一元二次不等式的解法和应用

1 第四讲 一元二次不等式的解法

知识归纳和梳理：

不等式的性质：

定理1：如果a>b，那么bb．(对称性)

定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)

定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)

定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；

如果a>b，且c<0，那么ac

推论1：如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)

结论：已知ab>0,若a>b，则11.ab

一元二次不等式)0(02acbxax解的讨论.

0 0 0

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象

一元二次方程

的根002acbxax 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221

无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2

R

的解集)0(02acbxax 21xxxx 



类似地,可以讨论)0(02acbxax、)0(02acbxax、)0(02acbxax的解集.

对于0a的情形，可以利用不等式的性质转化成0a的类型

例如：解不等式02322xx，将不等式两边同时乘以1，等价于解不等式02322xx

2 【典型例题】：

例1.已知a>b>0，m>0，试比较mamb与ab的大小。

经典练习：

比较1aa与32aa(a≥3)的大小关系为________。

例2．解下列不等式

（1）62xx>0 (2) 2362xx

(3) 2223xx. (4) 01442xx

一、引言

一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、一元二次不等式的基本概念

1. 一元二次不等式的定义

一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。

2. 一元二次不等式的常见形式

一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。

三、一元二次不等式的解法及常见题型

1. 一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。

2. 一元二次不等式的常见题型及讲解

(1) 一元二次不等式的根的情况讨论

当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。

(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论

对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。

(3) 一元二次不等式的应用题

针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。

一元二次不等式的解法

教学目标

把握;

知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组;

了解简单的分式不等式的解法;

能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式,理解它们三者之间的内在联系;

能够进行较简单的分类讨论,借助于数轴的直观,求解简单的含字母的一元二次不等式;

通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思想;

通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生熟悉到事物是相互联系、相互转化的,树立辨证的世界观.

教学重点:;

教学难点:弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.

教与学过程设计

课时

Ⅰ.设置情境

问题:

①解方程 ②作函数的图像

③解不等式

置疑在解决上述三问题的基础上分析,一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?

回答函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根,不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注重色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程,一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集,类似地,我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢?

Ⅱ.探索与研究

我们现在就结合不等式的求解来试一试。

答方程的解集为

不等式的解集为

置疑哪位同学还能写出的解法?

答不等式的解集为

我们通过二次函数的图像,不仅求得了开始上课时我们

还不知如何求解的那个第小题的解集,还求出了的解集,可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见,暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题:

第 1 页 共 4 页 3.2一元二次不等式的解法（1）

一、选择题

1．已知2{|320}Axxx，2{|(1)0}Bxxaxa，当AB时,a的取值范围是( )

A.1a B.12a C.2a D.2a

2．集合23100,AxxxxZ，2260,BxxxxZ，则AB的子集有（ ）

A．15个 B．16个 C．7个 D．8个

3．若不等式022bxax的解集是}3121|{xx，则ba（ ）

(A)4 (B)14 (C)10 (D)10

4．若关于x的不等式axbxc20的解是x2或x12，则关于x的不等式cxbxa20的解是（ ）

（A）x2或x12 （B）212x （C）122x （D）x2或x12

5．设1a，则关于x的不等式0)1)((axaxa的解集是（ ）

(A)axx|{或}1ax (B)}|{axx (C)axx|{或}1ax (D)}1|{axx

6．若不等式22463122xkxkxx对xR恒成立，则实数k的取值范围是（ ）

（A）(,+) （B）(1,3) （C）(,1) （D）(,1)∪(3,+)

7．若不等式x2＋ax＋1  0对于一切x（0，12〕成立，则实数a的最小值是（ ）

A．0 B. –2 C.-52 D.-3

8．当,1x时，不等式21240xxaa恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A、12,4 B、13,22 C、1,4 D、,6