE+DF，理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．分析：（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．（1）解：EF=BE+DF，理由如下：延长CD，使DM=BE，连接AM，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴△ABE≌△ADM，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴△AEF≌△AMF，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵∠EAF=1∠BAD，2∴∠EAF=1∠EAG,2∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADF ＋∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵在△ABG 与△ADF 中，{AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ．∴∠BAG ＋∠EAD ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠EAF ＝12∠BAD =12∠GAF ． ∴∠GAE ＝12∠BAD =∠EAF ．∵AE ＝AE ，AG ＝AF ．∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ，∵EG ＝BE −BG∴EF ＝BE −FD ．小提示：本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．17、（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A,BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D,E ．求证：DE =BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC,D,A,E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析分析：（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，{∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，{∠ABD ＝∠CAE∠ADB ＝∠CEA AB ＝AC，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ；小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．18、如图，在五边形ABCDE 中，AB =CD ，∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线．(1)求证：△ABE ≌△DCE ；(2)当∠A =80°，∠ABC =140°，时，∠AED =_________度(直接填空)．答案：(1)见解析；(2)100分析：（1）根据∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，可得∠ABE =∠DCE ，∠CBE =∠BCE ，推出BE =CE ，由此利用SAS 证明△ABE ≌△DCE ；（2）根据三角形全等的性质求出∠D 的度数，利用公式求出五边形的内角和，即可得到答案．（1）证明：∵∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，∴∠ABE =∠CBE =12∠ABC ，∠BCE =∠DCE =12∠BCD ，∴∠ABE =∠DCE ，∠CBE =∠BCE ，∴BE=CE，又∵AB=CD，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABE≌△DCE，∴∠D=∠A=80°，∵五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180°=540°，∴∠AED=540°−80°×2−140°×2=100°，所以答案是：100．小提示：此题考查了全等三角形的判定及性质，多边形内角和计算，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．。

第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

(3)全等三角形的周长相等、面积相等。

(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.证明两个三角形全等的基本思路：5.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题：(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。

《第12章全等三角形》单元测试含答案解析一、选择题如图，5个全等的正六边形，A、B、C、D、E，请认真观看A、B、C、D四个答案，其中与右方图案完全相同的是（）A．B．C．D．2．下列说法不正确的是（）A．两个三角形全等，形状一定相同B．两个三角形全等，面积一定相等C．一个图形通过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等D．所有的正方形都全等3．若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为15，且AB=6，BC=4，则DF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（）A．60° B．90° C．120°D．150°5．如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=60°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）A．120°B．70° C．60° D．50°6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，则∠ACA′的度数（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°7．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A ．AD=AEB ．∠AEB=∠ADC C ．BE=CD D ．AB=AC8．长为3cm ，4cm ，6cm ，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（ ）A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B ．两人都取6cm 的木条C ．两人都取8cm 的木条D ．C 两种取法都能够9．下列条件中，不能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1的是（ ）A ．AB=A 1B 1，∠A=∠A 1，AC=A 1C 1 B ．AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AC=A 1C 1C ．AB=A 1B 1，∠B=∠B 1，∠C=∠C 1D ．AC=A 1C 1，AB=A 1B 1，∠B=∠B 110．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使△ABC ≌△AED 的条件有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．依照下列已知条件，能画出唯独△ABC 的是（ ）A ．AB=3，BC=4，AC=7B ．AB=4，BC=3，∠C=30°C．∠A=30°，AB=3，∠B=45° D．∠C=90°，AB=412．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=60°，∠C=25°，则∠BMD的度数为（）A．50° B．65° C．70° D．85°13．在△ABC中，O为∠CAB和∠CBA的角平分线的交点，若∠AOB=120°，则∠C的度数为（）A．120°B．60° C．50° D．3014．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A．40° B．45° C．50° D．60°16．下列说法中：①角平分线的点到角的两边的距离相等；②一条射线上的点到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线；③有一直角边和一锐角相等两个直角三角形全等；④有两边和一角对应相等的两个三角形全等；⑤对应角相等的两个三角形是全等的；⑥面积相等两个三角形全等．其中不正确的说法有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP 的依照是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去19．在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，若AB=4cm，则AD+DE的值为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm20．如图是5×5的正方形网格中，以D、E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，如此格点三角形最多能够画出（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：21．将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，则CF= ；若∠A=80°，∠B=60°，则∠F= ．22．假如两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形，它也能充分告诉我们：三角形具有．23．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．24．如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形对．25．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，如此的三角形一共能作出个．26．如图，AB⊥AC，且AB=AC，BN⊥AN，CM⊥AN，若BN=3，CM=5，则MN= ．27．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△ADE的周长为．29．如下面三个图均有AB=AC，BD=CE，图②在图①的基础上连结了AO，图③在图②的基础上连结了BC，则图①、图②、图③的全等三角形的对数分别为对，对，对．30．△ABC中，AB=10，BC=16，D为AC的中点，则中线BD的取值范畴为．三、作图解答题：31．已知△ABC．（1）请用尺规作图的方法在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．（不写作法，但要保留作图痕迹）（2）若△ABC的周长为60，面积为150，试求点O到三边AB、BC、AC的距离分别是多少？32．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的一直角顶点C恰好在坐标原点上，CA、CB分别落在坐标轴（见图示），AC=4，BC=3，AB=5；第一次以点B为定点翻转，边BA落在x轴上；第二次以点A为定点翻转，边AC落在x轴上；第三次以点C为定点翻转，边CB落在x轴上；…如此循环．（1）请在第2020次翻转处画出△ABC的形状示意图．（2）翻转后的图形和原三角形是否是全等三角形？什么缘故？（3）试求第10次翻转后△ABC三个顶点的坐标．（△ABC的三边长按照1：1的单位长度）四、解答题33．如图，已知AB∥CD，AE∥CF，BF=DE求证：AB=CD．34．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2求证：∠B=∠D．35．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：MD=ME．36．如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD求证：∠CEA=∠DEA．37．如图，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF=CE﹣AF．五、解答题：38．如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= 度．39．如图，OP平分∠AOB，∠AOB=40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC∥OB，交边OA于点C，E为边OB上的一点，且满足PC=PE．求∠EPN的度数？40．如图，BD平分∠ADC，∠A=∠B=90°，OA=OB．求证：CA平分∠DCB．41．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点．求证：S△AEB =SABCD．42．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠D，AF=CE，AB∥CD．求证：AB=CD．43．如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．求证：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．六、探究、开放题：44．如图，已知AF∥BE，且AF=BE，AC=BD．请指出图中有哪些全等三角形，并任选一对给予证明．45．已知命题：如图，点B、C、E、F在同一直线上，若AB=AF，∠1=∠2，则△ABE≌△AFC．请判定那个命题是真命题依旧假命题，假如是真命题，请给予证明；假如是假命题，请添加一个条件使它成为真命题，并加以证明．46．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，则线段BD和CE具有什么数量关系，并证明你的结论．47．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l通过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．《第12章全等三角形》参考答案与试题解析一、选择题如图，5个全等的正六边形，A、B、C、D、E，请认真观看A、B、C、D四个答案，其中与右方图案完全相同的是（）A．B．C．D．【考点】全等图形．【分析】将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形完全相同的即为所求．【解答】解：观看图形可知，只有选项C中的图形旋转后与图中的正六边形完全相同．故选：C．【点评】此题考查了全等图形以及生活中的旋转现象，旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．2．下列说法不正确的是（）A．两个三角形全等，形状一定相同B．两个三角形全等，面积一定相等C．一个图形通过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等D．所有的正方形都全等【考点】全等图形．【分析】依照全等三角形的性质和全等图形的定义对各选项分析判定利用排除法求解．【解答】解：A、两个三角形全等，形状一定相同，正确，故本选项错误；B、两个三角形全等，面积一定相等，正确，故本选项错误；C、一个图形通过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等，正确，故本选项错误；D、只有边长相等的正方形才全等，因此所有的正方形都全等错误，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了全等图形的定义，熟记全等三角形的性质以及全等图形的概念是解题的关键．3．若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为15，且AB=6，BC=4，则DF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】全等三角形的性质．【分析】先求出AC，依照全等三角形的性质得出DF=AC，即可得出选项．【解答】解：∵△ABC的周长为15，AB=6，BC=4，∴AC=15﹣6﹣4=5，∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=5，故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，解此题的关键是能依照全等三角形的性质得出AC=DF，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（）A．60° B．90° C．120°D．150°【考点】全等图形．【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，依照全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，再依照直角三角形两锐角互余求解．【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠2=∠3，在Rt△ABC中，∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°．故选B．【点评】本题考查了全等图形，要紧利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．5．如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=60°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）A．120°B．70° C．60° D．50°【考点】全等三角形的性质．【分析】依照三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，再依照全等三角形对应角相等可得∠DAC=∠BAE．【解答】解：∵∠B=60°，∠AEC=120°，∴∠BAE=∠AEC﹣∠B=120°﹣60°=60°，∵△ABE≌△ACD，∴∠DAC=∠BAE=60°．故选C．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，则∠ACA′的度数（）A．20° B．30° C．35° D．40°【考点】全等三角形的性质．【分析】依照全等三角形的性质得出∠A′CB′=∠ACB，求出∠B′CB=∠ACA′，代入=∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB求出即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∴∠A′CB′﹣∠A′CB=∠ACB﹣∠A′CB，∴∠B′CB=∠ACA′，∵∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，∴∠ACA′=∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=65°﹣35°=30°，故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠B′CB=∠ACA′，注意：全等三角形的对应角相等，难度适中．7．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD 的是（）A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC【考点】全等三角形的判定．【专题】推理填空题．【分析】依照AAS即可判定A；依照三角对应相等的两三角形不一定全等即可判定B；依照AAS即可判定C；依照ASA即可判定D．【解答】解：A 、依照AAS （∠A=∠A ，∠C=∠B ，AD=AE ）能推出△ABE ≌△ACD ，正确，故本选项错误；B 、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；C 、依照AAS （∠A=∠A ，∠B=∠C ，BE=CD ）能推出△ABE ≌△ACD ，正确，故本选项错误；D 、依照ASA （∠A=∠A ，AB=AC ，∠B=∠C ）能推出△ABE ≌△ACD ，正确，故本选项错误； 故选：B ．【点评】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，共4种，要紧培养学生的辨析能力．8．长为3cm ，4cm ，6cm ，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（ ）A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B ．两人都取6cm 的木条C ．两人都取8cm 的木条D ．C 两种取法都能够【考点】全等三角形的应用；三角形三边关系．【分析】若两个三角形全等，那么它们的三边对应相等，因此第三边应该取同样长度的木条，且要符合三角形三边关系定理，可运用排除法进行求解．【解答】解：若两人所拿的三角形全等，那么两人所拿的第三根木条长度相同，故排除A ； 若取8cm 的木条，那么3+4＜8，不能构成三角形，因此只能取6cm 的木条，故排除C 、D ； 故选B ．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系的运用，难度不大．9．下列条件中，不能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1的是（ ）A ．AB=A 1B 1，∠A=∠A 1，AC=A 1C 1 B ．AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AC=A 1C 1C ．AB=A 1B 1，∠B=∠B 1，∠C=∠C 1D ．AC=A 1C 1，AB=A 1B 1，∠B=∠B 1【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，依照全等三角形的判定定理逐个判定即可．【解答】解：A 、符合全等三角形的判定定理：SAS 定理，即能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，故本选项错误；B 、符合全等三角形的判定定理：SSS 定理，即能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，故本选项错误；C 、符合全等三角形的判定定理：AAS 定理，即能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，故本选项错误；D 、不符合全等三角形的判定定理，即不能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，故本选项正确；故选D ．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，要紧考查学生对定理的明白得能力和辨析能力，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，难度适中．10．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使△ABC ≌△AED 的条件有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【考点】全等三角形的判定．【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD ，AC=AD ，依照三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD ，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD ，加①AB=AE，就能够用SAS 判定△ABC ≌△AED ；加③∠C=∠D ，就能够用ASA 判定△ABC ≌△AED ；加④∠B=∠E ，就能够用AAS 判定△ABC ≌△AED ；加②BC=ED 只是具备SSA ，不能判定三角形全等．其中能使△ABC ≌△AED 的条件有：①③④故选：B ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．做题时要依照已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．11．依照下列已知条件，能画出唯独△ABC 的是（ ）A ．AB=3，BC=4，AC=7B ．AB=4，BC=3，∠C=30°C ．∠A=30°，AB=3，∠B=45°D ．∠C=90°，AB=4【考点】全等三角形的判定．【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判定得出即可．【解答】解：A、3+4=7，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；B、依照AB=4，BC=3，∠A=30°不能画出唯独三角形，故本选项错误；C、∠A=30°，AB=3，∠B=45°，能画出唯独△ABC，故此选项正确；D、∠C=90°，AB=4，不能画出唯独三角形，故本选项错误；故选：C．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．12．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=60°，∠C=25°，则∠BMD的度数为（）A．50° B．65° C．70° D．85°【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】第一依照三角形外角的性质可得∠BDC=25°+60°=85°，然后再证明△AEB≌△ADC，依照全等三角形的性质可得∠B=∠C=25°，再利用三角形内角和定理运算出∠BMD的度数．【解答】证明：∵∠BAC=60°，∠C=25°，∴∠BDC=25°+60°=85°，在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠B=∠C=25°，∴∠DNB=180°﹣25°﹣85°=70°，故选：C．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形外角的性质，关键是正确证明△AEB ≌△ADC．13．在△ABC中，O为∠CAB和∠CBA的角平分线的交点，若∠AOB=120°，则∠C的度数为（）A．120°B．60° C．50° D．30【考点】三角形内角和定理．【分析】依照三角形的内角和求得∠OAB+∠OBA，利用角平分线的定义求得∠CAB+∠CBA，利用三角形的内角和定理列式运算求得答案即可．【解答】解：∵∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=180°﹣120°=60°，∴∠ABC+∠BAC=120°，∴∠C=180°﹣（∠ABC+∠BAC）=60°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．14．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考点】矩形的性质．【专题】运算题．【分析】本题要紧考查矩形的性质以及折叠，求解即可．【解答】解：因为∠EAF是△DAE沿AE折叠而得，因此∠EAF=∠DAE．又因为在矩形中∠DAB=90°，即∠EAF+∠DAE+∠BAF=90°，又∠BAF=60°，因此∠AED==15°．故选A．【点评】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，因此折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分确实是对应量．15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．因此得出∠ABC=45°．【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，∴∠BEA=∠ADC=90°．∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE，∴∠FBD=∠FAE，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴BD=AD，∴∠ABC=∠BAD=45°，故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．16．下列说法中：①角平分线的点到角的两边的距离相等；②一条射线上的点到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线；③有一直角边和一锐角相等两个直角三角形全等；④有两边和一角对应相等的两个三角形全等；⑤对应角相等的两个三角形是全等的；⑥面积相等两个三角形全等．其中不正确的说法有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．【分析】依照角的平分线性质和判定即可判定①②；全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，依照判定定理判定③④⑤⑥即可．【解答】解：∵角平分线的点到角的两边的距离相等，∴①正确；∵在角的内部到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线，∴②错误；如图：在Rt△ACB和Rt△DEF中，∠C=∠E=90°，∠A=∠D，AC=EF，则△ACB和△DEF就不全等，∴③错误；∵当符合SAS时两三角形全等，当符合SSA时，两三角形不全等，∴④错误；如图：DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，符合两三角形的对应角相等，然而两三角形不全等，∴⑤错误；∵当一个三角形的底为2，高为1，而另一个三角形的底为1，高为2，两三角形的面积相等，但这两个三角形不全等，∴⑥错误；即不正确的有5个，故选D．【点评】本题考查了角的平分线性质，全等三角形的判定定理的应用，能明白得定理和正确运用定理进行判定是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等，全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL，难度适中，然而比较容易出错．17．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP 的依照是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】作图—差不多作图；全等三角形的判定．【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，因此两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去【考点】全等三角形的应用．【专题】应用题．【分析】此题能够采纳全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原先一样的三角形，故A选项错误；B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原先一样的三角形，故B选项错误；C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原先一样的三角形，故D选项错误．故选：C．【点评】要紧考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练把握．19．在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，若AB=4cm，则AD+DE的值为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】角平分线的性质．【分析】先依照角平分线的性质得出BD=DE，进而可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，∴DE=BD．∵AB=4cm，∴AD+DE=AD+BD=AB=4cm．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．20．如图是5×5的正方形网格中，以D、E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，如此格点三角形最多能够画出（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】全等三角形的判定．【专题】网格型．【分析】依照三边对应相等的两个三角形全等画图即可．【解答】解：如图所示：，最多能够画出4个．故选：C．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定，关键是把握三条边分别对应相等的两个三角形全等．二、填空题：21．将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，则CF= 3cm ；若∠A=80°，∠B=60°，则∠F= 40°．【考点】平移的性质．【分析】依照平移的性质，结合图形可直截了当求解．【解答】解：观看图形可知，对应点连接的线段是AD、BE和CF．∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴BE=CF=3cm，∴∠F=∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=40°，故答案为：3cm，40°．【点评】本题考查平移的差不多性质：①平移不改变图形的形状和大小；②通过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．22．假如两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，它也能充分告诉我们：三角形具有稳固性．【考点】全等三角形的判定．【分析】依照判定方法判定解答，三角形全等说明三边一定时可不能有其它形状显现，也就有稳固性．【解答】解：运用三角形全等的判定方法SSS可知，假如两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，由此反映了三角形具有稳固性．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．23．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有①②③（填序号）．【考点】全等三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】由已知条件，可直截了当得到三角形全等，得到结论，采纳排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论．【解答】解：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C∴∠1=∠2（①正确）∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB=AC，BE=CF（②正确）∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC∴△ACN≌△ABM（③正确）∴CN=BM（④不正确）．因此正确结论有①②③．故填①②③．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．得到三角形全等是正确解决本题的关键．24．如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形 4 对．【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定．【分析】共有四对，分别是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB，△DCB≌△C′DB，△AOB≌△C′OD．【解答】∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，∴△ABD≌△CDB．（HL）∵△BDC是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，∴BC′=A D，BD=BD，∠C′=∠A．∴△ABD≌△C′DB．（HL）同理△DCB≌△C′DB．∵∠A=∠C′，∠AOB=∠C′OD，AB=C′D，∴△AOB≌△C′OD．（AAS）因此共有四对全等三角形．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．25．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，如此的三角形一共能作出7 个．【考点】全等三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，因此一共能作出7个．故答案为：7．【点评】本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要依照全等的判定方法的要求，正确对每种情形进行讨论是解决本题的关键．26．如图，AB⊥AC，且AB=AC，BN⊥AN，CM⊥AN，若BN=3，CM=5，则MN= 2 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】如图，证明∠B=∠MAC；证明△ABN≌△CAM，得到AM=BN=3，AN=CM=5，即可解决问题．【解答】解：∵BN⊥AN，AB⊥AC，∴∠B+∠BAN=∠BAN+∠CAM，∴∠B=∠MAC；在△ABN与△CAM中，，∴△ABN≌△CAM（AAS），∴AM=BN=3，AN=CM=5，∴MN=5﹣3=2．故答案为2．【点评】该题要紧考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固把握全等三角形的判定及其性质，并能灵活来解题．27．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 4 ．【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离．【分析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，然后依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OF=OG，再依照两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC+∠ACD=180°，然后求出∠EOF+∠EOG=180°，从而判定出E、O、G三点共线，然后求解即可．【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△ADE的周长为8 ．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】先依照角平分线的性质得出CD=DE，故可得出AD+CD=AD+DE=AC，再依照全等三角形的判定定理得出△BCD≌△BED，故BE=BC，由此可得出AE的长，由△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC即可得出结论．【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，AC=6，∴DE=CD，∴AD+CD=AD+DE=AC=6，在Rt△BCD与RtBED中，，∴△BCD≌△BED（HL），∴BE=BC=8，∴AE=10﹣8=2，。

