长春市2020届高三质量监测数学理科(一)

长春市 2020 届高三质量监测（一） 理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，则A B =IA. ∅B. {|3,x x >或x ≤2}-C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x ≤ 2. 复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a << 4. 已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = A. 3- B. 1 C. 3-或1 D.525. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个A. 0B. 1C. 2D. 36. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD. 52)π7. 已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是 ① ,a b αα⊥⊥，则//a b ② ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③ //,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβA. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ③D. ① ④8. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S = A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-9. 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示） ，则()y f x =的解析式为A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为A. 8-B. 1-C. 0D. 111. 已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为 A.3 B. 2 C. 3 D. 412. 已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为A. m ≤1B. m <-1C. m >-1D. m ≥1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 381(2)x x-展开式中常数项为___________.14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则BP BC ⋅=u u r u u u r _________.15.平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________. 16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足112a =-,且1222n n a a n n++=+，则2n S = __________，n a =__________.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan ()a b A a b => . （Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围. 18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小. 19.（本小题满分 12 分）某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确 的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 20.（本小题满分 12 分）已知点(1,0),(1,0)M N -若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(3,0)Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分）已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x < ，证明：121ex e x +>+. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求a b + 的最小值.长春市2020届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 【解析】{|||2}{|2,2}A x x x x x =≥=-或≤≥，2{|30}{|0,3}B x x x x x x =->=<>或，∴A B =I {|3,x x >或x ≤2}-2. C 【解析】252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，其对应点为(2,1)--，在第三象限3. C 【解析】01,1,0a b c <<><，∴c a b <<4. C 【解析】 由圆心到切线的距离等于半径，得22211=+∴|1|2b +=∴13b b ==-或5. D 【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.6. A 【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ-=，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 7. D 【解析】①正确； ② 错误；③错误；④正确8. A 【解析】 2210661164a a a a =⨯==∴，∴664b a ==，1161144S b ==9. C 【解析】由2sin(0)1ωϕϕ⋅+=π∴=6，由112sin()0212ωπϕω⋅+==∴即2sin(2)6y x π=+，横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+，即为()f x 解析式.10. B 【解析】由(2)()0f x f x ++=得函数的周期为4，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+此时()f x 的最小值为(5)1f =-.[法2：由周期为4，()f x 在[0,2]上的最小值即为()f x 在[4,6]上的最小值]11. C 【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，∴12p =∴2p =，||1cos60p AF =-︒，||1cos60pBF =+︒,∴||10.53||10.5AF BF +==-. 12. C 【解析】21()(2)ex f x x -'=-∴()f x 在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又(1)1f =-，(2)1f <-，(2)0f =∵(1)1f '=-∴m >-1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分） 13. 112【解析】由3883(8)1881(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x C x x----+=-=-有3(8)0r r --=得6r =∴6866782(1)112T C -=-=14. 2【解析】112(())()()()333BP BC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ⋅=+-⋅-=-⋅-u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221248122233332AC AB AC AB =+-⋅=+-⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r15. 20π【解析】取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ,则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，121O E O E ==，连OE ，在Rt △1O OE 中，13OO =，在Rt △1O OA 中，12O A =得5OA =，即球半径为5，所以球面积为20π.16.221n n +，1(1)(1)n n n -++【解析】由1222n n a a n n ++=+得21222(21)2(21)n n a a n n -+=-+-211(21)(21)2121n n n n ==--+-+∴2nS =1113-+1135-+…+112121n n --+1121n =-+. 由111212a =-=-⨯递推得277623a ==⨯，311111234a =-=-⨯，421212045a ==⨯，归纳可得1(1)(1)n n n -++.【法2：】122111111=()()22112n n a a n n n n n n n n ++=-=-+-+++++∴11111()[()]112n n a a n n n n +--=---+++∴11{()}1n a n n --+为首项为1-，公比为1-的等比数列，11111()=(1)=(1)+()=(1)+11(1)n n n n n a a n n n n n n ------+++∴三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =， 由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10102)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<2sin()14A π<+<，即2010102L <<+（12分） 18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分） （Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-u u u r ，(2,0,2)CE =-u u u r，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =u r；平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =u u r；因此1212||2cos ||||2n n n n θ⋅==⋅u r u u r. 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得22(34)30t y +--=，即12y y+=，122334y y t -=+.AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++， 当且仅当u =3t =±时等号成立， 因此AOB ∆l 的方程为3x y =±. （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=.则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--U .（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2.（10分）。

长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C.2. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =U 有N M ⊆.故选D.3. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.5. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 7. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 8. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.9. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 14. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====. 15. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 16. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其2142S =⨯⨯=.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，ο60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P，(1,0,0),(A B C -，有(1,0,PA PB ==u u u r u u u r，(PC =-u u u r，令平面PAB 的法向量为n r ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r r ，可得一个n =r ，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =u r ，所以平面PAB 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为||5||||m n m n ⋅=u r ru r r .19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.20. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X（2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-. 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，12≥+. 长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：17. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 18. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =U 有N M ⊆.故选D. 19. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 20. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.21. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 22. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 23. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 24. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.25. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 26. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 27. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 28. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：29. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 30. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====.31. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 32. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其21422S =⨯⨯⨯=. 三、解答题24. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.25. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，ο60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P，(1,0,0),(A B C -，有(1,0,PA PB ==u u u r u u u r，(PC =-u u u r，令平面PAB 的法向量为n r ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur r ，可得一个n =r ，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =u r ，所以平面PAB 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为||5||||m n m n ⋅=u r ru r r .26. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.27. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X（2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-.当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 28. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）29. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin 2α=，所以3πα=或23πα=. 30. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，1≥+.长春市2019高三第一次质量检测题【数学文科】2018-9-12长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. C4. B5.C6. A7. B8. A9. D 10. D 11. C12. D简答与提示：33. 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C.34. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D M N M =U 有N M ⊆.故选D.35. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意可知函数最大值为故选C.36. 【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故选B. 37. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 38. 【命题意图】本题主要考查等比数列的相关知识.【试题解析】A 由条件可知，所求算式等于13.故选A 39. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】B 由题意知成角为3π，余弦值为12.故选B. 40. 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识. 【试题解析】A 由正弦定理可知1cos ,602A A ==︒.故选A. 41. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D.42. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D.43. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a=-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 44. 【命题意图】本题是考查函数图象的对称性.【试题解析】D 函数()()g x f x ，的图象关于(2,1)点对称，则()0F x =共有8个零点，其和为16. 故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 52 14. 12 15. 21y x =- 16. 13简答与提示：45. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 46. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====. 47. 【命题意图】本题考查导数的几何意义的相关知识.【试题解析】由题意可得1()1,(1)2,(1)1,21f x f f y x x''=+===-.48. 【命题意图】本题考查三棱锥的相关知识.【试题解析】由题意可知其211132233V =⨯⨯⨯=. 三、解答题31. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的相关知识.【试题解析】解：（1）由1127,3327a d a d +=+=，解得111,2a d ==-，可得132n a n =-.（2）由（1）2n b n =，111111()4(1)41n n b b n n n n +==-++，所求式等于 1223341111111(1)41n n b b b b b b b b n ++++⋅⋅⋅+=-+. 32. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，ο60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）在PAB ∆中，2,PAB PA AB PB S ∆====，1111322P ABE V -=⨯=，所以点E 到平面PAB的距离为5. 33. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.34. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为216360.690++=， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. （2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y =6450-4450=900；若最高气温位于区间 [20,25），则Y =6300+2（450-300）-4450=300；若最高气温低于20，则Y =6200+2（450-200）-4450= -100.所以，Y 的所有可能值为900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.35. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-，所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増. （6分）（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+， 令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （12分）36. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 37. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）212133()2222a b b a a b a b a b ++=⨯+=++≥+= 12≥+.。

