2019-2020学年高中数学 椭圆的几何性质(二)导学案新人教版选修1-1.doc

2019-2020年高中数学 2.1.2 第2课时椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系点与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外． 设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1.直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 4＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ② 将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0 ③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝－5或m＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0， (*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 36＋y 9＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12. 这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P1P2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2 y1＋y22－4y1y2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上，∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2， 故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ② 又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论．有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ， 则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)， 则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 2302＝2x 0y 01 500， 当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页)运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(xx·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1. 2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分 由y 1＋y 2＝－y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0.7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y Mx M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k 2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2. 2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】 点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内． 【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， 椭圆焦点坐标为(±3，0)． 【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB|＝1＋k2AB·x1＋x22－4x1x2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜2B ．a ＜－2或a ＞2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0. ∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．3x －2y －4＝0C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】 根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D 4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m2＋n2＜4，即m2＋n24＜1.∴m29＋n24＜1，∴点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是()A．2(a－c) B．2(a＋c)C．4a D．以上答案均有可能【解析】如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.【答案】D二、填空题6．(xx·济宁高二检测)已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线方程联立消去x得(a2＋3b2)y2＋83b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0及c＝2得a2＝7，∴2a＝27.【答案】277．(xx·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m ＝2－1.【答案】2－1或228．(xx·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)， ∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22 ＝2·4b 2－4a ＋b b －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b ＝1.① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(xx·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2.证明：1k 1－3k 2＝2. 【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝22， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22， 又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1， 因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2，所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2.(教师用书独具)(xx·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝21＋k 24＋6k 21＋2k 2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(xx·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b 2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a 3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. .。

§《椭圆的几何性质》导学案学习目标1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法重点难点重点：椭圆的几何性质 难点：椭圆的几何性质 学习方法类比，数形结合 情感态度与价值观通过坐标系把数与形有机联系起来，通过研究椭圆等圆锥曲线的方程得到圆锥曲线的几何性质，形成研究曲线的一般方法 学习过程一、自学探究（预习教材12516x y +=1925x y +=221625400x y +=40P 22981x y +=()22550mx y m m +=>105e =m (8,0)-(0,6)3(3,0)8458531F 2F 1F l A B 2ABF ∆2＝1的离心率为错误!，则m ＝________4已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率五、课堂小结1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b2利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法时，注意方程思想的运用本节课我最大的收获是我存在的疑惑有：《椭圆的简单几何性质》节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：------------ 1已知点3,2在椭圆错误!＋错误!＝1上，则A点－3，－2不在椭圆上B点3，－2不在椭圆上C点－3,2在椭圆上D无法判断点－3，－2、3，－2、－3,2是否在椭圆上2椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是0,13，另一个顶点是－10,0，则焦点坐标为A±13,0 B0，±10C0，±13 D0，±错误!2＋42＝1的离心率为＋错误!＝1 a>b>0的左焦点F1作轴的垂线交椭圆于点2＝1的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是＋错误!＝1和错误!＋错误!＝ >0，a >0，b >0具有A 相同的顶点B 相同的离心率C 相同的焦点D 相同的长轴和短轴7点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹椭圆第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比，等于常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆。

