河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案

2020-2021学年郑州一中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2>4}，B ={x|(x +1)(x −3)<0}，则(∁R A)∩B =( )A. {x|−1<x <3}B. {x|−1<x ≤2}C. {x|−2<x ≤3}D. {x|−2≤x <−1} 2. 已知是虚数单位，则( ) A.B. C. D.3. 的值为( ) A.B. C. D. 4. 已知命题p ：∀x >0，3x >x 3.则￢p 为( )A. ∀x >0，3x ≤x 3B. ∀x ≤0，3x ≤x 3C. ∃x 0>0，3x ≤x 3D. ∃x 0≤0，3x ≤x 3 5. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足∠DPD 1=∠CPM ，则点P 的轨迹为( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分6. 如下四个函数，其中既是奇函数，又在(−∞,0)是增函数的是( )A. y =−x +1B. y =−x 3C. y =−1xD. y =3√−x 7. 若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8−S 3=10，则S 11的值为( )．A. 12B. 18C. 22D. 44 8. 在△ABC 中，a =2,b =4,C =30°,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 4√3B. 4C. −4√3D. −4 9. 对集合A ={1,2}，B ={1,2，3}及平面上的点M(a,b)(a ∈A,b ∈B)，记“点M(a,b)落在直线x +y =3或x +y =4上”为事件P ，则事件P 发生的概率为( )A. 13B. 12C. 23D. 56 10. 抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A. −43B. 43C. ±43D. −169 11. 设函数f(x)=xe x −ax +a ，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则实数a 的取值范围是( )A. [−23e 2,12e )B. [23e 2,12e )C. [−1e 2,1e )D. [1e 2,1e ) 12. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若P ，M ，N 分别为DD 1，AB ，BC 的中点．则四面体OPMN 的体积为( )A. 512B. 1118C. 11√218 D. 56 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y ≤0y ≤3x +y −4≥0.则z =3x +y 的最小值是______． 14. 直线相离，若能表示为某三角形的三条边长，则根据已知条件能够确定该三角形的形状是____________．15. 命题“若实数a 、b 满足a +b ≤5，则a ≤2或b ≤3”是______命题(填“真”或“假”)16. 已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S 100=41，T 100=49，记C n =a n T n +b n S n −a nb n (n ∈N ∗)，那么数列{C n }的前100项和∑C i 100i=1= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若cos2A =−13，a =√6c ．(1)求sin C ；(2)若角A 为锐角，且c =√3，求△ABC 的面积．18. 如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB//EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知AB =2，EF =1．(Ⅰ)求证：平面DAF⊥平面CBF；(Ⅱ)当AD的长为何值时，二面角D−FE−B的大小为60°．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√55，且焦距为8．(1)求C的方程；(2)设直线l的倾斜角为π3，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．20. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：(1)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(2)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185～190cm之间的人数记为X，求X的分布列和期望．21. 已知函数f(x)=a x +x 2−xlna ，(a >1)．(Ⅰ)求证：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(Ⅱ)函数y =|f(x)−t|−1有三个零点，求t 的值；(Ⅲ)对∀x 1，x 2∈[−1,1]，|f(x 1)−f(x 2)|≤e −1恒成立，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 过原点且倾斜角为π4，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =1+√5cosβy =2+√5sinβ，(β为参数)． (1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 1和曲线C 2在第一象限的交点分别为M ，N ，求|MN|．23. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =43a n −13×2n+1+23，n ∈N ∗．(Ⅰ)求证数列{a n +2n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ；(Ⅱ)设T(n)=2n S n，n ∈N ∗，证明：∑T n i=1(i)<32； (Ⅲ)设R(n)=∑1i n i=1，n ≥2，证明：n 2<R(an 2n )<n ．【答案与解析】1.答案：B解析：此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握一元二次不等式的解法，掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．先求一元二次不等式的解集得到集合A，B，再进行集合的运算即可．解：∵x2>4，∴x>2或x<−2，∴∁R A={x|−2≤x≤2}，∵(x+1)(x−3)<0，∴−1<x<3，∴B={x|−1<x<3}，∴(∁R A)∩B={x|−1<x≤2}．故选：B．2.答案：A解析：试题分析：，故选A．考点：复数的运算3.答案：A解析：试题分析：根据求解的角超过了周角，那么可以运用诱导公式一，诱导公式二，得到sin5850=sin(3600+sin2250)=，故选A．考点：本题主要是考查任意角的三角函数的值的求解问题。

2023-2024学年河南省郑州市高一上册期中考试数学试题一、单选题1．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【正确答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．2．已知集合{}1,2A =，{}2,B a a =，若{1}A B ⋂=，则实数a 的值为A ．1B ．-1C ．1±D．【正确答案】B【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组2212,1,a a a =⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，或212,1,a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，即可得答案；【详解】由题意可得2212,1,a a a =⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，或212,1,a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，∴1a =-，故选：B.本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.3．已知集合{}|5U x x =∈≤N ，{}1,2,4A =，{}0,3,4B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4B ．{}2,5C ．