一元二次不等式的应用

1 解一元二次不等式的图象法

一、教材分析

1、地位和作用

一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。新教材在处理上是下了一番功夫的，它将二次不等式的解法分成了两部分——首先在第二章中介绍了一元二次不等式的概念和用因式分解法解一元二次不等式，即利用“同号两数相乘得正，异号两数相乘得负”的原理，将一元二次不等式转化一元一次不等式组加以解决。毫无疑问，这种解法具有极大的局限性和不完整性，这就为在第三章中介绍二次不等式的图象法作了必要的铺垫和准备。新教材的这种安排，既承前启后，又分散了难点，符合认知理论中的渐近性原则。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。

2、教学目标

（1）知识目标。使学生掌握三种类型的一元二次不等式的图解法，并理解掌握这种解法的理论依据。

（2）能力目标。通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。

（3）德育目标。通过图象法，教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法，并注意通过设问、追问、反问、讨论、分组竞赛等主动参与教学的活动，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、竞争意识和集体主义精神。

3、教学重点与难点

（1）教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。

（2）教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系。数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。

二、教学方法和手段

1．（2018春•青县期末）为更好的治理水质，保护环境，市治污办事处预购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中价格及污水处理量如下表：

A型 B型

价格（万元） a b

处理污水量（吨/月） 240 200

询问商家得知：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，根据以上条件．

（1）求a、b的值；

（2）市污水处理办公室由于资金缺乏，购买污水处理设备的资金最多105万元，你认为该有几种购买方案？

（3）在（2）的情况下，若每月污水处理量要求不低于2040吨，为节约资金，请你帮污水处理办事处选取一种最省钱的方案？

2．（2018春•徐州期末）某公司有A、B两种型号的客车共11辆，它们的载客量（不含司机）、日租金、车辆数如下表所示，已知这11辆客车满载时可搭载乘客350人．

A型客车 B型客车

载客量（人/辆） 40 25

日租金（元/辆） 320 200

车辆数（辆） a

b

（1）求a、b的值；

（2）某校七年级师生周日集体参加社会实践，计划租用A、B两种型号的客车共6辆，且租车总费用不超过1700元．

①最多能租用A型客车多少辆？

②若七年级师生共195人，写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案．

3．（2018春•保定期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：

销售时销售数量 销售收入 段 A种型号 B种型号

第一周 3台 4台 1200元

第二周 5台 6台 1900元

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

1 3.2 一元二次不等式及其解法练习

（一）、一元二次不等式的解法

1、求解下列不等式

（1）、23710xx （2）、2250xx （3）、2440xx （4）205xx

2、求下列函数的定义域

（1）、249yxx （2）221218yxx

3、已知集合22|160,|430AxxBxxx，求AB

（二）、检测题

一、选择题

1、不等式11023xx的解集为 （ ）

A、11|32xx B、1|2xx C、1|3xx D、11|32xxx或

2、在下列不等式中，解集为的是 （ ）

A、22320xx B、2440xx C、2440xx D、22320xx

3、函数2223log3yxxx的定义域为 （ ）

A、,13, B、3,1 C、,13, D、3,13,

4、若2230xx，则函数21fxxx （ ）

A、有最小值34，无最大值 B、有最小值34，最大值1

C、有最小值1，最大值194 D、无最小值，也无最大值 2 5、若不等式210xmx的解集为R，则m的取值范围是（ ）

A．R B．2,2 C．,22, D．2,2

6、不等式221200xaxaa的解集是（ ）

A．3,4aa B．4,3aa C．3,4 D．2,6aa

x y O 1 -1 2 抛物线与一元二次不等式

二、知识回顾：

1如图填空：（1）a________0 2）b________0 （3）c________0

（4）b2－4ac________0

2如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3 的解为_________________

三、探究实践：

例1．画出函数322xxy的图象，根据图象回答下列问题．

（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程0322xx有什么关系？

（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

例2、观察图像回答下列问题:

1．特殊代数式求值：

①如图 看图填空：（1）a＋b＋c_______0 （2）a－b＋c_______0 （3）2a－b

_______0

②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0

2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式

（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；

（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；

（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；

（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；

（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；

（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．

四、课内练习：

1、根据图象填空：

（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；

（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；

（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；

（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；