2013高考数学全国卷一理科试题及答
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）
数 学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
()()()PABPAPB+=+ 24SRp=
如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径
()()()PABPAPB? 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 343VRp=
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
()(1)(0,1,2,,)kknknnPkCppkn-=-=…
第一部分 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、7(1)x的展开式中2x的系数是（ ）
A、42 B、35 C、28 D、21
2、复数2(1)2ii（ ）
A、1 B、1 C、i D、i 3、函数29,3()3ln(2),3xxfxxxx在3x处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0
4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，连接EC、ED则sinCED（ ）
A、31010 B、1010 C、510 D、515
5、函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是（ ）
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是（
）
A、ab
B、//ab
C、2ab
D、//ab且||||ab
8、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点0(2,)My。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则||OM（
）
A、22 B、23 C、4 D、25
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足60BOP，则A、P两点间的球面距离为（
）
A、2arccos4R B、4R C、3arccos3R D、3R
11、方程22aybxc中的,,{3,2,0,1,2,3}abc，且,,abc互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
12、设函数()2cosfxxx，{}na是公差为8的等差数列，125()()()5fafafa，则2313[()]faaa（ ）
A、0 B、2116 C、218 D、21316
第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集{,,,}Uabcd，集合{,}Aab，{,,}Bbcd，则()()UUAB痧___________。
14、如图，在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成角的大小是____________。
15、椭圆22143xy的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是____________。
满足1xa，1[][]()2nnnaxxxnN，现有下列命题： 16、记[]x为不超过实数x的最大整数，例如，[2]2，[1.5]1，[0.3]1。设a为正整数，数列{}nx①当5a时，数列{}nx的前3项依次为5,3,2；
②对数列{}nx都存在正整数k，当nk时总有nkxx；
③当1n时，1nxa；
④对某个正整数k，若1kkxx，则[]nxa。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E。
18、(本小题满分12分)
函数2()6cos3cos3(0)2xfxx在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形。 NMB1A1C1D1BDCA（Ⅰ）求的值及函数()fx的值域；
（Ⅱ）若083()5fx，且0102(,)33x，求0(1)fx的值。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，平面PAB平面ABC。
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角BAPC的大小。
20、(本小题满分12分) 已知数列{}na的前n项和为nS，且22nnaaSS对一切正整数n都成立。
（Ⅰ）求1a，2a的值；
（Ⅱ）设10a，数列110{lg}naa的前n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
||||PQPR，求||||PRPQ的取值范围。 （Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且
22、(本小题满分14分)
已知a为正实数，n为自然数，抛物线22nayx与x轴正半轴相交于点A，设()fn为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。
（Ⅰ）用a和n表示()fn；
（Ⅱ）求对所有n都有33()1()11fnnfnn成立的a的最小值；
（Ⅲ）当01a时，比较11()(2)nkfkfk与27(1)()4(0)(1)ffnff的大小，并说明理由。 ABCPyxBAOM
