高考导数题型归纳

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高考压轴题：导数题型及解题方法

〔自己总结供参考〕

一．切线问题

题型1 求曲线)(xfy在0xx处的切线方程。

方法：)(0xf为在0xx处的切线的斜率。

题型2 过点),(ba的直线与曲线)(xfy的相切问题。

方法：设曲线)(xfy的切点))(,(00xfx，由bxfxfax)()()(000求出0x，进而解决相关问题。

注意：曲线在*点处的切线假设有则只有一，曲线过*点的切线往往不止一条。

例 函数f〔*〕=*3﹣3*．

〔1〕求曲线y=f〔*〕在点*=2处的切线方程；〔答案：0169yx〕

〔2〕假设过点A)2)(,1(mmA可作曲线)(xfy的三条切线，数m的取值围、

〔提示：设曲线)(xfy上的切点〔)(,00xfx〕；建立)(,00xfx的等式关系。将问题转化为关于mx,0的方程有三个不同实数根问题。〔答案：m的围是2,3〕

练习 1. 曲线xxy33

〔1〕求过点〔1，-3〕与曲线xxy33相切的直线方程。答案：〔03yx或027415yx〕

〔2〕证明：过点〔-2,5〕与曲线xxy33相切的直线有三条。

2.假设直线0122eyxe与曲线xaey1相切，求a的值. 〔答案：1〕

题型3 求两个曲线)(xfy、)(xgy的公切线。

方法：设曲线)(xfy、)(xgy的切点分别为〔)(,11xfx〕。〔)(,22xfx〕；

建立21,xx的等式关系，12112)()(yyxfxx，12212)()(yyxfxx；求出21,xx，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例 求曲线2xy与曲线xeyln2的公切线方程。〔答案02eyxe〕

练习 1.求曲线2xy与曲线2)1(xy的公切线方程。〔答案012yx或0y〕

2．设函数,ln2)1()(xxxpxf2)(xxg，直线l与函数)(),(xgxf的图象都相切，且与函数)(xf的图象相切于〔1,0〕，数p的值。〔答案1p或3〕

二．单调性问题

题型1 求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：〔1〕在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；〔2〕在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类〔涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定〕；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例 函数xaxxaxf)1(21ln)(2

〔1〕求函数)(xf的单调区间。〔利用极值点的大小关系分类〕

〔2〕假设ex,2，求函数)(xf的单调区间。〔利用极值点与区间的关系分类〕

练习 函数121)1()(2kxxekxexfxx，假设2,1x,求函数)(xf的单调区间。〔利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类〕

题型2 函数在*区间是单调，求参数的围问题。 -

方法1：研究导函数讨论。

方法2：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立问题，

方法3：利用子区间〔即子集思想〕；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

注意："函数)(xf在nm,上是减函数〞与"函数)(xf的单调减区间是ba,〞的区别是前者是后者的子集。

例 函数2()lnfxxax+x2在,1上是单调函数，数a的取值围．

〔答案,0〕

练习 函数232)1(31)(xkxxf，且)(xf在区间),2(上为增函数．数k的取值围。〔答案：31k〕

题型3 函数在*区间的不单调，求参数的围问题。

方法1：正难则反，研究在*区间的不单调

方法2:研究导函数是零点问题，再检验。

方法3:直接研究不单调，分情况讨论。

例 设函数1)(23xaxxxf，Ra在区间1,21不单调，数a的取值围。

〔答案：3,2a〕〕

三．极值、最值问题。

题型1 求函数极值、最值。

根本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。

例 函数121)1()(2kxxekxexfxx，求在2,1x的极小值。

〔利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类〕

练习 函数32()2fxxmxnx的图象过点(1,6)，且函数()()6gxfxx的图象关于y轴对称.假设0a，求函数()yfx在区间(1,1)aa的极值.