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

《第12章全等三角形》一、选择题1．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等2．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）A．B．C．D．3．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE4．如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是（）A．BC=B′C′B．∠A=∠A′C．AC=A′C′D．∠C=∠C′5．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA6．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角7．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠28．在△ABC和△FED中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（）A．AB=ED B．AB=FD C．AC=FD D．∠A=∠F9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB 于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE ≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③⑤D．①③④10．下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题11．如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△；应用的判定方法是（简写）．12．如图，△ABD≌△BAC，若AD=BC，则∠BAD的对应角是．13．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，则点D到AC的距离为．14．如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD= ，根据可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD= ．15．如图，∠A=∠D=90゜，AC=DB，欲证OB=OC，可以先利用“HL”说明得到AB=DC，再利用证明△AOB≌得到OB=OC．16．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．17．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带去配，这样做的数学依据是．三、解答题（共29分）18．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明△ABD≌△ACD的理由．∵AD平分∠BAC∴∠=∠（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD ．19．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．（1）写出相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．20．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．21．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：△ABC≌△DEF．四、解答题（共20分）22．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．23．已知：如图，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：∠5=∠6．《第12章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【考点】全等图形．【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．2．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）A．B．C．D．【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．故选B．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．3．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选D．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．4．如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是（）A．BC=B′C′B．∠A=∠A′C．AC=A′C′D．∠C=∠C′【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证．【解答】解：A、若添加BC=BˊCˊ，可利用SAS进行全等的判定，故本选项错误；B、若添加∠A=∠A'，可利用ASA进行全等的判定，故本选项错误；C、若添加AC=A'C'，不能进行全等的判定，故本选项正确；D、若添加∠C=∠Cˊ，可利用AAS进行全等的判定，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系．5．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE（SAS），故A成立，∴∠DBC=∠CAE，∵∠BCA=∠ECD=60°，∴∠ACD=60°，在△BGC和△AFC中，∴△BGC≌△AFC，故B成立，∵△BCD≌△ACE，∴∠CDB=∠CEA，在△DCG和△ECF中，∴△DCG≌△ECF，故C成立，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．6．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【考点】全等三角形的应用．【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BD∴∠ABC=∠BDE又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA）故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．7．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【解答】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），故B、C选项正确；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，故D选项错误．故选D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．8．在△ABC和△FED中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（）A．AB=ED B．AB=FD C．AC=FD D．∠A=∠F【考点】全等三角形的判定．【分析】考查三角形全等的判定定理，有AAS，SSS，SAS，ASA四种．根据题目给出的两个已知条件，要证明△ABC≌△FED，需要已知一对对应边相等即可．【解答】解：∵∠C=∠D，∠B=∠E，说明：点C与D，B与E，A与F是对应顶点，AC的对应边应是FD，根据三角形全等的判定，当AC=FD时，有△ABC≌△FED．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的判断方法；一般三角形全等判定的条件必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，要找准对应边是解决本题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB 于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE ≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③⑤D．①③④【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系．运用三角形全等的判定方法AAS或ASA判定全等的三角形．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．∴①△BCD≌△CBE （ASA）；③△BDA≌△CEA （ASA）；④△BOE≌△COD （AAS或ASA）．故选D．【点评】此题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定，难度不大．10．下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】全等图形．【专题】常规题型．【分析】根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．【解答】解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．二、填空题11．如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△；应用的判定方法是（简写）．【考点】全等三角形的判定．【分析】此题不难，关键是找对对应点，即A对应A，B对应B，C对应D，即可．【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，AB=AB（公共边），∴△ABC≌△ABD（SSS）．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，本题要用SSS．12．如图，△ABD≌△BAC，若AD=BC，则∠BAD的对应角是．【考点】全等三角形的性质．【分析】已知中AD=BC，说明二者为对应边，而AB是公共边，即AB的对应边是BA，所以B的BD对应边只能是AC，根据对应边所对的角是对应角可得答案为∠ABC．【解答】解：∵△ABD≌△BAC，AD=BC，∴∠BAD的对应角是∠ABC．【点评】本题考查了全等三角形性质的应用，确认两条线段或两个角相等，往往利用全等三角形的性质求解．13．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，则点D到AC的距离为．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到AC的距离等于点D到AB的距离DE 的长度．【解答】解：如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC，∴DE=DF，∵DE=3cm，∴DF=3cm，即点D到AC的距离为3cm．故答案为：3cm．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．14．如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD= ，根据可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD= ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】判定三角形全等，由题中条件，即要利用两边夹一角进行求解，所以找出对应角即可判定其全等，再有全等三角形的性质得出对应边相等．【解答】解：要判定△AOD≌△COB，有OA=OC，OD=OB，所以再加一夹角∠AOD=∠COB，根据两边夹一角，即可判定其全等，又有全等三角形的性质可得AD=CB．故答案为∠COB，SAS，CB．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．15．如图，∠A=∠D=90゜，AC=DB，欲证OB=OC，可以先利用“HL”说明得到AB=DC，再利用证明△AOB≌得到OB=OC．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据HL证Rt△BAC≌Rt△CDB，推出AB=DC，根据AAS证△AOB≌△DOC．【解答】解：∵在Rt△BAC和Rt△CDB中∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），∴AB=DC，在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS），故答案为：△ABC≌△DCB，AAS，△DOC．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．16．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．【考点】全等三角形的性质．【分析】第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．【解答】解：当两个三角形同为锐角或同为钝角三角形时，易得两三角形全等，则第三边所对的角是相等关系；当一个钝角三角形和一个锐角三角形时（如图），则第三边所对的一个角与另一个角的邻补角相等，即这两个角是互补关系．故填“相等或互补”．【点评】本题考查全等三角形的性质，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．17．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带去配，这样做的数学依据是．【考点】全等三角形的应用．【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故答案为：③；两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．三、解答题（共29分）18．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明△ABD≌△ACD的理由．∵AD平分∠BAC∴∠=∠（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD ．【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据角平分线的定义及全等三角形的判定定理，填空即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义），在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理及角平分线的定义．19．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．（1）写出相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．【考点】全等三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角；（2）根据（1）中的对等关系即可得MN和HG的长度．【解答】解：（1）∵△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，∴EF=NM，EG=NH，FG=MH，∠F=∠M，∠E=∠N，∠EGF=∠NHM，∴FH=GM，∠EGM=∠NHF；（2）∵EF=NM，EF=2.1cm，∴MN=2.1cm；∵FG=MH，FH+HG=FG，FH=1.1cm，HM=3.3cm，∴HG=FG﹣FH=HM﹣FH=3.3﹣1.1=2.2cm．【点评】本题考查了全等三角形全等的性质及比较线段的长短，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键．20．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．【考点】全等三角形的应用．【专题】计算题；作图题．【分析】根据BC=CD，∠CED=∠CAB，∠ACB=∠ECD，即可求证△ABC≌△EDC，根据全等三角形对应边相等的性质可以求得AB=DE．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠CED=∠CAB，∴△ABC≌△EDC（AAS），∴AB=ED，答：DE的长就是A、B之间的距离．【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，本题中正确的求证△ABC≌△EDC是解题的关键．21．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据AB∥DE，BC∥EF，可证∠A=∠EDF，∠F=∠BCA；根据AD=CF，可证AC=DF．然后利用ASA即可证明△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，BC∥EF∴∠A=∠EDF，∠F=∠BCA又∵AD=CF∴AC=DF∴△ABC≌△DEF．（ASA）【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．四、解答题（共20分）22．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；（2）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D，从而不难求得DF⊥BC．【解答】证明：（1）∵BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，∴△BEC≌△DEA（HL）；（2）∵△BEC≌△DEA，∴∠B=∠D．∵∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF，∴∠BAF+∠B=90°．即DF⊥BC．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．23．已知：如图，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：∠5=∠6．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】因为∠1=∠2，∠3=∠4，AC=CA，根据ASA易证△ADC≌△ABC，所以有DC=BC，又因为∠3=∠4，EC=CE，则可根据SAS判定△CED≌△CEB，故∠5=∠6．【解答】证明：∵，∴△ADC≌△ABC（ASA）．∴DC=BC．又∵，∴△CED≌△CEB（SAS）．∴∠5=∠6．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结全面整理单选题AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )1、如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13A．4B．3C．2D．1答案：C分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.如图，过点D作DE⊥AB于E，AD，∵AC=8，DC=13∴CD=8×1=2，1+3∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，即点D到AB的距离为2，故选C．小提示：本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.2、如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（）A．2B．2.5C．3D．103答案：C分析：过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF＝AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，然后求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长．如图所示，过点A作AH⊥BC于H，在△ABC与△ADE中，{AC=AE∠C=∠E BC=DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE，∴12×DE×AF=12×BC×AH，∴AF＝AH，∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴∠AFG＝∠AHG＝90°，在Rt△AFG和Rt△AHG中，，{AG=AGAF=AH∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴SRt△AFG＝6，∵AF＝4，∴1×FG×4=6，2解得：FG＝3．故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质，综合运用各知识点是解题的基础，作出合适的辅助线是解此题的关键．3、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，{DE=DC，BD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.4、如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ΔABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB,BC,CA B．AB,BC,∠B C．AB,AC,∠B D．∠A,∠B,BC答案：C分析：根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．A. AB,BC,CA．根据SSS一定符合要求；B. AB,BC,∠B．根据SAS一定符合要求；C. AB,AC,∠B．不一定符合要求；D. ∠A,∠B,BC．根据ASA一定符合要求．故选：C．小提示：本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理．5、如图，点B，C，E在同一直线上，且AC=CE，∠B=∠D=90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（）A．∠A=∠2B．∠A+∠E=90°C．BC=DE D．∠BCD=∠ACE答案：D分析：根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出△ABC≌△CDE，再逐个判断即可．解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC和△CDE中，{∠A=∠2∠B=∠D AC=CE，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE，∴选项A、选项B，选项C都正确；根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以∠BCD=∠ACE不一定成立故选项D错误；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．6、在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜10B．1＜AD＜5C．2＜AD＜10D．0＜AD＜5答案：B分析：延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵{AD=DE∠ADB=∠CDEBD=CD，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．7、如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是( )A．0.5B．1C．1.5D．2答案：B分析：根据平行线的性质，得出∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据全等三角形的判定，得出ΔADE≅ΔCFE，根据全等三角形的性质，得出AD=CF，根据AB=4，CF=3，即可求线段DB的长．∵CF//AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，在ΔADE和ΔFCE中{∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE，∴ΔADE≅ΔCFE(AAS)，∴AD=CF=3，∵AB=4，∴DB=AB−AD=4−3=1.故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定ΔADE≅ΔFCE是解此题的关键．8、下列选项可用SAS证明△ABC≅△A′B′C′的是（）A．AB=A′B′，△B=△B′，AC=A′C′B．AB=A′B′，BC=B′C′，△A=△A′C．AC=A′C′，BC=B′C′，△C=△C′D．AC=A′C′，BC=B′C′，△B=△B′答案：C分析：根据全等三角形SAS的判定逐项判定即可．解：A．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；B．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；C．满足SAS，能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项符合题意；D．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意，故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键．9、如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）．A．4B．3C．2D．1答案：B分析：根据题意逐个证明即可，①只要证明△AOC≌△BOD(SAS)，即可证明AC=BD;②利用三角形的外角性质即可证明; ④作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H,再证明△OCG≌△ODH(AAS)即可证明MO平分∠BMC.解：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB,AC=BD，①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，{∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，∴△OCG≌△ODH(AAS)，∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选B．小提示：本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.10、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1=25°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°答案：C分析：由∠BAC=∠DAE可证得∠BAD=∠CAE，继而证明△BAD≅△CAE(SAS)，由全等三角形对应角相等得到∠2=∠CAE,∠ABD=∠1，最后由三角形的外角性质解答即可．解：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠2=∠CAE,∠ABD=∠1∵∠1=25°，∠2=35°∴∠3=∠2+∠ABD=∠2+∠1=60°故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．答案：①②④分析：由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=1（∠CAB+∠CBA）=45°，2△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，故①正确；∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，∴∠F=∠DAC=∠DAB，△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，∴△BPA≌△BPF（AAS），∴BA=BF，PA=PF，故②正确；△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，故④正确；若PH=HC，则PD=HC，AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，故③错误；综上所述①②④正确，所以答案是：①②④小提示：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，若CB=7，则DE+ DB=______．答案：7分析：先利用角平分线性质证明CD=DE，再求出DE+DB的值即可．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=ED．∵CB=7，∴BD+CD=7，∴DE+DB=7，所以答案是：7．小提示：本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．13、如图，在△ABC中，A(0,1)，B(3,1)，C(4,3)，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标是________．答案：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）分析：若要△ABD≌△ABC，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可．如图，要和△ABC全等，且有一边为AB的三角形，D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）所以答案是：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．小提示：本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键．14、如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．答案：20分析：利用三角形的内角和定理先求解∠ABC，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：BD平分∠ABC,从而可得答案．解：∵∠A=90°，∠C=50°，∴∠ABC=180°−90°−50°=40°，∵∠A=90°，DE⊥BC,DA=DE,∴BD平分∠ABC,∠ABD=1∠ABC=20°，2所以答案是：20小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．15、如图，已知AB=CB，要使△ABD≌△CBD(SSS)，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．答案：AD=CD分析：要利用SSS判定△ABD≌△CBD，已知AB=CB，公共边BD=BD,只需要再添加一组对边相等即可．解：∵AB=CB，BD=BD，∴要利用SSS判定△ABD≌△CBD，只需要在添加一组对边相等即可．∴AD=CD，所以答案是：AD=CD．小提示：本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．解答题16、如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．答案：（1）14；（2）12．分析：（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，根据线段中点的定义求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS证明AB＝4，△AED≌△BEG，由全等三角形的性质并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可证得DE＝12同理DF＝1AC＝3，即可计算出四边形的周长；2（2）利用SSS可证△AEF≌△DEF，根据直角三角形的面积计算方法求出△AEF的面积，则四边形的面积即可求解．解：（1）延长DE 到G ，使GE ＝DE ，连接BG ，∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，AB ＝8，AC ＝6，∴AE ＝BE ＝12AB ＝4，AF ＝CF ＝12AC ＝3．在△AED 和△BEG 中，{AE =BE∠AED =∠BEG DE =GE，∴△AED ≌△BEG （SAS ）．∴AD ＝BG ，∠DAE ＝∠GBE ．∵AD ⊥BC ，∴∠DAE ＋∠ABD ＝90°．∴∠GBE ＋∠ABD ＝90°．即∠GBD ＝∠ADB ＝90°．在△GBD 和△ABD 中，{BG =DA∠GBD =∠ADB BD =DB，∴△GBD ≌△ABD （SAS ）．∴GD ＝AB ．∵DE ＝12GD ，∴DE ＝12AB ＝4．同理可证：DF ＝12AC ＝3．∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋ED ＋DF ＋FA ＝14．（2）由（1）得AE ＝DE ＝12AB ＝4，AF ＝DF ＝12AC ＝3， 在△AEF 和△DEF 中，{AE =DEAF =DF EF =EF，∴△AEF ≌△DEF （SSS ）．∵∠BAC ＝90°，∴S △AEF ＝12AE•AF ＝12×4×3＝6． ∴S 四边形AEDF ＝2S △AEF ＝12．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质并能利用倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．17、已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，AD ，CE 是角平分线，AD 与CE 相交于点F ，FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．【思考说理】（1）求证：FE =FD ．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB =90°”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE =FD ）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．答案：（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；分析：（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证RtΔFDN ≅RtΔ∠FEM (AAS )即可求解；（2）在AB上截取CP=CD，分别证ΔCDF≅ΔCPF(SAS)、ΔAFE≅ΔAFP(ASA)即可求证；证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴点F是ΔABC的内心，∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM=FN，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠CAB=30°∴∠CAD=15°∴∠ADC=75°∵∠ACE=45°∴∠CEB=75°∴∠ADC=∠CEB∴RtΔFDN≅RtΔ∠FEM(AAS)∴FE=FD（2）如图，在AB上截取CP=CD，在ΔCDF和ΔCPF中，∵{CD=CP∠DCF=∠PCFCF=CF∴ΔCDF≅ΔCPF(SAS)∴FD=FP，∠CFD=∠CFP，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE，∵∠B=60°，∴∠ACB+∠BAC=120°，∴∠CAD+∠ACE=60°，∴∠AFC=120°，∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°，∵∠CFD=∠CFP，∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°，在ΔAFE和ΔAFP中，∵{∠AFE=∠AFP AF=AF∠PAF=∠EAF∴ΔAFE≅ΔAFP(ASA)∴FP=EF∴FD=EF．小提示：本题主要考查三角形的全等证明及性质，角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18、（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE=BD+CE．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7，则S△AEI=______．答案：（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5分析：（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAEAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中点．∴S△AEI=12S△AEG=3.5．所以答案是：3.5．小提示：本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．。

