人教A版高中数学高一必修1教案1集合间的基本关系

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精心校对完整版 1．1.2 集合间的基本关系

[读教材·填要点]

1．子集的概念

文字语言 符号语言 图形语言

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，则称集合A是集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)

2.集合相等与真子集的概念

定义 符号表示 图形表示

集合相等 如果A⊆B，且B⊆A，就说集合A与B相等 A＝B

真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是B的真子集 AB(或BA)

3.空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．

(2)用符号表示为：∅.

(3)规定：空集是任何集合的子集．

4．子集的有关性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

[小问题·大思维]

1．若AB，则A⊆B且A≠B，对吗？

提示：对．∵AB，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.

2．任何集合都有真子集吗？

提示：不是，空集∅就没有真子集．

3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？

提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．

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精心校对完整版 有限集合子集确定问题

[例1] 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．

[自主解答] 由0个元素构成的子集：∅；

由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；

由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；

由3个元素构成的子集：{1,2,3}．

由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．

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1. 求解有限集合的子集问题，关键有三点：

1确定所求集合；

2合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；

3注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.

2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.

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1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．

解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；

当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；

当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；

当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．

所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.

集合间关系的判定

[例2] 下列各式正确的是________．

(1){a}⊆{a}； (2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；

(4){1}{x|x≤5}； (5){1,3}{3,4}．

[自主解答]

题号 正误 原因

(1) √ 任何一个集合都是它本身的子集． 高中数学-打印版 精心校对完整版 (2)

√ 两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义．

(3) × 元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0∈{0}．

(4) √ ∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．

(5) × ∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}⃘{3,4}．“”是“真包含于”的意思

[答案] (1)(2)(4)

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集合间关系的判定的步骤：

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A B；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则BA；,最后，下结论：若A⊆B，B⊆A，则A＝B；若A⊆B，BA，则AB；若AB，B⊆A，则BA；若上述三种情况都不成立，则AB，BA.

[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确.

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2．集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合M和N的关系．

解：M＝{－3,2}，N＝x|x>－72.

∵－3>－72，2>－72，

∴－3∈N,2∈N.∴M⊆N.

又0∈N，但0∉M，∴MN.

集合间关系的应用

[例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1

[自主解答] ∵B⊆A，

(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. 高中数学-打印版

精心校对完整版 (2)当B≠∅时，有 －3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1

解得－1≤m<2，

综上得m≥－1.

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1利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.

2此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.

3此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.

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3．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，求a的值．

解：∵A⊇B，而a2－a＋1∈B，∴a2－a＋1∈A.

∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.

当a2－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1.

(1)a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，这时满足条件A⊇B；

(2)a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，这时也满足条件A⊇B.

当a2－a＋1＝a时，a＝1，此时A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a＝1.

∴a的值为2或－1.

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已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N⊆M，求实数a的取值范围．

[错解] ∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

(1)当N＝{1}时，有 1＋1＝2，1×1＝a，∴a＝1.

(2)当N＝{2}时，有 2＋2＝2，2×2＝a，不成立． 高中数学-打印版

精心校对完整版 (3)当N＝{1,2}时，有 1＋2＝2，1×2＝a，不成立．

所以，a＝1.

[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N为∅的情况．

[正解] ∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

又N⊆M，∴N＝∅，或N＝{1}，或N＝{2}，或N＝{1,2}．

(1)当N＝∅时，方程x2－2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a<0，即a>1.

(2)当N＝{1}时，有 1＋1＝2，1×1＝a，

∴a＝1.

(3)当N＝{2}时，有 2＋2＝2，2×2＝a，不成立．

(4)当N＝{1,2}时，有 1＋2＝2，1×2＝a，不成立．

综上可知实数a的取值范围是a≥1.

1．下列命题中，正确的有( )

①空集是任何集合的真子集；

②若AB，BC，则AC；

③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；

④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.

A．①② B．②③

C．②④ D．③④

解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．

答案：C

2．设集合M＝{x|x>－2}，则下列选项正确的是( )

A．{0}⊆M B．{0}∈M

C．∅∈M D．0⊆M

解析：选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的高中数学-打印版

精心校对完整版 关系，符号错误．

答案：A

3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )

A．A⊆B B．C⊆B

C．D⊆C D．A⊆D

解析：选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.

答案：B

4．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．

解析：∵∅{x|x2－x＋a＝0}．

∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅.

即x2－x＋a＝0有实根．

∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤14.

答案：a≤14

5．若{a,0,1}＝{c，1b，－1}，则a＝________，b＝________，c＝________.

解析：∵1b≠0，∴c＝0，∴a＝－1，1b＝1.∴a＝－1，b＝1.

答案：－1 1 0

6．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，求实数m的值．

解：∵B⊆A，∴m2＝－1，或m2＝2m－1，当m2＝－1时，显然无实数根；当m2＝2m－1时，m＝1.∴实数m＝1.

一、选择题

1．已知集合M＝{x∈Z|－3

A．12 B．14

C．15 D．16

解析：∵M＝{x∈Z|－3

答案：C

2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数为( )