吉林省长春市2020届高三质量监测(四)理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|1},{|0}A x xB x x ==<，则()RA B =A.{|1}x xB.{|1}x x >C.{|1x x <-或01}x <≤ D .{|101}x x x -<或 2.在等比数列{}n a 中，363,6a a ==，则9a = A.19B.112C. 9D. 123.设复数()i ,z x y x y =+∈R ，下列说法正确的是 A.z 的虚部是i y ; B.22||z z =；C.若0x =，则复数z 为纯虚数;D.若z 满足|i |1z -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆.4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有A. 8种B. 9种C. 12种D. 14种 5.若sin 831πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 29-B. 29C. 79-D. 796.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是A. 0.832B. 0.920C. 0.960D. 0.992 7.已知()50.5log 2,log 0.2,ln ln 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. a b c << B. a c b << C. b a c << D. c a b <<8.已知直线a 和平面α、β有如下关系：①,αβ⊥②α//,β③,a β⊥④//a α,则下列命题为真的是 A. ①③∣④ B. ①④∣③ C. ③④∣① D. ②③∣④9.如图,为测量某公园内湖岸边,A B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得,A B 的俯角分别为,αβ，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为A. ()222cos 11sin si s n s n in i h βααβαβ-+-B. ()222cos 11sin si s n s n in i h βααβαβ-++C. ()222cos 11cos co c s c s os o hβααβαβ-+- D. ()222cos 11cos co c s c s os o h βααβαβ-++ 10.过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 作直线与该抛物线交于,A B 两点，若3||||AF BF =，O 为坐标原点，则||||AF OF = A.43 B. 34 C. 4 D. 5411.函数()()sin f x x ϕω=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是①函数()f x 的图象关于点4,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称; ②函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增; ③圆C 的面积为3136π. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 12.函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-的图象在点()()()()1111,,,A xf x B x f x --处两条切线的交点0(P x ,0)y 一定满足 A. 00x =B. 0x m =C. 00y =D. 0y m =二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 .14.执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3t ∈-，则输出s 的取值范围是 .15.已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=则ABC ∆面积为 .16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点,则二面角C A N M --的余弦值为 ；若动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，且1PA //平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是 .(本小题第一空2分,第二空3分)三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(12分)已知数列{}n a 是等比数列，且公比q 不等于1，数列{}n b 满足2n bn a =. (1)求证:数列{}n b 是等差数列; (Ⅱ)若13242,32a a a a ==+，求数列21}1{o l g n n b a +的前n 项和n S .18.(12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90A B B D AD C ︒=∠，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =. (I)求证:EF //平面PAD ;(Ⅱ)若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.19.(12分)已知椭圆22:12x C y +=与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴交于B 、D 两点.(I)求过,,A B D 三点的圆E 的方程;(Ⅱ)若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和(I)中的圆E 分别相切于点P 和点Q (,P Q 不重合)，求直线OP 与直线EQ 的斜率之积.20.(12分)武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*1000N n ∈份血液样本，有以下两种检验方式:方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验1k次)；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立.(1)设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列;(Ⅱ)设0.1p =. 试比较方案②中，k 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数) 21.(12分)已知函数()2eln 2e ,.xf x a x a =∈-R (1)若函数()f x 在e2x =处有最大值,求a 的值; (Ⅱ)当e a ≤时,判断()f x 的零点个数,并说明理由.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上,且满足||||8,OA OB ⋅=点B 的轨迹为2C .(1)求曲线12,C C 的极坐标方程; (Ⅱ)设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值. 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知函数()|23||23|.f x x x =-++ (1)解不等式()8f x ;(Ⅱ)设x ∈R 时(),f x 的最小值为M . 若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.2020长春四模理科参考答案 1. B 【解析】2{|1}={|11}A x x x x =-≤≤∴={|1}A B x x ≤所以(){|1}RA B x x =>.2.D 【解析】369,,a a a 成等比数列，所以392636312a a a =÷=÷=.3.D 【解析】z 的实部为x ，虚部为y 所以A 错；2222222i,||z x y xy z x y =+=++所以B 错；当00x y ==，时，z 为实数，所以C 错；由|i |1z -=得22|i i |1|(1)i |1(1)1x y x y x y +-=⇒+-=⇒+-=，所以D 对.4.D 【解析】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.5.C 【解析】227sin 2sin 2cos 22sin 12()144483912πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.D 【解析】三次试跳都没成功的概率为30.2=0.008所以他获得冠军的概率是10.0080.992-=. 7.D 【解析】()50.50.5log 2(0,1),log 0.2log 0.51,ln ln 20a b c =∈=>==<. 8.C 【解析】①③∣④或a α⊂所以A 错；①④∣a 与β位置关系不确定，B 错； ③④∣①对，选C ；②③∣a α⊥所以D 错.9.A 【解析】点P 在AB 上的投影为O ，则在Rt △POB 中，sin h PB β=由正弦定理得sin()sin AB PBαβα=-所以sin()sin()=sin sin sin PB h AB αβαβαβα⋅--=======故选A 10.A 【解析】设直线AB 的倾斜角为α，则由53||||31sin 1sin 6p p AF BF πααα=⇒⋅=⇒=-+2||3p AF ⇒=所以2||43||32pAF p OF ==.11.B 【解析】由圆的对称性，三角函数的对称性得1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭所以周期11=2()1236T ωπ+=⇒=又图象过点106⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以=3πϕ即()i 2s n 3x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ .验证084sin =333f ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以①对；由322222k x k ππππππ++-+≤≤（k ∈Z ）即511212k x k -++≤≤所以②错；当0x =时，得点M 的坐标为所以圆的半径为||MC ==所以③对. 故选B. 12.A 【解析】()2mxmx f x me me x m -'=-+-在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线分别为()()()()()()111111,y f x f x x x y f x f x x x ''-=---=-+消去y 得0x =.13.y x =±得ca b a=⇒=所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 14.[0,1]【解析】当[1,1)t ∈-函数12e[e ,1)t s --=∈，当[1,3]t ∈时，3log [0,1]s t =∈值域的并集为[0,1].15.2【解析】||1,||7,||||cos()||cos 1AB AC AB BC AB BC B BC B π==⋅=⋅-=-=又由余弦定理 得222||||||2||||cos||2AC AB BC AB BC B BC =+-⋅⋅⇒=所以120B =︒ 16.2,[32【解析】延长AM 交DC 于点Q,过C 作AM 垂线AE ，垂足为E ，连接NE ，则∠NEC 为二面角C A N M --的平面角，计算得CE =,NE ==所以2cos 3NEC ∠==;由面面平行的性质得点P 在1BB 与11B C 中点的连线EF 上，设EF 中点为H,则1A H 最短，1A E 或1A F 同时最大，所以所求范围是[2. 17. 【解析】(I)已知数列{}n b 满足2n bn a =, 则2n n b log a =,1121222log log log log n n n n n na b b a a q a +++-=-==即数列{}n b 为等差数列.(6分)(Ⅱ)由41322,32a a a a ==+可得2332222q q q ⋅=⋅+,解得2q =或1q =(舍),即2n n a =设()211111log 11n n n c b a n n n n +===-++即数列21}1{log n n b a +的前n 项和为1111n nS n n =-=++ .(12分)18.【解析】( I)取PA 的中点M,连结DM 、EM. //EF DM ,DM ⊂平面PAD 所以EF ∥平面PAD.(6分) (Ⅱ)取AD 中点N,BC 中点H,连结PN 、NH.平面PAD ⊥平面ABCD,又PN AD ⊥所以PN ⊥平面ABCD,又AD NH ⊥. 以N 为原点,NA 方向为x 轴,NH 方向为y 轴,NP 方向为z 轴,建立空间坐标系.()()()()0,0,1,1,0,0,1,2,0,1,1,0P A B F -在平面PBF 中()(),1,2,1,2,1,0,BP BF =--=--则法向量()1,2,3n =--; 又()1,0,1PA =-;|||cos ,|||||2PA n PA n PA n ⋅<>===⋅即直线PA 与平面PBF (12分) 19.【解析】(I)点)()(),0,1,1,0,AB D 设点(),0,E m因此可得)221m m +=,4m =即圆E 的方程为22948x y ⎛-+= ⎝⎭(4分) (Ⅱ)由题意:可设l 的方程为y kx m =+ (k 存在且0)k ≠与椭圆C 联立消去y 可得()222124220,k xkmx m +++-=由直线l 与椭圆C 相切可设切点为()00,x y ，由判别式0=可得2212m k=+解得0021k x y m m=-=，.由圆E 与直线l 相切,即圆心到直线的距离等于半径,可得22889.k m =-+因此由222212889m k k m ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得2221241k m =-=直线OP 的斜率为12OP k k =-,直线EQ 的斜率1EQ k k=-, 综上2.1242OP EQ k kk ==⋅(12分) 20．【解析】(I)设每个人的血呈阴性反应的概率为q ,则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq -依题意可知1,1X k k=+,所以X 的分布列为: 1111k kX k k Pq q +- (6分) (Ⅱ)方案②中,结合(1)知每个人的平均化验次数为:()()111111k k k E X q q k k k q ⎛⎫=++⋅-=-+ ⎪⎝⎭⋅ 所以当2k =时, ()20.910.6912E X =-+=,此时1000人需要化验的总次数为690次， 3k =()31,0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，4k =时, ()40.910.593941E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，即2k =时化验次数最多, 3k =时次数居中, 4k =时化验次数最少.而采用方案①则需化验1000次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当4k =时化验次数最多可以平均减少11000-594=406次. (12分)21.【解析】(I)()()2eln 2e 0xf x a x x =->,()2e 2e e x a f x x '=-由条件可知, 2ex =时,()0f x '=,即220e e ea -⋅=，解得e a =.则()()()2e e 22eln 2,x xe f x x e f x e x e '=-=-,令()()x f x ϕ'=，则()22e 2e 4e 0exx x ϕ'=--⋅<,则()f x '为减函数，又e 02f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，则()f x 在0,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 即函数()f x 在2ex =处取得最大值. 综 e.a = （4分） (Ⅱ)令2x t e=,()()ln 0tg t a t t e t =+->则()g t 与()f x 的零点个数相等, ①当0a =时(),0,tg t e =-<即()20x ef x e =-<所以函数()f x 的零点个数为0;②当0a <时, ()0ta g t e t'=-<,所以函数()g t 在()0,+∞上为减函数, 即函数()g t 至多有一个零点,即()f x 至多有一个零点. 当e 1<e0at -<时,()ln e ln e 0,ta a a t a g t t >+⇒+>>⇒所以当1e 0at e-<<时(),0.g t →又(),10g a e =-<所以函数()g t 有且只有一个零点,即函数()f x 有且只有一个零点; ③当0e a <≤时,令()0,g t '=即,ta te =令()()0,t h t te t =>易知()t h t te =在()0,+∞为增函数,且()1,h e = 故存在(]00,1,t ∈使得()00,g t '=即00t ae t =. 由以上可知,当00t t <<时()(),0,g t g t '>为增函数;当0t t >时()(),0,g t g t '<为减函数; 所以()()(]00000max 00,1tag t g t a alnt e a alnt t t ==+-=+-∈， 令()(]ln ,0,1aF t a a t t t=+-∈ 则()20a aF t t t'=+>,所以()F t 在(]0,1上为增函数， 则()()0,\1F F t =≤即()()0,maxg t 当且仅当t=1,d=e 时等号成立由以上可知,当d=e 时,g(t)有且只有一个零点,即()f x 有且只有一个零点; 当0<a<e 时,无零点;综上所述:当0e a <≤时,函数()f x 无零点; 当a<0或a=e 时,函数()f x 只有一个零点.(12分) 22．【解析】(I)曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数),普通方程为()2211,x y -+=化简可得2220,x y x +-=即曲线1C 的极坐标方程为12cos ,ρθ=又128,ρρ=可知24cos ρθ=,即为曲线2C 的极坐标方程.(5分) (Ⅱ)由()21114||||2cos 2cos cos 22cos A BAP B S OM x x ρρθθθθ∆⎛⎫=⋅-=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭得242cos ,DBP S θ∆=-因此ABN S ∆的最小值为2.(10分)23. 【解析】(I)322x x ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩≤或322xx ⎧⎪⎨⎪⎩≤∴{|22}x x -≤（5分）(Ⅱ)∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,ab c a b c ++++++=当且仅当22b c α==时“=”成立,所以2226,a b c ++所以最小值为6.(10分)。