第十二章全等三角形单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，AB=3cm，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm．则△ABC与△DEF（）A．一定全等B．不一定全等C．一定不全等D．不确定2．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（）A．①B．②C．③D．任意一块4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的个数是①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=S四边形ABCD；⑤BC=CE．（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．下列画图的语句中，正确的为（）A．画直线AB=10cm B．画射线OB=10cmC．延长射线BA到C，使BA=BC D．画线段CD=2cm6．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（）A．B．C．D．7．AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=（）A．69°B．°C．°D．不能确定8．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误D．①，②都正确9．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（）A．1 B．2 C．5 D．无法确定10．如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A 折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP =S△APF．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图：已知DE=AB，∠D=∠A，请你补充一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明你判断的理由：或．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△ABD、△BCE均为等边三角形，DE、AB交于点F，AF=3，则△ACE的面积为．13．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC 于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=°．14．如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△ABD≌△CEB．15．如图，线段AC、BD相交于点0，OA=OC，OB=OD，那么AB、CD的位置关系是．16．如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC=6cm，∠ACB=90°，∠B=30°，则△ADC的周长是cm．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．18．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AN=BM，BN，MC相交于O，CH⊥BN于点H，求证：2OH=OC．19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）AF⊥DE．20．（8分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．（1）试判断B′E与DC的位置关系；（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．21．（8分）如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC 于一点O，AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAD=20°，求∠CDE的度数．22．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．（1）求证：∠AFC=120°；（2）若AD=6，CE=4，求AC的长？23．（10分）有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长为50m，你能求出锥形小山两端A、B的距离吗？24．（12分）探究问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为．拓展问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．推广问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案与试题解析1．解：∵在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm，AB=3cm 若是AB=DE，则可以推出两三角形全等此处是EF与AB相等，设DE=3，则DE=EF，则∠D=∠E显然与已知相违背，所以此假设不成立所以两三角形一定不全等．故选C．2．解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC，同理：B′E′=A′C′，∴BE=B′E′，AE=A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，∴∠CAD=∠C′A′D′，∴∠BAC=∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选：A．3．解：只有①中包含两角及夹边，符合ASA．故选A．4．解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵AE 、BE 分别是∠BAD 与∠ABC 的平分线， ∴∠BAE=∠BAD ，∠ABE=∠ABC ， ∴∠BAE +∠ABE=（∠BAD +∠ABC ）=90°， ∴∠AEB=180°﹣（∠BAE +∠ABE ）=180°﹣90°=90°， 故③小题正确；延长AE 交BC 延长线于F ， ∵∠AEB=90°， ∴BE ⊥AF ， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠FBE ， 在△ABE 与△FBE 中，，∴△ABE ≌△FBE （ASA ）， ∴AB=BF ，AE=FE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠EAD=∠F ，在△ADE 与△FCE 中，，∴△ADE ≌△FCE （ASA ）， ∴AD=CF ，∴AB=BC +CF=BC +AD ，故①小题正确； ∵△ADE ≌△FCE ，∴CE=DE ，即点E 为CD 的中点，故②小题正确； ∵△ADE ≌△FCE ， ∴S △ADE =S △FCE ， ∴S 四边形ABCD =S △ABF ， ∵S △ABE =S △ABF ，∴S △ABE =S 四边形ABCD ，故④小题正确；若AD=BC ，则CE 是Rt △BEF 斜边上的中线，则BC=CE ，∵AD与BC不一定相等，∴BC与CE不一定相等，故⑤小题错误．综上所述，不正确的有⑤共1个．故选：B．5．解：A、错误．直线没有长度；B、错误．射线没有长度；C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；D、正确．故选：D．6．解：∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等∴x+y+z=，∵y+z＞x∴可得x＜，又因为x为最长边大于∴x≥综上可得≤x＜故选：A．7．解：∵AD=AB，∴∠ADB=（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC，∴∠C=∠ADB﹣∠DAC=（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC﹣∠BAC=90°﹣∠BAC；∵BE=BC，∴∠C=∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=∠BAC+45°﹣∠BAC=45°+∠BAC，∴90°﹣∠BAC=45°+∠BAC，解得∠BAC=，∴∠C=90°﹣=．故选：C．8．解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，∴B1C1=B2C2，∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；∵∠A1=∠A2、∠B1=∠B2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，设相似比为k，即===k，∴=k，∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，∴k=1，即A1B1=A2B2，B1C1=B2C2，A1C1=A2C2，∴△A1B1C1≌△A2B2C2，∴②正确；故选：D．9．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠FDC=90°，∠GDC+∠FDC=90°，∴∠EDF=∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．所以，S△ADE故选：A．10．解：①正确．作EM ∥AB 交AC 于M ． ∵CA=CB ，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAE=∠BAE=∠CAB=22.5°， ∴∠MEA=∠EAB=22.5°，∴∠CME=45°=∠CEM ，设CM=CE=a ，则ME=AM=a ，∴tan ∠CAE===﹣1，故①正确，②正确．△CDA ≌△CDB ，△AEC ≌△AEF ，△APC ≌△APF ，△PEC ≌△PEF ，故②正确， ③正确．∵△PEC ≌△PEF ， ∴∠PCE=∠PFE=45°， ∵∠EFA=∠ACE=90°， ∴∠PFA=∠PFE=45°，∴若将△PEF 沿PF 翻折，则点E 一定落在AB 上，故③正确． ④正确．∵∠CPE=∠CAE +∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°， ∴∠CPE=∠CEP ， ∴CP=CE ，故④正确， ⑤错误．∵△APC ≌△APF ， ∴S △APC =S △APF ，假设S △APF =S 四边形DFPE ，则S △APC =S 四边形DFPE ， ∴S △ACD =S △AEF ，∵S △ACD =S △ABC ，S △AEF =S △AEC ≠S △ABC ， ∴矛盾，假设不成立． 故选：D ．11．解：∵已知DE=AB，∠D=∠A，∴根据ASA判断全等添加∠B=∠E；根据AAS判断全等添加∠ACB=∠DFE；根据SAS判断全等添加AF=CD．故填空答案：∠B=∠E或∠ACB=∠DFE或AF=CD．12．解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，EK⊥AC交AC的延长线于K．∵△ABD是等边三角形，DG⊥AB，∴AG=BG=AB，由勾股定理得：DG=AG，∵∠BAC=30°，∴AC=AB，∴AG=AC=AB，∵由勾股定理得：BC=AC，∴DG=BC=BE，∵∠EBA=60°+30°=90°，∴EB⊥AB．∴DG∥EB．∴∠BEF=∠GDF，∠DGB=∠EBF=90°，在△DGF与△EBF中，∵，∴△ADF≌△GEF（AAS），∴DF=EF，GF=BF，∵AG=BG，AF=3，∴FG=，AG=2，∴AB=4AC=2，EC=BC=AC=6，在Rt△CEK中，EK=EC=3，∴S=•AC•EK=•2•3=6．△ACE故答案为6．13．解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF=DM，∵∠BAC=120°，∴∠DAM=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=60°，∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DEF=45°，∵∠B=∠C=30°，∴∠DCF=15°，∴∠EDC=30°，故答案为：30．14．解：已知∠B=∠B，∠BDA=∠BEC=90°，则再添加一个边相等即可，所以可添加BD=BE或AD=CE或BA=BC，从而利用AAS或ASA来判定△ABD≌△CEB，故答案为：BD=BE或AD=CE或BA=BC．15．解：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴∠A=∠C，∴AB∥CD．故答案为：AB∥CD．16．解：根据折叠前后角相等可知，∠B=∠DCB=30°，∠ADC=∠ACD=60°，∴AC=AD=DC=6，∴ADC的周长是18cm．17．证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，∵∠GCA=∠DCA=45°，在△CGA和△CDA中，，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．18．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，在△BAN和△CBM中，，∴△BAN≌△CBM（SAS），∴∠ABN=∠BCM，∵∠ABN+∠OBC=60°，∴∠BCM+∠OBC=60°，∵∠NOC为△OBC的外角，∴∠NOC=∠BCM+∠OBC=60°，在Rt△OHC，∠HCO=30°，则2OH=OC．19．证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠BCA=45°，∵EC⊥BC，∴∠ACE=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）由（1）知，△ABD≌△ACE，∴AD=AE，等腰△ADE中，∵DF=FE，∴AF⊥DE．20．解：（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E∥DC；（2）∵折叠，∴△ABE≌△AB′E，∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°，∴∠AEB=∠BEB′=65°．21．证明：（1）在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAD=20°，∴∠CAE=∠BAD=20°，∵∠E=∠C，∠AOE=∠DOC，∴∠CAE=∠CDE，∴∠CDE=20°．22．解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，∴∠FAC=，∠FCA=，∵∠B=60°∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180°﹣×120°=120°．（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．∵AE、CD分别为△ABC的角平分线∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，∵∠AFC=120°，∴∠AFD=∠CFE=60°，在△ADF和△AGF中，∴△ADF≌△AGF（SAS）∴∠AFD=∠AFG=60°，∴∠GFC=∠CFE=60°，在△CGF和△CEF中，∴△CGF≌△CEF（ASA），∴CG=CE=4，∴AC=10．23.解：在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC，∴AB=DE=50．答：锥形小山两端A、B的距离为50m．24.解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC∴△AEB和△AFB都是直角三角形∵D是AB的中点∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线∴DE=AB，DF=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）∴DE=DF∵DE=kDF∴k=1（2）∵CB=CA∴∠CBA=∠CAB∵∠MAC=∠MB∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC即∠ABM=∠BAM∴AM=BM∵ME⊥BC，MF⊥AC∴∠MEB=∠MFA=90又∵∠MBE=∠MAF∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE=AF∵D是AB的中点，即BD=AD又∵∠DBE=∠DAF∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE=DF（3）DE=DF如图1，作AM的中点G，BM的中点H，∵点D是边AB的中点∴DG∥BM，DG=BM同理可得：DH∥AM，DH=AM∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH∴∠HBE=∠HEB∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC又∵DG=BM，HE=BM∴DG=HE同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC∵DG∥BM，DH∥GM∴四边形DHMG是平行四边形∴∠DGM=∠DHM∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC 又∵∠MBC=∠MAC∴∠MGF=∠MHE∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE∴∠DGF=∠DHE在△DHE与△FGD中，∴△DHE≌△FGD（SAS），∴DE=DF21世纪教育网–中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。

《第12章全等三角形》一、选择题1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．95°3．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC5．如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（）A．150°B．40° C．80° D．90°二、填空题6．如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：，使OC=OD（只添一个即可）．7．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由可得△AFC≌△AEB．8．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有对．9．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度．10．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC与B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件．（只需填写一个你认为适当的条件）三、解答题11．已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P= 度，DE= cm．12．如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．试说明AD+AB=BE．13．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？14．（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．《第12章全等三角形》参考答案与试题解析一、选择题1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【考点】全等三角形的应用．【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．95°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据图形，利用折叠的性质，折叠前后形成的图形全等．【解答】解：∠ABC+∠DBE+∠DBC=180°，且∠ABC+∠DBE=∠DBC；故∠CBD=90°．故选C．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．3．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点【考点】角平分线的性质．【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交P．故选D．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．做题时注意题目要求要满足两个条件①到角两边距离相等，②点在CD上，要同时满足．4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．5．如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（）A．150°B．40° C．80° D．90°【考点】平行四边形的性质．【分析】由AB=DC，AD=BC可知四边形ABCD为平行四边形，根据BF=DE，可证△ADE≌△CBF，则∠BCF=∠DAE，因为∠AEB=120°、∠ADB=30°，所以可推得∠BCF=90°．【解答】解：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADE=∠CBF，∵BF=DE，∴△ADE≌△CBF，∴∠BCF=∠DAE，∵∠DAE=180°﹣∠ADB﹣∠AED，∵∠AED=180°﹣∠A EB=60°，∠ADB=30°，∴∠BCF=90°．故选D．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形的性质解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．二、填空题6．如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：∠C=∠D或AC=BD ，使OC=OD（只添一个即可）．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．△AOD和△BOC中，由于∠BAC=∠ABD，可得出OA=OB，又已知了∠AOD=∠BOC，因此只需添加一组对应角相等即可得出两三角形全等，进而的得出OC=OD．也可直接添加AC=BD，然后联立OA=OB，即可得出OC=OD．【解答】解：∵∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC；∴当∠C=∠D时，△AOD≌△BOC；∴OC=OD．故填∠C=∠D或AC=BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．7．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由SAS 可得△AFC≌△AEB．【考点】全等三角形的判定．【分析】由已知AB=AC，BE、CF是中线，可得AF=AE，这样△AFC与△AEB中，有两边及它们的夹角对应相等，符合SAS，于是可得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线∴AF=BF=AE=EC∵∴△AFC≌△AEB（SAS）．因为该判定是两边角且该角为两边的夹角，所以用的是SAS．故填SAS．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知条件在三角形中的位置来选择方法是正确解答本题的关键．8．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有 6 对．【考点】全等三角形的判定．【分析】在如上图形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等，然后得到结论，再找其它的三角形由易到难．【解答】解：∵AD∥BC，OE=OF，∴∠FAC=∠BCA，又∠AOF=∠COE，∴△AFO≌△CEO，∴AO=CO，进一步可得△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD共有6对．故填6【点评】考查全等三角形的判定，做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻，注意顺序别遗漏．9．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是35 度．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC与B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件CD=C′D′（或AC=A′C′，或∠C=∠C′或∠CAD=∠C′A′D′）．（只需填写一个你认为适当的条件）【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】根据判定方法，结合图形和已知条件，寻找添加条件．【解答】解：我们可以先利用HL判定△ABD≌△A′B′D′得出对应边相等，对应角相等．此时若添加CD=C´D´，可以利用SAS来判定其全等；添加∠C=∠C´，可以利用AAS判定其全等；还可添加AC=A′C′，∠CAD=∠C′A′D′等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．三、解答题11．已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P= 80 度，DE= 12 cm．【考点】全等三角形的性质．【分析】先运用三角形内角和求出∠F，再运用“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即易求，做题时要找准对应关系．【解答】解：△DEF中，∠D=48°，∠E=52°，∴∠F=180°﹣48°﹣52=80°，∵△DEF≌△MNP，MN=12cm，∴DE=MN=12cm，∠F=P=80°．故分别填80，12．【点评】本题考查了三角形全等的性质；用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等．应注意各对应顶点应在同一位置．在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中．12．（2015秋•东台市期中）如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．试说明AD+AB=BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】若△ADC≌△BCE，则AD=BC，BE=AC=AB+BC+AD+AB，所以求解Rt△ACD≌Rt△BEC即可得出结论．【解答】解：∵∠DCE=90°（已知），∴∠ECB+∠ACD=90°，∵EB⊥AC，∴∠E+∠ECB=90°（直角三角形两锐角互余）．∴∠ACD=∠E（同角的余角相等）．∵AD⊥AC，BE⊥AC（已知），∴∠A=∠EBC=90°（垂直的定义）在Rt△ACD和Rt△BEC中，，∴Rt△ACD≌Rt△BEC（AAS）．∴AD=BC，AC=BE（全等三角形的对应边相等），∴AD+AB=BC+AB=AC．∴AD+AB=BE．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，同一题中出现多个90°角的时候，往往通过互余求得角度相等，为三角形全等提供有用的条件，要掌握这种方法．13．（2014•黄冈模拟）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【考点】全等三角形的应用．【专题】证明题．【分析】给出的三组相等线段都分布在△BDE，△CFG中，判断他们全等，条件充分，利用全等的性质容易得出∠B=∠C．【解答】解：这种做法合理．理由：在△BDE和△CFG中，．∴△BDE≌△CFG（SSS），∴∠B=∠C．【点评】本题考查了全等三角形的应用；判断两个角相等，或者边相等，可以把他们分别放到两个可能全等的三角形中，围绕全等找判断全等的条件．14．（2005•烟台）（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．【考点】全等三角形的应用．【专题】应用题．【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，得出△ABC与△AEG的两条高，由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键；（2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米．【解答】解：（1）△ABC与△AEG面积相等．理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，∴∠BAC+∠EAG=180°，∵∠EAG+∠GAN=180°，∴∠BAC=∠GAN，在△ACM和△AGN中，，∴△ACM≌△AGN，∴CM=GN，∵S△ABC =AB•CM，S△AEG=AE•GN，∴S△ABC =S△AEG，（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．【点评】本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解决问题．由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键．。