{}1,2D ．{}0,2,4【正确答案】C【分析】根据交集与补集的定义求解.【详解】{}{}|50,1,2,3,4,5U x x =∈≤=N ，{}1,2,5U B ∴=ð，(){}1,2U A B ∴= ð，故选：C.4．已知0a b >>,下列不等式中正确的是A ．c c a b>B ．2ab b <C ．2a ab -<-D ．1111a b <--【正确答案】C利用作差法证明，或举出反例推翻选项.【详解】A 选项：当0c =时，选项不成立；B 选项：()20ab b b a b -=->，所以选项不正确；C 选项：()()20a ab a a b ---=--<，所以2a ab -<-，该选项正确；D 选项：当12,2a b ==时，111,211a b ==---，选项不正确.故选：C此题考查不等式的性质的应用，常用作差法比较大小，或举出反例推翻命题.5．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.6．若关于x 的不等式2320x ax -+>的解集为(,1)(,)m -∞⋃+∞，则a m +等于（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】由题可得1和m 是方程2320x ax -+=的两个根，利用根与系数关系解出,a m ，进而得答案．【详解】解：由题意知，1和m 是方程2320x ax -+=的两个根，则由根与系数的关系，得1312m am +=⎧⎨⨯=⎩，解得12a m =⎧⎨=⎩，所以3a m +=．故选D ．本题考查不等式以及根与系数关系，属于简单题．7．已知命题:p x ∃∈R ，210x x -+≥；命题:q 若22a b <，则a b <．则对命题p ，q 的真假判断正确的是A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【正确答案】B【分析】利用配方法可知p 为真命题，利用反例可知题q 为假命题，从而可得正确的选项.【详解】∵22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∴命题p 为真命题．当22a b <时，不一定有a b <，如()2235<-，但35>-，故命题q 为假命题，故选B ．本题考查命题真假的判断，说明一个命题为真，需给出证明，而说明一个命题为假，只需给出一个反例即可.8．下列各组函数中表示同一个函数的是（）A ．()()21,1x f x x g x x=-=B ．()()42,f x x g x ==C ．()()2,x f x g x xx==D ．()()()222,1x x f x g x x x-==-【正确答案】D分别判断四个答案中()f x 与()g x 的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即【详解】对于选项A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}0x x ≠，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项B ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}0x x ≥，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项C ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，()g x 的定义域为R ，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项D ：()f x ，()g x 的定义域均为{}0x x ≠，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；故选：D.本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.二、多选题9．已知一次函数1()(0)3f x x b b =-+≠满足2((0))f f b =，且点()Q m n ,在()f x 的图象上，其中0m >，0n >，则下列各式正确的是（）A ．43b =B ．32m n +=C ．13mn ≤D ．1123m n+≥【正确答案】BCD 【分析】根据2((0))f f b =求出b 判断A,根据点在函数图象上判断B ，由均值不等式判断CD.【详解】21((0))()3f f f b b b b ==-+= ，23b ∴=，即12()33f x x =-+，故A 不正确；由()Q m n ,在函数图象上可得23m n -+=，即32m n +=，故B 正确；由均值不等式可得32m n +=≥13mn ≤，故C 正确；因为11111131(3)(2)22323232n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.10．若,(0,)a b ∈+∞，则下列选项成立的是（）A ．(6)9a a -≤B ．若3ab a b =++，则9ab ≥C ．2243a a ++的最小值为1D ．若2a b +=，则1232a b +≥+【正确答案】ABDA.利用怍差法判断；B.由33ab a b =++≥+判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由2a b +=，利用“1”的代换结合基本不等式判断.【详解】A.因为()229(6)6930a a a a a --=-+=-≥，故正确；B.因为33ab a b =++≥+，所以230-≥3≥，所以9ab ≥，当且仅当3a b ==取等号，故正确；C.因为2222443333a a a a +=++-++，233a +>，则由对勾函数的性质得224333t a a =++-+在()3,+∞上递增，所以其最小值为43，故错误；D.因为2a b +=，则()121122333221122b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=，当且仅当22a b b a ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即)(21,22a b ==-时，取等号，故正确；故选：ABD11．已知x ∈R ，函数()2f x x x =-，下列表述正确的（）A ．()y f x =为奇函数B ．()y f x =在()1∞-，单调递增C ．()y f x =的单调递减区间为()12，D ．()y f x =最大值为1【正确答案】BC【分析】分类讨论，写出()f x 解析式，画出()f x 图像，分析选项可得答案.【详解】由题可得()222222x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，，，画出()f x 图像如下.对于A 选项，由图可知()f x 为非奇非偶函数.，故A 错误.对于B 选项，由图可知，()f x 在()1∞-，上单调递增.故B 正确.对于C 选项，由图可知，()f x 的单调递减区间为()12，.故C 正确.对于D 选项，由图可知，()f x 无最大值.故D 错误.故选：BC12．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.张阿姨和李阿姨是邻居，经常结伴去买菜.张阿姨喜欢用第一种方式买猪肉，李阿姨喜欢用第二种方式买猪肉，已知两次买猪肉的单价分别为每斤X 元和Y 元()X Y ≠，则下列选项正确的是（）A ．张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤2X Y+元；B ．李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤211X Y +元；C ．张阿姨的购买方式更实惠；D ．李阿姨的购买方式更实惠．【正确答案】ABD【分析】设第一种方式购买物品为a ，第二种所花的钱为b .求出两次的单价即可判断A 、B ；两式作差可判断C 、D.【详解】设用第一种方式买猪肉时，每次购买这种物品的数量为a ()0a >，用第二种方式买猪肉时，每次购买这种物品所花的钱数为b ()0b >.对于A 项，张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤为2aX aY X Ya a ++=+，故A 项正确；对于B 项，李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤2211b b XY b b X Y X Y X Y+==+++，故B 项正确；对于C 项，因为()()24222X Y XY X Y XYX Y X Y +-+-=++()()22X Y X Y -=+，又0X >，0Y >，X Y ≠，所以有202X Y XY X Y +->+，所以22X Y XYX Y+>+，故C 项错误；对于D 项，由C 解析知，22X Y XYX Y+>+，故D 项正确.故选：ABD.三、填空题13．