长春市2020届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. C4. C5. D6. A7. D8. A9. C 10. B 11. C 12. C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 112 14. 215. 20π16.221n n +，1(1)(1)nn n -++三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =， 由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<sin()14A π<+<，即2010S <<+（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分） （Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-，(2,0,2)CE =-，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =； 平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =；因此1212||cos ||||n n n n θ⋅==⋅ 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得 22(34)30t y +--=，即12y y+=，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t ==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++当且仅当u =3t =±因此AOB ∆l 的方程为3x y =±. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2. （10分）。

2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）1.已知集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|−4<x<2}，则A∩B=()A. B={x|−2≤x<2}B. B={x|−4<x≤2}C. {−2,−1,0,1,2}D. {−2,−1,0,1}2.已知复数z=(a+i)(1−2i)(a∈R)的实部为3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为()A. −1B. −iC. 1D. i3.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,−3)，c⃗=(1,t)，若向量a⃗与向量b⃗ +c⃗共线，则实数t=()A. 5B. −5C. 1D. −14.已知函数f(x)=cos x2−√3sin x2的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点()A. 向左平移π3个单位 B. 向左平移2π3个单位C. 向右平移π3个单位 D. 向右平移2π3个单位5.函数f(x)=x3e−x−e x的图象大致为()A. B.C. D.6.在(x+1x2)5的展开式中，一定含有()A. 常数项B. x项C. x−1项D. x3项7.已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m//β，则α⊥β；②若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n//α．其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形．右下图是风雨桥中塔的俯视图．该塔共5层，若B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5m，A0B0=8m.这五层正六边形的周长总和为()A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m9.已知圆E的圆心在y轴上，且与圆C：x2+y2−2x=0的公共弦所在直线的方程为x−√3y=0，则圆E的方程为()A. x2+(y−√3)2=2B. x2+(y+√3)2=2C. x2+(y−√3)2=3D. x2+(y+√3)2=310.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数(如表)，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是()学段主题第一学段(1−3年级)第二阶段(4−6年级)第三学段(7−9年级)合计数与代数21284998图形几何182587130统计概率381122综合实践34310合计4565150260A. 除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与几何”条目数最多，占50%，综合与实践最少，约占4%C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长．11.已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和S n满足4S n=a n2+2a n，(n∈N∗)，设b n=(−1)n⋅a n a n+1，T n为数列{b n}的前n项和，则T20=()A. 110B. 220C. 440D. 88012.设椭圆的左右焦点为F1，F2，焦距为2c，过点F1的直线与椭圆C交于点P，Q，若|PF2|=2c，且|PF1|=43|QF1|，则椭圆C的离心率为()A. 12B. 34C. 57D. 2313.一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为______14.等差数列{a n}中，a1=1，公差d∈[1,2]，且a3+λa9+a15=15，则实数λ的最大值为______．15.若x1，x2是函数f(x)=x2−7x+4lnx的两个极值点，则x1x2=；f(x1)+f(x2)=．16.现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD为正方形，AB=2，侧面△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE=1.则所需球体原材料的最小体积为______．17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌(优等品和合格品)，某公司年产宣纸10000刀(每刀100张)，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x(48,52](44,48]∪(52，56](0,44]∪(56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100张)进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．(Ⅰ)估计该公司生产宣纸的年利润(单位：万元)；(Ⅱ)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值x的频率，如表所示：X(x−−2,x−+2](x−−6,x−+6]频率0.68260.9544其中x−为改进工艺前质量标准值x的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4ccosB．(Ⅰ)求证：sinBcosC=3sinCcosB；(Ⅱ)求B−C的最大值．19.四棱锥P−ABCD中，ABCD为直角梯形，BC//AD，AD⊥DC，BC=CD=1，AD=2，PA=PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA//平面BEF．(Ⅰ)求证：平面BEF⊥平面PAD；(Ⅱ)若PC与底面ABCD所成的角为60°.求二面角E−BF−A的余弦值．20.已知点A(0,1)，点B在y轴负半轴上，以AB为边做菱形ABCD，且菱形ABCD对角线的交点在x轴上，设点D的轨迹为曲线E．(Ⅰ)求曲线E的方程；(Ⅱ)过点M(m,0)，其中1<m<4，作曲线E的切线，设切点为N，求△AMN面积的取值范围．21.已知函数f(x)=mlnx,g(x)=x−1x(x>0)．(Ⅰ)讨论函数F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上的单调性；(Ⅱ)是否存在正实数m，使y=f(x)与y=g(x)的图象有唯一一条公切线，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ(θ∈[0,π2])，直线1的参数方程为{x=2−2√55ty=3+√55t(t为参数)．(Ⅰ)求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；(Ⅱ)设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足△PMN为等边三角形，求△PMN边长的取值范围．23.已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，g(x)=|x+3|．(Ⅰ)当x∈R时，有f(x)≤g(x)，求实数m的取值范围．(Ⅱ)若不等式f(x)≥0的解集为[1,3]，正数a，b满足ab−2a−b=3m−1，求a+b 的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x∈Z|x2≤4}={−2,−1,0,1,2}，∴A∩B={−2,−1,0,1}，故选：D．先求出集合A，再利用集合交集的运算即可算出结果．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为复数z=(a+i)(1−2i)=(a+2)+(1−2a)i；∴a+2=3⇒a=1；∴z的虚部为：1−2a=−1．故选：A．利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】因为向量a⃗与向量b⃗ +c⃗共线，即两向量平行，根据两向量平行的坐标表示求解即可．本题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．【解答】解：由题，a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,−3)，c⃗=(1,t)，∴b⃗ +c⃗=(4,t−3)，∵向量a⃗与向量b⃗ +c⃗共线，即a⃗//(b⃗ +c⃗ )，则1×(t−3)=−2×4，解得t=−5．故选：B．4.【答案】A【解析】解：函数f(x)=cos x2−√3sin x2=2cos(x2+π3)的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点向左平移π3个单位，可得y=2cos(x2+π6+π3)=sin x2的图象，显然，y=sin x2的图象关于原点对称，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=(−x)3e x−e−x =x3e−x−e x=f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又f(1)=1e−1−e<0，可排除A；故选：B．先判断函数f(x)的奇偶性，可排除选项CD，再由f(1)<0，可排除选项A，进而得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：在(x+1x2)5的展开式中，通项公式为T r+1=C5r⋅x5−3r，r=0，1，2，3，4，5，故5−3r不会等于0，不会等于1，不会等于3，故排除A、B、D，令5−3r=−1，可得r=2，故它的展开式中一定含有x−1项，故选：C．)5的通项公式，得出结论．由题意根据(x+1x2本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及空间思维能力，属于基础题型．直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．【解答】解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m//β，则在β内，作n//m，所以n⊥α，由于n⊂α，则α⊥β，故正确；②若m⊥α，m//n，所以n⊥α，由于n⊂β，则α⊥β；故正确．③若n⊥α，n⊥β，所以α//β，由于m⊥α，则m⊥β；故正确．④若m⊥α，m⊥n，则n//α也可能n⊂α内，故错误．故选：C．8.【答案】C【解析】解：B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5m，A0B0=8m．利用等边三角形的性质可得：B1A1=7.5，B2A2=7，B3A3=6.5，B4A4=6．这五层正六边形的周长总和=6×(8+7.5+7+6.5+6)=210m．故选：C．利用正六边形与等边三角形的性质即可得出．本题考查了正六边形与等边三角形的性质、等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵圆E的圆心在y轴上，∴设圆心E的坐标为(0,b)，设半径为r，则圆E的方程为：x2+(y−b)2=r2，即x2+y2−2by+b2−r2=0，又∵圆C的方程为：x2+y2−2x=0，两圆方程相加得公共弦所在直线的方程为：x−by+b2−r22=0，又∵公共弦所在直线的方程为x−√3y=0，∴{b=√3b2−r22=0，解得{b=√3r=√3，∴圆E的方程为：x2+(y−√3)2=3，故选：C．设圆心E的坐标为(0,b)，设半径为r，则圆E的方程为：x2+(y−b)2=r2，两圆方程相加得公共弦所在直线的方程为：x−by+b2−r22=0，又公共弦所在直线的方程为x−√3y=0，从而求出b，r的值，得到圆E的方程．本题主要考查了圆的方程，以及两圆的公共弦所在直线的方程，是中档题．10.【答案】D【解析】解：由图可知图形与几何第一、二学段百分比依次为40%，38.5%，可知降低了，则D错，故选：D．根据表格和条形图分别判断选项，可判断．本题考查对表格，条形图的数据提取能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意，当n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，整理，得a12−2a1=0，解得a1=0，或a1=2，∵a n>0，n∈N∗，∴a1=2，当n≥2时，由4S n=a n2+2a n，可得：4S n−1=a n−12+2a n−1，两式相减，可得4a n=a n2+2a n−a n−12−2a n−1，整理，得(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵a n +a n−1>0，∴a n −a n−1−2=0，即a n −a n−1=2， ∴数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴a n =2+2(n −1)=2n ，n ∈N ∗， ∴b n =(−1)n ⋅a n a n+1=(−1)n ⋅4n(n +1)， 则T 20=b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 19+b 20=−4×1×2+4×2×3−4×3×4+4×4×5−⋯−4×19×20+4×20×21 =(−4×1×2+4×2×3)+(−4×3×4+4×4×5)+⋯+(−4×19×20+4×20×21)=4×2×(3−1)+4×4×(5−3)+⋯+4×20×(21−19) =4×2×2+4×4×2+⋯+4×20×2 =16×(1+2+⋯+10) =16×55 =880． 故选：D ．本题先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2并结合题干进行计算可判别出数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步计算出数列{b n }的通项公式，然后运用分组求和可计算出T 20的值．本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和求前n 项和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．12.