人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD △的面积是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．62．小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现OCD 与'''O C D 全等，请你说明小华得到全等的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 3．如图，OB 平分∠AOC ，D 、E 、F 分别是射线OA 、射线OB 、射线OC 上的点，D 、E 、F 与O 点都不重合，连接ED 、EF 若添加下列条件中的某一个．就能使DOE ≅FOE ，你认为要添加的那个条件是（ ）A ．OD =OEB ．OE =OFC ．∠ODE =∠OED D ．∠ODE =∠OFE 4D E BC,,12110,60AD AE BE CD BAE ==∠=∠∠=︒=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60°5．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于M 、N 两点；②分别以M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作射线BP ，交边AC 于D 点，若5,3AB BC ==，则线段CD 的长为（ ）A ．32B ．53C ．43D ．856．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．如图，在△ABC 中，∠A =90°，BE 是△ABC 的角平分线，ED ⊥BC 于点D ，CD =4，△CDE 周长为12，则AC 的长是（ ）8．如图，点E 是△ABC 内一点，∠AEB =90°，AE 平分∠BAC ，D 是边AB 的中点，延长线段DE 交边BC 于点F ，若AB =6，EF =1，则线段AC 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．如图，AI 、BI 、CI 分别平分BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠，ID BC ⊥，ABC 的周长为18，3ID =，则ABC 的面积为（ ）A ．18B ．30C ．24D ．2710．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD ，BC 的中点O 固定，只要测得C ，D 之间的距离，就可知道内径AB 的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）A ．边角边B ．三角形中位线定理C ．边边边D ．全等三角形的对应角相等11．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠FCA 的角平分线BP 、CP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM ⊥BE 于M ，PN ⊥BF 于N ，则下列结论：①AP 平分∠EAC ；②2180ABC APC ∠+∠=︒；③2BAC BPC ∠=∠；④PAC MAP NCP S S S ∆∆∆=+．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ．若∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 边平分∠ABC ，得到如下结论：①∠AEB ＝90°；②BC +AD ＝AB ；③BE ＝12CD ；④BC ＝CE ；⑤若AB ＝x ，则BE 的取值范围为0＜BE ＜x ，那么以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤二、填空题13．如图，ABC DCB △≌△，若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，则DC ＝________cm ．14．嘉淇为了测量建筑物墙壁AB 的高度，采用了如图所示的方法：①把一根足够长的竹竿AC 的顶端对齐建筑物顶端A ，末端落在地面C 处；②把竹竿顶端沿AB 下滑至点D ，使DB ＝_____，此时竹竿末端落在地面E 处；③测得EB 的长度，就是AB 的高度．以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 _____（用字母表示）．15．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是_____．16．如图，任意画一个60BAC ∠=︒的ABC ，再分别作ABC 的两条角平分线BE 和CD ，BE 和CD 交于点P ，连结AP ．有以下结论：①AP 平分BAC ∠；②PD PE =；③BD CE BC =+；④PBD PCE PBC S S S +=．其中正确的序号是_____．三、解答题17．如图，点E 、F 在线段BC 上，//AB CD ，A D ∠=∠，BE CF =，证明：AE DF =．18．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．19．如图，点E ，F 在线段AD 上，AB ∥CD ，B C ∠=∠，BE CF =．求证：AF DE =．20．如图，ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE △≌CDF ；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．21．如图，已知ABC 中，2C B ∠=∠.(1)请用基本尺规作图：作∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，在AB 上取一点E ，使AE =AC ，连接DE .（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图形中，求证：AB AC CD =+.请完成下面的证明过程：证明：∵AD 平分BAC ∠，∴DAC ∠=______，在EAD 与CAD 中AE AC EAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS EAD CAD ≌△△，∴______C =∠，DE CD =，AE =AC ，∵AED BDE ∠=∠+______，且2C B ∠=∠，∴B BDE=，∠=∠，∴BE DE∴BE=______，=+.∵AB AE BE=+，∴AB AC CD22．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．23．如图，已知△ABC≌△DEF，AF＝5cm．（1）求CD的长．（2）AB与DE平行吗？为什么？解：（1）∵△ABC≌△DEF（已知），∴AC＝DF（），∴AC﹣FC＝DF﹣FC（等式性质）即＝∵AF＝5cm∴＝5cm（2）∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A＝（）∴AB（）24．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点，BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF．(1)如图①，当AD平分∠BAC时，①AB与AF相等吗？为什么？②判断DF与AC的位置关系，并说明理由；(2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB．25．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD ＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．参考答案：1．A【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE =CD =2，然后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ∠=︒，CD =3，∴DE =CD =3，∵AB =8，∴△ABD 的面积118312.22AB DE =⋅=⨯⨯= 故选A.【点睛】本题主要考查角了平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键.2．A【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：在OCD ∆和O C D '''∆中， OD O D OC O C DC D C '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩，()OCD O C D SSS '''∴∆≅∆．故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．4．B【分析】先证明BD =CE ，然后证明△ADB ≌△AEC ，∠ADE =∠AED =70°，得到∠BAD =∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠DAE =40°，从而求出∠BAD 的度数即可得到答案．【详解】解：∵BE =CD ，∴BE -DE =CD -DE ，即BD =CE ，∵∠1=∠2=110°，AD =AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∠ADE =∠AED =70°，∴∠BAD =∠CAE ，∠DAE =180°-∠ADE -∠AED =40°，∵∠BAE =60°，∴∠BAD =∠CAE =20°，∴∠BAC =80°，故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5．A【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到12•DE×5+12•CD×3=12×3×4，最后解方程即可．【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，在Rt△ABC中，AC BC222253=4，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12•DE×5+12•CD×3=12×3×4，即5CD+3CD=12，∴CD=32，故选：A．【点睛】本题考查了基本作图：作解平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线），角平分线的性质是解题的关键．6．C【分析】利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．【详解】在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；在图3中，根据作法可知：AE =AF ，AM =AN ，在△AMF 和△ANE 中，AF AE MAF NAE AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMF ≌△ANE （SAS ），∴∠AMD =∠AND ，∵AE =AF ，AM =AN ，∴ME =NF ，在△MDE 和△NDF 中，MDE NDF AMD AND ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDE ≌△NDF （AAS ），MDE NDF S S ∴=△△所以D 点到AM 和AN 的距离相等，∴AD 平分∠BAC ．综上，能判断射线AD 平分∠BAC 的是图1和图3．故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．7．B【分析】根据角平分线的性质得到AE =DE ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵BE 是△ABC 的角平分线，ED ⊥BC ，∠A =90°，∴AE =DE ，∵△CDE 的周长为12，CD =4，∴DE +EC =8，∴AC =AE +EC =8，故选：B ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．B【分析】延长BE 交AC 于H ，证明HAE BAE ∆≅∆，根据全等三角形的性质求出AH ，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：延长BE 交AC 于H ， AE 平分BAC ∠，HAE BAE ∴∠=∠，在HAE ∆和BAE ∆中，HAE BAE AE AEAEH AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()HAE BAE ASA ∴∆≅∆，6AH AB ∴==，HE BE =，HE BE =，AD DB =，//DF AC ∴，HE BE =，22HC EF ∴==，8AC AH HC ∴=+=，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．D【分析】过I 点作IE ⊥AB 于点E ，IF ⊥AC 于点F ，如图，利用角平分线的性质得到IE =IF =ID =3，然后根据三角形面积公式得到ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△，据此即可求得．【详解】解：过I 点作IE ⊥AB 于点E ，IF ⊥AC 于点F ，如图，∵AI ，BI ，CI 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∠ACB ，∴IE =IF =ID =3，∴ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△111333222AB BC AC =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 3()2AB BC AC =++ 3182=⨯ 27=故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．10．A【分析】根据O 是AD 与BC 的中点，得到OA =OD ，OB =OC ，根据∠AOB =∠DOC ，推出△AOB ≌△DOC ，是SAS ．【详解】∵O 是AD 与BC 的中点，∴OA =OD ，OB =OC ，∵∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ≌△DOC (SAS)．故选A ．【点睛】本题考查了测量原理，解决此类问题的关键是根据测量方法和工具推导测量原理．11．D【分析】过点P 作PD ⊥AC 于D ，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt △P AM ≌Rt △P AD ，根据全等三角形的性质得出∠APM ＝∠APD ，同理得出∠CPD ＝∠CPN ，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．【详解】解：①过点P 作PD ⊥AC 于D ，∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠FCA ，PM ⊥BE ，PN ⊥BF ，PD ⊥AC ，∴PM ＝PN ，PN ＝PD ，∴PM ＝PN ＝PD ，∴AP 平分∠EAC ，故①正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC +90°+∠MPN +90°＝360°，∴∠ABC +∠MPN ＝180°，在Rt △P AM 和Rt △P AD 中，PM PD PA PA=⎧⎨=⎩， ∴Rt △P AM ≌Rt △P AD （HL ），∴∠APM ＝∠APD ，同理：Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ），∴∠CPD ＝∠CPN ，∴∠MPN ＝2∠APC ，∴∠ABC +2∠APC ＝180°，②正确；③∵PC 平分∠FCA ，BP 平分∠ABC ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ＝2∠PCN ，∠PCN ＝12∠ABC +∠BPC ， ∴()1122PCN ABC BPC ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠BAC ＝2∠BPC ，③正确；④由②可知Rt △P AM ≌Rt △P AD （HL ），Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ）∴S △APD ＝S △APM ，S △CPD ＝S △CPN ，∴S △APM +S △CPN ＝S △APC ，故④正确，故选：D【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12．