命题“x ∃∈R ，1x <或2x ≥”的否定是____________．【正确答案】x ∀∈R ，12x ≤<【分析】由特称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为x ∀∈R ，12x ≤<.故x ∀∈R ，12x ≤<.14．函数y x x=-的定义域是___________.【正确答案】[2,0)-【分析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：240||0x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，则220x x -≤≤⎧⎨<⎩，可得20x -≤<，∴函数的定义域为[2,0)-.故答案为.[2,0)-15．已知0m >，0n >，且满足1m n +=，则1211m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为___________．【正确答案】8【分析】根据“1”的代换可得1221123n m m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而展开根据基本不等式即可求得最小值.【详解】因为1m n +=，所以有1112m n n m m m ++=+=+，()222113m n m n n n++=+=，又0m >，0n >，所以1221123n m m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭348n m m n =++8≥+8=，当且仅当34n m m n=，且0m >，0n >，1m n +=，即3m =，4n =-.所以，1211m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为8.故答案为.816．若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范围是___________.【正确答案】()(],13,4-∞ 【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对a 进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出a 的取值范围【详解】不等式()2220x a x a -++->等价于()2220x a x a -++<.令()2220x a x a -++=，解得2x =或x a =.当2a >时，不等式()2220x a x a -++<的解集为()2,a ，要想恰有1个正整数解，则34a <；当2a =时，不等式()2220x a x a -++<无解，所以2a =不符合题意；当2a <时，不等式()2220x a x a -++<的解集为(),2a ，则1a <.综上，a 的取值范围是()(],13,4-∞ .故()(],13,4-∞ 四、解答题17．已知集合{}()(){}1,2,|10A B x x x a =-=+-=．(1)若3a =，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合．【正确答案】(1){}1-(2){}1,2-【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.（2）根据A B A ⋃=对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）依题意{}1,2A =-，当3a =时，()(){}{}|1301,3B x x x =+-==-，所以{}1A B ⋂=-.（2）由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =，若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃=，符合题意.若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =.综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-.18．已知集合611A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}220B x x x m =--<．(1)当3m =时，求()R A B ð；(2)若{}14A B x x ⋂=-<<，求实数m 的值．【正确答案】(1){|35}x x ≤≤(2)8m =【分析】（1）化简集合,A B ，根据补集和交集的概念运算可得结果；（2）由B ≠∅求出1m >-，再求出B ，然后根据{}14A B x x ⋂=-<<列式可求出结果.【详解】（1）由611≥+x 得016x <+≤，得15x -<≤，所以{|15}A x x =-<≤，当3m =时，由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}B x x =-<<，所以{|1B x x =≤-R ð或3}x ≥，所以()R A B ð{|35}x x =≤≤.（2）因为{}14A B x x ⋂=-<<，所以B ≠∅，所以440m ∆=+>，即1m >-，由220x x m --<得2(1)1x m -<+，得11x <<，所以{|11B x x =<<，因为{}14A B x x ⋂=-<<，所以14=，11≤-，解得8m =.19．已知0x >，0y >，a ，b 为正常数，且1a bx y+=．(1)若1a =，9b =，求x y +的最小值；(2)若10a b +=，x y +的最小值为18.求a ，b 的值.【正确答案】(1)16；(2)答案见解析.【分析】（1）由题意可知，()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后根据基本不等式即可求出最小值；（2）由题意可知，()a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后根据基本不等式即可求出最小值为10，根据题意可得16ab =.又10a b +=，联立即可解出a，b 的值.【详解】（1）解：由已知可得，191x y+=，又0x >，0y >，所以()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭091y x x y=++1016≥=，当且仅当9y x x y =，0x >，0y >，191x y+=，即4x =，12y =时等号成立.所以，x y +的最小值为16.（2）解：由已知1a bx y+=，又0x >，0y >，a ，b 为正常数，10a b +=所以()a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ay bxa b x y =+++10ay bxx y =++10≥+10=.当且仅当ay bx x y =且1a b x y +=时，等号成立，此时x y +的最小值为10，又x y +的最小值为18，所以1018+=，16ab =.联立1016a b ab +=⎧⎨=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩.20．自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x （单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C （单位：万元）与总直播时长x （单位：小时）之间的关系为50k C x =+（0x ，k 为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y （单位：万元）.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)该厂家直播时长x 为多少时，可使y 最小？并求出y 的最小值.【正确答案】(1)48003(0)5025x y x x =++(2)线上直播x=150小时可使y 最小为42万元【分析】（1）通过0x =求出系数k ，即可得结果；（2）直接根据基本不等式即可得结果.【详解】（1）由题得，当0x =时，2450k C ==，则1200k =，故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为12004800340.12(0)505025x y x x x x =⨯+=+++（2）由（1）知48003(50)66425025y x x =++-≥=+，当且仅当48003(50)5025x x =++，即150x =时等号成立，即线上直播150小时可使y 最小为42万元.21．已知函数()()()11f x x ax =-+，其中R a ∈.(1)若不等式()0f x >的解集为{}12x x <<，求a 的值；(2)求解关于x 的不等式()0f x <.