【答案】C【解析】解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|=2c ，则|PF 1|=2a −2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34(2a −2c)=32(a −c)， 则|QF 2|=2a −32(a −c)⋅a 2+32， 在等腰△PF 1F 2中，可得cos∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|a−c2c．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，得a−c2c +94(a−c)2+4c2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c6c=0，∴5a=7c，∴e=ca =57．故选：C．由题意画出图形，由|PF2|=2c，|PF1|=43|QF1|，利用椭圆的定义可得：|PF1|=2a−2c，进一步求出|QF1|，|QF2|，在等腰△PF1F2中，求得得cos∠PF1F2.在△QF1F2中，由余弦定理可得cos∠QF1F2，利用cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，化简求得5a=7c，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】0.88【解析】解：一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，至少有一个公司不需要维护的概率为：P=1−0.4×0.3=0.88．故答案为：0.88．利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】−13【解析】解：∵a3+λa9+a15=15=(2+λ)a9=(2+λ)(1+8d)，∴λ=151+8d−2，又∵公差d∈[1,2]，∴λmax=151+8−2=−13．故填：−13．由a 3+λa 9+a 15=15得出λ与d 之间的关系式，然后求λ的最大值．本题主要考查等差数列的性质和通项公式及衍生出的最值问题，属于基础题．15.【答案】24ln2−654【解析】 【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是中档题．先求出导函数f′(x)，由题意可得x 1，x 2是方程2x 2−7x +4=0 的两个根，可得x 1+x 2=72，x 1x 2=2，代入f(x 1)+f(x 2)即可求得结果．【解答】解：∵函数f(x)=x 2−7x +4lnx ，x ∈(0,+∞)， ∴f′(x)=2x −7+4x =2x 2−7x+4x，令f′(x)=0得：2x 2−7x +4=0， ∴x 1，x 2是方程2x 2−7x +4=0 的两个根， ∴x 1+x 2=72，x 1x 2=2，∴f(x 1)+f(x 2)=x 12−7x 1+4lnx 1+x 22−7x 2+4lnx 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2−7(x 1+x 2)+4ln(x 1 x 2) =(72)2−2×2−7×72+4ln2=4ln2−654，故答案为：2，4ln2−654．16.【答案】28√2127π【解析】解：所需原材料体积最小的球体即为四棱锥P −ABCD 的外接球，如图，设F 为AD 中点，G 为正方形ABCD 中心，∵△PAD为边长为2的等边三角形，∴PF=√3，又PE=1，EF=2，∴∠PEF=60°∵PE=EB=EC=1，∴E是△PBC的外心，过E作面PBC的垂线与过G与面ABCD的垂线交于O，则O为四棱锥P−ABCD外接球的球心．∵∠OEG=∠OEP−∠FEP=90°−60°=30°，又GE=2，∴在直角三角形OGE中求出OG=√33，又直角△OAG中，AG=√2，∴OA=√213，即球半径R=√213，∴V球=43πR3=28√2127π.故答案为：28√2127π首先判断原材料体积最小的球体即为四棱锥P−ABCD的外接球，∵E是直角△PBC的外心，∴过E作面PBC的垂线与过正方形ABCD的中心G与面ABCD的垂线交于O，则O为四棱锥P−ABCD外接球的球心．再利用题中所给长度大小关系，可求球半径，求球体积．本题考查四棱锥的外接球问题，通过找球心，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图得：一刀(100张)宣纸中有正牌宣纸100×0.1×4=40张，有副牌宣纸100×0.05×4×2=40张，有废品100×0.025×4×2=20张，∴该公司一刀宣纸的利润为：40×10+40×5+20×(−10)=400元，∴估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．(Ⅱ)由频率分布直方图得：x−=4×(42×0.025+46×0.05+50×0.1+54×0.05+58×0.025)=50，这种机器生产的宣纸质量指标x的频率如下表所示：则一刀(100张)宣纸中正牌的张数约为100×0.6826=68.26张，副牌的张数约为100×(0.9544−0.6826)=27.18张，废品的张数约为100×(1−0.9544)=4.56张，估计一刀宣纸(100张)的利润为：68.26×(10−2)+27.18×(5−2)+4.56×(−10)=582.02元．∴改进工艺后生产宣纸的利润为582.02−100=482.02元，∴482.2>400，∴该公司应生产这种设备．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图求出一刀(100张)宣纸中有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能求出该公司一刀宣纸的利润为400元，由此能求出估计该公司生产宣纸的年利润．(Ⅱ)由频率分布直方图得x−=4×(42×0.025+46×0.05+50×0.1+54×0.05+58×0.025)=50，求出这种机器生产的宣纸质量指标x的频率，则一刀(100张)宣纸中正牌的张数约为100×0.6826=68.26张，副牌的张数约为100×(0.9544−0.6826)= 27.18张，废品的张数约为100×(1−0.9544)=4.56张，估计一刀宣纸(100张)的利润为582.02元．从而改进工艺后生产宣纸的利润为582.02−100=482.02元，由此该公司应生产这种设备．本题考查利润的求法及应用，考查平均数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．18.【答案】证明：(Ⅰ)a=4ccosB，∴sinA=4sinCcosB，∴sin(B+C)=4sinCcosB，∴sinBcosC+sinCcosB=4sinCcosB，∴sinBcosC=3sinCcosB；解：(Ⅱ)由(Ⅰ)可知sinBcosC=3sinCcosB，则tanB=3tanC，∴tan(B−C)=tanB−tanC1+tanBtanC =3tanC−tanC1+3tan2C=2tanC1+3tan2C=21tanC+3tanC≤2√1tanC⋅3tanC=√33，当且仅当1tanC =3tanC，即tanC=√33时取等号，∴B−C≤π6，即B−C的最大值为π6．【解析】(Ⅰ利用正弦定理将边化为角即可证明，(Ⅱ)由(Ⅰ)化简得出tanB和tanC的关系，再代入两角差的正切公式，利用基本不等式求出最大值．本题考查了三角函数的恒等变换和正弦定理的应用问题，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：连接AC 交BE 与G ，连接EG ，∵PA//平面BEF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面BEF =EG ，∴PA//EG ，又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，则△AFG≌△BCG ， 得AF =BC =12AD =1． ∴F 为AD 的中点，∵BC//FD ，且BC =FD ，∴四边形DCBF 为平行四边形，∵AD ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ；(Ⅱ)解：连接PF ，∵PA =PD ，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设P(0,0,t)，C(−1,1,0)，取平面ABCD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−t)，B(0,1,0)， ∴sin60°=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ |n1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC⃗⃗⃗⃗⃗ |，即t√t 2+2=√32，解得t =√6．设平面EBF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +√62z =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0，令z =1，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(√6,0,1)．设二面角E −BF −A 的平面角为θ，则|cosθ|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√77， 又θ为钝角，∴cosθ=−√77．即二面角E −BF −A 的余弦值为−√77．【解析】(Ⅰ)连接AC 交BE 与G ，连接EG ，由已知结合线面平行的性质可得PA//EG ，再由E 为PC 的中点，得G 为AC 的中点，则△AFG≌△BCG ，得到AF =BC =12AD =1，即F 为AD 的中点，可得四边形DCBF 为平行四边形，再由AD ⊥DC ，得BF ⊥AD ，可得BF ⊥平面PAD ，进一步得到平面BEF ⊥平面PAD ；(Ⅱ)连接PF ，证明PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设P(0,0,t)，由PC 与底面ABCD 所成的角为60°求解t ，然后分别求出平面ABF 与EBF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E −BF −A 的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设B(0,−t)(t >0)，菱形ABCD 的中心在x 轴上，设为Q 点．由题意可知，∣OQ ∣2=∣OA ∣∣OB ∣，则Q(√t,0)，又Q 为BD 的中点，因此点D(2√t,t) 即点D 的轨迹为{x =2√ty =t (t 为参数且t ≠0)， 化为标准方程x 2=4y(x ≠0)．(Ⅱ)设点N(a,a 24)，过点N 的切线方程为：y −a 24=a2(x −a)，点M(m,0)在该切线方程上，∴M(a2,0)， 即m =a2，由1<m <4，可得2<a <8，又k MN =a2,k AM =−2a ,则k MN k AM =−1，即NM ⊥AM ， ∴S =12∣MN ∣∣AM ∣=12√(a2)2+(a 24)2⋅√1+(a2)2=a(4+a 2)16，可知当2<a <8时，S 为关于a 的增函数，因此S 的取值范围是(1,34)．【解析】(Ⅰ)设B(0,−t)(t >0)，因为菱形ABCD 对角线的交点Q 在x 轴上，根据射影定理，得∣OQ ∣2=∣OA ∣∣OB ∣，求得Q 点坐标，进而求得D 点坐标，去掉参数，求得D 的轨迹曲线E ；(Ⅱ)设点N(a,a 24)，可列出该点处的切线方程，将M 点代入，由1<m <4，求得a 的取值范围，易推得NM ⊥AM ，则S =12∣MN ∣∣AM ∣用a 表示出△AMN 面积，根据a 的取值范围进而求得△AMN 面积的取值范围．本题考查了曲线与方程，考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了两直线垂直斜率乘积为−1，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)F(x)=f(x)−g(x)=mlnx −x−1x,F′(x)=m x−1x 2=mx−1x 2，当m ≤0时，F′(x)<0，则F(x)在(0,+∞)上单调递减；当m >0时，由F′(x)<0得0<x <1m ，由F′(x)>0得x >1m ， ∴函数F(x)在(0,1m )上单调递减，在(1m ,+∞)上单调递增； (Ⅱ)函数f(x)=mlnx 在点(a,mlna)处的切线方程为y −mlna =m a(x −a)，即y =m ax +mlna −m ， 函数g(x)=x−1x在点(b,1−1b )处的切线方程为y −(1−1b )=1b 2(x −b)，即y =1b 2x −2b +1，又y =f(x)与y =g(x)的图象有唯一一条公切线，故{ma =1b 2①mlna −m =1−2b ②， 由①得，m =ab 2代入②消去m ，整理得b 2−2b −alna +a =0③，则此关于b(b >0)的方程③有唯一解，令g(b)=b 2−2b −alna +a =(b −1)2−alna +a −1，令ℎ(a)=−alna +a −1，ℎ′(a)=−lna ，由ℎ′(a)>0得0<a <1，由ℎ′(a)<0得a >1，∴函数ℎ(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则ℎ(a)≤ℎ(1)=0， (i)当ℎ(a)=0时，方程③有唯一解b =1，由ℎ(a)=−alna +a −1=0得a =1，此时m =a b 2=1；(ii)当ℎ(a)<0时，二次函数g(b)=(b −1)2−alna +a −1在b ∈(1,+∞)上显然有一个零点，b ∈(0,1)时，由方程②mlna −m =1−2b ，可得m(lna −1)=b−2b<0，而m >0，则lna −1<0，则g(0)=−alna +a =−a(lna −1)>0，∴二次函数g(b)=(b −1)2−alna +a −1在b ∈(0,1)上也有一个零点，不合题意； 综上，m =1．【解析】(Ⅰ)求得F(x)，并求导，然后分m ≤0及m >0讨论即可得出单调性情况；(Ⅱ)根据题意，由导数的几何意义可得{ma =1b 2①mlna −m =1−2b ②，进而得到b 2−2b −alna +a =0③，则此关于b(b >0)的方程③有唯一解，令g(b)=b 2−2b −alna +a =(b −1)2−alna +a −1，ℎ(a)=−alna +a −1，ℎ′(a)=−lna ，则易知ℎ(a)≤ℎ(1)=0，然后分ℎ(a)=1及ℎ(a)<0讨论即可得出结论．本题考查函数与导数的综合运用，考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点等知识点，考查分类讨论思想，运算求解能力，属于较难题目．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ(θ∈[0,π2])，转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1(0≤x ≤2,0≤y ≤√3)，转换为参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数，θ∈[0,π2])．直线1的参数方程为{x =2−2√55ty =3+√55t(t 为参数).转换为直角坐标方程为x +2y −8=0． (Ⅱ)设P(2cosθ,√3sinθ)，θ∈[0,π2]， 所以点P 到直线l 的距离d =√3sinθ−8|√5=4√55|sin(θ+π6)−2|，由于θ∈[0,π2]，所以12≤sin(θ+π6)≤1， 所以4√55≤d ≤6√55， 故等边三角形的边长的取值范围：8√1515≤x ≤12√1515．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(1)由题意得：∵f(x)≤g(x)在x ∈R 上恒成立，∴m ≤|x +3|+|x −2|恒成立， 即m ≤(|x +3|+|x −2|)min又∵|x +3|+|x −2|≥|(x +3)−(x −2)|=5 ∴m ≤5，即m ∈(−∞,5] (2)令f(x)≥0，∴m ≥|x −2| 若m ≤0，则解集为⌀，不合题意；若m>0，则有−m≤x−2≤m，即x∈[2−m,2+m]又∵解集为x∈[1,3]，∴m=1∴ab−2a−b=2∴b=2a+2 a−1∵{a>0b>0，解得a>1∴a+b=a+2a+2a−1=a−1+4a−1+3∴a+b≥2√(a−1)(4a−1)+3=7当且仅当a−1=4a−1，即a=3时，等号成立，此时b=4∴a=3，b=4时a+b的最小值为7【解析】(1)利用绝对值三角不等式性质(2)利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题第21页，共21页。

