面积法求定积分

问题 采用矩形法求定积分0sinxy＝

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double a; /*积分区间下限*/

double b; /*积分区间上限*/

问题的输出：

double fx; /*积分结果*/

设计 初始算法

初始化积分区间（a，b）。

如果把积分区间划分为100个格，则h=fabs(a-b)/100；

因为区间划分为100个格，因此循环过程如下：

for(i=0;i<100;i++)

{

fx=f (x+i*h+h/2);

… …

}

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分析 利用矩形法可以求定积分其原理如图（9-1）所示。求函数ｆ在（a,b）区间的定积分公式为：

)2/)1(()2/2()2/()2/(()2/)1(()2/()2/(hhnafhhafhhafhafhhhnafhhhafhhafs•••

图9-1 矩形法求定积分

所需数据与算法如下。

数据要求

问题的输入：

double a; /*积分区间下限*/

double b; /*积分区间上限*/

问题的输出：

double fx; /*积分结果*/

设计 初始算法

1． 初始化积分区间（a，b）。

2． 如果把积分区间划分为100个格，则h=fabs(a-b)/100；

3． 因为区间划分为100个格，因此循环过程如下：

for(i=0;i<100;i++)

{

fx=f (x+i*h+h/2);

… …

}

流程图

i<100 a=0，b=3.1415926Y开始结束输出sum*hNh=|a-b|/100sum=0，i=0fx=sin(a+I*h+h/2)sum=sum+fx

实现 程序代码如下：

２０１１年第７期　福建中学数学　４１　点．过　作圆Ｄ的两弦ＣＤ、层Ｆ，ＣＦ、ＤＥ分别　交ＡＢ于Ⅳ、Ｇ．则ＭＨ＝ＭＧ．　由仿射变换易知，把蝴蝶定理中的圆换成椭圆，　该定理也是成立的！　设ＡＢ是椭圆的弦，　是ＡＢ的中点．过　作椭　圆的两弦ＣＤ、　，ＣＦ、ＤＥ分别交ＡＢ于　、Ｇ．则　ＭＨ＝ＭＧ．　例３（２００９年福建省质检题）　已知椭圆ｃ的离　．　心率Ｐ＝　，长轴的左，右端点分别为４（一２，０），　（２，０）．　（Ｉ）求椭圆ｃ的方程；　（Ⅱ）设直线Ｘ＝　＋１与椭圆Ｃ交于Ｐ、Ｑ两　点，直线４Ｐ与　Ｑ交于点　．试问：当ｍ变化时，　点　是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线　的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．　１—２　妙解（Ｉ）　＋Ｙ　＝１；　斗　（Ⅱ）设Ｄ（１，０），过Ｄ作直线ＡＢ垂直于Ｘ轴，　与直线４Ｐ、　Ｑ分别交于Ａ，Ｂ，则有蝴蝶定理知，　ＩＡＤＩ＝Ｉ伽Ｉ．设Ａ（１，ｆ），则Ｂ（１，一ｆ）．直线４Ｐ的方　程为　＝ｊｔ（　＋２），　①　直线　Ｑ的方程为Ｙ＝ｔ（ｘ一２），　②　由①式除以②式得Ｘ＝４．点　是否恒在定直线　＝４上．　上面几个例子说明平面几何知识和解析几何问　题关系密切．一些简单的定理往往能带来令人意想　不到的效果，如三角形相似、射影定理，圆的性质　等平面几何中的基本知识，如果运用得当的话，就　可以将你从解析几何繁复的运算中解放出来．因此　在求解解析几何问题时，要重视平面几何知识的运　用，先要细心观察，再是敢于联想，从而发现重要　关系，为解决问题开辟道路．　参考文献　【ｌ】朱松．２０１０年高考江苏卷第ｌ８题的另Ｕ解．数学通讯（学生），２０１０（１１、　１２），６６—６７　运用待定系数法求定积分　李国山　王恩权　吉林省松原市实验高中（１３８０００）　普通高中课程标准实验教科书　数学・人教Ａ　版》选修２—２，给出了微积分基本定理：　定理：如果ｆ（ｘ）是区间［　，ｂ］上的连续函数，且　Ｆ　（　）＝／（　），刃　么Ｉ　ｆ（ｘ）ｄｘ：Ｆ（６）一Ｆ（口）．　本定理告诉我们，可通过求使Ｆ　（　）＝ｆ（ｘ）成立　的Ｆ（ｘ），计算定积分ｒｆ（ｘ）ｄｘ．　当求被积的函数是复合函数导数的定积分时，　学生感到很困难，不知从何处入手．其原因主要有：　（１）学生初学导数，不习惯反向求导数，即求使　Ｆ　（　）＝　（　）成立的Ｆ（ｘ）；（２）不能从复合函数导数　特点，正确猜出Ｆ（ｘ）．　我们设函数Ｙ＝ｆｉｆｏ（ｘ）］是Ｙ＝　（　），Ｕ＝　（　）的　复合函数，Ｙ＝ｆ（ｕ），Ｕ＝　（　）分别叫作Ｙ＝ｆ［ｑｏ（ｘ）］的　外层函数和内层函数．复合函数导数公式是　Ｙ　＝　Ｕ　．即复合函数导数必含有外层函数的导　数．再根据基本初等函数导数的形式特点，即可猜　想出Ｆ（ｘ）．再用待定系数法求其定积分．　１．幂函数型　因为（　）　＝ｎｘ　，所以，当被积函数含有幂函数　型因式ｔｐ　（ｘ），其中ｎ为不等于一１的常数时，可设　Ｆ（ｘ）＝Ｃｑｏ　（　）（Ｃ为待定的常数）．　例１求定积分：　ｄｘ…　解由于被积函数中（　一１）２，因此，设Ｆ（　）＝　Ｃ（ｘ　一１）　，Ｆ　（　）＝Ｃｎ（ｘ　一１）　～２ｘ，又Ｆ　（　）＝—　一，　ｑｘ‘一１　・・・　２　。｛　一一１，解　且Ｃ＝２，则Ｆ（　）＝２４ｘ　１．