【正确答案】(1)12-(2)答案见解析【分析】（1）分析可知()0f x =的两根分别为1、2，可求得a 的值；（2）对实数a 的取值进行分类讨论，利用一次不等式与二次不等式的解法解原不等式，即可得解.【详解】（1）解：由题意可知，方程()0f x =的两根分别为1、2且a<0，则()2210f a =+=，解得12a =-，合乎题意.（2）解：当0a =时，由()10f x x =-<可得1x <；当0a >时，由()()()110f x ax x =+-<可得11x a -<<；当10a -<<时，11a ->，由()()()110f x ax x =+-<可得1x <或1x a>-；当1a =-时，由()()210f x x =--<可得1x ≠；当1a <-时，101a <-<，由()()()110f x ax x =+-<可得1x a<-或1x >.综上所述，当1a <-时，原不等式的解集为1x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >；当1a =-时，原不等式的解集为{}1x x ≠；当10a -<<时，原不等式的解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭；当0a =时，原不等式的解集为{}1x x <；当0a >时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.22．已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求()f x 的解析式(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数(3)解不等式()()10f t f t -+<【正确答案】(1)()21x f x x =+(2)证明见解析(3)102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可；（2）不妨假设()1212,1,1,x x x x ∈-＜，判断()()12f x f x -的符号即可；（3）根据()f x 是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t 的范围.【详解】（1）由函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，得()00f =，即0b =，又∵2112225112a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =，∴()21x f x x =+；（2）设1x ∀，()21,1x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，∵210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1,1-上是增函数；（3）由()f x 为()1,1-上的奇函数，如()()10f t f t -+<等价于()()1f t f t -<-．则由()f x 在()1,1-上是增函数，可得111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得102t <<，即不等式()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；综上，()21x f x x =+，()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.。

2020-2021郑州中学高一数学上期中第一次模拟试卷带答案一、选择题1．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1272．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 8．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．212．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、填空题13．方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 14．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．15．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．16．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．17．已知2a=5b=m ,且11a b+=1,则m =____. 18．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________． 19．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．20．设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+23．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 24．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.25．已知函数()()2log 1f x x -A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A B I ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围.26．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．2．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示，故选D ．4．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．6．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．8．C解析：C【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．12．A解析：A 【解析】试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．二、填空题13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩， 所以方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--， 故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.14．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．15．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.16．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-17．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．18．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a >故答案为：()(),01,-∞⋃+∞【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．19．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果.【详解】因为()()))()22f x f x ln x 1ln x 1ln 122x x +-=+++=+-+=， ()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.20．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与解析：(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】【分析】【详解】 ①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1；（2）①若函数()2x g x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<； ②若函数()2x g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）19t +<【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -= 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤< 即实数t的取值范围是19t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题. 22．