2.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时）一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、 逻辑推理 、数学建模、 等价转化的素养 2.学习目标（1）会判断直线与椭圆的位置关系.（2）能够解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题，初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用.（3）理解解析法解决问题的基本思想，掌握用方程研究曲线问题的基本方法. 3.学习重点直线与椭圆的位置关系, 初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用. 4.学习难点解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题. 二 、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务140P 例4，思考椭圆在生活中还有那些应用?思考直线与椭圆有那些位置关系?任务2回忆椭圆的有那些几何性质? 2.预习自测1. 两个正数,a b 的等差中项是52，，则椭圆22221(0)x ya b a b+=>> 的离心率e 等于( )A.B.C.答案：C解析：椭圆的几何性质2. 已知椭圆2211625x y += 的焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一点，若连接12,,F F P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) A. 165B ．3 C. 163D. 253答案：A解析：()()120,3,0,3,34F F -<，∴12219090F F P F F P ∠=︒∠=︒或. 设 (),3P x ，代入椭圆方程得165x =±.即点P 到y 轴的距离是165.（二）课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式为ac b 42-=∆；求根公式为aacb b x 242-±-=．（2）一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，则a b x x -=+21，acx x =21．（3）平面内两点()()1122,,A x y B x y 之间的距离公式为()()221221y y x x AB -+-=2.问题探究问题探究一 椭圆几何性质在生活中的应用例1.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A 距地面()m km ，远地点B 距离地面()n km ，地球半径为()k km ，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．B.C ． m n ⋅D ．2mn【知识点：椭圆的几何性质】详解：由题意可得,a c m k a c n k -=++=+()()()()a c a c m k n k ∴-+=++． 即()()222a c b m k n k -==++，b ∴=，故选A.★▲问题探究二 直线与椭圆的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程得22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩根据方程解得情况，便可确定直线与椭圆的位置关系．通常消去方程组的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，一般地：0∆>⇔直线与椭圆相交⇔直线与椭圆有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔直线与椭圆有且只有一个公共点 0∆<⇔直线与椭圆相离⇔直线与椭圆无公共点2.弦长问题设直线方程为y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b +=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则12PP =12x =-=同理可得)12120PP y k =-=≠例2 (1) 当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交、相切、相离?(2)若=1m ，求直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交的弦AB 的长.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，弦长公式；数学思想：分类的思想】详解：(1)由 2244y x mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 化简得2258440x mx m ++-=()()()222=84544165m m m ∆-⨯-=-()201650,m m ∆>-><当时，则即直线与椭圆相交 ()2=0165=0,=m m ∆-当时，则即直线与椭圆相切()201650,m m ∆<-<<当时，则即直线与椭圆相交(2) 当m =1，则0∆>，直线与椭圆相交，则22144y x x y =+⎧⎨+=⎩得2580x x += 设()()1122,,,A x y B x y ,则：12128,05x x x x +=-=，5AB ∴== 例3. 过点()0,1的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线x y 21=过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，对称问题，直线的方程】 详解1：由22==a c e ，得22==a c e ，从而222,a b c b ==. 设椭圆C 的方程为22222b y x =+，()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上． 则222222112222,22x y b x y b +=+=，两式相减得，()()0222212221=-+-y y x x，即()212121212y y x x x xy y++-=--.设线段AB 的中点为()00,y x ，则02y x k AB-=.又()00,y x 在直线x y 21=上，所以0021x y =， 于是120-=-y x ，故1-=AB k ， 所以直线l 的方程为1+-=x y .设右焦点()0,b 关于直线l 的对称点为()y x '',，则⎪⎩⎪⎨⎧++'-='=-''1221b x y b x y ，解得⎩⎨⎧-='='b y x 11.由点()b -1,1在椭圆上， 得()222121b b =-+，则1692=b ，故892=a . 所以所求椭圆C 的方程为19169822=+y x ，直线l 的方程为1+-=x y . 详解2：由22==a c e ，得21222=-ab a ， 从而222b a =，bc =.设椭圆C 的方程为22222b y x =+，直线l 的方程为()1-=x k y ． 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，得()02242122222=-+-+b k x k x k ，则2221214k k x x +=+，故()()()2212121212211kkk x x k x k x k y y +-=-+=-+-=+. 又直线x y 21=过线段AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ， 则2222122121k k kk +⨯=+-，解得0=k 或1-=k . 若0=k ，则直线l 的方程为0=y ，焦点()0,c F 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不可能在椭圆C 上，所以0=k 舍去， 从而1-=k ，故直线l 的方程为()1--=x y ， 即1+-=x y ，以下同方法1. 点拔：由题设情境中点在直线x y 21=上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线x y 21=上而求得直线l 的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解．例4 设直线()1l y k x =+：与椭圆()03222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(1)证明：222313kk a +>； (2)若2AC CB =，求OAB 的面积的最大值．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，三角形的面积，基本不等式】【分析】 (1)联立方程、消元、利用0>∆易证． (2)结合条件分析出2121y y OC S OAB -=∆易求． 详解：(1)证明：依题意，当0=k 时，由0>a 知，02>a ，显然成立． 当0≠k 时，()1+=x k y 可化为11-=y kx . 将11-=y k x 代入2223a y x =+，消去x ，得01231222=-+-⎪⎭⎫⎝⎛+a y k y k .