一类极限问题的定积分求法　王明礼　（河北邢台学院数学系，河北邢台，０５４００１）　２０１２年第２期第２２卷　Ｎ０２　２０１２　ｖｏ１．２２　【摘要】定积分的本质含义是和式的极限，巧妙地利用定积分的定义是求一些数列极限问题的　重要方法，结合具体的例子给出利用定积分求解和式极限的常用方法。　【关键词】定积分；和式极限；转化　极限思想贯穿于整个高等数学的课程之中。　求和式极限是一类重要的问题，常用的解决方　法有：先计算出其和式，再求极限，或者利用　极限的迫敛性求解。但对于，一∞时，ｎ项和的　极限，因为是无穷多项和，不能使用极限的运　算法则，借用数列性质进行化简或用夹逼准则　有时很麻烦，这时，根据逆向思维的思想，当　相应的定积分比较容易计算时，可将表达式凑　成某可积函数的积分和，那么极限就等于此函　数的积分，即将所求极限转化为和式的极限，　利用积分公式求解。能简捷有效地处理这一类　极限问题。　根据定积分的定义，对于区间　６，上的连　续函数　，ｆ　ｆ　ｄｘ＝　∑　△　由于此极限与　的分法以及　的取法无关，　经常把以　等分，所以△　＝　－旦，取　＝　Ⅱ＋　．旦或，于是　∑或　一∑，　ｎ　ｎ一１　－‘ｔ＝ｌ　ｆ叶　ａ－ｓ）｝－Ｉ厂　）ｄｘ　特别地，当函数，　在区间如　上连续　时，有：￣ｑ或．　ｌｉｍ　１　￣ＡＩ　１）＝Ｉｆｆ　￣ｌｉｍ　Ｉ＇ｌ，ｉ壹＝１厂　（　）＝』　从这个式子我们也可以看出极限与定积分之　间的关系是很紧密的。因此，求某些连加或连乘　式的极限，如能通过运算或凑成上述形式，即每　项可提出因子　，而其余的各项之和可用一个通　式表示为１７，项和的极限．就可以利用定积分定义　求极限。　例　求ｌ，ｉ　ｒａ　（Ｊ＋２ｊ．．．＋ｎ　解：原式　ｌ（　）＋（ｎ＇－－）ｎ‘＋．．＋（堡ｎ）ｎ【＼凡／　＼　／　Ｊ　＝ｌ—ｉｒａ＊　（｝）寺　＝　＝　』：＝寺　例２求　×　［　＋￣／—Ｉ＋ｃｏｓ—＋．．￣＋ｃｏｓ＝。】　收稿日期：２０１２—１２—２７　作者简介：王明礼（１９６７一），河北邢台学院数学系副教授，主要从事基础数学和数学教育研究工作。　１　

定积分的四种求法

定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．

一、定义法

例1 用定义法求230xdx的值.

分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．

解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n等分，则△x＝2n．

（2）近似代替：△32()iiiSfxxn

（3）求和：33111222nnniiiiiiSxnnn•.

（4）取极限：S=3332242limnnnnnn

＝443332244221lim12lim[(1)]4nnnnnnn

＝224(21)limnnnn＝4．

∴230xdx=4．.

评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．

二、微积分基本定理法

例2 求定积分221(21)xxdx的值.

分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y＝221xx的一个原函数是y＝323xxx．

所以.221(21)xxdx＝3221()|3xxx＝81421133＝193．

评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．

三、几何意义法

例3 求定积分121(1)xdx的值.

分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．

解：121(1)xdx表示圆x2＋y2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．

因为2S半圆，又在x轴上方．

所以121(1)xdx＝2．