当前位置：文档之家 › 高考数学导数题型归纳(文科)

高考数学导数题型归纳(文科)

  • 格式：doc
  • 大小：297.00 KB
  • 文档页数：3

1 导数题型归纳

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

（2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('xf得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数()yfx在区间D上的导数为()fx，()fx在区间D上的导数为()gx，若在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()yfx在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，4323()1262xmxxfx

（1）若()yfx在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间,ab上都为“凸函数”，求ba的最大值.

例2：设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[aax不等式()fxa恒成立，求a的取值范围.

第三种：构造函数求最值

题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3:已知函数32()fxxax图象上一点(1,)Pb处的切线斜率为3，326()(1)3(0)2tgxxxtxt

（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）当[1,4]x时，求()fx的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x时，不等式()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围。

思路1：要使()()fxgx恒成立，只需()0hx，即2(2)26txxx分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23． 2 （Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．

例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa

（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数．

(1)求实数k的取值范围；(2)若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

例7、已知函数321()22fxaxxxc

（1）若1x是()fx的极值点且()fx的图像过原点，求()fx的极值；

（2）若21()2gxbxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数()gx的图像与函数()fx的图像恒有含1x的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

题2：切线的条数问题====以切点0x为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极小值－4，使其导数'()0fx的x的取值范围为(1,3)，求：（1）()fx的解析式；（2）若过点(1,)Pm可作曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围．

题3：已知()fx在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8 、

例9、已知函数23213)(xxaxf，)0,(aRa（1）求)(xf的单调区间；（2）令()gx＝14x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数32()2fxaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）若]1,1[t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围.

2、（根分布与线性规划例子）已知函数322()3fxxaxbxc

(Ⅰ) 若函数()fx在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30xy平行, 求)(xf的解析式；

(Ⅱ) 当()fx在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时, 设点(2,1)Mba所在平面区域为S,

经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

3、（根的个数问题）已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求cd、的值； 3 （Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3xy110，求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若0x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

4、（根的个数问题）已知函数321()1()3fxxaxxaR

（1）若函数()fx在12,xxxx处取得极值，且122xx，求a的值及()fx的单调区间；

（2）若12a，讨论曲线()fx与215()(21)(21)26gxxaxx的交点个数．

5、（简单切线问题）已知函数23)(axxf图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数23()()3bxgxfxa．

（Ⅰ） 若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式；

（Ⅱ） 若函数)(xg在区间]1,1[上为增函数，且)(42xgmbb在区间]1,1[上都成立，求实数m的取值范围．

合集下载

高考复习文科数学之导数(1)

高考复习文科数学之导数(1)

各地解析分类汇编:导数（1）

1 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】方程3269100xxx的实根个数是

A.3 B.2 C.1 D.0

【答案】C

【解析】设32()6910fxxxx，2'()31293(1)(3)fxxxxx，由此可知函数的极大值为(1)60f，极小值为(3)100f，所以方程3269100xxx的实根个数为1个.选C.

2 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】曲线xxy331在点341，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为

A.92 B.91 C.31 D.32

【答案】B

【解析】2''()+1yfxx，在点341，的切线斜率为'(1)2kf。所以切线方程为42(1)3yx，即223yx，与坐标轴的交点坐标为21(0,),(,0)33，所以三角形的面积为11212339，选B.

3 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】若)2ln(21)(2xbxxf在），（1上是减函数，则b的取值范围是

A.，1 B.），（1 C.]1，（ D.），（1

【答案】C

【解析】函数的导数'()2bfxxx，要是函数在），（1上是减函数，则'()02bfxxx，在），（1恒成立，即2bxx，因为1x，所以210x，即(2)bxx成立。设(2)yxx，则222(1)1yxxx，因为1x，所以1y，所以要使(2)bxx成立，则有1b，选C.

4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】若函数(1)4axyex（xR）有大于零的极值点，则实数a范围是 （ ）

高考数学导数讲解：函数单调性

高考数学导数讲解：函数单调性

模块一：切线方程

知识点一：导数的几何意义。

导数的几何意义：导数值等于原函数在该点处的切线斜率。

知识点二：直线的点斜式方程。

直线的点斜式方程：直线过点),(

00yx

，直线的斜率为k

直线的点斜式方程：)(

00xxkyy

。

题型一：已知切点的横坐标，求解切线方程。

模型：已知：函数)(xf

的解析式。求解：函数)(xf

在

0xx

处的切线方程。

解法设计：第一步：求切点的纵坐标。

把

0xx

代入函数)(xf

得到切点的纵坐标)(

0xf

切点))(,(

00xfx

。

第二步：求导函数。

根据函数)(xf

的解析式计算导函数)('xf

。

第三步：求切线斜率。

根据导数的几何意义得到：把

0xx

代入导函数)('xf

得到切线斜率)('

0xf

。

第四步：求切线方程。

根据直线的点斜式方程得到：切点))(,(

00xfx

，切线斜率为)('

0xf

切线方程：))((')(

000xxxfxfy

。

例题：2020年高考理科数学新课标Ⅰ卷第6题：函数342)(xxxf

的图像在点))1(,1(f

处的

切线方程为（）

A、12xy

B、12xy

C、32xy

D、12xy

本题解析：第一步：求切点的纵坐标。

把1x

代入函数342)(xxxf

得到1121)1(

34

f

切点)1,1(

。

第二步：求导函数。

342)(xxxf

2364)('xxxf

。

第三步：求切线斜率。

根据导数的几何意义得到切线斜率：21614)1('23

f

。

第四步：求切线方程。

根据直线的点斜式方程得到：切点)1,1(

，切线斜率为2

切线方程：12221)1(2)1(xyxyxy

。

跟踪训练一：2019年高考数学新课标Ⅰ卷理科第19题文科第19题：曲线xexxy)(3

2



在)0,0(处的切线方程为。

跟踪训练二：2019年高考文科数学新课标Ⅱ卷第10题：曲线xxycossin2

在点)1,(

处的

切线方程为（）

2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的概念及运算

2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的概念及运算

2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的概念及运算

【考点指津】

1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义．

2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数．

【知识在线】

1．函数y=的导数是 ．

2．曲线y=x4+x2上P处的切线的斜率为6，则点P的坐标是 ．

3．设函数f(x)= -35 x5 - 74 x4+8，则f(x+Δx)-f(x)Δx = ．

4．已知使函数y=x3+ax2- 43 a，若存在0)()(,000xfxfRx使的求常数a．

【讲练平台】

例1 函数y=(3x2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ）

A． (6x+1)(2x+3) B． 2(6x+1)

C． 2(3x2+x+1) D． 18x+22x+5

分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数．

解 y=(3x2+x+1)(2x+3)=6x3+11x2+5x+3

∴y'=18x2+22x+5，故应选D

点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式．

例2 设函数f(x)=x3-2x2+x+5， 若f'(x0)=0，则x0= ．

分析 x0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0

解 f(x)=x3-2x2+x+5， 求f'(x)=3x2-4x+1

由f'(x0)=0， 得3x2-4x+1=0

解得x0=1或13

∴应填写答案为1或13

点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(xn)'=n．xn-1， 其中n∈N*)是求某些简单函数的导数的常用工具．

例3 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1， 求a，b，c的值．

分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a，b，c．

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。

对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。

在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。

第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。