①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得()013142222>-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆a k k ，化简整理得222313k k a +>.原命题得证(2)设()()1122,,,A x y B x y ，由题意知()0,1-C ． 由①得221312kky y +=+，② 因为()()11221,,1,AC x y CB x y =---=+ 由2AC CB =，得212y y -=.③ 由②③联立，解得22312k ky +-=，△OAB的面积12223132213OAB k S OCy y y k Δ=-===+上式取等号的条件是132=k ，所以OAB S ∆的最大值为23例5. 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程; (2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，平面向量的数量积，直线的斜率】解：(1)设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>> 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得2a b =,⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=. 根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<, ∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,,那么1221634k x x k+=-,+∴12028234x xk x k +==-,+0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k-,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k --,,+-+- 即2286()4433k N k k,++. ∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<.∴22287471192512()k k-≤-<-,++ 即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.3.课堂总结 【知识梳理】（1）直线:l y kx b =+，与圆锥曲线C ：(,)0F x y =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点.则12AB x =-=或12AB y =-=（2）椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为22b a（3）已知弦的中点，研究的斜率和方程AB 是椭圆 的一条弦，00(,)M x y 是AB 的中点，则2020AB b x k a y =-，22AB OM b k k a ⋅=-点差法求弦的斜率步骤是：（1）将端点坐标代入方程：2222112222221,1;x y x y a b a b +=+=（2）两等式对应相减：2222121222220;x x y y a a b b-+-=（3）分解因式整理：22012122212120.AB b x y y b x x k x x a y y a y -(+)==-=--(+) 【重难点突破】1.涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．2.注意数形结合思想的运用要注意数形结合思想的运用.在做题时候，最好先画出草图，注意观察、分析图象的特征，将形与数结合起来. 3.中点弦问题若问题涉及弦的中点及直线斜率问题，可考虑“点差法”，即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差，同时常与根与系数的关系综合应用. 4.随堂检测1.直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案： A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.直线2y kx =-与椭圆22480x y +=相交于不同的两点P 、Q ，若PQ 的中点的横坐标为2，则弦长|PQ |等于 ____________.答案：解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，弦长】由于222+4y 80y kx x =-⎧⎨=⎩，消去y 整得()221416640k x kx +--=. ()()1122,,,P x y Q x y 设，122162214kx x k+==⨯+则， 得12k =，从而12122644,3214x x x x k -+===-+，因此PQ =（三）课后作业 基础型 自主突破1. 直线y =与椭圆22221(0)x ya b a b +=>> 的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 等于（ ）A.B.C.D.12解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】 答案：B2. 直线2y kx =+与椭圆22236x y +=有两个交点时，k 的取值范围是 ( )A. k k <>B. k <<C. k k ≤≥D. k ≤≤答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 3. 过椭圆2224x y +=的左焦点F 作倾斜角3π为的弦AB ，则弦AB 的长为（ ） A. 67 B. 167C. 716D.12答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4．若过椭圆141622=+y x 内一点()1,2的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．答案：042=-+y x解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 设直线方程为()21-=-x k y ，与双曲线方程联立得()()0121616816412222=--++-++k k x k k x k ， 设交点()11,y x A ，()22,y x B ，则4418162221=+-=+kk k x x ，解得21-=k ， 所以直线方程为042=-+y x .5. 设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率23=e .已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程． 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x ，()y x M ,为椭圆上的点，由23=a c 得b a 2=.()b y b b y y x PM ≤≤-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=342132322222，若21<b ，则当b y -=时，2PM 最大，即7232=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b ，则21237>-=b ，故舍去． 若21≥b 时，则当21-=y 时，2PM 最大，即7342=+b ， 解得12=b .∴所求方程为1422=+y x . 能力型 师生共研6.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于（ ）A.B.C.D.12-答案：D解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.7. 已知椭圆22143yx+=,若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是( )A.(B.(C.(D.(答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设1122()()A x yB x y AB,,,,的中点为M(x,y),由题意知211212211224ABy yk x x x y y yx x-==-,+=,+=,-213x+21412y=①22223412x y+=②①②两式相减得223(x-222121)4()0x y y+-=,即12123()y y x x+=+,即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则229143m m+<,即m<<. 8.若直线4=+nymx和圆4:22=+yxO没有公共点，则过点()nm,的直线与椭圆14522=+yx的交点个数为_______.答案：2解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】由2422>+-+nm，得422<+nm.而120120445222222<-<-+=+mmnmnm，即点()nm,在椭圆内，所以过点()nm,的直线与椭圆相交，即有2个交点.探究型多维突破9.已知焦点为12(20)(20)F F-,,,的椭圆与直线l:x+y-9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( )A.170B.170C.70D.852答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(yx a ba b+=>>0),且c=2,则224b a=-.将椭圆方程与直线方程联立,得22221490yxa ax y⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩消去参数y,整理得：22224(24)18850a x a x a a--+-=. 