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】 试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a aa -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.23．（1）当P ＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后【解析】【分析】（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值； （2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论．【详解】设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q （P ﹣14）×100﹣3600﹣2000，① 由销量图，易得Q ＝250,14P 20340,20P 262p p -+⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟„ 代入①式得L ＝(250)(14)1005600,14P 20340(14)100560,20P 262P P P P -+-⨯-⎧⎪⎨⎛⎫-+-⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩剟„ （1）当14≤P ≤20时，2(250)(14)1005600200780075600L P P p p =-+-⨯-=-+-，当P ＝19.5元，L max ＝450元，当20＜P ≤26时，23340(14)100560615656022L P P P p ⎛⎫=-+-⨯-=-+- ⎪⎝⎭，当P ＝613元时，L max ＝12503元. 综上：月利润余额最大，为450元，（2）设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450﹣50000﹣58000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫．【点睛】本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题．24．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。

2020−2021学年河南省郑州市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x|1≤x ＋1＜5}，B ＝{x|x ≤2}，则A ∩（∁R B ）＝（ ）A 、{x|0≤x ＜4}B 、{x|0≤x ≤2}C 、{x|2＜x ＜4}D 、{x|x ＜4}2．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A 、f(x)＝x x x 22+，g （x ）＝x ＋2B 、f （x ）＝x 2−3x ，g （t ）＝t 2−3tC 、f(x)＝(x )2，g （x ）＝xD 、f(x)＝242--x x ，g （x ）＝x ＋2 3．已知函数f （x ＋2）＝2x ＋x −2，则f （x ）＝（ ）A 、22-x ＋x −4B 、22-x ＋x −2C 、22+x ＋xD 、22+x ＋x −24．函数f （x ）＝lnx ＋2x −3的零点所在的区间是（ ）A 、（0，1）B 、（2，3）C 、（1，2）D 、（3，4）5．已知a ＝log 23，b ＝log 25，则log 415＝（ ）A 、2a ＋2bB 、a ＋bC 、abD 、21a ＋21b 6．函数y ＝a x −a1的大致图象不可能是（ ） A 、 B 、C 、 D 、7．若{1，2}⊆M ⊆{0，1，2，3，4}，则满足条件的集合M 的个数为（ ）A 、7B 、8C 、31D 、328．若a ＝221-−，b ＝ln3，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A 、a ＜b ＜cB 、a ＜c ＜bC 、b ＜a ＜cD 、c ＜a ＜b9．已知函数f(x)＝xx --113，其定义域是[−4，−2），则（ ） A 、f （x ）有最大值−37，最小值−513 B 、f （x ）有最大值−37，无最小值 C 、f （x ）有最大值−513，最小值−37 D 、f （x ）有最小值−513，无最大值 10．已知函数f （x ）＝ax 3−bx ＋1，若f （2）＝5，则f （−2）＝（ ）A 、−5B 、−3C 、3D 、511．已知函数f(x)＝log 5(−21x 2＋mx ＋8)在[−2，2]上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A 、[2，＋∞）B 、（−3，3）C 、（−3，2]D 、[2，3） 12．已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧-≤+->-2,52,32||x x x x ，则y ＝f （f （x ））＋1的零点个数为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡中的横线上．13．函数f （x ）＝x -2＋ln （x ＋1）的定义域是_____________．14．已知集合A ＝{x|x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x|3x 2＋（a ＋2）x −b ＝0}，若A ∩B ＝{−2}，则A ∪B ＝___________．15．不等式9x −2＞log 21x 的解集是____________．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减．若f （log a 4）≤f （2）（a ＞0且a ≠1），则a 的取值范围为____________．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A ＝{x|−3＜x ＋1≤4}，B ＝{x|2m −1≤x ＜m ＋3}．（1）当m ＝1时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求m 的取值范围．18．某市出租车收费标准：路程不超过2千米，收费为8元；路程超过2千米但不超过8千米的部分，每千米车费为2.1元；路程超过8千米的部分，每千米车费为3.1元．设某乘客在该市乘坐出租车的车费为y元．（1）求车费y关于路程x的函数关系式；（2）若该乘客所付车费为23.7元，求出租车行驶的路程．19．已知幂函数f（x）＝（m2＋2m−2）x2 m，且在（0，＋∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3−a）m＞（a−1）m，求a的取值范围．20．已知函数f（x）＝loga （x＋6）−loga（6−x）（a＞0，且a≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求关于x的不等式f（x）≥loga2的解集．21．已知二次函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）−2x＋1，且f（1）＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）＝f（x）−2mx，求g（x）在[−1，3]上的最值．22．已知函数f（x）＝2x＋m•2x ＋2m是R上的偶函数，g（x）＝a−|x−2m|．（1）求m的值；（2）若存在x1，x2∈[1，4]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范围．。

2020～2021学年上期高一年级期中联考试题数学学科考试时间：120分钟 分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。

考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)。