冲刺2020高考 提分必备长春市2020届高三质量监测（一）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，则A B =I （ ）A. ∅B. {|3,x x >或x ≤2}-C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x ≤【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|2A x x =≤-或2}x ≥，{|0B x x =<或3}x >，再根据集合的交集运算，即可求解．【详解】由题意，集合{|2}{|2A x x x x =≥=≤-或2}x ≥， 集合2{|30}{|0B x x x x x =->=<或3}x >，所以A B =I {|3x x >或2}x ?， 故选B ．【点睛】本题主要考查了不等式的解法，以及集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】因为311()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=，所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<， 故选：C.【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.4.已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =( )A. 3-B. 1C. 3-或1D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.=∴|1|2b +=∴13b b ==-或 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7y x=+，其相关指数2R0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】【分析】根据ˆb和2R确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x=时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选：D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD.(52)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ， 则51αβ-=，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.7.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选：D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.8.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S =（ ） A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，求得64a =，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求解11S 的值，得到答案．【详解】由题意，等比数列{}n a 为等比数列，满足21a =，1016a =，根据等比数列的性质，可得266210116,0a a a a =⨯=>，可得64a =，所以664b a ==，则11111611()11442b b b S +==⨯=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示），则()y f x =的解析式为（ ）A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+ C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=-【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得()01f =，解得6π=ϕ，又由112sin()012ωπϕ⋅+=，解得2ω=，得到2sin(2)6y x π=+，在利用三角函数的图象变换，即可求得，得到答案．【详解】由图象可知，()02sin(0)1f ωϕ=⋅+=，即1sin ||22πϕϕ=<Q ，解得6π=ϕ，又由112sin()012ωπϕ⋅+=，即111111242sin()0π,01261261211k k Z T πππωπωπω⋅+=∴⋅+=∈<∴<<Q ，解得2ω=，即函数的解析式为2sin(2)6y x π=+，将函数2sin(2)6y x π=+图象上点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+， 所以函数()f x 解析式2sin(4)6y x π=+.故选C ．【点睛】本题主要考查了利用三角函数图象及三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为（ ） A. 8- B. 1-C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数，进而利用[2,0]x ∈-时，函数()f x 的解析式和函数的奇偶性，即可求解[4,6]上的最小值，得到答案． 【详解】由题意知(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， 则()()4[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-+=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，222()(4)(4)2(4)1024(5)1f x f x x x x x x =-=---=-+=--， 所以当5x =时，函数()f x 的最小值为(5)1f =-. 故选B ．【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ）B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得1213,3x x ==，进而可求得||||AF BF 的值．【详解】由椭圆22143x y +=，可得右焦点为(1,0)，所以12p =，解得2p =，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的定义可得1222816sin 6033p p AB x x p =++===o，所以12103x x +=， 又由21214p x x ==，可得1213,3x x ==，所以12||31231||123px AF p BF x ++===++. 故选C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ） A. 1m £B. 1m <-C. 1m >-D. m 1≥【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数21()(2)ex f x x -'=-，得到函数()f x 的单调性，以及()()1,2f f f 的取值，再由导数的几何意义，即可求解。