因为直线l与椭圆有公共点,所以0∆≥,即22224(18)4(24)(85)0a a a a---≥,整理得422933400a a-+≥. 解得2852a≥,或24(a≤舍去),∴2170a≥,即椭圆长轴长的最小值为170.方法二:如图,可设P为椭圆与直线l的公共点,则|1PF|+|2PF|=2a所以问题转化为当P在l上运动时,求|1PF|+|2PF|的最小值.作2F关于l的对称点2F′00()x y,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7). 所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|==10. 已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，数学思想：等价转化】 (1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1. 又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =.所以椭圆的方程为22143y x +=. (2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则021213()()4RT y PQ x x y y =,,=-,-,210213()()4RT PQ x x y y y ⋅=-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即0RT PQ ⋅=,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.四、自助餐1.直线1y x =+被椭圆22142y x +=所截得的弦的中点坐标为（ ） A. 25,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 47,33⎛⎫⎪⎝⎭C. 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.已知直线():310l ax y a a R +-+=∈，椭圆22:12536y x C +=，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为（ ） A. 1 B. 12或 C. 2D.0 答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】3.过椭圆22154y x +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆相交于,A B O 两点，为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ） A. 53B.34C. 2D.76 答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4.已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线:40l x y -+=的距离最小，并求出这个最小值. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设与直线:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线方程为0x y m -+=由22088x y m x y -+=⎧⎨+=⎩消去x 得229280x my m -+-=则()2243680m m ∆=--= 得3m =±，当3m =-时，由图不符合题意，舍去.则所求切线方程为30x y -+=则两平行线之间的距离P l 到距离的最小值，即d 又由223081,3388x y P x y -+=⎧⎛⎫⇒-⎨ ⎪+=⎝⎭⎩5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点((120,,F F 的距离之和等于4，设P 的轨迹为C . （1）写出C 的方程.（2）设直线1y kx =+与C 交于,A B 两点，则k 为何值时，?OA OB ⊥此时AB 的值时多少? 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，直线与椭圆的位置关系】（1）由椭圆的定义知C 的轨迹方程为221.4y x += （2）设()()1122,,,A x y B x y 由()22221423044y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩则()22122122412402434k k k x x k x x k ⎧∆=++>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩又OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=而()()()2121212121+1=1y y kx kx k x x k x x =++++2221212222233241104444k k k x x y y k k k k ---+∴+=+-+==++++12121412,,21717k x x x x ∴=±+=±=-此时，117AB ∴=+== 6．已知点P 是⊙O ：922=+y x 上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足23DQ DP =. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)若点()1,1G ，则在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+ (O 是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由． 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，向量及运算,轨迹问题】 (1)设()00,y x P ，()y x Q ,，依题意，则点D 的坐标为()0,0x ， ∴()0,DQ x x y =-， ()00,DP y =．又23DQ DP =，∴⎪⎩⎪⎨⎧==-00320y y x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 2300. ∵点P 在⊙O 上，∴9220=+y x ，∴14922=+y x ， ∴点Q 的轨迹方程为14922=+y x .(2)假设14922=+y x 上存在不重合的两点()11,y x M ，()22,y x N ， 使()12OG OM ON =+，则()1,1G 是线段MN 的中点， 有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12122121y y x x ，即⎩⎨⎧=+=+222121y y x x .(3)又()11,y x M ，()22,y x N 在椭圆14922=+y x 上， ∴22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得()()()()04921212121=+-++-y y y y x x x x ，∴942121-=--=x x y y k AB ，∴直线MN 的方程为01394=-+y x ， ∴椭圆上存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+，此时直线MN 的方程为01394=-+y x .7.已知椭圆中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆交于P 和Q ，若OP OQ ⊥，且PQ =，求椭圆方程． 【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】解法一：设椭圆方程为22221x y a b+=，依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组：2222 1 1x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222222()2(1)0a b x a x a b +++-= ③设方程③的两根为12,x x 那么直线1y x =+与椭圆交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、．由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=．由2PQ =得：21252(),2x x -= 即212125()44x x x x +-=． ∴121221212()21204()1650x x x x x x x x +++=⎧⎨+--=⎩． 解得12121432x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩或12121412x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩．由③式结合韦达定理得：2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或2222222212(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩．解得22223a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或22232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴221223x y +=或223122x y +=． 解法二：设椭圆方程为221mx ny +=依题意知，点P Q 、的坐标满足方程组2211mx ny y x ⎧+=⎨=+⎩，整理得：2()210m n x nx n +++-=． 