D【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC +∠BAD ＝180°，又BE 、AE 都是角平分线，可以推出∠ABE +∠BAE ＝90°，从而得到∠AEB ＝90°，然后延长AE 交BC 的延长线于点F ，先证明△ABE 与△FBE 全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE ＝EF ，然后证明△AED 与△FEC 全等，从而可以证明①②⑤正确，AB 与CD 不一定相等，所以③④不正确．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠ABC +∠BAD ＝180°，∵AE 、BE 分别是∠BAD 与∠ABC 的平分线，∴∠BAE ＝12∠BAD ，∠ABE ＝12∠ABC ，∴∠BAE +∠ABE ＝12（∠BAD +∠ABC ）＝90°，∴∠AEB ＝180°﹣（∠BAE +∠ABE ）＝180°﹣90°＝90°，故①小题正确；如图，延长AE 交BC 延长线于F ，∵∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AF ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠FBE ，在△ABE 与△FBE 中，90ABE FBE BE BEAEB FEB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝ ， ∴△ABE ≌△FBE （ASA ），∴AB ＝BF ，AE ＝FE ，∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠F ，在△ADE 与△FCE 中，EAD F AE FE AED FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴AD ＝CF ，∴AB ＝BF ＝BC +CF ＝BC +AD ，故②小题正确；∵△ADE ≌△FCE ，∴CE ＝DE ，即点E 为CD 的中点，∵BE 与CE 不一定相等∴BE 与12CD 不一定相等，故③小题错误；若AD ＝BC ，则CE 是Rt △BEF 斜边上的中线，则BC ＝CE ，∵AD 与BC 不一定相等，∴BC 与CE 不一定相等，故④小题错误；∵BF ＝AB ＝x ，BE ⊥EF ，∴BE 的取值范围为0＜BE ＜x ，故⑤小题正确．综上所述，正确的有①②⑤．故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE ⊥AF 并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高． 13．4【分析】由ABC DCB △≌△，可得AB =DC ，已知AB =4cm ，即可得DC 的长度，做题时要找准对应边．【详解】解：∵ABC DCB △≌△，∴AB ＝DC ＝4cm ．故答案为4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，题中条件虽多但找到相应关系即可得解，不需要用到所有条件，关键是找准对应边．14． CB ##BC HL【分析】根据题意，将AB 的长度转化为EB 的长度，证明Rt Rt ABC EBD ≌即可求解．【详解】解：由③可得将AB 的长度转化为EB 的长度，证明Rt Rt ABC EBD ≌，故把竹竿顶端沿AB 下滑至点D ，使DB ＝CB ，证明90,,ABC EBD AC ED DB CB ∠=∠=︒==，∴Rt Rt ABC EBD ≌（HL ）故答案为：CB ，HL ．【点睛】本题考查了HL 证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握HL 的性质与判定是解题的关键．15．3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE =DF ，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，∴S △ABC =12AB ×DE +12AC ×DF =12×4×2+12AC ×2=7，解得AC =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 16．①②③④【分析】首先由三角形内角和定理和角平分线得出PBC PCB ∠+∠的度数，再由三角形内角和定理可求出120BPC ∠=︒可知120DPE ∠=︒，过点P 作PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，由角平分线的性质可知AP 是BAC ∠的平分线，由此判断①；由全等三角形的判定定理可得出PFD PGE ≌，由此判断②；由三角形全等的判定定理可得出BHP BFP ≌，CHP CGP ≌，然后根据全等三角形推出BC BD CE =+，由此判断③，根据全等可得PBD S 、PCE S 和PBC S 的关系，由此判断④，由此即可解答本题．【详解】∵BE ，CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，60BAC ∠=︒， ∴11(180)(18060)6022BA B C PBC PC ︒-∠=︒+∠-︒=∠=︒， ∴()180********BPC PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴120DPE ∠=︒，过点P 作PF AB ⊥于F 点，PG ⊥AC 于G 点，PH ⊥BC 于H 点，∵BE ，CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥， ∴PF PH PG ==，∴AP 平分BAC ∠，故①正确；由①可知：PF PH PG ==，∵60BAC ∠=︒，90AFP AGP ∠=∠=︒，∴120FPG ∠=︒，∵120DPE ∠=︒，∴DPF DPE EPF FPG EPF EPG ∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴PFD PGE ASA ≌（）， ∴PD PE =，故②正确；又∵BP BP =，PF PH =，∴()Rt BHP Rt BFP HL ≌，同理：Rt CHP Rt CGP ≌，∴BH BD DF =+，CH CE GE =-，两式相加得：+=++BH CH BD DF CE GE -，∵PFD PGE ASA ≌（）， ∴DF GE =，∴BD CE BC =+，故③正确；∵PF PH PG ==，∴PBD △，PCE ，PBC △，的高相等，∵BD CE BC =+，∴PBD PCE PBC S S S +=，故④正确；故答案是：①②③④．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，角平分线的性质定理以及四边形内角为360°等知识，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．17．见解析【分析】利用AAS 证明△ABE ≌△DCF ，即可得到结论．【详解】证明：∵//AB CD ，∴∠B =∠C ，∵A D ∠=∠，BE CF =，∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE DF =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．证明见解析【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．19．见详解【分析】由题意易得A D ∠=∠，然后可证ABE DCF △≌△，进而问题可求证．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴A D ∠=∠，∵B C ∠=∠，BE CF =，∴ABE DCF △≌△（AAS ），∴AE DF =，∵,AF AE EF DE DF EF =-=-，∴AF DE =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．20．(1)见解析； (2)72；【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；（2）由（1）结论计算线段差即可解答；（1）证明：∵BE ∥CF ，∴∠BED =∠CFD ，∵∠BDE =∠CDF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：由（1）结论可得DE =DF ，∵EF =AE -AF =15-8=7，∴DE =72； 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS ）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．21．(1)见详解(2)∠DAE ，∠AED ，∠B ，CD【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可；（2）先证明()EAD CAD SAS ≌，再结合AED BDE ∠=∠+∠B ，且2C B ∠=∠，即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示即为所求；（2）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴DAC ∠=∠DAE ，在EAD 与CAD 中，AE AC EAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAD CAD SAS ≌，∴∠AED C =∠，DE CD =，AE =AC ，∵AED BDE ∠=∠+∠B ，且2C B ∠=∠，∴B BDE ∠=∠，∴BE DE =，∴BE =CD ，∵AB AE BE =+，∴AB AC CD =+．故答案是：∠DAE ，∠AED ，∠B ，CD ．【点睛】本题主要考查尺规作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．22．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）证明△ABO ≌△DCO （ASA ），即可得到结论；（2）由△ABO ≌△DCO ，得到OB ＝OC ，又OA ＝OD ，得到BD ＝AC ，又由∠A ＝∠D ，即可证得结论．【详解】（1）证明：在△ABO 与△DCO 中，A D OA ODAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ）∴AB ＝DC ；（2）证明：∵△ABO ≌△DCO ，∴OB ＝OC ，∵OA ＝OD ，∴OB ＋OD ＝OC ＋OA ，∴BD ＝AC ，在△ABC 与△DCB 中，AC BD A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∠D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据△ABC ≌△DEF ，AF =5cm,可以得到CD =AF ，从而可以得到CD 的长；（2）根据△ABC ≌△DEF ，可以得到∠A =∠D ，从而可以得到AB 与DE 平行．【详解】解：（1）∵△ABC ≌△DEF （已知），∴AC ＝DF （全等三角形对应边相等），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质）即AF ＝CD ，∵AF ＝5cm∴CD ＝5cm ；（2）∵△ABC ≌△DEF （已知）∴∠A ＝∠D （全等三角形对应角相等）∴AB DE （内错角相等，两直线平行）．故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∠D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．(1)①AB AF =，理由见解析；②DF AC ⊥，理由见解析；(2)见解析【分析】（1）①SAS 证明AEF AEB △≌△，即可推出AB AF =；②根据AD 垂直平分BF 可得BD DF =，进而SSS 证明ADF ADB ≌，可得90DFA DBA ∠=∠=︒，即可求解．（2）过点C 作CG BC ⊥，交BF 的延长线于点G ，ASA 证明ABD BCG △≌△,可得DB CG =，进而证明△FCG ≌FCD ()SAS ，得出FDC FGC ∠=∠，根据同角的余角相等，可得G ADB ∠=∠，等量代换可得∠FDC ＝∠ADB ．（1）①AB AF=，理由如下，AD平分∠BAC，FAD BAE∴∠=∠，BF⊥AD，AEB AEF∠=∠∴，又AE AE=，∴AEF AEB△≌△，∴AB AF=；②DF AC⊥，理由如下，AEF AEB△≌△，EF EB∴=，又AD FB⊥，DF DB∴=，在ADF△与ADB中AD ADAF ABDF DB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ADF△≌ADB()SSS，90ABC∠=︒，∴90DFA DBA∠=∠=︒，即DF AC⊥；（2）过点C作CG BC⊥，交BF的延长线于点G，如图，90GCB DBA∴∠=∠=︒，BF AD⊥，90ABC∠=︒，∴90,90 GBD ADB ADB DAB∠+∠=︒∠+∠=︒，GBD DAB∴∠=∠，又AB BC=，∴ABD BCG △≌△()ASA ，DB CG ∴=，点D 为BC 的中点，BD CD ∴=12BC =， CG CD ∴=， ,90AB AC ABC =∠=︒，45ACB ∴∠=︒，45FCB FCG ∴∠=∠=︒，在△FCG 与FCD 中，CG CD GCF DCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCG ≌FCD ()SAS ，FDC FGC ∴∠=∠，,CG CB AD BF ⊥⊥，FBD ADB FBD G ∴∠+∠=∠+∠，G ADB ∴∠=∠，∴∠FDC ＝∠ADB ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 25．(1)∠ADF =45°，ADDF ；(2)①成立，理由见解析；②1≤S △ADF ≤4.【分析】（1）延长DF 交AB 于H ，连接AF ，先证明△DEF ≌△HBF ，得BH =CD ，再证明△ADH 为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；（2）①过B 作DE 的平行线交DF 延长线于H ，连接AH 、AF ，先证明△DEF ≌△HBF ，延长ED 交BC 于M ，再证明∠ACD =∠ABH ，得△ACD ≌△ABH ，得AD =AH ，等量代换可得∠DAH =90°，即△ADH 为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；②先确定D 点的轨迹，求出AD 的最大值和最小值，代入S △ADF =214AD 求解即可．【详解】（1）解：∠ADF =45°，AD ，理由如下：延长DF 交AB 于H ，连接AF ，∵∠EDC =∠BAC =90°，∴DE ∥AB ，∴∠ABF =∠FED ，∵F 是BE 中点，∴BF =EF ，又∠BFH =∠DFE ，∴△DEF ≌△HBF ，∴BH =DE ，HF =FD ，∵DE =CD ，AB =AC ，∴BH =CD ，AH =AD ，∴△ADH 为等腰直角三角形，∴∠ADF =45°，又HF =FD ，∴AF ⊥DH ，∴∠F AD =∠ADF =45°，即△ADF 为等腰直角三角形，（2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD DF，理由如下：过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示，则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中点，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延长ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，即∠HAD=90°，∴∠ADH=45°，∵HF=DF，∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形，②由①知，S△ADF=12DF2=14AD2，由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2，当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，∴1≤S△ADF≤4．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线．。