〔答案：当01a时，()fx有极大值2，无极小值；当13a时，()fx有极小值6，无极大值；当1a或3a时，()fx无极值.〕

题型2 函数极值，求系数值或围。

方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。

方法2.转化为函数单调性问题。

例 函数1)1(21)1(3141)(234xpppxxpxxf。0是函数)(xf的极值点。数p值。〔答案：1〕

练习 函数2()ln,.fxaxxxaR假设函数()fx存在极值，且所有极值之和大

15ln2，求a的取值围。〔答案：,4〕

题型3 最值，求系数值或围。

方法：1.求直接求最值；2.转化恒成立，求出围，再检验。

例 设aR，函数233)(xaxxf．假设函数()()()[02]gxfxfxx，，，在0x处取得最大值，求a的取值围． 〔答案：56,〕 -

练习 函数xxaaxxfln)2()(2，当0a时，函数)(xf在区间e,1上的最小值是2，数a的取值围。〔答案：,1〕

四．不等式恒成立〔或存在性〕问题。

一些方法

1.假设函数nmxf,)(值域，a＞)(xf恒成立，，则na

2.对任意nmxnmx,,,21，)()(21xgxf恒成立。则min1)(xfmax2)(xg。

3.对nmxnmx,,,21，)()(21xgxf成立。则max1)(xfmin2)(xg。

4.对,,1nmx，恒成立)()(11xgxf。转化0)()(11xgxf恒成立

4. 对nmxnmx,,,21，)()(21xgxf成立。则min1)(xfmin2)(xg。

5. 对nmxnmx,,,21，)()(21xgxf成立。则max1)(xfmax2)(xg

6. 对nmxnmx,,,21，axxxfxf2121)()(成立。则构造函数axxfxt)()(。 转化证明)(xt在nm,是增函数。

题型1 不等式恒成立，求系数围。

方法：(1)别离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或屡次求导。

〔2〕讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类〔涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定〕；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

〔3〕数形结合：

〔4〕变更主元

解题思路 1.代特值缩小围。2. 化简不等式。3.选方法〔用讨论法时，或构造新函数〕。

方法一：别离法。

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或屡次求导。

例 函数axxexfx)ln()(2。在ex,1exf)(恒成立，数a取值围。〔方法：别离法，屡次求导答案：,0〕

练习 设函数2)1()(axexxfx，假设当x≥0时)(xf≥0，求a的取值围。〔方法： 别离法，用罗比达法则答案：1,〕

方法二：讨论法。

有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类〔涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定〕；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例 设函数f(*)=21xexax.假设当*≥0时f(*)≥0，求a的取值围.

〔答案：a的取值围为1,2〕

练习 1.设函数xexf1)( ，0x时，1)(axxxf，数a的取值围

〔答案：21,0〕

2.函数xxaxf1ln)(，当.0a对x＞0，1)ln2(xax，数a取值围。 -

〔多种方法求解。〔答案：1,0e〕

〕

方法三：变更主元

例：设函数()yfx在区间D上的导数为()fx，()fx在区间D上的导数为()gx，假设在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()yfx在区间D上为"凸函数〞，实数m是常数，4323()1262xmxxfx，假设对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间,ab上都为"凸函数〞，求ba的最大值. 〔答案：2〕

练习 设函数xxxfln)(。证明：当a＞3时，对任意0x，xeafxaf)()(成立。

〔提示xeafxaf)()(化为aaxeafexaf)()(〕，研究aeafag)()(的单调性。〕

五．函数零点问题

题型1：判断函数零点的个数。

方法：方程法；函数图象法；转化法；存在性定理

例.设31,()(1)ln3aRfxxaxax．假设函数()yfx有零点，求a的取值围．

〔提示：当1a时，0)1(f，0)3(af，所以成立，答案,31〕

练习.求过点〔1,0〕作函数xxyln图象的切线的个数。〔答案：两条〕

题型2：函数零点，求系数。

方法：图象法(研究函数图象与*轴交点的个数)；方程法；转化法〔由函数转化方程，再转化函数，研究函数的单调性。〕

例.函数3)1(1ln)(xaxxxf在〔1,3〕有极值，数a的取值围。〔答案181,〕

练习：1.证明：函数xxfln)(的图象与函数exexgx21)(的图象无公共点。

六．不等式证明问题

方法1：构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。