第三章 随机过程

3-1、设X 是0, 1a σ==的高斯随机变量，试确定随机变量Y cX d =+的概

率密度函数( f y ，其中, c d 均为常数。 解：由题得：2( 0, ( 1E x a D x σ====

( ( ( E y E cx d cE x d c a d d

=+=+=+=

222( ( D y D cx d c c σ=+== 22

( ( ]2x d f y c -=-

3-2、设随机过程( t ξ可表示成( 2cos(2 t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随机变量，且11(0 , ( 2

2

2

P P π

θθ====, 试求(1E ε和(0,1R ε

解：首先应理解(1E ε和(0,1R ε的含义，(1E ε是指当t=1时，所得随机

变量的均值，(0,1R ε 是指当t=0和t=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。

111[2cos(2][2cos(2]2(cos0cos 1

222 t E E E επ

πθπθ==+=+=+=

22211(0,1[(0(1][2cos2cos(2]4[cos]4(cos 0cos 2

222

R E E E επ

ξξθπθθ==⨯+==+=

3-3、设1020( cos sin z t x t x t ωω=-是一随机过程，若1x 和2x 是彼此独立且具有均值为0，方差为2σ的正态随机变量，试求： （1）2[(],[(]E z t E z t

（2）z(t的一维分布密度函数f(z； （3）12(, B t t 和12(, R t t

解：（1）由已知条件12[][]0E X E X ==且1x 和2x 彼此相互独立。 所以1212[][][]0E X X E X E X == 212( ( D x D x σ==，而222[][]E x E x σ=- 所以222111[]( []E x D x E x σ=+=

同理 222[]E x σ=

10200102[(][cos sin ]cos []sin []0E z t E x t x t tE x tE x ωωωω=-=-=

221020222

00[(][(cos sin ]

[cos sin 2cos sin ]cos 2[]sin []2cos sin [](cossin E z t E x t x t E x t x t x x t t tE x tE

x t tE x x t t ωωωωωωωωωωωωσσ=-=+-=+-=+=

（2）由于1x 和2x 是彼此独立的正态随机变量且( z t 是1x 和2x 的线性 组合，所以z 也是均值为0，方差为2σ的正态随机变量，其一维概率密度为

2

2( 2z f z σ=-

（3）

[coscos sin sin ][cos(]

R t t E z t z t E x t x t x t x t t t t t t t ωωωωσωωωωσω==--=+=-

令12t t γ-=，则2

1, 20( cos R t t σωγ==

2121212120(, (, [(][(](, cos B t t R t t E z t E z t R t t σωγ=-==

3-4、已知( x t 与( y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为12(, a

a τ，自相关函数分别为(, ( x y R R ττ。

（1）求乘积( ( ( z t x t y t =的自相关函数。 （2）求之和( ( ( z t x t y t =+的自相关函数。

解：（1）已知(, ( x t y t 是统计独立的平稳随机过程

x y x y s R t t E z t z t E x t y t x t y t E x t x t y t y t E x t x t E y t y t R t t R t t R R

R τττ==⨯=⨯=⨯=== 所以，( z t 也是平稳随机过程，且有，( ( ( x y s R R R τττ=

（2）

1, 212112121

22112122112( [( ( ]

{[( ( ][(

( ]

[( ( ( ( ( ( ( ( ]

( ( ( ( 2x y x y R t t E z t z t E x t y t x t y t E x t x t x t y t x t y t y t y t R a a a a R R

R a a ττ

ττ==++=+

++=+++=++

3-5、若随机过程0( ( cos( z t m t t ωθ==+，其中( m t 是宽平稳随机过程，且自相关函数

1, 10

( 1,010, m R ττττττ+-<<⎧⎪

=-≤<⎨⎪⎩

其它

θ是服从均匀分布的随机变量，他与( m t 彼此统计独立。

（1） 证明是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数( z R τ的波形； （3） 求功率谱密度( z R ω及功率S 。

解：（1）因为( m t 是宽平稳的随机过程，所以其均值[(]E m t α=（常数）

θ是服从均匀分布的，所以( ,(02 2

f π

θθπ=

≤≤，又因为θ是与( m t 彼此独立的

所以

000002000

[(][(cos(]{([coscos sin sin ]}[(][coscos sin sin ]}

1

[coscos sin sin ]

02E z t E m t t E m t t t E m t E t t t t d π

ωθωθωθωθωθαωθωθθπ

=+=-=-=-=⎰

0.5({[cos(][cos(]cos2sin (sin 2R t t E z t z t E m t t m t t E m t m t E t t Rm E t t t t

Rm E t t E t t t t ωθωθωθωθτωθωτωωω==++=++=+++-=++++0210}0.5({[cos(]0}0.5(cos

Rm E t t Rm θτωτωτ

=-+= 令21t t τ-=，由于1, 2( R t t 与时间起点无关，而只与时间间隔有关，且[(]0E z

t =与 时间无关，所以( z t 是宽平稳的。

（2）0000.5(1cos , 10( 0.5(cos 0.5(1cos ,010,

z m R R else τωττττωττωττ⎧+-<<⎪

==-≤<⎨⎪

⎩

( z R τ的波形可以看成一个余弦函数和一个三角波的乘积．如图3-1所示。

（3）因为z （t ）是宽平稳的，所以，( ( z z P P ωτ⇔

20022

001( [( (]0.5( 22

( ( 1{422

z P Sa Sa Sa ω

ωπδωωδωωπωωωω=

⨯++-⨯+-=+ 1

(02

z S R ==

图 3-1

3-6、已知噪声( n t 的自相关函数( 2

n a R e αγ-=，a 为常数； （1）求( n P ω及S ；

（2）绘出( n R γ及( n P ω的图形。

解：（1）由已知条件n(t是平稳随机过程，则有( ( z z P P ωτ⇔

2

2222

2( ( 2(02

j n n

n a a a P R e

d a a a S R ωτ

ωγγωω+∞

--∞

=

=⨯= ++==

⎰

（2）( n R γ及( n P ω的图形如图 3-2所示。

图 3-2

3-7、一个均值为a ，自相关函数为( x R τ的平稳随机过程( t ξ通过一个线性系统后的输出过程为0( ( ( t t t T ξξξ=+-，T 为延迟时间 （1）试画出该线性系统的框图；

（2）试求( Y t 的自相关函数和功率谱密度。 解：（1）线性系统框图如图3-3所以。

图 3-3 （2）解法一：

0112( ( (

( [( (]

t t t T R E t t ξξξξτξξ=+-= 21t t τ-=

{[( (][( (]}

[( ( ( ( ( ( ( (]2( ( (

R t t E t t E t t T t t T E t t t t T t T t t T t T R R T R T ξξξξξξξξξξξξξξξξξξτττ==+---=+-+-+--=+-++

令21t t τ-=

根据00( ( P R ωτ⇔，( ( R P ξτω⇔

0( 2( ( ( ((2 2((1cos

j j j j P P P e P e P e

e

P T ωτωτωτ

ωτ

ωωωωωωω--=++=++=+

解法二：利用公式2

0( ( ( P H P ωωω= 求解 该系统的单位冲激响应 ( ( ( h t t t T δδ=+-

其相应的传递函数 2

2

2

2 ( 1( 2cos

2

T T T T j

j

j

j

j T

T

H e

e

e

e

e

ωωωωωωω----=+=+=

所以 2

0( ( ( 2(1cos ( P H P T P ωωωωω==+

3-8、将一个均值为零，功率谱密度为

2