第十二章 全等三角形知识点总结一、全等三角形的性质;全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

二、全等三角形的判定方法：一般三角形的判定方法：边角边（SAS ）、角边角（ASA ）、角角边（AAS ）、边边边（SSS ）直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边（HL ）全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记；②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。

全等三角形的证明思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 三、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ．四、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）角平分线的画法：第十一章 全等三角形测试题（A ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1、下列说法正确的是（ ）A ：全等三角形是指形状相同的两个三角形 C ：全等三角形的周长和面积分别相等C ：全等三角形是指面积相等的两个三角形D ：所有的等边三角形都是全等三角形 2、如图：若△ABE ≌△ACF ，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ） A ：2 B ：3 C ：5 D ：2.53、如图：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，则下列结论：①△ABD ≌△ACD ，②∠B=∠C ，③BD=CD ，④AD ⊥BC 。

《第12章全等三角形》一、解答题1．如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，求AD的取值范围．2．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．4．已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC．5．如图，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，求证：PQ=PB+DQ．6．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．7．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，①CP的长为cm（用含t的代数式表示）；②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？9．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．10．如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明．11．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD，BD=12，点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．（1）试证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时移动时间和G点的移动距离．12．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系．（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．二、作图题（共5小题，满分0分）13．如图，已知∠AOB=a外有一点P，画点P关于直线OA的对称点P′，再作点P′关于直线OB的对称点P″．（1）试猜想∠POP″与a的大小关系，并说出你的理由．（2）当P为∠AOB 内一点或∠AOB边上一点时，上述结论是否成立？14．如图，铁路和公路都经过P地，曲线MN是一条河流，现欲在河上建一个货运码头Q，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头Q的位置．（注意：①保留作图痕迹；②在图中标出点Q）15．（1）如图（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；（2）如图（2）在道路L上键一个水坝站P，使向A′B两村送水所用水管PA+PB最短，水坝站P应建何处？16．已知，P为∠AOB内一点，PO=24cm，∠AOB=30°，试在OA、OB上分别找出两点C、D，使△PCD 周长最小，并求这个最小周长．17．（1）如图1，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，使得它到三个小区的距离相等，请作图找到购物中心的位置．（2）如图2，有a、b、c三条公路，先要建一个货物中转站到三条公路的距离相等，请作图找到货物中转站的位置．《第12章全等三角形》参考答案与试题解析一、解答题1．如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，求AD的取值范围．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE．∵AB﹣AE＜AE＜AB+BE，∴AB﹣AC＜2AD＜AB+AC．∵AB=8，AC=5，∴1.5＜AD＜6.5．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．2．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】可延长ED至P，使DP=DE，连接FP，连接CP，将BE转化为PC，EF转化为FP，进而在△PCF中即可得出结论．【解答】答：BE+CF＞FP=EF．证明：延长ED至P，使DP=DE，连接FP，CP，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDP中，∴△BDE≌△CDP（SAS），∴BE=CP，∵DE⊥DF，DE=DP，∴EF=FP，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在△CFP中，CP+CF=BE+CF＞FP=EF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明ED=EC即可．【解答】证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴AB+BD=AE+CE=AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线﹣截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．4．已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】先延长AD至F，使得CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根据AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF，从而证出∠BMA=∠F，AM=CF，再根据所给的条件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD．【解答】证明：如图，延长AD至F，使得CF⊥AC．∵AB⊥AC，AD⊥BM，∴∠ABM=∠DAC，在△ABM与△CAF中，，∴△ABM≌△CAF（ASA），∴∠BMA=∠F，AM=CF，在△FCD与△MCD中，，∴△FCD≌△MCD（SAS），∴∠F=∠CMD，∴∠AMB=∠DMC．【点评】此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角形的性质和全等三角形的判断与性质进行解答即可．5．如图，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，求证：PQ=PB+DQ．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，根据旋转的性质可得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，然后求出∠EAP=∠PAQ=45°，再利用“边角边”证明△APE和△APQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PQ=PE，再根据PE=PB+BE等量代换即可得证．【解答】证明：如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，由旋转的性质得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，∵∠PAQ=45°，∴∠EAP=∠PAQ=45°，在△APE和△APQ中，，∴△APE≌△APQ（SAS），∴PQ=PE，∵PE=PB+BE，∴PQ=PB+DQ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN ≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题．【解答】解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质，本题中求证MN=NE=NC+CE=NC+BM是解题的关键．7．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【解答】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，，解得；综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．8．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，①CP的长为cm（用含t的代数式表示）；②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？【考点】四边形综合题．【分析】（1）①根据正方形边长为10cm和点P在线段BC上的速度为4cm/秒即可求出CP的长；②分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况进行解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）①PC=BC﹣BP=10﹣4t；②当△BPE≌△CPQ时，BP=PC，BE=CQ，即4t=10﹣4t，at=6，解得a=4.8；当△BPE≌△CQP时，BP=CQ，BE=PC，即4t=at，10﹣4t=6，解得a=4；（2）当a=4.8时，由题意得，4.8t﹣4t=30，解得t=37.5，∴点P共运动了37.5×4=150cm，∴点P与点Q在点A相遇，当a=4时，点P与点Q的速度相等，∴点P与点Q不会相遇．∴经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．【点评】本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．9．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）如答图2，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP；（2）如答图3，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP．【解答】题干引论：证明：如答图1，过点D作DF⊥MN，交AB于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．（1）答：BD=DP成立．证明：如答图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．（2）答：BD=DP．证明：如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的性质．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等直接回答；（2）过P作OA、OB的垂线，构造图①的图形，利用（1）的结论证明PC、PD所在的三角形全等；（3）仿（2）的证明可得PC=PD．【解答】解：（1）证明：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，OM平分∠AOB，∴∠CPO=∠OPD=30°，∠AOP=∠POB=60°，∴PD⊥OB于D，∴PC=PD．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）（2）解：PC=PD．过P点作PQ⊥OA于Q，PN⊥OB于N．由（1）得 PQ=PN．∵∠AOB=120°，∴∠QPN=360°﹣90°﹣90°﹣120°=60°．∴∠QPC=∠NPD=60°﹣∠CPN．∴△PQC≌△PND．（ASA）∴PC=PD．（3）解：PC=PD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，由易到难层层递进，把握解题思路是关键．11．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD，BD=12，点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．（1）试证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时移动时间和G点的移动距离．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由AD=BC=8，AB=CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；（2）设G点的移动距离为y，分两种情况，一种F由C到B，一种F由B到C，再结合△DEG≌△BFG 可得到DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF可得到方程，解出时间t和y的值即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设G点的移动距离为y，当△DEG与△BFG时有：∠EDG=∠FBG，∴DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF，当F由C到B，即0＜t≤时，则有，解得，或，解得（舍去），当F由B到C，即时，有，解得，或，解得，综上可知共有三次，移动的时间分别为2秒、4秒、5秒，移动的距离分别为6、6、5．【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等，从而得到方程解得．12．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系．（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】动点型；操作型．【分析】（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；（2）结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论．【解答】解：（1）BG=DE，BG⊥DE；∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，BC=DC∠BCG=∠DCE CG=CE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE；延长BG交DE于点H，∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE，即BG⊥DE；（2）BG=DE，BG⊥DE仍然成立，在图（2）中证明如下∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°∴∠CDE+∠DHO=90°∴∠DOH=90°∴BG⊥DE．【点评】此题考查的知识点是正方形的性质，解答本题关键要充分利用正方形的特殊性质，利用三角形全等论证．二、作图题（共5小题，满分0分）13．如图，已知∠AOB=a外有一点P，画点P关于直线OA的对称点P′，再作点P′关于直线OB的对称点P″．（1）试猜想∠POP″与a的大小关系，并说出你的理由．（2）当P为∠AOB 内一点或∠AOB边上一点时，上述结论是否成立？【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形，再由HL定理得出△DOP′≌△DOP，△EOP″≌△EOP′根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）根据题意画出图形，同（1）可得出结论．【解答】解：（1）猜想：∠POP″=2α．理由：如图1，在△DOP′与△DOP中∵，∴△DOP′≌△DOP．同理可得，△EOP″≌△EOP′∴∠P OP″=2α；（2）成立．如图2，当点P在∠AOB内时，∵同（1）可得，△DOP′≌△DOP，EOP″≌△EOP′，∴∠POD=∠P′OD，∠EOP″=∠EOP′，∴∠POP″=∠P′OP″﹣∠POP′=3α﹣α=2α．如图3，当点P在∠AOB的边上时，∵同（1）可得△EOP″≌△EOP，∴∠POP″=2α．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．14．如图，铁路和公路都经过P地，曲线MN是一条河流，现欲在河上建一个货运码头Q，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头Q的位置．（注意：①保留作图痕迹；②在图中标出点Q）【考点】作图—应用与设计作图．【分析】根据角平分线的作法，作出铁路与公路所形成的角的平分线，角平分线与河流的交点即为所求．【解答】解：如图所示：，点Q即为所求．【点评】此题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．15．（1）如图（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；（2）如图（2）在道路L 上键一个水坝站P ，使向A′B 两村送水所用水管PA+PB 最短，水坝站P 应建何处？【考点】轴对称-最短路线问题；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】（1）作∠AOB 的平分线和线段CD 的中垂线，两者的交点就是P ；（2）作出A 关于m 的对称点A'，连接A'B 于直线m 的交点就是P ．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了基本作图，理解角平分线的性质、以及线段的中垂线的性质是关键．16．已知，P 为∠AOB 内一点，PO=24cm ，∠AOB=30°，试在OA 、OB 上分别找出两点C 、D ，使△PCD 周长最小，并求这个最小周长．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连P 1、P 2，交OA 于C ，交OB 于D ，△PCD 的周长=P 1P 2，然后证明△OP 1P 2是等边三角形，即可求解．【解答】解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连P 1、P 2，交OA 于C ，交OB 于D ， 则OP 1=OP=OP 2，∠P 1OA=∠POA ，∠POB=∠P 2OB ，CP=P 1C ，PD=P 2D ，则△PCD 的周长的最小值=P 1P 2，∴∠P 1OP 2=2∠AOB=60°，∴△OP 1P 2是等边三角形，△PCD 的周长=P 1P 2，∴P 1P 2=OP 1=OP 2=OP=24cm ．【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．17．（1）如图1，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，使得它到三个小区的距离相等，请作图找到购物中心的位置．（2）如图2，有a 、b 、c 三条公路，先要建一个货物中转站到三条公路的距离相等，请作图找到货物中转站的位置．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出P 点即可；（2）利用角平分线的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：（1）如图所示：P 点即为所求；（2）如图所示：D ，E ，F ，G 点即为所求．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．。

