金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修1-2检测：第三章 推理与证明33.1含答案
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学必求其心得，业必贵于专精
第三章 §3 3.1
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题
1．若a>0，b>0,则下列不等式中不成立的是（ )
A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2错误!
C．a2＋b2≥错误!（a＋b)2 D．错误!＋错误!<错误!(a≠b）
解析: a2＋b2≥2ab，a＋b≥2错误!.
a2＋b2－错误!(a＋b)2＝错误!a2＋错误!b2－ab＝错误!（a－b）2≥0
即a2＋b2≥错误!(a＋b)2。故选D。
答案： D
2．对于0＜a＜1，给出四个不等式：①loga(1＋a)＜loga错误!;②loga（1＋a)＞loga错误!；③a1＋a＜a1＋错误!；④a1＋a＞a1＋错误!。
其中成立的是( )
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
解析: ∵0＜a＜1，∴0＜a＜错误!
∴1＜1＋a＜1＋1a，
又∵0＜a＜1,
∴loga(1＋a)＞loga错误!，且a1＋a＞a1＋错误!.
答案: D
3．p＝错误!＋错误!，q＝错误! 错误!(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p,q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
解析： q＝错误!≥错误!
＝ab＋错误!＝p.
答案: B
4．在△ABC中，已知sin Acos A＝sin Bcos B,则该三角形是（ )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析： 由sin Acos A＝sin Bcos B， 学必求其心得，业必贵于专精
∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝错误!，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
答案： D
二、填空题
5．设a＝错误!，b＝错误!－错误!，c＝错误!－错误!，则a,b,c的大小关系为________．
解析: ∵a2－c2＝2－(8－4错误!)
＝4错误!－6＝错误!－错误!＞0，∴a＞c。
∵cb＝错误!＝错误!＞1，∴c＞b.
答案: a＞c＞b
6．已知a、b、u∈R*，且1a＋错误!＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是________．
解析： a＋b＝错误!×（a＋b）
＝10＋错误!＋错误!≥10＋2错误!＝16，
当且仅当错误!＝错误!即3a＝b时取等号，
若a＋b≥u恒成立，则u≤16.
答案： (－∞,16］
三、解答题
7．已知a,b>0，且a＋b＝1，求证:错误!＋错误!≥4。
证明： 证法一:∵a，b〉0，且a＋b＝1,
∴a＋b≥2ab。∴错误!≤错误!.
∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥4。
证法二：∵a,b是正数，
∴a＋b≥2错误!〉0.错误!＋错误!≥2错误!〉0.
∴(a＋b）错误!≥4。又∵a＋b＝1，∴错误!＋错误!≥4。
证法三：错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝1＋错误!＋错误!＋1
≥2＋2错误!＝4。
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
8．在△ABC中,若a2＝b(b＋c）．求证：A＝2B.
证明： ∵a2＝b(b＋c），而 学必求其心得，业必贵于专精
cos A＝错误!＝错误!＝错误!，
cos 2B＝2cos2B－1＝2错误!2－1
＝2错误!2－1＝错误!＝错误!,
∴cos A＝cos 2B.
又A、B是三角形的内角，∴A＝2B.
9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy；
(2）设1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明： （1)由于x≥1，y≥1,所以
x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy⇔xy(x＋y）＋1≤y＋x＋（xy)2。
将上式中的右式减左式,得
［y＋x＋(xy）2］－[xy(x＋y）＋1]＝［(xy）2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y）]＝（xy＋1)(xy－1)－（x＋y)(xy－1)＝（xy－1）（xy－x－y＋1)＝(xy－1）(x－1）(y－1)．
由于x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0,
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝错误!，logba＝错误!，logcb＝错误!，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy,
又由于1〈a≤b≤c，
所以x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)知所要证明的不等式成立． 学必求其心得，业必贵于专精