则121221n x x m n n x x m n -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩设直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=∴2m n +=，∴121212x x n n x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩由2PQ =得：21252(),2x x -=即212125()44x x x x +-= ∴248(1)50n n ---=．解得32n =或12n =代入得： 3212n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴223122x y +=或223122x y +=． 8．(本小题满分15分)已知椭圆C ：22221(y x a b a b+=>>的离心率 22=e ，原点到过点()b A -,0和()0,a B 的直线的距离为36. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知定点()0,2M ，若过点M 的直线l (斜率不等于零)与椭圆C 交于不同的两点E 、F (E 在M 与F 之间)，记OMFOME S S ∆∆=λ，求λ的取值范围． 答案：见解析 解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】(1)由题知直线AB 的方程为1=-+by a x ，即0=--ab ay bx . 依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==362222222ba ab b ac a c ，解得2=a ，1=b ，∴椭圆C 的方程为1222=+y x .(2)由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为()2y k x =-，将l 的方程代入椭圆方程1222=+y x ，整理得 ()028*******=-+-+k x k x k . 由0>∆，得()()()028********>-+--k k k ，即0122<-k ，∴2102<<k . 设()11,y x E ，()22,y x F ，则21x x >，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+122812822212221k k x x k k x x ，(*) 由OMF OME S S ∆∆=λ，得ME MF λ=，由此可得：ME MF λ= 则2221--=x x λ，且10<<λ. 由(*)知，()()12422221+-=-+-k x x ， ()()()12242222212121+=++-=-⋅-k x x x x x x ，∴()()()()81242212221212+=-+-⋅-=+k x x x x λλ， 即()21211422<-+=λλk ， ∵2102<<k ，∴()21211402<-+<λλ，又∵10<<λ， 解得1223<<-λ.即λ的取值范围是()1,223-．法二.由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为2my x =- 代2x my =+到椭圆方程中，运算量会大大减少．【知识点：直线与椭圆的位置关系】五、数学视野我们将上一节中椭圆的标准方程的推导过程作如下改变：2a =，经过化简，得到2a cx -= 将①式平方并整理得()2222222()a c x a y a a c -+=-②2a e x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表示点P 到定点2F 的距离，而式子2a x c ⎛⎫- ⎪⎝⎭表示点P 到定直线2a x c =（即与2F 相应准线的距离）.考虑到椭圆的对称性,2()a e x c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.于是动点P 的集合又可以描述为/,01PF P e e d ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，即平面内到一定点F 的距离和到定直线l (F 不在l 上)的距离d 的比是一定值()01e e <<(e 为椭圆离心率)的点P 的轨迹是椭圆．其中定点F 为椭圆的焦点，定直线l 为准线．这就是椭圆的第二定义，在教材第41页【例6】有所体现．②即()2222222()a c x a y a a c -+=-，移项整理得，()222222()a y a x a c =--，当 22a x ≠时，我们有222222y c a x a a -=-，也即21y y e x a x a ⋅=--+，从几何的角度来说，便是平面内与两个定点连线的斜率之积为定值的点P 的轨迹是椭圆．其中的定点为椭圆长轴的顶点，定值为21e -．这就是椭圆的第三定义，这个定义也恰是教材第35页【例3】的一般背景．。

2.1.2 椭圆的简单几何性质学习目标：1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义；2.通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的；3.初步利用椭圆的几何性质解决问题.学习重点：椭圆的几何性质学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系思想方法：数形结合的方法、分类讨论的思想一 、复习1 、椭圆的定义____________________________________________________2 、椭圆的标准方程焦点在x 轴上时：_________________，焦点在y 轴上时：__________3、椭圆中a,b,c 的关系是___________________二 、新授课探究一 观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状， 你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1 、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________. 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知 ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22by ____ 1；即____≤≤y ___ 因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线__________和__________围成的矩形里.2 、对称性（1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称（2）在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称，因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做___________3 、顶点（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点，分别为：1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , )（2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________a 和b 分别叫做椭圆的________和___________及时反馈：（1） 椭圆16422=+y x 的长轴长是：________短轴长是;_______焦距是：_______焦点坐标是：__________顶点坐标是：__________（2） 在下列方程表示的曲线中，关于x, y 轴都对称的是 （ ）A. y x =2B. 022=++y xy xC. x y x 5422=-D. 4922=+y x探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？4 、椭圆的离心率（1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率，用____表示，即____________=（2）由于a>c>0，所以离心率e 的取值范围是_____________（3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______.若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于_______.及时反馈：下列两个椭圆中，哪一个更接近于圆？369422=+y x 与 1202522=+y x 下面把焦点在x 轴和在y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：三、综合跃升例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）一焦点坐标为（-3，0），一顶点坐标为（0，5）;（2）长轴长等于20，离心率为53.例2 .若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，求k 的值.四、小结自测题：1椭圆192522=+y x 上点p(x,y)的横坐标的范围为_____________. 2若点p(2,4)在椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 上，下列在椭圆上的点有： (1) p ( -2, 4 )(2) p ( -4, 2 )(3) p ( -2, -4 )(4) p ( 2, -4 )3求中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6的椭圆方程.4写出椭圆16422=+y x 的长轴长，短轴长，离心率，顶点和焦点坐标.。