《第12章全等三角形》一、选择题1．下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A．∠B=∠B′B．∠C=∠C′C．BC=B′C′D．AC=A′C′4．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD（）P点到∠AOB两边距离之和．A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定5．如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等．其中能判断两直角三角形全等的是（）A．①B．②C．③D．①②7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：58．如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC 于G，下列结论正确的是（）A．∠C=∠ABC B．BA=BG C．AE=CE D．AF=FD二、填空题9．如图，Rt△ABC中，直角边是，斜边是．10．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．11．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=°．12．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有对．13．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．为．14．正方形ABCD中，AC，BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4．则S△BEF三、解答题（共44分）15．已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，求证：△AOB≌△DOC．16．如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE．17．如图2，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你红方的指挥员，请你在图1所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置，并简要说明理由．18．如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：AD平分∠BAC．20．八（一）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC 至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由；（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由；（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？．《第12章全等三角形》参考答案与试题解析一、选择题1．下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】全等图形．【专题】常规题型．【分析】根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．【解答】解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A．∠B=∠B′B．∠C=∠C′C．BC=B′C′D．AC=A′C′【考点】全等三角形的判定．【分析】注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．【解答】解：AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′符合ASA，A正确；∠C=∠C′符合AAS，B正确；AC=A′C′符合SAS，D正确；若BC=B′C′则有“SSA”，不能证明全等，明显是错误的．故选C．【点评】考查三角形全等的判定的应用．做题时要按判定全等的方法逐个验证．4．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD（）P点到∠AOB两边距离之和．A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则∠PED=∠PFD=90°，根据垂线段最短得出PC＞PE，PD ＞PF，即可得出答案．【解答】解：过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则∠PED=∠PFD=90°，所以PC＞PE，PD＞PF，∴PC+PD＞PE+PF，即CD大于P点到∠AOB两边距离之和，故选B．【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解此题的关键是推出PD＞PF，PC＞PE．5．如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据全等三角形的判定定理，可以推出①②③为条件，④为结论，依据是“SAS”；①②④为条件，③为结论，依据是“SSS”．【解答】解：当①②③为条件，④为结论时：∵∠A′CA=∠B′CB，∴∠A′CB′=∠ACB，∵BC=B′C，AC=A′C，∴△A′CB′≌△ACB，∴AB=A′B′，当①②④为条件，③为结论时：∵BC=B′C，AC=A′C，AB=A′B′∴△A′CB′≌△ACB，∴∠A′CB′=∠ACB，∴∠A′CA=∠B′CB．故选B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理．6．有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等．其中能判断两直角三角形全等的是（）A．①B．②C．③D．①②【考点】直角三角形全等的判定．【专题】证明题．【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL对①②③逐个分析，然后即可得出答案．【解答】解：∵①一锐角与一边对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，②两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；③两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，所以不能判定两直角三角形全等．故选D．【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题．7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【考点】角平分线的性质．【专题】数形结合．【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．8．如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC 于G，下列结论正确的是（）A．∠C=∠ABC B．BA=BG C．AE=CE D．AF=FD【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=EG，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△GBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BA=BG．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD是斜边上的高，AD是∠ABC的平分线，∴AE=EG，在Rt△ABE和Rt△GBE中，，∴Rt△ABE≌Rt△GBE（HL），∴BA=BG．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质以及三角形全等的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键．二、填空题9．如图，Rt△ABC中，直角边是，斜边是．【考点】直角三角形的性质．【分析】根据直角三角形的定义解答即可．【解答】解：Rt△ABC中，直角边是AC、BC，斜边是AB．故答案为：AC、BC；AB．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的定义以及边的概念是解题的关键．10．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AE=AD，∠A=∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．【解答】解：∵∠A=∠A，AE=AD，添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA），∴△ABE≌△ACD．故填：∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．11．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=°．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，即可求出∠A的度数．【解答】解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°∴∠A′=55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°；故答案为：55°．【点评】此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．12．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有对．【考点】全等三角形的判定．【分析】在如上图形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等，然后得到结论，再找其它的三角形由易到难．【解答】解：∵AD∥BC，OE=OF，∴∠FAC=∠BCA，又∠AOF=∠COE，∴△AFO≌△CEO，∴AO=CO，进一步可得△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD共有6对．故填6【点评】考查全等三角形的判定，做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻，注意顺序别遗漏．13．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．【考点】全等三角形的应用．【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．为．14．正方形ABCD中，AC，BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4．则S△BEF【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】结合正方形的性质可证到△AOE≌△BOF，则有AE=BF=3，即可得到AB=BC=7，从而可求出EB=4，由此可求出△BEF的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，OA=OB，∠ABC=∠AOB=90°，∠BAC=∠CBD=45°．∵∠EOF=90°，∴∠AOE=∠BOF=90°﹣∠EOB．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE=BF=3，∴BC=BF+FC=3+4=7，∴AB=BC=7，∴BE=AB﹣AE=7﹣3=4，=BE•BF=×4×3=6．∴S△BEF故答案为6．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证到△AOE≌△BOF是解决本题的关键．三、解答题（共44分）15．已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，求证：△AOB≌△DOC．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据对顶角相等可得∠AOB=∠DOC，然后利用“角角边”证明即可．【解答】证明：在△AOB和△DOC中，，所以，△AOB≌△DOC（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于根据对顶角相等确定出三角形全等的条件．16．如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】要证明BC=DE，只要证明三角形ABC和ADE全等即可．两三角形中已知的条件有AB=AD，AC=AE，只要再得出两对应边的夹角相等即可．我们发现∠ABC和∠DAE都是由一个相等的角加上∠DAC，因此∠ABC=∠DAE，这样就构成了两三角形全等的条件（SAS），两三角形就全等了．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即：∠BAC=∠DAE．在△ABC与又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC=DE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．17．如图2，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你红方的指挥员，请你在图1所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置，并简要说明理由．【考点】全等三角形的应用．【专题】作图题．【分析】根据角平分线的性质，到角的两边相等的点在这个角的角平分线上作图即可．【解答】解：在两条路所夹角的平分线上，由比例尺算出到B点的距离为3.5cm．【点评】本题考查了全等三角形的应用；关键是把实际问题中铁路，公路转化成两条相交线，产生夹角，利用角平分线性质，解决问题．18．如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．【专题】探究型．【分析】首先根据已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质有目的地证明相关的角相等，从而证明直线平行．【解答】解：AB∥CF．证明如下：∵∠AED与∠CEF是对顶角，∴∠AED=∠CEF，在△ADE和△CFE中，∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE．∴∠A=∠FCE．∴AB∥CF．【点评】运用了全等三角形的判定以及性质，注意根据已知条件选择恰当的角证明两条直线平行．发现并利用三角形全等是解决本题的关键．19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：AD平分∠BAC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由于D是BC的中点，那么BD=CD，而BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt △CDF，可得DE=DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．【解答】证明：∵D是BC的中点∴BD=CD，又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC．【点评】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt△BDE ≌Rt△CDF．20．八（一）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC 至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由；（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由；（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？．【考点】相似三角形的应用；全等三角形的应用．【专题】应用题；方案型．【分析】（1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；（2）由题意可证明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，故此时方案（Ⅱ）不成立．【解答】解：（1）方案（Ⅰ）可行；∵DC=AC，EC=BC且有对顶角∠ACB=∠DCE∴△ACB≌△DCE（SAS）∴AB=DE∴测出DE的距离即为AB的长故方案（Ⅰ）可行．（2）方案（Ⅱ）可行；∵AB⊥BC，DE⊥CD∴∠ABC=∠EDC=90°又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDC∴AB=ED∴测出DE的长即为AB的距离故方案（Ⅱ）可行．（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE．若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立；理由：若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴=，∴只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长．但是此题没有其他条件，可能无法测出其他线段长度，∴方案（Ⅱ）不成立．【点评】本题主要考查了全等三角形的证明及性质和相似三角形的判定和性质．。

第十二章全等三角形单元总结【思维导图】【知识要点】知识点1：全等图形能完全重合的图形叫做全等图形.特征：①形状相同。

②大小相等。

③对应边相等、对应角相等。

【典例分析】1．下列说法正确的是（）A．面积相等的两个图形全等B．周长相等的两个图形全等C．形状相同的两个图形全等D．全等图形的形状和大小相同【答案】D【解析】根据等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【详解】A、面积相等的两个图形全等，说法错误；（错误原因：混淆概念，是全等图形的周长面积相等，而周长面积相等的图形不一定全等）B、周长相等的两个图形全等，说法错误；C、形状相同的两个图形全等，说法错误；D、全等图形的形状和大小相同，说法正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等形，关键是掌握全等形，形状和大小相等．2．如图（1）～（12）中全等的图形是________ 和________ ；________ 和________ ；________ 和________；________ 和________ ；________和________ ；________ 和________ ；（填图形的序号）【答案】（1）（11）（2）（10）（3）（6）（4）（7）（5）（8）（9）（12）【解析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．【详解】全等图形是（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）．【点睛】本题考查了全等图形，掌握概念并准确识别各图形的形状是解题的关键．3．如图，四边形EFGH与四边形ABCD是全等图形，若AD=5，∠B=70°．则EH=________ ，∠F=________ ．【答案】5 70°【解析】根据全等图形的性质对应角相等对应边相等进而得出答案．【详解】∵四边形EFGH与四边形ABCD是全等图形，AD=5，∠B=70°，∴EH=AD=5，∠F=∠B=70°，故答案为：5，70°．【点睛】本题考查了全等图形的性质，得出对应边以及对应角是解题关键．知识点2：全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.【典例分析】4．（2018·全国初二单元测试）如图，，，则的对应边是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据全等三角形中对应角所对的边是对应边，可知BC=DA．【详解】∵ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∴∠BAC与∠DCA是对应角，∴BC与DA是对应边（对应角对的边是对应边）．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形中对应边的找法，要求学生要掌握．5．已知：ABC≌△A’B’C’，A’B’C’的周长为12cm，则ABC的周长为_______.【答案】12【解析】全等三角形就是能够完全重合的三角形，因而全等的三角形周长一定相等，由此即可得答案.【详解】∵△ABC≌△A′B′C′，∴△ABC的周长=A′B′C′的周长=12cm，故答案为：12.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，是需要识记并会应用的内容，熟知全等三角形的定义是解题的关键.6．如图,ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:_______.【答案】BC和BC,CD和CA,BD和AB【解析】全等三角形就是能够完全重合的三角形，因而得出能重合的角就是对应角，重合的边就是对应边．【详解】∵△ABC≌DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对应角，∴对应边是BC和BC，CD和CA，BD和AB，故答案为：BC和BC，CD和CA，BD和AB.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，是需要识记并会应用的内容，找对应边时要根据已知条件.知识点3：全等三角形的判定（重点）注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形周长、面积相等．【典例分析】7．（2018·黑龙江中考真题）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是_____．【解析】根据全等三角形的判定解答即可.【详解】因为AC=BC, ∠C=∠C, 所以添加∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD,可得ADC与BEC全等, 利用全等三角形的性质得出AD=BE,故答案为: ∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS,ASA,AAS,HL.注意: AAA、SSA不能判定两个三角形全等, 判定两个三角形全等时, 必须有边的参与, 若有两边一角对应相等时, 角必须是两边的夹角.8．（2018·四川省泸定中学中考真题）如图，已知,要使,还需添加一个条件，则可以添加的条件是。

一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．203．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且ODBC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．644．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =5．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（ ）A ．90A ︒-∠B ．1802A ︒-∠C ．1902A ︒-∠D ．11802A ︒-∠ 6．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7．如图，123,,l l l 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．A ．1B ．2C ．3D ．48．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 9．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL11．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF 13．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，∠C ＝40°B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4C ．∠C ＝90°，AB ＝6D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°14．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 15．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2二、填空题16．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．17．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C 的坐标为()0,3，另一个顶点B 的坐标为()8,8，则点A 的坐标为____________18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．19．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．20．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．21．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．22．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．24．如图，已知△ABC 的面积为18，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是_____．25．如图，在ABC 中，AB AC =，BD CD =，点E ，F 是AD 上的任意两点、若8BC =，6AD =，则图中阴影部分的面积为__________．26．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．三、解答题27．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．28．如图，在ABC ∆中，90,C ∠=︒点D 在BC 上，过点D 作DE AB ⊥于点,E 点F 是AC 边上一点，连接DF ．若,BD DF CF EB ==，求证：AD 平分BAC ∠．29．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 30．已知ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，ADE 为等腰直角三角形，AD AE =，点D 在直线BC 上，连接CE ．（1）若点D 在线段BC 上，如图1，求证：CE BC CD =-；（2）若D 在CB 延长线上，如图2，若D 在BC 延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；（3）若10CE =，4CD =，则BC 的长为________．。

