一元二次方程解应用题—动点问题

1 2.5.5 一元二次方程的应用

——商品利润问题

九年级数学 主备人:何秀萍 使用者：

一、引言：解应用题的关键是由实际问题转化出数学模型，即运用所学的数学知识解决生活当中的某些问题。前几节课我们已经探讨了运用一元二次方程解决生活中的存款利息问题、数字问题、面积问题和行程问题，今天我们共同来学习运用一元二次方程解决生活中的利润问题。

二、明确学习目标：

（一）自学目标：经历分析具体问题的过程，能够通过审题找出题目中隐含的等量关系。

（二）互学目标 ：1.通过合作交流，体会不同学生对问题的多角度理解与分析；

2．灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。

（三）综合目标：通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力

三、引导自主学习：

1.自主探究活动一：填空：（1）一元二次方程的一般形式是 ；

（2）解一元二次方程的方法有那几种： ； ； ； ；

（3）用一元二次方程解应用题的基本步骤有哪些： ； ； ； ； ； 。

2.自主探究活动二：

新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元时，每台冰箱的定价应为多少?

分析题目，回答下列问题：

（1）商品利润= ；商品利润率= 。

（2）题目中每台冰箱的进价是 元，售价是 元，每台冰箱获得的利润是

元。

（3）冰箱的销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，如果每台冰箱的销售价降低了X元，平均每天就能多销售 台冰箱，平均每天销售冰箱的数量为

一元二次方程解应用题常见的类型

1、利润问题: 等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，利润率=进价利润 。

例1：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利400元，每件衬衫应降价多少元？

例2：国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．

（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；

（2）求月产量x的范围；

（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

2、利息问题: 等量关系是：利率=本金利息，利息=本金×利率×期数，本息和=本金＋利息=本金×（1＋利率）。

例：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）

3、与几何图形的面积问题

① 几何图形的面积问题

面积公式是此类问题的等量关系。

例：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?

4、平均增长（降低）率问题: 此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到的新的数据。常见的等量关系是：a)1(2x=b，其中b为增长（或降低）后的数量，a为增长（或降低）前的基数，x为增长率（降低率）。

列一元二次方程解应用题的四种类型（利润、增长率、面积、动点问题）

1、商品销售问题

售价—进价=利润 单价×销售量=销售额 一件商品的利润×销售量=总利润

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的盈利 元；商场每天可以多销售

件，则商场降价后每天售出的数量为 件。

根据：利润=单件的利润╳数量，我们可以列出方程：

解这个方程得：

答：

；

例1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？

练习：

1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价

3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

1 一元二次方程解应用题—动点问题

单位：迁安市第三初级中学 编者：张秋菊 审核领导： 日期：2016年10月

课题：一元二次方程解应用题—动点问题

学习目标 1.继续体会建模思想，建立一元二次方程模型解决问题。

2.用“化动为静”的方法解决有关动点问题。

3.体会数学思维的严谨性。

重、难点 “化动为静”的方法解决有关动点问题

【复习案】

【学法指导】：

1.认真读题，找出动点的起点、终点，运动方向和运动速度，计算动点运动的最大时间。

2.表示动点走过的路程和未走过的路程。

3.化动为静，画出符合题意的图形。

4.尝试列方程求解。

5.注意验证根的合理性。

如图，在△ABC中，∠B90°，AB6cm，CB8cm,点P由点A开始沿AB运动，速度是1cm/s，点Q由点B开始沿BC运动，速度是2cm/s，如果P、Q同时出发，经过多长时间，△PBQ的面积等于82cm？

【自学案】

自学活动一：

【学法指导】：1.独立完成下面的1—4题。

2.与对子交流，有问题组内解决。

如图，,,,ABCD为长方形的四个顶点，AB16cm，BC6cm，动点,PQ分别从点,AC同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动， 设,PQ运动的时间为ts。 ABCPQ

2 （1） t1时，四边形BCQP的面积是多少？

（2）t 时，PQ最短，此时长度为 。

（3）t 时，PQ最长，此时长度为 。

（4）t 时，PQ停止运动；此时PQ

自学活动二：

【学法指导】：首先要独立思考完成5—8题，然后与对子交流，讨论后回答下列问题：

（5）是否存在某一时刻，使PQ之间的距离为5cm？

（6）是否存在某一时刻，使PQ之间的距离为20cm？

（7）是否存在某一时刻，使PQ之间的距离为85cm？