在试题卷上作答无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1.集合A ＝{x||x|≤1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B ＝ A.{x|－1≤x ≤l} B.{x|x ≥0} C.{x|0≤x ≤1} D.φ2.已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，则函数y ＝f(|x|)的图象为3.下列四组函数中f(x)与g(x)是同一函数的是A.f(x)＝x ，g(x)＝2x xB.f(x)＝2lgx ，g(x)＝lgx 2C.f(x)＝|x|，g(x)＝(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩ D.f(x)＝(12)x，g(x)＝12x4.函数f(x)＝()22m m 1m m 1x+---是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 为A.1B.－1C.2D.－1或25.已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为 A.3x －2 B.3x ＋2 C.2x ＋3 D.2x －36.若函数f(x)＝lnx －1x ＋a 在区间(1，e)上存在零点，则常数a 的取值范围为 A.(0，1) B.(1e ，1) C.(1e －1，1) D.(1，1e＋1)7.已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则三个数的大小顺序为 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b8.定义在R 上的函数f(x)的图象关于x ＝2对称，且f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，2]，且(x 1≠x 2)都有()()1212f x f x x x --<0，且f(4)＝0，则关于x 的不等式()f x x <0的解集是A.(－∞，0)∪(4，＋∞)B.(－∞，0)∪(0，4)C.(0，2)∪(4，＋∞)D.(0，2)∪(2，4) 9.若函数f(x)＝log 3(x 2＋ax ＋a ＋5)，f(x)在区间(－∞，1)上是递减函数，则实数a 的取值范围为A.[－3，－2]B.[－3，－2)C.(－∞，－2]D.(－∞，－2) 10.设方程5－x ＝|lgx|的两个根分别为x 1，x 2，则 A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1 D.0<x 1x 2<111.已知函数f(x)＝()a a 3x 3a x 1log x x 1-+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，是R 上的减函数，那么a 的取值范围是A.[34，1) B.(1，3) C.(0，1) D.(0，3) 12.已知a>0，a ≠1，f(x)＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f(x)<12，则实数a 的取值范围是 A.(0，12]∪[2，＋∞) B.[12，1)∪(1，2] C.(0，14]∪[4，＋∞) D.[14，1)∪(1，4]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。

2020－2021学年度高一上学期期中教学质量检测数学试题(测试时间：120分钟卷面总分：150分)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，则UA＝A.{3，9}B.{7，9}C.{5，7，9}D.{3，7，9}2.下列函数与f(x)＝x＋1是同一函数的是A.g(x)＝2xx＋1 B.g(x)＝2x＋1 C.g(x)＝lg10x＋1D.g(x)＝e lnx＋13.函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为A.[14，12] B.[18，14] C.[0，18] D.[12，1]4.下列函数中，既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的是A.f(x)＝2x－2－xB.f(x)＝－x2－1C.f(x)＝x3＋3xD.f(x)＝ln|x|5.已知函数f(x)＝()f x2x21()x22x+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，则f(－3)的值为A.8B.4C.14D.186.函数f(x)＝2xxe1xe+的图象大致为7.设a＝1.21.7，b＝0.31.2，c＝log1.30.5，则a，b，c的大小关系为A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c8.函数y＝log a(x－1)＋4的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图象上，则f(3)＝A.2B.3C.8D.99.若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－254，－4]，则实数m的取值范围是A.(0，4]B.[32，3]C.[－254，－4]D.[32，＋∞]10.已知函数f(x)2|x|f(x－1)>－2，则实数x的取值范围是A.[－1，3]B.[－2，2]C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(0，2)11.设集合M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集。

2020-2021学年河南省郑州市第一中学高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（选择题 、填空题 ，共80分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.若全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,2,3U M N ===，则集合{}5,6等于（ ）A ．M N ⋃B ．M N ⋂C ．()()U U C M C N ⋃D ．()()U U C M C N ⋂2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y x = B ．lg y x = C ．2x y = D ．1y x= 3.函数()1xxa y a x=>的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ． D ．4.函数()()3log 21a f x x =--的图象一定经过点（ ）A ．()3,1-B ．()2,1-C ．()3,0D ．()2,0 5.已知函数()()()2433,0log 11,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6.若()()12log 21f x x =-，则()f x 的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 7.已知实数,a b 满足23,32a b ==，则函数()x f x a x b =+-的零点所在区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28.三个数0.377,0,3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>9.若*,x R n N ∈∈，规定：()()()121n x H x x x x n =+++-，例如：()()()()44432124H -=-⨯-⨯-⨯-=，则()52x f x x H -=的奇偶性为（ ）A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数10.已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数()()221y f x f x λ=++-只有一个零点，则实数λ的值是（ ）A ．14B ．18C ．78-D ．38- 11.已知符号[]x 表示不超过x 的最大整数，函数()[]()0x f x x x =>，则以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域为[]0,1B ．函数()f x 没有零点C ．函数()f x 是()0,+∞上的减函数D ．函数()()g x f x a =-有且仅有3个零点时3445a <≤ 12.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ，则1122m m x y x y x y ++++++=（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合{}{}(){}0,1,2,3,|,,A B M x ab a b a A b B ===+∈∈，则集合M 的真子集的个数是___________． 14.若函数2123ax y ax ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________． 15.函数()212log 451y x x =-+-的单调递增区间为___________． 