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 设{|23},{|0}A x x B x x =-<<=>，则A B =A. (2,3)-B. (3,)+∞C. (2,0)-D. (0,3)2. 函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是A. 2πB.2πC.3πD. π3. 已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则a b =A. 8-B. 4C. 7D. 1-4. 已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；则当0x <时，()f x 等于A. (1)x x --B.(1)x x - C. (1)x x -+ D. (1)x x +5. 若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019a =A ．12B ． 1-C. 2D. 12-6.若cos()2πα+=cos2α=A ． 23-B ． 13-C ．13D ．237. 将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变; 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A.12x π=B. 4x π=C. 524x π=D. 24x π=-8. 已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈,若A 、B 、C 三点共线，则,λμ满足 A. 2λμ+=B. 1λμ=-C. 4λμ+=D. 4λμ=-9. 若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象 可以是10. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1352213()(*)n n S a a a a n N -=++++∈，1238a a a =，则8S =A. 510B.255 C. 127 D. 654011. 已知向量OA 、OB 满足0OA OB =,点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒, 设OC mOA nOB =+（,m n R ∈），若||12||OA OB =,则m n =A.B. 4C. D.1412. 设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[,]m n D ⊆，使()f x 在[,]m n 上的 值域为[,]km kn （k R ∈且0k >），则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()x f x a =（1a >）为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是A.3(1,)e eB. 3(1,)eC.2(,)e e eD. 3(,)e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市普通高中2020届高三上学期质量监测试题（一）数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x||x|>2}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝A.ΦB. {x|x>3或x≤－2}C. {x| x>3或x<0}D. {x| x>3或x<0}2.复数z＝2i2＋i5的共轭复数z在复平面上对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知133131(),3,log33a b c===，则A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a.4.己知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝A.－3B.1C.－3或1D.5 25.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为22018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析)，得到回归直线ˆ13.7433095.7y x=+，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个 A.0 B.1 C.2 D.36.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。

一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A.(35)π-B.(51)π-C.(51)π+D.(52)π- 7.己知a ，b ，c 为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是 ①a⊥α，b ⊥α，则a ∥b ；②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β； ③a∥α，b ∥α，则a ∥b ；④α∥γ，β∥γ，则α∥β。