人教版数学《第十二章全等三角形》知识点梳理及同步训练知识梳理一．全等三角形概念1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．二．全等三角形的性质：1.全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．2.全等三角形的周长、面积相等．三．全等的变换1.全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．2.全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素四．两个三角形全等的条件1.全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．2.全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．3.全等三角形的判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．4.全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．5.直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．判定直角三角形全等的方法：①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边-直角边公理五．判定三角形全等方法的选择：1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

第十二章全等三角形单元测试答案一、单选题(共10小题,每小题4分，共计40分)1．（2018·黑龙江中考真题）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】B【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．【详解】作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.2．（2018·贵州中考真题）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【答案】B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．详解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2018·江阴市暨阳中学初二月考）如图，已知，，下列哪个条件不能判定≌（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：A．∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN；B．AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN；C．AM=CN，有SSA，不能判定△ABM≌△CDN；D．AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN．故选C．考点：全等三角形的判定．4．（2018·丹阳市云阳学校初二期末）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】分析：根据全等三角形的判定解答即可．详解：由图形可知：AB=，AC=3，BC=，GD=，DE=，GE=3，DI=3，EI=，所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等．故选B．点睛：本题考查了全等三角形的判定，关键是根据SSS证明全等三角形．5．（2018·江苏中考真题）如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：详解：如图,∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2, 又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C. ∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD, ∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b, 又∵EF=c,∴AD=a+b-c. 故选:D.点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.6．（2018·陕西高新一中初一期末）如图，大树AB与大数CD相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED.已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，小华行走到点E的时间是（）A．13s B．8s C．6s D．5s【答案】B【解析】分析: 首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=5m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间详解:：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC，在△ABE和△DCE中＝＝，＝∴△ABE≌△ECD（AAS），∴EC=AB=5m，∵BC=13m，∴BE=8m，∴小华走的时间是8÷1=8（s），故选：B.点睛: 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD.7．（2018·北京市第四十四中学初二期中）如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )A．甲B．乙与丙C．丙D．乙【答案】B【解析】乙图中利用角角边可证明全等.丙图中可以用边角边可证明全等.故选B.8．（2017·上海市廊下中学初二期末）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边分别对应相等B．两个锐角分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和一条斜边分别对应相等【答案】B【解析】解：A．可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；B．两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；C．可以利用HL判定两三角形全等，不符合题意；D．可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．故选B．点睛：本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．9．（2017·大石桥市水源镇九年一贯制学校初二期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（）A．2；SAS B．4；SAS C．2；AAS D．4；ASA【答案】D【解析】由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃.故选：D.点睛：本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键. 10．（2017·丹阳市第三中学初二期中）如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A．8个B．6个C．4个D．2个【答案】C【解析】解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．故选C．点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．二、填空题(共5小题,每小题4分，共计20分)11．（2018·富顺县北湖实验学校初二期末）如图，若AB=AC,BD=CD,∠B=20°,∠BDC=120°,则∠A=________.【答案】80【解析】试题解析：连接故答案为：12．（2017·甘肃省武威第五中学初二月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是______．【答案】3．【解析】解：如图，过点D作DF⊥AC于F．∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF．由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得：AC=3．故答案为：3．点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解答本题的关键．13．（2019·哈尔滨市萧红中学初一期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，CF=5,BD=2,点C到直线AB的距离为9，△ABC面积为_________.【答案】31.5【解析】根据平行线性质求出∠A=∠FCE，根据AAS推出△ADE ≌△CFE,则AD=CF ，AB=CF+BD=7,再代入三角形面积公式S=12ah ，即可解答. 【详解】证明：∵FC ∥AB ，∴∠A=∠FCE ，在△ADE 和△CFE 中 AED FEC A FCEDE EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ADE ≌△CFE ．∴AD=CF ．+527AB CF BD ∴==+=点C 到直线AB 的距离为9∴△ABC 面积=792=31.5⨯÷故△ABC 面积为31.5【点睛】本题考查三角形的判定和性质.于证明AD=CF 是解题关键.14．（2017·四川中考真题）△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是____．【答案】1<m <4【解析】试题分析：延长AD 至E ，使AD=DE ，连接CE ，则AE=2m ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，在△ADB 和△EDC 中，∵AD=DE ，∠ADB=∠EDC ，BD=CD ，∴△ADB ≌△EDC ，∴EC=AB=5，在△AEC 中，EC ﹣AC ＜AE ＜AC+EC ，即5﹣3＜2m ＜5+3，∴1＜m ＜4，故答案为：1＜m ＜4．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．15．（2019·内蒙古中考真题）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为_____．【答案】①②．【解析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确【详解】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；故答案为：①②．【点睛】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．三、解答题16．（2017·江苏中考真题）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．【解析】根据同角的余角相等可得到，结合条件，再加上，可证得结论；根据，，得到，根据等腰三角形的性质得到，由平角的定义得到．【详解】证明：，，，在△ABC和△DEC中，，△ △，；（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．17．（2018·湖北中考真题）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【详解】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．18．（2017·山东中考真题）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得.试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAE=∠DCF，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴BE=DF ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键. 19．（2018·湖北中考真题）如图正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别为DC 、BC 中点．（1）求证：△ADE ≌△ABF ．（2）求△AEF 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD 为正方形，得到AB=AD ，∠B=∠D=90°，DC=CB ，由E 、F 分别为DC 、BC 中点，得出DE=BF ，进而证明出两三角形全等；（2）首先求出DE 和CE 的长度，再根据S △AEF =S 正方形ABCD -S △ADE -S △ABF -S △CEF 得出结果．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠D=∠B=90°，DC=CB ，∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE=12DC ，BF=12BC ， ∴DE=BF ，在△ADE 和△ABF 中，{AD ABB D DE BF=∠=∠=，∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；（2）解：由题知△ABF 、△ADE 、△CEF 均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=12×4=2，CE=CF=12×4=2， ∴S △AEF =S 正方形ABCD ﹣S △ADE ﹣S △ABF ﹣S △CEF=4×4﹣12×4×2﹣12×4×2﹣12×2×2 =6．。

八年级数学上册第十二章全等三角形知识点汇总单选题1、如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（）A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF答案：D分析：根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，故只能添上斜边这一条件，即可解答．解：∵∠B=∠E=90°，AB=DE，∴添加条件AC=DF，根据“HL”即可判定Rt△ABC≌Rt△DEF；或添加条件AD=CF，也可得出AC=DF，根据“HL”即可判定Rt△ABC≌Rt△DEF，故D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．2、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°答案：B分析：由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD ＝∠CBE＝70°即可．解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，{CE=BDBC=CB，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．小提示：本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．3、如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SASB．SSSC．ASAD．AAS答案：A分析：已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．解：在△ADC与△ABC中，{CD=CB∠ACD=∠ACBAC=AC．∴△ADC≌△ABC（SAS）．故选：A．小提示：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、为了测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS答案：B分析：利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等解答．解：在△ABO和△CDO中{OA=OC ∠AOB=COD OB=OD∴△ABO≌△CDO（SAS）故选B小提示：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．5、观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（）A．B．C ．D ．答案：C 分析：根据角平分线画法逐一进行判断即可．A ：所作线段为AB 边上的高，选项错误；B ：做图痕迹为AB 边上的中垂线，CD 为AB 边上的中线，选项错误；C ：CD 为∠ACB 的角平分线，满足题意。

2019年人教版八年级上《第12章全等三角形》单元测试含解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE =S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE二、填空题4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．三、解答题8．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．9．如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．（1）求证：CF=AD；（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．10．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．11．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF 的延长线于点E，连接AE．（1）求证：EC=DA；（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．12．（•营口）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上．（1）探究DE与DF的关系，并给出证明；（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）14．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．15．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．17．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．18．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．19．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．20．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．第12章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE ≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE =S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE ≌△CDE ，推出∠ABE=∠DCE ，再证△ADH ≌△CDH ，求得∠HAD=∠HCD ，推出∠ABE=∠HAD ；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE 中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan ∠ABE=tan ∠EAG=，得到AG=BG ，GE=AG ，于是得到BG=4EG ，故②正确；根据AD ∥BC ，求出S △BDE =S △CDE ，推出S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；由∠AHD=∠CHD ，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD ，故④正确；【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点，∴AE=DE ，AB=CD ，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAE 和△CDE 中∵，∴△BAE ≌△CDE （SAS ），∴∠ABE=∠DCE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∵在△ADH 和△CDH 中，，∴△ADH ≌△CDH （SAS ），∴∠HAD=∠HCD ，∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD ，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°﹣90°=90°，∴AG ⊥BE ，故①正确；∵tan ∠ABE=tan ∠EAG=，∴AG=BG ，GE=AG ，∴BG=4EG，故②正确；∵AD∥BC，∴S△BDE =S△CDE，∴S△BDE ﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE =S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．3．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．【解答】解：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．二、填空题4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．【解答】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图所示，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴CG=BC=2，∵AC==4，∴AG=4﹣2，∵△AGF∽△CBA∴，∴AF==，FG==，∴AE=2﹣=，∴AE+AF=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4 cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是①②．（请写出正确结论的序号）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．【专题】压轴题．【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD 为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD=DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF=AB=AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；∴∠FEA=∠ADF，∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，在△FEB和△CDF中，．∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为：①②．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题8．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AB=CD；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，BE=CF，∵AB=CF，∠B=30°，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠D=．【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．9．如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．（1）求证：CF=AD；（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【分析】（1）根据中点的性质，可得AE与EF的关系，根据平行的性质，可得内错角相等，根据全等三角形的判定与性质，可得CF与DA的关系，根据等量代换，可得答案；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BFCD的形状，根据直角三角形的性质，可得BD=CD，根据菱形的判定，可得答案；【解答】（1）证明∵AE是DC边上的中线，∴AE=FE，∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE．在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF=DA．（2）∵CD是△ABC的中线，∴D是AB的中点，∴AD=BD，∵△ADE≌△FCE，∴AD=CF，∴BD=CF，∵AB∥CF，∴BD∥CF，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴△ACB是直角三角形，∴CD=AB，∵BD=AB，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形．【点评】本题考查了四边形综合题，（1）利用了全等三角形的判定与性质，（2）利用了直角三角形的性质，菱形的判定分析．10．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】利用SAS证得△ADC≌△AEB后即可证得结论．【解答】解：在△ADC和△AEB中，∵，∴△ADC≌△AEB，∴BE=CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定的方法，难度不大．11．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF 的延长线于点E，连接AE．（1）求证：EC=DA；（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F是CD的中点，得出FD=CF，再利用AAS证明△FEC与△DBF全等，进一步证明即可；（2）利用直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的，得出CD=DA，进一步得出结论即可．【解答】（1）证明：∵EC∥AB，∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，∵F是CD的中点，∴FD=CF，在△FEC与△DBF中，∴△FEC≌△DBF，∴EC=BD，又∵CD是AB边上的中线，∴BD=AD，∴EC=AD．（2）四边形AECD是菱形．证明：∵EC=AD，EC∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC⊥CB，CD是AB边上的中线，∴CD=AD=BD，∴四边形AECD是菱形．【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，即可求解．【解答】解：（1）BD=CE．理由是：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE；（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD=∠ADC=45°，∴AC=AD，∠CAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE．∵AE=AB=7，∴BE==7，∠ABE=∠AEB=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，∴EC===，∴BD=CE=．（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，又∵∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45°，∴AE=AB=7，BE==7，又∵∠ACD=∠A DC=45°，∴∠BAE=∠DAC=90°，∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE，∵BC=3，∴BD=CE=7﹣3（cm）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上．（1）探究DE与DF的关系，并给出证明；（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质．【分析】（1）连接CD，首先根据△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点得到CD=AD，CD⊥AD，然后根据四边形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形，从而得到△DCE≌△DAF，证得DE=DF，DE⊥DF；（2）根据DE=DF，DE⊥DF，得到EF=DE=DF，从而得到当DE和DF同时最短时，EF 最短得到此时点P与点D重合线段EF最短．【解答】解：（1）DE=DF，DE⊥DF，证明：连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，∴CD=AD，CD⊥AD，∵四边形PECF是矩形，∴CE=FP，FP∥CB，∴△APF是等腰直角三角形，∴AF=PF=EC，∴∠DCE=∠A=45°，∴△DCE≌△DAF，∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，∵∠CDA=90°，∴∠EDF=90°，∴DE=DF，DE⊥DF；（2）∵DE=DF，DE⊥DF，∴EF=DE=DF，∴当DE和DF同时最短时，EF最短，∴当DF⊥AC，DE⊥AB时，二者最短，∴此时点P与点D重合，∴点P与点D重合时，线段EF最短．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形及矩形的性质，解题的关键是能够证得两个三角形全等，难度不大．14．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF．【解答】证明：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EFD中∴△ABC≌△EFD（SAS）∴BC=FD．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中．15．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．17．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可．【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，∴AM=AN，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠NAD，在△AMD与△AND中，，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM=DN．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明．18．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题．【分析】由在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，∴OB=OD，在△AOB和△EOD中，，∴△AOB≌△EOD（AAS），∴OA=OE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．19．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等式的性质得出BD=CE，再利用SAS得出：△ABD与△FEC全等，进而得出∠ADB=∠FCE．【解答】证明：∵BC=DE，∴BC+CD=DE+CD，即BD=CE，在△ABD与△FEC中，，∴△ABD≌△FEC（SAS），∴∠ADB=∠FCE．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE，再利用全等三角形的判定和性质解答．20．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．【解答】解：如图，∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AB=DE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．。