16.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任意实数(),x f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是____________．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数()()1102xg x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域为集合B ． （1）求A B ；（2）若集合[],21C a a =-，且C B B =，求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）计算：（1(9lg 27lg80.3lg1.2+ （2）()()11201130.25435270,0081381100.02768----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 19.（本题满分12分）若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()21f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-<⎪⎝⎭． 20.（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式；（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）21.（本题满分12分）已知二次函数()f x 有两个零点0和-2，且()f x 最小值是-1，函数()g x 与()f x 的图象关于原点对称．（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）若()()()h x f x g x λ=-在区间[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数()()2210,1g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[]2,3上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x =． （1）求,a b 的值；（2）不等式()220xx f k -≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市第一中学高一上学期期中考试数学试题参考答案一、选择题：1—5. DDBAC 6—10. ABABC 11—12. DB二、填空题：13. 7 14. [)0,3 15. 5,18⎛⎫ ⎪⎝⎭16. ()0,8三、解答题17.解：（1）()2log 10x -≥，即11x -≥，解得2x ≥，∴其定义域为集合[)2,A =+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分()12xg x⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵10x-≤≤，∴()12g x≤≤，集合[]1,2B=．．．．．．．．．．．．．4分∴{}2A B⋂=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵C B B=，∴C B⊆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当Cφ=时，21a a≥-，即1a≤；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当Cφ≠时，211212a aaa->⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，∴312a<≤………………………… 8分()()()331lg3lg33lg2322lg31lg32lg212⎛⎫-+-⎪⎝⎭==--+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）原式()1123114344430.333100.32-⎛⎫⨯-⎛⎫ ⎪⎛⎫⨯-⎝⎭⎪⨯- ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+-⨯⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分1210128333333-⎛⎫=-+-=-⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分19.解：（1）令0x y=>，则()10f=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）∵()21f=，令4,2x y==，∴()()()242f f f=-，即()42f=．．．．．．．．．．．．．6分故原不等式为：()()134f x f fx⎛⎫+-<⎪⎝⎭，即()()()34f x x f+<．．．．．．．．．．．．．8分又()f x在()0,+∞上为增函数，故原不等式等价于：()30134xxx x+>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分得()0,1x ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）当0100x <≤时，60P =，当100550x <<时，()600.021006250x P x =--=-， 当550x ≥时，51P =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以()()600100621005505051550x x P f x x x N x <≤⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）设工厂获得的利润为L 元，当订购500个时，5006240500600050L ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭元；．．．．．．．．．．．．．．9分 当订购1000个时，()5140100011000L =-⨯=元．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）依题意，设()()()20f x ax x a =+>，对称轴是1x =-，∴()121f a a -=-=-，∴1a =，∴()22f x x x =+．．．．．．．．．．．．．．．．3分 由函数()g x 与()f x 的图象关于原点对称，∴()()22g x f x x x =-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）得()()()()22222121h x x x x x x x λλλ=+--+=++- ①当1λ=-时，()4h x x =满足在区间[]1,1-上是增函数；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分 ②当1λ<-时，()h x 图象在对称轴是11x λλ-=+，则111λλ-≥+， 又∵1λ<-，解得1λ<-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分③当1λ>-时，有111λλ-≤-+，又∵1λ>-，解得10λ-<≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 综上所述，满足条件的实数λ的取值范围是(],0-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）()()211g x a x b a =-++-，对称轴1x =，当0a >时，()g x 在[]2,3上为增函数，∴()()21441113496140g a a b a g a a b b =⎧⎧-++==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎪⎩⎩⎩， 当0a <时，()g x 在[]2,3上为减函数，∴()()24441413196113g a a b a g a a b b =⎧-++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎪⎩⎩⎩， ∵1b <，∴1,0a b ==，即()()2121,f 2g x x x x x x=-+=+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）方程()220k k f k -≥可化为12222x k x k +-≥， ∴2111222x k k ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，令21,212k t k t t =≤-+， ∵[]1,1x ∈-，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()221h t t t =-+，∴()min 0h t =，∴0k ≤．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭，可化为()122123021x x k k +-+-+=-， 即()()2212321120x x k k --+-++=，210k-≠， 令21xm -=，则方程可化为()()()223120,0m k m k m -+++=≠， ∵ 方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有四个不同的实数解， 由21xm =-的图像可知，()()()223120,0m k m k m -+++=≠有两个根1212,0m 1m m m <<<、，令()()()22312m m k m k ϕ=-+++()()()()()22341202301201201123120k k k k k k ϕϕ⎧∆=+-+>⎪+⎪<<⎪⎨⎪=+>⎪=-+++>⎪⎩，∴1429k -<<-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