长春市 2020 届高三质量监测（一） 理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1. 已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，则A B =A. ∅B. {|3,x x >或x ≤2}-C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x ≤ 2. 复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a << 4. 已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = A. 3- B. 1 C. 3-或1 D.525. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 个③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个A. 0B. 1C. 2D. 36. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD. 52)π 7. 已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是 ① ,a b αα⊥⊥，则//a b ② ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③ //,//a b αα，则//a b ④ //,//αγβγ，则//αβA. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ③D. ① ④8. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S =A. 44B. 44-C. 88D. 88-9. 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示） ，则()y f x =的解析式为A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+C. ()2sin(4)6f x x π=+ D. ()2sin()6f x x π=-10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为A. 8-B. 1-C. 0D. 111. 已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为 32 C. 3 D. 412. 已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为A. m ≤1B. m <-1C. m >-1D. m ≥1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 381(2)x x-展开式中常数项为___________.14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+，则BP BC ⋅=_________. 15.平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________.16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足112a =-,且1222n n a a n n++=+，则2n S = __________，n a = __________.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan ()a b A a b => . （Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c=，求△ABC的周长的取值范围.18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD⊥，AB CD，AD DC-中，PA⊥底面ABCD，//===，E为PB中点.AB AD DC22（Ⅰ）求证：//CE平面PAD；（Ⅱ）若4PA=，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小.19.（本小题满分 12 分）某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.20.（本小题满分 12 分）已知点(1,0),(1,0)M N -若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分）已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x < ，证明：121ex e x +>+. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于,A B两点，点(1,2)⋅的值.P，求||||PA PB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数()|3||1|=+-- .f x x x（Ⅰ）解关于x的不等式()1≥；f x x+（Ⅱ）若函数()>>，且(1)(1)++=，求a ba b Mf x的最大值为M，设0,0a b+的最小值.长春市2020届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 【解析】{|||2}{|2,2}A x x x x x =≥=-或≤≥，2{|30}{|0,3}B x x x x x x =->=<>或，∴A B ={|3,x x >或x ≤2}-2. C 【解析】252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，其对应点为(2,1)--，在第三象限3. C 【解析】01,1,0a b c <<><，∴c a b <<4. C 【解析】=∴|1|2b +=∴13b b ==-或5. D 【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x =时，得估计值为≈3192，故③正确.6. A 【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则12αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=- 7. D 【解析】①正确； ② 错误；③错误；④正确 8. A 【解析】2210661164a a a a =⨯==∴，∴664b a ==，1161144S b ==9. C 【解析】由2sin(0)1ωϕϕ⋅+=π∴=6，由112sin()0212ωπϕω⋅+==∴即2sin(2)6y x π=+，横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+，即为()f x 解析式. 10. B 【解析】由(2)()0f x f x ++=得函数的周期为4，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+此时()f x 的最小值为(5)1f =-.[法2：由周期为4，()f x 在[0,2]上的最小值即为()f x 在[4,6]上的最小值] 11. C 【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，∴12p =∴2p =，||1cos60pAF =-︒，||1cos60pBF =+︒,∴||10.53||10.5AF BF +==-.12. C 【解析】21()(2)e x f x x -'=-∴()f x 在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又(1)1f =-，1f <-，(2)0f =∵(1)1f '=-∴m >-1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分） 13. 112【解析】由3883(8)1881(2)()2(1)r r r r r r r r r T C x C x x----+=-=-有3(8)0r r --=得6r =∴6866782(1)112T C -=-=14. 2【解析】112(())()()()333BP BC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ⋅=+-⋅-=-⋅-221248122233332AC AB AC AB =+-⋅=+-⨯⨯= 15. 20π【解析】 取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ,则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，121O E O E ==，连OE ，在Rt △1O OE 中，13OO =，在Rt △1O OA 中，12O A =得5OA =，即球半径为5，所以球面积为20π.16.221n n +，1(1)(1)n n n -++【解析】由1222n n a a n n ++=+得21222(21)2(21)n n a a n n -+=-+- 211(21)(21)2121n n n n ==--+-+∴2nS =1113-+1135-+…+112121n n --+1121n =-+. 由111212a =-=-⨯递推得277623a ==⨯，311111234a =-=-⨯，421212045a ==⨯，归纳可得1(1)(1)n n n -++.【法2：】122111111=()()22112n n a a n n n n n n n n ++=-=-+-+++++∴11111()[()]112n n a a nn n n +--=---+++∴11{()}1n a n n --+为首项为1-，公比为1-的等比数列，11111()=(1)=(1)+()=(1)+11(1)n n n n n a a nn n n n n ------+++∴三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =， 由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形. （6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<sin()14A π<+<，即2010L <<+（12分） 18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面. （6分）（Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-，(2,0,2)CE =-， 平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =； 平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =；因此1212||cos ||||n n n n θ⋅==⋅. 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=.（4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=该考生本次测验选择题所得分数为X 的分布列为选择题所得分数为X 的数学期望为1153EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=.（4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得22(34)30t y +--=，即12234y y t +=+，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||22AOB S OQ y y =⋅-=△216234t ==+令u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++当且仅当u =3t =±时等号成立， 因此AOB ∆此时直线l的方程为3x y =±-. （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-，()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分） （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x xx'=+-+-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥； 即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e-+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点； 当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=. （5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立， 可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2. （10分）。

2020届高中毕业生五月质量检测理科数学 2020.5.25 本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足，i i i z +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x x A ，{}2<=x x B ，则A∩B= A ．{}12<<-x x B ．{}23<<-x x C ．{}12≤<-x x D ．{}12≤≤-x x3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -44．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.46．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅=A ．2B ．5C ．3D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为 A ．2 C ．4 B ．3 D ．59．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为A ．161B ．41C ．1D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax e x f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为 A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或 C ．{}e a a a =≤，或0 D ．{}10=≤a a a ，或 11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k :=A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数ln 1x y x =+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。

长春市2020 届高三质量监测(一）理科数学一、选择题：本题共12 小题,每小题5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合，，则A. B. 或≤C。

或D。

或2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在A. 第一象限B。

第二象限C。

第三象限 D. 第四象限3。

已知,，,则A. B。

C。

D.4. 已知直线与圆相切,则A. B。

C。

或D。

5. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013 年编号为1,2014 年编号为2，…，2018年编号为6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析)，得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743 个③可预测2019 年公共图书馆业机构数约为3192 个A. 0 B。

1 C. 2 D。

36。

中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。

一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为A。

B. C. D.7. 已知为直线，平面，则下列说法正确的是①，则②，则③，则④，则A. ①②③B。

②③④ C. ①③ D. ①④8. 已知数列为等比数列，为等差数列的前项和，且，，,则A. B. C。

D.9。

把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,得到的图象(部分图象如图所示），则的解析式为A. B。

C。

D.10。

已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为A。

B. C。

D.11. 已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为A. B. C。

吉林省长春市2020届高三质量监测（四模考试）数学（理科）试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习吉林省长春市2020届高三质量监测（四模考试）数学（理科）试题（含答案解析）1 设集合，则（）A. B.C. 或D. 或【答案解析】 B【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再求A与B的并集，然后再求补集即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2 在等比数列{an}中，，则（）A. B. C. 9 D. 12【答案解析】 D【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为等比数列的性质，成等比数列，即，所以.故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.3 设复数，下列说法正确的是（）A. 的虚部是;B. ；C. 若，则复数为纯虚数;D. 若满足，则在复平面内对应点的轨迹是圆.【答案解析】 D【分析】根据复数的相关概念一一判断即可；【详解】解：的实部为，虚部为所以故A错；，，所以B错；当时，为实数，所以C错；由得，，，所以D对.故选：D【点睛】本题考查复数的相关概念的理解，属于基础题.4 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A. 8种B. 9种C. 12种D. 14种【答案解析】 D【分析】采用采用间接法，任意选有种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目.5 若，则（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简求得结果.【详解】. 故选：.【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值的问题，考查基础公式的应用.6 田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（）A. 0.832B. 0.920C. 0.960D. 0.992【答案解析】 D【分析】根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；【详解】解：三次试跳都没成功的概率为，所以他获得冠军的概率是.故选：D【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.7 已知，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】利用对数函数的单调性比较、、与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】，则，，，即，.因此，.故选：D.【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.8 已知直线和平面、有如下关系：①；②；③；④.则下列命题为真的是（）A. ①③④B. ①④③C. ③④①D. ②③④【答案解析】 C【分析】利用面面垂直的性质可判断A选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C选项的正误；利用面面平行的性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由①③可知，或，A错；对于B选项，由①④可知，与的位置关系不确定，B错；对于C选项，过直线作平面，使得，，则，，，，，C对；对于D选项，由②③可知，，D错.故选：C.【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.9 如图，为测量某公园内湖岸边A、B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A、B的俯角分别为，此时无人机的高度为，则AB的距离为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】设点P在AB上的投影为O，在Rt△POB中，可得，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，得到答案.【详解】如图所示，设点P在AB上的投影为O，在Rt△POB中，可得，由正弦定理得，所以故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.10 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则（）A. B. C. 4 D.【答案解析】 A【分析】画出图像,分别作关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可. 【详解】如图,作分别作关于准线垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有. 设,,故,,故.故,故是边的中位线,故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.11 函数的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与的图象交于M、N两点，且M在轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f(x)的图象关于点成中心对称;②函数f(x)在上单调递增;③圆C的面积为.A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案解析】 B【分析】先求出函数的解析式，验证可判断①的正误；利用正弦函数的单调性可判断②的正误；求出圆的半径，利用圆的面积可判断③的正误.【详解】由圆的对称性，正弦函数的对称性得为函数的一个对称中心，所以周期，，又函数的图象过点，则，且函数在附近单调递增，所以，，可取. 所以，.成立，所以①对；当时，，所以，函数在区间上不单调，所以②错；当时，得点的坐标为，所以圆的半径为，则圆的面积为，所以③对.故选：B.【点睛】本题考查利用正弦函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性和单调性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12 函数的图象在点处两条切线的交点，一定满足（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】根据函数，求导，然后利用导数的几何意义，分别写出在点处的切线方程，再联立求解即可.【详解】因为函数，所以，所以所以，又因为在点处的切线方程分别为：，联立消去y得：，.解得.故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为故答案为【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质14 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s的取值范围是____________.【答案解析】 [0,1]【分析】分别在和两种情况下，根据指数函数和对数函数的单调性求得值域，取并集得到所求的取值范围.【详解】当时，，在上单调递增，；当时，，在上单调递增，；综上所述：输出的.故答案为：.【点睛】本题以程序框图为载体考查了指数函数和对数函数值域的求解问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的单调性，进而确定所求值域.15 已知向量则△ABC面积为____________.【答案解析】【分析】根据，，可得，再由，利用余弦定理可解得，，进而得到，然后代入求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，由余弦定理得，所以，则，因为，所以，，所以面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M、N分别是棱的中点，则二面角的余弦值为_________；若动点P在正方形(包括边界)内运动，且平面，则线段的长度范围是_________.【答案解析】；【分析】延长AM交DC于点Q，过C作AM垂线CG，垂足为G，连接NG，则∠NGC为二面角的平面角，计算可得结果；取的中点，的中点，连结，，，取中点，连结，推导出平面平面，从而点的轨迹是线段，由此能求出的长度范围．【详解】延长AM交DC于点Q，过C作AM垂线CG，垂足为G，连接NG，则∠NGC为二面角的平面角，计算得，，所以取的中点，的中点，连接，，，取中点，连接，点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，，，，，平面平面，动点在正方形（包括边界）内运动，且面，点的轨迹是线段，，，，当与重合时，的长度取最小值，当与（或重合时，的长度取最大值为．的长度范围为．故答案为：；【点睛】本题考查二面角余弦值的求法和线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17 已知数列{an}是等比数列，且公比不等于1，数列{bn}满足.（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）若，，求数列的前n项和Sn.【答案解析】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据对数运算法则和等比数列定义可证得，由此证得结论；（2）利用等比数列通项公式可构造方程求得，进而整理得到，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）已知数列满足，则，，数列为等差数列.（2）由，可得：，解得：或（舍），，则，，.【点睛】本题考查等差数列的证明、裂项相消法求解数列的前项和问题，涉及到等比数列通项公式的应用；求和问题的处理关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果.18 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，，点E为的中点，且，点F在CD上，且.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案解析】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图所示，取的中点，连结、，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取中点，中点，连结、，以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空间坐标系，找到平面的一个法向量，求出直线向量所成夹角的余弦值，即可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取的中点，连结、，因为点为的中点，且，所以且，因为，所以，所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以∥平面；（2）取中点，中点，连结、，因为，所以，又平面平面，所以平面，又，所以，以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空间坐标系，所以，，，，在平面中，，,设在平面的法向量为，所以，，令，则法向量，又，设直线与平面所成角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，和线面所成角的求法，解题的关键是会用法向量的方法求线面角的正弦值.19 已知椭圆与轴正半轴交于点A，与轴交于B、D两点.（1）求过A、B、D三点的圆E的方程；（2）若O为坐标原点，直线与椭圆C和（1）中的圆E分别相切于点P和点Q（P、Q不重合），求直线与直线的斜率之积.【答案解析】（1）；（2）24.【分析】（1）求出、、三点的坐标，求得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由此可求得圆的方程；（2）设直线的方程为（存在且），将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得，由直线与圆相切可得出，进而可得出，求出直线与直线的斜率，进而可求得结果.【详解】（1）由题意可得、、，则圆心在轴上，设点，由，可得，解得，圆的半径为.因此，圆E的方程为；（2）由题意：可设的方程为（存在且），与椭圆联立消去可得，由直线与椭圆相切，可设切点为，由，可得，解得，，由圆与直线相切，即，可得.因此由，可得，直线的斜率为，直线的斜率，综上：.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.20 武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次)；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设. 试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案解析】（1）分布列见解析；（2），总次数为690次；，总次数为604次；，次数总为594次；减少406次【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，可得，再由相互独立事件的概率求法可得个人呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，随机变量即可得出分布列.（2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令求出期望即可求解.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，依题意可知，所以的分布列为：（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:所以当时, ，此时1000人需要化验的总次数为690次，，此时1000人需要化验的总次数为604次，时, ，此时1000人需要化验的次数总为594次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少.而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.21 已知函数（1）若函数f(x)在处有最大值，求a的值；（2）当时，判断f(x)的零点个数，并说明理由.【答案解析】（1）；（2）当时，函数无零点；当或时，函数只有一个零点.【分析】（1）根据函数最值点可确定，从而求得；代入的值验证后满足题意，可得到结果；（2）令，将问题转化为零点个数的求解问题；分别在、和三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个数.【详解】（1）由题意得：定义域为，，在处取得最大值，，解得：.当时，，，，在上单调递减，又，则时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，满足题意；综上所述：.（2）令，，则与的零点个数相等，①当时即，函数的零点个数为；②当时, ，在上为减函数，即函数至多有一个零点，即至多有一个零点.当时，，，即，又，函数有且只有一个零点，即函数有且只有一个零点；③当时，令，即，令，则在上为增函数，又，故存在，使得，即.由以上可知：当时，，为增函数；当时，，为减函数；，，令，，则，在上为增函数，则，即，当且仅当，时等号成立，由以上可知：当时，有且只有一个零点，即有且只有一个零点；当时，无零点，即无零点；综上所述：当时，函数无零点；当或时，函数只有一个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数的最值求解参数值、利用导数研究函数零点个数的问题；函数零点个数的求解关键是能够通过换元法将问题转化为新函数零点个数的求解，进而通过分类讨论的方式，结合函数单调性、零点存在定理和函数最值来确定零点个数，属于较难题.22 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段的延长线上且满足点B的轨迹为C2.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为，求面积的最小值.【答案解析】（1）：，：；（2）2.（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线的极坐标方程；（2）由,求得，求得面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线的参数方程为 (为参数)，消去参数，可得普通方程为，即，又由，代入可得曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点点的极坐标为，则，因为，所以，即，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由题意，可得,则，即，当，可得的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.23 已知函数（1）解不等式；（2）设时，的最小值为M.若实数a、b、c满足，求的最小值.【答案解析】（1）；（2）6（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）或或∴，（2）∵当且仅当时“=”成立，所以所以最小值为6.【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.。