2020-2021学年郑州市重点高中高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知函数f(x)={2x ,x ≥0log 2(−x),x <0，则f(f(−2))=( ) A. −1B. 2C. 1D. −2 2. 设i 是虚数单位，集合M ={z|iz =1}，N ={z|z +i =1}，则集合M 与N 中元素的乘积是( )A. −1+iB. −1−iC. iD. −i 3. 已知集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|(x +1)(x −3)≤0}，则A ∩B =( )A. (−3,3]B. [−3,1)C. (−1,3)D. [−1,1) 4. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x 21sin x 2∣∣∣∣∣的图象向左平移m(m >0)的单位后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A. π3B. 2π3C. 4π3D. 7π3 5. 若A(3,−2)，B(−9,4)，C(x,0)三点共线，则x =( )A. 1B. −1C. 0D. 7 6. 已知f(x)=asinx +b3x +4(a,b ∈R)且f(lglog 310)=5，则f(lglg3)=( )A. 0B. −3C. −5D. 3 7. 若向量a ⃗ =(1,1−x)，b ⃗ =(1,1+x)，则函数f(x)=√a ⃗ ⋅b ⃗ 4−|x −4|是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 减函数 8. 已知函数f(x)={ax +b,x ≤0log c (x +19),x >0的图象如图所示，则a +b +c =( )A. 103B. 133C. 3D. 9109. 函数的部分图象大致是( )A. AB. BC. CD. D10. 已知数列{a n }是等比数列，若a 1⋅a 5=9，则a 3=( )A. ±3B. −3C. 3D. √3 11. 若sinα=15，则cos2α=( )A. 2325B. −225C. −2325D. 225 12. 若0<α<π，则y =sinα+5sinα的最小值为( )A. 2√5B. 5C. 6D. 7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若全集为实数集R ，集合A ={x|log 12(2x −1)>0},则C R A = ______ ． 14. 如图所示矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E 1，E 2，…，E 7，自左到右依次记作F 1，F 2，…，F 7，满足AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，(其中i ，j ∈N ∗，1≤i ，j ≤7)的有序数对(i,j)共有______对．15. 已知集合A ={x|ax 2−3x +2=0,x ∈R,a ∈R}只有一个元素，则a = ．16. 当圆x 2+y 2=4的圆心到直线y =kx +1的距离最大时，k =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD 是函数y =k √x(k >0)的图象的一部分，后一段DBC 是函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2,x ∈[4,8])的图象，图象的最高点为B(5,8√33)，且DF ⊥OC ，垂足为点F ．(1)求函数y =Asin(ωx +φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE ，点P 在曲线OD 上，其横坐标为43，点E 在OC上，求儿童乐园的面积．18. 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，公比为q ，求证：{√a n }是等比数列，并求该数列的公比．19. 求下列函数的最值：(1)f(x)=sin2x −x(−π2≤x ≤π2)； (2)f(x)=x +√1−x 2．20. 已知椭圆C 的焦点是F 1( 0, −√3)，F 2(0, √3)，点P 在椭圆上且满足|PF 1|+|PF 2|=4． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设直线l ：2x +y +2=0与椭圆C 的交点为A ，B ．(i)求使△PAB 的面积为12的点P 的个数；(ii)设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，求λ2+μ2的值．21. 已知函数f(x)=13ax 3+12bx 2+cx(a >0)．(1)若函数f(x)有三个零点分别为x 1，x 2，x 3，且x 1+x 2+x 3=−3，x 1x 2=−9，求函数f(x)的单调区间；(2)若f′(1)=−12a，3a>2c>2b，证明：函数f(x)在区间(0,2)内一定有极值点；(3)在(2)的条件下，若函数f(x)的两个极值点之间的距离不小于√3，求ba的取值范围．22.已知数列{a n}(n∈N⋅)的前n项和为S n，数列{S nn }是首项为0，公差为12的等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=415⋅(−2) a n(n∈N⋅)，对任意的正整数k，将集合{b2k−1,b2k,b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d x，求数列{d k}的通项公式．(3)对(2)中的{d k}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵函数f(x)={2x ,x ≥0log 2(−x),x <0， ∴f(−2)=log 22=1，f(f(−2))=f(1)=21=2．故选：B ．先求出f(−2)=log 22=1，从而f(f(−2))=f(1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2.答案：B解析：解：集合M ={z|iz =1}={z|z =−i}，N ={z|z +i =1}={z|z =1−i}，则M ⋅N =−i(1−i)=−1−i ，故选：B ．利用复数的运算性质求出集合M ，N ，则集合M 与N 中元素的乘积可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：∵集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|(x +1)(x −3)≤0}={x|−1≤x ≤3}，∴A ∩B ={x|−1≤x <1}=[−1,1)．故选：D ．先求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.答案：C解析：解：将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x 21sin x 2∣∣∣∣∣=√3sin x 2−cos x 2=2sin(x 2−π6)的图象向左平移m(m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数的解析式为y =2sin[12(x +m)−π6]=2sin(12x +12m −π6).再根据所得图象关于y 轴对称，可得12m −π6=kπ+π2，即m =2kπ+4π3，k ∈z ， 则m 的最小值是4π3，。